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Zicheng Qian

To cite this version:

Zicheng Qian. p-adic and mod p local-global compatibility for GLn(�p). Number Theory [math.NT].

Université Paris-Saclay, 2019. English. �NNT : 2019SACLS137�. �tel-02326745�

NNT : 2019SACLS137

TH` ESE DE DOCTORAT

de

l’Universit´ e Paris-Saclay

Ecole doctorale de math´´ ematiques Hadamard (EDMH, ED 574) Etablissement d’inscription :´ Universit´e Paris-Sud

Laboratoire d’accueil : Laboratoire de math´ematiques d’Orsay, UMR 8628 CNRS Sp´ecialit´e de doctorat :

Math´ ematiques fondamentales

Zicheng QIAN

p-adic and mod p local-global compatibility for GL

( Q

)

Date de soutenance : 2 juillet 2019 Apr`es avis des rapporteurs :

David SAVITT (Johns Hopkins University) Tobias SCHMIDT (Universit´e de Rennes 1)

Soutenue devant le jury compos´e de :

Laurent BERGER (ENS de Lyon) Pr´esident

Christophe BREUIL (Universit´e Paris-Sud) Directeur de th`ese Jean Franc¸ois DAT (Sorbonne Universit´e) Examinateur Florian HERZIG (University of Toronto) Invit´e Stefano MORRA (Universit´e de Paris 8) Examinateur Tobias SCHMIDT (Universit´e de Rennes 1) Rapporteur Benjamin SCHRAEN (Universit´e Paris-Sud) Examinateur

Contents

R´esum´e iii

Abstract v

Acknowledgement vii

1 Introduction g´en´erale 1

1.1 Conjecture de compatibilit´e locale-globalep-adique . . . 1

1.2 Compatibilit´e local-global modulo ppour GLn(Qp) . . . 3

1.3 Dilogarithme etL-invariants sup´erieurs pour GL₃(Q_p) . . . 10

2 General Introduction 15 2.1 p-adic local-global compatibility conjecture . . . 15

2.2 Modplocal-global compatibility for GLn(Qp) . . . 17

2.3 Dilogarithm and higher L-invariants for GL3(Qp) . . . 24

3 Mod plocal-global compatibility for GLn(Qp)in the ordinary case 29 3.1 Introduction . . . 29

3.1.1 Local Galois side . . . 30

3.1.2 Local automorphic side . . . 32

3.1.3 Weight elimination and automorphy of a Serre weight . . . 34

3.1.4 Modplocal-global compatibility . . . 35

3.1.5 Notation . . . 37

3.2 Integralp-adic Hodge theory . . . 39

3.2.1 Filtered (φ, N)-modules with descent data . . . 39

3.2.2 Strongly divisible modules with descent data . . . 40

3.2.3 Breuil modules with descent data . . . 41

3.2.4 Linear algebra with descent data . . . 44

3.2.5 Fontaine–Laffaille modules . . . 46

3.2.6 Etale´ φ-modules . . . 47

3.3 Local Galois side . . . 49

3.3.1 Elimination of Galois types . . . 50

3.3.2 Fontaine–Laffaille parameters . . . 52

3.3.3 Breuil modules of certain inertial types of niveau 1 . . . 54

3.3.4 Fontaine–Laffaille parameters vs Frobenius eigenvalues . . . 60

3.3.5 Filtration of strongly divisible modules . . . 64

3.3.6 Reducibility of certain lifts . . . 67

3.3.7 Main results on the Galois side . . . 71

3.4 Local automorphic side . . . 74

3.4.1 Jacobi sums in characteristicp . . . 77 i

3.4.2 Main results in characteristicp . . . 84

3.4.3 Summary of results on Deligne–Lusztig representations . . . 86

3.4.4 Proof of Theorem 3.4.36 . . . 86

3.4.5 Jacobi sums in characteristic 0 . . . 89

3.4.6 Special vectors in a dual Weyl module . . . 96

3.4.7 Some technical formula . . . 100

3.4.8 Proof of Theorem 3.4.35 . . . 105

3.5 Modplocal-global compatibility . . . 119

3.5.1 The space of algebraic automorphic forms . . . 120

3.5.2 Serre weights and potentially crystalline lifts . . . 122

3.5.3 Weight elimination and automorphy of a Serre weight . . . 125

3.5.4 Some application of Morita theory . . . 126

3.5.5 Generalization of Section 3.4 . . . 127

3.5.6 Main results . . . 134

4 Dilogarithm and higher L-invariants for GL₃(Q_p) 139 4.1 Introduction . . . 139

4.1.1 Derived object and dilogarithm . . . 141

4.1.2 HigherL-invariants for GL3(Qp) . . . 143

4.1.3 Sketch of content . . . 144

4.1.4 Acknowledgement . . . 144

4.2 Preliminary . . . 144

4.2.1 Locally analytic representations . . . 144

4.2.2 Formal properties . . . 145

4.2.3 Some notation . . . 148

4.2.4 p-adic logarithm and dilogarithm . . . 151

4.3 A key result for GL₂(Q_p) . . . 156

4.4 Computations of Ext I . . . 161

4.5 Computations of Ext II . . . 170

4.6 Key exact sequences . . . 178

4.7 Local-global compatibility . . . 193

R´ esum´ e

Titre: la compatibilit´e local-globalp-adique et moduloppour GL_n(Qp)

Cette th`ese est consacr´ee `a deux aspects du programme de Langlands local p-adique et de la compatibilit´e local-globalp-adique.

Dans la premi`ere partie, j’´etudie la question de savoir comment extraire, d’un certain sous-espace Hecke-isotypique de formes automorphes modulop, suffisament d’invariants d’une repr´esentation ga- loisienne. Soient p un nombre premier, n > 2 un entier, et F un corps `a multiplication complexe dans lequelp est compl`etement d´ecompos´e. Supposons qu’une repr´esentation galoisienne automor- phe continuer : Gal(Q/F)→GLn(Fp) est triangulaire sup´erieure, Fontaine–Laffaille et suffisament g´en´erique (dans un certain sens) en une placewau-dessus dep. On montre, en admettant un r´esultat d’´elimination de poids de Serre prouv´e dans [LLMPQ], que la classe d’isomorphisme der|_Gal(Q

p/F_w)

est d´etermin´ee par l’action de GL_n(F_w) sur un espace de formes automorphes modulo p d´ecoup´e par l’id´eal maximal associ´ee `a r dans une alg`ebre de Hecke. En particulier, on montre que la partie sauvagement ramifi´ee der|_Gal(Q

p/Fw) est d´etermin´ee par l’action de sommes de Jacobi (vus comme

´el´ements de Fp[GLn(Fp)]) sur cet espace.

La deuxi`eme partie de ma th`ese vise `a ´etablir une relation entre les r´esultats pr´ec´edents de [Schr11], [Bre17] et [BD18]. SoientE une extension finie de Qp suffisamment grande et ρp : Gal(Qp/Qp)→ GL<sub>3</sub>(E) une repr´esentation p-adique semi-stable telle que la repr´esentation de Weil-Deligne WD(ρ<sub>p</sub>) associ´ee a un op´erateur de monodromie N de rang 2 et que la filtration de Hodge associ´ee est non- critique. On sait que la filtration de Hodge deρ<sub>p</sub> d´epend de trois invariants dansE. On construit une famille de repr´esentations localement analytiques Σ<sup>min</sup>(λ,L1,L2,L3) qui d´epend de trois in- variants L1,L2,L3 ∈ E et telle que chaque repr´esentation contient la repr´esentation localement alg´ebrique Alg⊗Steinberg d´etermin´ee par ρ<sub>p</sub>. Quand ρ<sub>p</sub> provient, pour un groupe unitaire con- venableG<sub>/Q</sub>, d’une repr´esentation automorpheπ deG(AQp) avec un niveau fix´eU<sup>p</sup> premier avec p, on montre (sous quelques hypoth`eses techniques) qu’il existe une unique repr´esentation localement analytique dans la famille ci-dessus qui est une sous-repr´esentation du sous-espace Hecke-isotypique associ´e dans la cohomologie compl´et´ee de niveauU^p. On rappelle que [Bre17] a construit une famille de repr´esentations localement analytiques qui d´epend de quatre invariants (voir (4) dans [Bre17]) avec une propri´et´e similaire. On donne un crit`ere purement de th´eorie de repr´esentation: si une repr´esentation Π dans la famille de Breuil se plonge dans un certain sous-espace Hecke-isotypique de la cohomologie compl´et´ee, alors elle se plonge n´ecessairement dans une Σ^min(λ,L1,L2,L3) pour certains choix de L1,L2,L3 ∈E qui sont d´etermin´es explicitement par Π. De plus, certains sous- quotients naturels de Σ^min(λ,L1,L2,L3) permettent de construite un complexe de repr´esentations localement analytiques quir´ealise l’objet d´eriv´e abstrait Σ(λ,L) defini dans [Schr11]. Par con- s´equent, la famille de repr´esentations localement analytiques Σ^min(λ,L1,L2,L3) fournit une relation entre lesL- invariants sup´erieurs ´etudi´es dans [Bre17] et [BD18], et la fonction dilogarithmep-adique qui est apparue dans la construction de Σ(λ,L) dans [Schr11].

Mots cl´e : programme de Langlands local p-adique et modulo p, compatibilit´e local-global, Fontaine–Laffaille, sommes de Jacobi, repr´esentations de Steinberg, famille de repr´esentations locale- ment analytiques, fonction dilogarithmep-adique

iii

Abstract

Title: p-adic and modplocal-global compatibility for GL_n(Qp)

This thesis is devoted to two aspects of thep-adic local Langlands program andp-adic local-global compatibility.

In the first part, I study the problem of how to capture enough invariants of a local Galois representation from a certain Hecke-isotypic subspace of modpautomorphic forms. Letpbe a prime number,n >2 an integer, andF a CM field in whichpsplits completely. Assume that a continuous automorphic Galois representationr: Gal(Q/F)→GLn(Fp) is upper-triangular and satisfies certain genericity conditions at a placew above p, and that every subquotient of r|_Gal(Q

p/Fw) of dimension

>2 is Fontaine–Laffaille generic. We show that the isomorphism class ofr|_Gal(Q

p/F_w) is determined by GLn(Fw)-action on a space of mod palgebraic automorphic forms cut out by the maximal ideal of a Hecke algebra associated tor, assuming a weight elimination result which is now a theorem of Bao V. Le Hung to be proven in [LLMPQ]. In particular, we show that the wildly ramified part of r|_Gal(Q

p/F_w)is determined by the action of Jacobi sum operators (seen as elements of Fp[GLn(Fp)]) on this space.

The second part of my thesis aims at clarifying the relation between previous results in [Schr11], [Bre17] and [BD18]. LetE be a sufficiently large finite extension ofQp andρ_p be ap-adic semi-stable representation Gal(Qp/Qp)→GL₃(E) such that the Weil–Deligne representation WD(ρ_p) associated with it has rank two monodromy operator N and the Hodge filtration associated with it is non- critical. We know that the Hodge filtration ofρp depends on three invariants inE. We construct a family of locally analytic representations Σ^min(λ,L1,L2,L3) of GL3(Qp) depending on three invari- antsL1,L2,L3 ∈E with each of the representation containing the locally algebraic representation Alg⊗Steinberg determined by ρp. Whenρp comes from an automorphic representationπofG(AQp) with a fixed level U^p prime to pfor a suitable unitary group G_/Q, we show (under some technical assumption) that there is a unique locally analytic representation in the above family that occurs as a subrepresentation of the associated Hecke-isotypic subspace in the completed cohomology with level U^p. We recall that [Bre17] constructed a family of locally analytic representations depending on four invariants (c.f. (4) in [Bre17]) with a similar property. We give a purely representation theoretic criterion: if a representation Π in Breuil’s family embeds into a certain Hecke-isotypic sub- space of completed cohomology, then it must equally embed into Σ^min(λ,L1,L2,L3) for certain choices of L1,L2,L3 ∈ E determined explicitly by Π. Moreover, certain natural subquotients of Σ^min(λ,L1,L2,L3) allow us to construct a complex of locally analytic representations that realizes the abstract derived object Σ(λ,L) in [Schr11]. Consequently, the family of locally analytic repre- sentations Σ^min(λ,L1,L2,L3) give a relation between the higherL-invariants studied in [Bre17] as well as [BD18] and thep-adic dilogarithm function which appears in the construction of Σ(λ,L) in [Schr11].

Key words: p-adic and mod p local Langlands program, local-global compatibility, Fontaine–

Laffaille, Jacobi sums, Steinberg representation, family of locally analytic representations, p-adique dilogarithm function

v

Acknowledgement

First of all, I would like to thank my supervisor Prof. Christophe Breuil for guiding me into this extremely rich area ofp-adic local Langlands correspondence andp-adic local-global compatibility. I have tremendously benefited from discussions with him and the two thesis problems suggested by him are perfect first-step training for me towards my future academic career. I very much thank him for his really careful corrections on an early draft of my thesis and for his help on improving my writing skills. My opinions towards mathematical research has been deeply influenced by him throughout my Ph.D.

I would like to thank Prof. David Savitt and Prof. Tobias Schmidt for kindly accepting to write reports for this thesis.

I would like to thank Prof. Laurent Berger, Prof. Jean-Fran¸cois Dat, Prof. Stefano Morra, Prof.

Benjamin Schraen for being part of the members of the committee.

I would like to thank Prof. Florian Herzig for offering me the chance of a postdoctoral position at University of Toronto and for answering many questions from me through the past few years. I am also very honored to invite him to my defense.

I would like to thank Prof. Luc Illusie for allowing me to visit him shortly after I came to Paris.

I could not think of contacting my supervisor without his extremely kind suggestions and personal introduction, which probably has already changed my life.

I would like to thank Prof. Chol Park as a kind friend and collaborator since an early stage of my Ph.D. I made many mathematical mistakes at the beginning and he encouraged him a lot throughout our collaboration. I may not be able to dive into certain technical problems for a long time without his understanding. His carefulness during research do save me from making more mistakes.

I would like to thank Prof. Yongquan Hu and Prof. Yiwen Ding for their generous explanation on countless mathematical problems. They also offer me great opportunity to visit Beijing each Summer vocation to attend their seminars and meet the other mathematicians.

I would like to thank Prof. Viet Bao Le Hung and Daniel Le for their suggestions on an early draft of this thesis and especially for their help on the improvement of my understanding on moduli of Fontaine–Laffaille modules and Breuil–Kisin modules. I gradually have more conceptual and geometric understandings around this area thanks to their insights.

I would like to thank Prof. Julien Hauseux for inviting me to Universit´e de Lille twice and for our discussions there.

I would like to thank Prof. James Edward Humphreys for kindly answering my questions via email at an early stage of my Ph.D. His two books on BGG categoryO and on modular representations of finite groups of Lie type respectively are always very helpful references.

I would like to thank Prof. Fr´ed´eric Paulin, Prof. Stephane Nonnenmacher, Madame Marie- Christine Myoupo and Monsieur Nicolas Olleon for kindly helping me finish all the administrative procedure for graduation at Universit´e Paris-sud.

I would like to thank ENS d’Ulm for accepting me as a student via concours s´election internationale.

I could not imagine how would I reach so much modern mathematics and many strong mathematicians without coming to ENS. I would like to thank Prof. Claude Viterbo, Prof. Jan Nekovar and Prof. Lie Fu for their tutorial help when I was a student at ENS. I also would like to thank Madame Isabelle

vii

Mistral and Monsieur Auguste Filippi for helping me get used to the life at ENS.

I would like to thank Shengyuan Zhao for helping me translate the introduction of my thesis into French.

I would like to thank my friends Chen Hu, Kaitong Hu, Censi Li, Jialun Li, Finski Siarhei, Uladzislau Stazhynski, Ruoci Sun, Shengquan Xiang, Junyi Zhang, Hui Zhu who came to ENS at the same time as me. We had a great time living and studying together at ENS. I had the chance to meet many friends at ENS including Yichang Cai, Yawen Chen, Ji Dai, Zhihao Duan, Hao Fu, Songyuan Li, Linyuan Liu, Xiao Ma, Jian Qian, Jiaxin Qiao, Yichen Qin, Jieao Song, Yijun Wan, Hua Wang, Baojun Wu, Minchen Xia, Lizao Ye, Hao Zhang, Haowen Zhang, Yi Zhang, Yizhen Zhao, Peng Zheng, Zechuan Zheng, Deliang Zhong for their company at ENS.

I would like to thank the friends I have met at Universit´e Paris-sud and IHES including Yang Cao, Linxiao Chen, Zhangchi Chen, Jingren Chi, Wei-Guo Foo, Ning Guo, Binxiao Liu, Kegang Liu, Jinrui Niu, Jie Ren, Changjian Su, Yisheng Tian, Xiaozong Wang, Songyan Xie, Daxin Xu, Cong Xue, Yeping Zhang, Peng Zhou, Jiandi Zou for their help and company.

I would like to thank many young mathematicians I have met in Paris including Xiaohua Ai, Chuqi Cao, Jiaming Chen, Peiyi Cui, Xianglong Duan, Yanbo Fang, Chenlin Gu, Huajie Li, Xingyu Li, Yongqi Liang, Jie Lin, Chenguang Liu, Chunhui Liu, Shinan Liu, Wille Liu, Qiaochu Ma, Yu Min, Shu Shen, Haoran Wang, Shanwen Wang, Disheng Xu, Ruotao Yang, Hongjie Yu, Xiaoyu Zhang. I think Ph.D students in mathematics have many things in common and it is great that we have been sharing thoughts with each other.

I would like to thank some other Chinese friends in France including Yifan Chen, Yue Feng, Weichen Gao, Enhui Huang, Yichen Liu, Momo, Heshu Wang, Haowu Wang, Min Wang, Xinyang Wang, Zhengjian Wang, Tairan Xu, Fan Yang, Chaoping Zhang as we had a lot of fun together with my girlfriend.

I would like to thank the S´eminaire Mathjeune which has offered me a chance to be an organizer.

Although I am lazy and not so efficient as an organizer, I do have met many young Ph.D students and Postdocs through this Seminar. I would like to thank all the former organizers as well.

I would like to thank Prof. Yi Ouyang and Prof. Xinan Ma for writing recommendation letters for me during my application for ENS d’Ulm.

I would like to thank Prof. Xiaonan Ma for his generous help for me and my girlfriend, especially for helping us renting a comfortable apartment at Bourg la Reine.

I would like to thank Prof. Yang Chen at SCGY of USTC who still cares about my development after my graduation. I would like to thank Prof. Jihuai Shi and Prof. Guangtian Song for teaching me calculus and linear algebra which is important throughout mathematical research. I would like to thank Prof. Qin Chen, Prof. Simin Li, Prof. Congwen Liu, Prof. Guangbin Ren, Prof. Bin Xu, and many other professors for teaching me mathematics at USTC.

I would like to thank Madame Naying Li for helping me overcome many non-academic difficulties at USTC. I was relatively young when I entered USTC as undergraduate student and I am really grateful that she was sufficiently patient to listen to my personal feelings. I would like to thank Yifan Quan, Xinzhou Tu and Wei Shuai for being my roommates for three years at USTC. I would like to thank my amazing friends at USTC who kindly encouraged me and guided me through many challenges.

I would like to thank an anonymous person online who suggested me to apply for ENS d’Ulm.

I would like to thank Meiya Wang and Xiaohong Wang who taught me mathematics at primary school. They offered me the first chance to enjoy the pleasure of mathematics. I would like to thank Yuanchun Wang who taught me the importance of rigorous proof during middle school and Xiaodong Zha who gradually convinced me during high school that I could probably become a professional mathematician in the future.

I would like to thank my parents for their full support and especially for allowing me to dive into something I am truly interested in. I am extremely luck because I have nothing to worry about except my thesis problem during Ph.D.

ix I would like to thank my girlfriend Yi Pan for her company throughout my Ph.D. It is always very challenging and in particular time consuming to solve some non-trivial mathematical problems.

Therefore it is important that I can share my feelings with her when I am stuck by something annoying.

We have overcome many difficulties together and this is the best part of my life in Paris. I also would like to thank her parents for their support.

There are still many other names that has contributed to my life. I could not list them all but just would like to thank them all for their help.

Chapter 1

Introduction g´ en´ erale

1.1 Conjecture de compatibilit´ e locale-globale p-adique

Soitpun nombre premier, K une extension finie deQ_p etE une autre extension finie de Q_p qui est suffisamment grande. On noteOK (resp. $_K, resp. k) l’anneau des entiers (resp. une uniformisante, resp. le corps r´esiduel) de K; On note O_E (resp. $_E, resp. k_E) l’anneau des entiers (resp. une uniformisante, resp. le corps r´esiduel) de E. Le programme de Langlands localp-adique initi´e par Breuil dans [Bre03a], [Bre03b] et [Bre04] vise `a associer une repr´esentation lin´eaire de GL<sub>n</sub>(K)pLL(ρ) sur un espace de Banachp-adique `a une repr´esentation galoisiennep-adiqueρ: Gal(K/K)→GLn(E).

Cette correspondance de Langlands localep-adique est connue pour GL2(Qp) et est dˆu `a Colmez dans [Col10]; sa compatibilit´e avec la cohomologie ´etale compl´et´ee de la tour de courbes modulaires est montr´ee par Emerton dans [Eme06]. L’applicationpLL reste encore tr`es myst´erieuse quand K6=Qp

ou quandn≥3. On s’attend (c.f. [Bre10a]) `a ce que pLL soit compatible avec la reduction modulo

$E, avecles famillesp-adiques, etc. Nous utilisons dans la suite la notation pLL pour d´esigner l’application (qui est seulement conjecturale pourK6=Qp oun≥3) qui associe `a une repr´esentation galoisienneρ: Gal(K/K) →GLn(kE) une representation lisse admissible de GLn(K) `a coefficients danskE.

On commence par donner une formulation plus pr´ecise de cette compatibilit´e local-global con- jecturale pour pLL, qui est une g´en´eralisation naturelle des id´ees dans [Eme06] (sauf que nous ne connaissons plus l’existence depLL siK6=Q_p ou sin≥3). `A partir de maintenant on fixe un corps F⁺ totalement r´eel et une extensionF quadratique totalement imaginaire deF⁺. On fixe une place finiev₀ deF⁺ qui divisep, qui est scind´ee dansF et qui v´erifieK∼=F_v⁺

0

∼=F_w0 o`u w<sub>0</sub> est une place finie deF au-dessus dev<sub>0</sub>. On fixe une telle placew<sub>0</sub>deF `a partir de maintenant. On fixe un groupe unitaireG surF⁺ tel que

(i) G ⊗F⁺F ∼= GLn/F; (ii) G(F⁺⊗QR) est compact.

On fixe aussi un sous-groupe compact ouvertU^v0 ⊂ G(A^∞,v_F+⁰) et unO_E-moduleAde type fini muni de sa topologiep-adique. Puis on consid`ere l’espace des formes automorphesp-adiques continues (resp.

localement constantes) `a valeurs dansAsurG(A^∞F⁺) de un niveau fix´eU^v0 premier avecv0: Sb(U^v0, A) :={f :G(F⁺)\G(A^∞F⁺)/U^v0→A, continue}

( resp. S(U^v0, A) :={f :G(F⁺)\G(A^∞F⁺)/U^v0 →A, localement constante}).

En particulier si A est un module dep-torsion muni de la topologie discr`ete, alors les deux espaces d´efinis ci-dessus co¨ıncident. Chaque espace ci-dessus admet une action d’une alg`ebre de Hecke uni- verselle T sur OE (engendr´ee librement par des op´erateurs de Hecke index´es par les places finies v

1

deF au-dessus d’un ensembleD(U^v0) de places finies deF⁺ qui sont totalement d´ecompos´ees dan- s F, premi`eres avec p, telles que U<sub>v</sub> := U<sup>v0</sup> ∩ G(F<sub>v</sub><sup>+</sup>) est un sous-groupe compact ouvert maximal de G(F<sub>v</sub><sup>+</sup>)); et il y a aussi une action continue ( resp. lisse) de GLn(K) sur S(Ub <sup>v0</sup>, A) (resp. sur S(U<sup>v0</sup>, A)) qui provient de la translation `a droite sur G(F⁺)\G(A^∞_F+)/U^v0. Les actions de GLn(K) sur les deux espaces commutent avec les actions deT. Pour une repr´esentation galoisiennep-adique continue rA : Gal(F /F) → GLn(A) qui est conjugu´ee auto-duale et non-ramifi´ee `a toute place de F au-dessus d’un v ∈ D(U^v0), on peut lui associer un id´eal pr_A ⊂T⊗O_EA; Le sous-espace propre S(Ub ^v0, A)[prA] (resp. S(U^v0, A)[prA]) d´efini par cet id´eal admet naturellement une action continue (resp. lisse) de GL_n(K). On note LL l’application donn´ee par la correspondance de Langlands locale classique qui envoie une repr´esentation de Weil-Deligne, Frobenius semi-simple de dimension n, vers la repr´esentation lisse irr´eductible de GL_n(K) (c.f. [HT01], [He00] et [Sch13]). On pose

r:=rO_E⊗O_EE, r:=rk_E=rO_E⊗O_EkE, ρ:=r|_Gal(K/K), ρ:=r|_Gal(K/K) et on utilise la notation abr´eg´ee

Π(r)b :=

S(Ub ^v0,OE)[prOE]

⊗OEE Π(r) := S(U^v0, kE)[pr_kE]

Π^sm(r) :=

S(U^v0,OE)[prOE]

⊗OEE .

On omet le niveau U^v0 dans la notation pour simplicit´e. On d´efinit Π^alg(r) comme le sous- espace de Π(r) des vecteurs localement alg´b ebriques. On remarque que Π^alg(r) est naturellement une repr´esentation localement alg´ebrique de GLn(K). On note WD(ρ) (resp. Alg(ρ)) l’application qui associe une repr´esentation de Weil–Deligne (resp. une repr´esentation alg´ebrique de GLn(K) de dimension finie) `a une repr´esentation galoisienne p-adique ρ potentiellement semi-stable (resp.

l’ensemble des poids de Hodge–Tate deρ) via la th´eorie de Fontaine de [Fon94] (resp. via la section 5 de [Bre16]). A ce stade, la compatibilit´e local-global classique en p (qui a ´et´e demontr´ee dans [BLGGT12] et [BLGGT14] sous plus d’hypoth`eses techniques) peut se formuler grossi`erement comme suit :

Th´eor`eme 1.1.1. Supposons que

Π^alg(r)6= 0.

Alorsρest potentiellement semi-stable et il existe un entier d >0 qui ne d´epend que de ret de U^v0 tel que

Π^alg(r)∼= (LL◦WD(ρ)⊗EAlg(ρ))^⊕d. (1.1.2) Il est naturel d’imaginer que la compatibilit´e local-global p-adique conjecturale devrait avoir la forme suivante:

Espoir 1.1.3. Supposons que

Π(r)6= 0.

Alors il existe un entierd >0 qui ne d´epend que deret deU^v0 tel que

Π(r)b ∼=pLL(ρ)^⊕d (1.1.4)

et

Π(r)∼=pLL(ρ)^⊕d. (1.1.5)

En particulier, l’Espoir 1.1.3 implique :

Conjecture 1.1.6. La structure deΠ(r)b (resp. de Π(r)) comme repr´esentation de Banachp-adique unitaire admissible (resp. repr´esentation lisse admissible `a coefficients dansk_E) deGL_n(K)d´etermine la classe d’isomorphisme deρ(resp. de ρ) et ne d´epend que de cette classe.

1.2. COMPATIBILIT ´E LOCAL-GLOBAL MODULOP POURGL_N(Q_P) 3 On insiste sur le fait queρn’est pas n´ecessairement potentiellement semi-stable dans l’Espoir 1.1.3 et dans la Conjecture 1.1.6. En revanche, comme les applicationspLL etpLL sont tr`es myst´erieuses quandK6=Qpou quandn≥3, on ne consid`ere que les cas o`uρest potentiellement semi-stable dans le reste de cette introduction de sorte que le Th´eor`eme 1.1.1 soit disponible. Il est assez difficile d’´etudier directement les repr´esentations de Banachp-adiques unitaires de GLn(K). On a essentiellement deux types d’objets par lesquels il est peut-ˆetre plus facile de commencer. Ma th`ese est donc divis´ee en deux parties et dans chaque partie on ´etudie l’un de ces deux types d’objets. La premi`ere partie de ma th`ese traite les repr´esentations Π(r) lisses et admissibles `a coefficients danskE (travail en commun avec Chol Park) et la seconde partie traite les repr´esentations Π^an(r) localement analytiques d´efinies comme l’ensemble des vecteurs localement analytiques (l’ensemble des vecteurs sur lesquels GLn(K) agit par des fonctions localement analytiques sur le groupe GL_n(K) `a valeurs vectorielles) dansΠ(r).b

1.2 Compatibilit´ e local-global modulo p pour GL

(Q

)

On commence par Π(r). Plusieures questions naturelles se posent sur Π(r):

(i) Est-ce qu’on a Π(r)6= 0?

(ii) Quelle est la structure de Π(r)?

(iii) Quel est le lien explicite entre Π(r) et ρ=r|_Gal(K/K) (on rappelle queK=Fw₀)?

L’assertion Π(r)6= 0 revient essentiellement `a dire, en terminologie plus classique, querest modulaire (ou automorphe). Le cas o`u F =Qet G= GL₂est connu et d´ecoule de la conjecture de modulairit´e de Serre prouv´ee par Khare–Wintenberger dans [KW09]. Malheureusement (i) reste toujours non r´esolu en g´en´eral et dans cette th`ese il sera parfois n´ecessaire de le mettre dans l’hypoth`ese. On suppose que (i) est vraie et on consid`ere la question (ii). La r´eponse compl`ete `a (ii) est connue dans le cas o`u F =Q, G= GL2, elle est dˆu `a Emerton (qui repose sur l’existence depLL pour GL2(Qp)) mais est toujours ouverte quandK 6=Qp ou quand n≥3. Un des obstacles principaux est l’absence d’une classification compl`ete des repr´esentations lisses irr´eductibles de GLn(K) `a coefficients danskE

(sauf le cas GL2(Qp) qui est connu d’apr`es [BL94] et [Bre03a]). Plus pr´ecis´ement, les r´esultats de [BP12], [Hu10] et [Schr15] montrent que la classification des repr´esentations qui n’apparaissent pas comme sous-quotients d’inductions paraboliques (elles sont appel´ees supercuspidales) est tr`es difficile mˆeme pour GL2(Qp²). En revanche, puisque l’on sait comment classifier toutes les repr´esentations paraboliquement induites par les caract`eres d’un sous-groupe de Borel (voir [Her11] pour les cas GL<sub>n</sub>(K)), on peut d´ej`a construire en utilisant [BH15] une repr´esentation lisse Π^ord(ρ) sur k_E d’une longueur finie (qui ne d´epend que deρ) qui se plonge toujours dans Π(r) siK=Q_pet siρestordinaire (i.e. ρ a son image dans un sous-groupe de Borel de GL_n(k_E)). Mais il est clair, compte tenue de la construction dans [BH15], que Π^ord(ρ) n’est pas suffisant pour d´eterminer ρ en g´en´eral. Notons que Hu montre dans [Hu17] qu’une repr´esentations supercuspidale apparaˆıt n´ecessairement dans Π(r) mˆeme siK=Q_p2 et n= 2.

Par cons´equent, on a besoin d’une m´ethode qui nous permet de trouver suffisament d’informations dans Π(r) pour d´eterminer ρ. Une approche naturelle est de restreindre l’action de GL_n(K) `a GL_n(OK). Il y a au moins deux raisons pour faire ceci : les repr´esentations irr´eductibles de GL_n(OK)

`

a coefficients dansk_E (donc de GL_n(k)) sont faciles `a classifier grace `a la section 2 de la partie II de [Jan03]; au moins la classification des repr´esentations irr´eductibles de GL_n(k) `a coefficients dans E est bien connue d’apr`es la th´eorie de Deligne–Lusztig de [DL76]. En plus on a

Th´eor`eme 1.2.1 ( voir [Jan81] et la Proposition 4.1.3 de [LLL16] ). Pour toute repr´esentation de Deligne-Lusztigτ suffisament g´en´erique et pour toute OE-r´eseauτ^◦ (τ, L’ensemble des facteurs de Jordan–H¨older

JH_GLn(k)(τ^◦⊗_OEkE)

est ind´ependant du choix deτ^◦ et admet une description purement combinatoire via le groupe de Weyl affine deGL_n/_k.

Ici par suffisamment g´en´erique on veut dire que, quand on param´etrise une repr´esentation de Deligne–Lusztig par un poids et un ´el´ement du groupe de Weyl comme dans [Jan81] (voir aussi la Section 4 de [Her09]), ce poids doit ˆetre suffisamment ´eloign´e du bord de l’alcˆove qui le contient.

La premi`ere ´etape pour comprendre Π(r)|<sub>GLn(OK)</sub> consiste `a caract´eriser le socle soc_GLn(OK)Π(r)

ce qui est d´ej`a un probl`eme profond et qui est historiquement une reformulation de la partiepoids de la conjecture de Serre lorsqueF =QetG= GL₂. Les conjectures sur la structure de soc_GLn(OK)Π(r) sont formul´ee par Buzzard–Diamond–Jarvis dans [BDJ10] siK=Q_pf etn= 2, par Herzig [Her09] si K=Q_petnarbitraire, et par Gee–Herzig–Savitt [GHS] dans certains cas plus g´en´eraux. On s’attend

`

a ce qu’il y ait une relation profonde entre la structure de soc_GLn(OK)Π(r) et les fibre sp´eciales de diff´erents anneaux de d´eformations potentiellement semi-stables deρ(conjecture de Breuil–M´ezard–

Emerton–Gee, c.f. [BM02], [BM14] et [EG14]).

QuandK=Q_pf la structure de socGL_n(OK)Π(r) a ´et´e d´etermin´ee pourn= 2 dans [GK14] et pour n= 3 dans [EGH13], [HLM17], [MP17], [LMP] et [LLHLMa]. On pose

K(1) := Ker (GLn(OK)GLn(k))

et on remarque qu’il est naturel, du point de vue de la th´eorie des repr´esentations, d’´etudier Π(r)^K(1) qui contient ´evidemment socGL_n(OK)Π(r) comme une sous-repr´esentation. La repr´esentation Π(r)^K(1) est un point de d´epart (d´ej`a non-trivial) pour reconstruire Π(r) comme une repr´esentation de GLn(K).

Mais malheureusement les r´esultats de [HW18], [LMS16] et [Le17] si K = Q_pf et n= 2, ainsi que des travaux en pr´eparation des auteurs de [LLHLMa] siK =Q_pf et n= 3 sugg`erent que Π(r)<sup>K(1)</sup>, comme repr´esentation de GL<sub>n</sub>(k), est toujours insuffisant pour d´eterminerρ, surtout dans le cas o`uρ est ordinaire et ind´ecomposable. On a l’exemple suivant

Exemple 1.2.2. On prend K = Q_pf, n = 2, et ρ une repr´esentation galoisienne ordinaire de la forme suivante

χ₂ ∗ 0 χ₁

.

Supposons en plus que χ₁χ⁻¹₂ satisfait une hypoth`ese g´en´erique. Il s’ensuit d’un calcul standard de caract´eristique d’Euler–Poincar´e en cohomologie galoisienne que

dim_kEExt¹_Gal(Q

pf/Q_pf)(χ₂, χ₁) =f

et par cons´equentρest d´etermin´e parρ^ssetf−1 invariants `a valeurs danskE∪ {∞}`a isomorphisme pr`es. On sait queρest Fontaine–Laffaille dans ce cas, alors on peut utiliser les modules de Fontaine–

Laffaille (voir [FL82]) pour d´efinir un ensemble d’invariants dans kE∪ {∞} (voir Lemme 2.1.1 de [BD14]) qui d´etermine la classe d’isomorphisme deρ. Il se trouve que la structure desoc_GLn(OK)Π(r) ne peut pas d´eterminer ces invariants (s’ils ne sont ni 0 ni ∞). Plus g´en´eralement, supposon- s que toutes les representations `a coefficients dans kE de Gal(K/K) de dimension n peuvent ˆetre param´etris´ees par un certain espace de module et qu’un tel espace admet une stratification par des sous-sch´emas localement ferm´es donn´es par certaines conditions explicites, alors on s’attend `a ce que socGL_n(OK)Π(r) nous permette seulement de dire dans quelle strate ρ se trouve, au lieu de dire quel point de la strateρcorrespond pr´ecisement.

On d´efinit le sous-groupe d’IwahoriI, resp. le pro-psous-groupe d’IwahoriI(1), de GL_n(K) comme la pr´eimage de l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures (resp. unipotentes) de GLn(k) via

1.2. COMPATIBILIT ´E LOCAL-GLOBAL MODULOP POURGL_N(Q_P) 5 la surjection GL_n(O_K) GL_n(k). Il est bien connu que le normalisateur de I dans GL_n(K) est engendr´e parI et l’´el´ement suivant:

Ξn:=















0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... . .. ... 0 0 0 · · · 1

$K 0 0 · · · 0















∈GLn(K).

Puisque Ξn et GLn(OK) engendrent GLn(K), on s’attend naturellement `a ce que Ξn joue un rˆole crucial, quelle que soit la m´ethode utilis´ee, dans la reconstruction d’une repr´esentation lisse irr´eductible de GLn(K) `a partir da sa restriction `a GLn(OK).

Dans [BD14], les auteurs ont montr´e que (si K = Q_pf et n = 2) soc_GLn(OK)Π(r) et l’action de Ξ₂ sur Π(r)^I(1) d´etermine ρ `a isomorphisme pr`es; c’est le premier r´esultat sur la d´etermination des valeurs des invariants de Fontaine–Laffaille (ceci est r´esum´e dans l’Exemple 1.2.2). Le r´esultat de [BD14] a ´et´e r´ecemment g´en´eralis´e au cas o`u K=Qp et n= 3 dans [HLM17] quand ρest ordinaire et Fontaine–Laffaille, et dans [LMP] quandρa une sous repr´esentation ou un quotient irr´eductible de dimension deux. Ces deux approches pourn= 3 consid`erent l’action de Ξ3 sur Π(r)^I(1) et requi`erent des hypoth`eses g´en´eriques techniques suppl´ementaires surρqui consistent essentiellement `a garantir que

soc_GLn(OK)Π(r) a une longueur minimale

si on fixe ρ^ss et si on fait varier les param`etres d’extension de ρ. La premi`ere partie de ma th`ese consiste `a g´en´eraliser les r´esultats de [HLM17] au cas o`u K = Qp et n est arbitraire. Ceci est fait dans le Chapitre 3; il s’agit d’un travail en commun avec Chol Park.

Th´eor`eme 1.2.3. Supposons que Π(r)6= 0. Alors la structure de r´epresentation lisse admissible de GLn(Qp)`a coefficients danskE deΠ(r)d´etermineρ`a isomorphisme pr`es siρest Fontaine-Laffaille, ordinaire et suffisamment g´en´erique.

Remarquons que le cas o`uK=Q<sub>p</sub>f etn= 3 a r´ecemment aussi ´et´e obtenu par Enns dans [En]. Un autre r´esultat important dans cette direction est le Th´eor`eme 7.8 de [Sch15] o`u Scholze a utilis´e une m´ethode g´eom´etrique compl`etement diff´erente de la nˆotre pour montrer que Π(r) d´etermine toujours ρpour n= 2 etK arbitraire.

Maintenant on donne un ´enonc´e plus pr´ecis du Th´eor`eme 1.2.3 et on renvoie les lecteurs au Chapitre 3 pour plus de d´etails. On poseK=Qp `a partir de maintenant. On fixertel que

Π(r)6= 0

et suppose queρest ordinaire. Alors il existe une suite de sous-repr´esentations 0(ρ_1,1(ρ_1,2(· · ·(ρ_1,n−1(ρ_1,n=ρ

telle que

χ₁:=ρ_1,1andχ_i:=ρ_1,i/ρ_1,i−1

sont de dimension 1 pour tout 2≤i≤n. Si on suppose que χ_i−1χ⁻¹_i satisfait certaines hypoth`eses (pas tr`es fortes) qui ressemblent `a celle qui a ´et´e mentionn´ee dans l’Exemple 1.2.2, alors on a

Hom_Gal(Q

p/Q_p)(χ_i, χ_i−1) = Ext²_Gal(Q

p/Q_p)(χ_i, χ_i−1) = 0 et

dimk_EExt¹_Gal(Q

p/Qp)(χ_i, χ_i−1) = 1

pour tout 2≤i≤n. Par un d´evissage on en d´eduit que dim_kEExt¹_Gal(Q

p/Q_p)(χ_i, ρ_1,i−1) =i−1

qui dit grosso modo queρ_iest d´etermin´e parχ_i,ρ_1,i−1 eti−2 invariants suppl´ementaires pour tout 2≤i≤n. Par une r´ecurrence rapide on sait queρest d´etermin´e par

ρ^ss=⊕ⁿ_i=1χ_i

et ^{(n−1)(n−2)}₂ invariants. Selon une classification compl`ete des caract`eres de Gal(Qp/Qp) `a valeurs danskE via la th´eorie de corps de classes, on sait qu’il existeai∈Z/(p−1)Ztel que

χ_iω^−ai−i+1

est non ramifi´e pour tout 1≤i≤no`u ω est la r´eduction modulopdu caract`ere cyclotomique ε: Gal(Qp/Qp)Z^×_p.

Il se trouve que la condition que

ρest Fontaine–Laffaille

est essentiellement ´equivalente `a l’existence d’entiersa_i∈Zdont les images dansZ/(p−1)Zsont les a_i et v´erifiant

a1+p−1> an > a_n−1>· · ·> a1.

La th´eorie de [FL82] associe `a ρunmodule de Fontaine–Laffaille FL(ρ). On peut d´efinir un certain ensemble d’invariants FLi,j(ρ), pour toute paire d’entiers (i, j) tels que 1≤i < i+ 1< j≤n, comme certaines fonctions rationnelles explicites en entr´ees de la matrice de Frobenius du module FL(ρ) et prouver que les FL<sub>i,j</sub>(ρ) ne d´ependent que de la classe d’isomorphisme de FL(ρ). On observe que ρ est d´etermin´e parρ<sup>ss</sup> et ces invariants FL<sub>i,j</sub>(ρ), et que la d´emonstration du Th´eor`eme 1.2.3 se r´eduit au probl`eme de d´etecter tous les invariants FL_i,j(ρ) dans Π(r).

Une id´ee g´en´erale consiste `a ´etudier Π(r) via Π<sup>sm</sup>(r) pour de diff´erents rel`evements r d’un r fix´e tels que les repr´esentations galoisiennes locales ρ = r|_Gal(F

w0/Fw0) satisfassent des conditions suppl´ementaires. Plus pr´ecis´ement, pour une repr´esentation de Deligne-Lusztigτde GLn(Fp) donn´ee, il existe un type inertiel mod´er´ement ramifi´e LL⁻¹(τ) (qui est une repr´esentation du sous-groupe d’inertieIQ_p (Gal(Qp/Qp) qui se factorise par le quotient mod´er´ement ramifi´e) qui lui correspond via la correspondance de Langlands locale inertielle (voir Section 3 de [CEGGPS]). La notation LL⁻¹(τ) provient de la compatibilit´e entre la correspondance de Langlands locale classique et la correspondance de Langlands locale inertielle. Alors on consid`ere tous les rel`evementsρdeρavec les poids de Hodge-Tate{0,1,· · ·, n−1} tels que

WD(ρ)|I_Qp ∼= LL⁻¹(τ). (1.2.4)

On remarque que tout ρ correspond `a un E-point du sch´ema formel donn´e par un anneau local noeth´erien complet R^LL_ρ ^{−1(τ),{0,···,n−1}}. C’est un cas sp´ecial de la construction des anneaux de d´eformation potentiellement semi-stables de [Kis08] pour les types inertiels et les poids de Hodge–Tate plus g´en´eraux.

Pour toute paire d’entiers (i, j) tels que 1≤i < i+ 1< j ≤n, on choisit une repr´esentation de Deligne–Lusztigτi,j puis on prend une repr´esentation galoisienneri,j : Gal(F /F)→GLn(E) telle que

(i) ri,j est automorphe et non-ramifi´e en toute place finie deF au-dessus dev∈D(U^v0);

(ii) ri,j contient unOE-r´eseaur_i,j^◦ invariant dont la r´eduction modulo$E est r;

(iii) ρ_i,j:=r_i,j|_Gal(F

w0/F_w0)correspond `a un morphismeR^LL_ρ ^{−1(τi,j),{0,···,n−1}}→E.

1.2. COMPATIBILIT ´E LOCAL-GLOBAL MODULOP POURGL_N(Q_P) 7 En particulier on a le diagramme commutatif suivant:

Π^sm(r_i,j)

Π(rb i,j) S(Ub ^v0,OE)[pr^◦_i,j]

S(U^v0,OE)[pr^◦_i,j]

Π(r_i,j)

τi,j τ_i,j^◦ τi,j

?OO _?oo ?OO

_?oo //

?OO ?OO_?oo ?OO////

(1.2.5)

o`u

τ_i,j^◦ :=τi,j∩S(U^v0,OE)[pr_i,j^◦ ](Π^sm(ri,j) et

τi,j :=τ_i,j^◦ ⊗O_EkE.

En prenant les sous-espaces invariants parI(1), le diagramme (1.2.5) induit un autre diagramme:

Π^sm(ri,j)^I(1) S(U^v0,OE)[pr^◦_i,j]^I(1) Π(ri,j)^I(1)

τ_i,j^I(1) (τ_i,j^◦ )^I(1) τ_i,j^I(1) .

_?oo

?OO ?OO_?oo ?OO

////// (1.2.6)

Le fait que

τ_i,j^I(1) 6= 0

implique queτ_i,jest une repr´esentation de la s´erie principale de GL_n(F_p). Cela revient `a dire queτ<sub>i,j</sub> provient d’une induction parabolique d’un caract`ere deT(Fp). Chaque terme de (1.2.6) admet une action de l’alg`ebre de Hecke–Iwahori qui contient Ξn et n−1 op´erateurs U_n^m ∈ Zp[GLn(Qp)] pour 1 ≤m≤ n−1. On note Pm le parabolique standard de GLn qui contient le sous-groupe de Borel triangulaire sup´erieur et qui a des blocs de Levi de la forme GLm×GL_n−m. On note Nmle radical unipotent dePm. Le lemme suivant r´esume les deux propri´et´es principales deU_n^m.

Lemme 1.2.7. On a

(Ξn)^m◦U_n^m∈Zp[GLn(Zp)].

Etant donn´ee une repr´esentation irr´eductible lisseΠ_m(resp. Π_n−m) deGL_m(Q_p)(resp. deGL_n−m(Q_p)) dont le caract`ere central est ω_Πm (resp. ω_Πn−m), on a

U_n^m=ω_Πm(p)⁻¹ restreint `a l’image de

Πm⊗EΠ_n−m,→

Ind^GL_P ^n(Qp)

m(Q_p) (Πm⊗EΠ_n−m)Nm(Zp)

.

On noteµi,jun caract`ereT(Fp)→Z<sup>×</sup><sub>p</sub> (`a d´eterminer plus tard) etµi,j :T(Fp)→F^×_p sa r´eduction modulop. Le groupe T(F_p) agit naturellement sur l’espace Π^sm(r_i,j)^I(1). On note Π^sm(r_i,j)^I(1),µi,j le sous espace propre associ´e au caract`ereµi,j. ´Etant donn´ee une valeur propre α∈ E^× de U_n^m sur

Π^sm(r_i,j)^I(1),µi,j, on cherche un diagramme:

interpr´eterα

via une identit´e dansZp[GLn(Qp)] sur (τ_i,j^◦ )^I(1),µi,j(τ_i,j^I(1),µi,j(Π^sm(r_i,j)^I(1),µi,j

interpr´eter FL_i,j(ρ) via une identit´e dansFp[GLn(Qp)] sur

τi,jI(1),µi,j(Π(ri,j)^I(1),µi,j

α

montrer queαest un produit de valeurs propres

du Frobenius de WD(ρi,j)

FLi,j(ρ)

´etape 1

´

etape 2 ´etape 3

´ etape 4

ks ks +3

(1.2.8) qui a d´ej`a apparu dans [BD14]. On insiste sur le fait quekest un entier qui v´erifie 1≤k≤n−1 et qu’il est d´etermin´e par la paire (i, j). La partie la plus standard du diagramme 1.2.8 est l’´etape 3 qui est essentiellement une ´egalit´e entre valeurs propres deU<sub>n</sub><sup>m</sup>et produits de certaines valeurs propres du Frobenius de WD(ρi,j) et qui d´ecoule directement de la correspondance de Langlands locale classique et de la compatibilit´e local-global classique (voir Th´eor`eme 1.1.1). L’´etape 4 qui r´ealise l’invariant FL_i,j(ρ) comme la reduction modulo $_E d’un produit de valeurs propres du Frobenius (multipli´e par une puissance convenable dep), est prouv´ee par des calculs techniques de la th´eorie de Hodge p-adique enti`ere, notamment via des modules de Breuil et de Kisin. La plupart de l’´etape 4 est faite dans Section 3.3. Il est n´ecessaire d’insister sur une diff´erence importante entre l’´etape 3 et l’´etape 4.

L’´etape 3 situe compl`etement en caract´eristique 0 `a coefficients dansE, ne d´epend que de WD(ρ) et n’exige pas de conditions suppl´ementaires surρ. En revanche l’´etape step 4 repose sur une condition technique suppl´ementaire surρqui sera rappel´ee dans la D´efinition 1.2.9.

On peut associer `a une paire (ρ, τi,j) un ´el´ement w(ρ, τe i,j) du groupe de Weyl affine fW de GLn

en utilisant la th´eorie desshapesqui est essentiellement d´evelopp´ee dans [LLHLMa]. Pour toute repr´esentation galoisienne semi-simple

ρ₀: Gal(Q_p/Q_p)→GL_n(k_E) on d´efinit l’ensemble suivant

Ω(ρ₀, τ_i,j) :={w(ρ, τe _i,j)|ρ^ss∼=ρ₀}.

On consid`ere la longueur

`(w(ρ, τe i,j)) par rapport au syst`eme de Coxeter standard defW.

D´efinition 1.2.9. On dit que ρ est τi,j-g´en´erique si la longueur de w(ρ, τe i,j) est maximale parmi celles des ´el´ements de Ω(ρ^ss, τi,j).

On peut construire (via les modules de Fontaine–Laffaille) un kE-sch´emaMρ₀ dont les kE-points param´etrisent toute la repr´esentation de Fontaine–Laffailleρavec une semi-simplification fix´ee ρ^ss ∼= ρ₀. On a alors une stratification naturelleS deMρ₀ index´ee par l’ensemble Ω(ρ₀, τi,j) (ceci d´ecoule des travaux en cours des auteurs de [LLHLMa] sur l’espace de module des modules de Kisin avec donn´ees de descente mod´er´ement ramifi´ees). Il s’av`ere queMρ₀ est irr´eductible et il existe un unique

´el´ement de longueur maximale dans Ω(ρ₀, τ_i,j) qui correspond `a l’unique strate ouverte (non vide) dansS, ce qui implique queτ<sub>i,j</sub>-g´en´erique est en effet une hypoth`ese g´en´erique.

Il d´ecoule du Lemme 1.2.7 que

U_n^m=α_i,j (1.2.10)

sur Π^sm(r)^I(1),µi,j pour une certaine constanteα_i,j ∈E^×. On pose hi,j:= valp(αi,j), αgi,j :=p^−hi,jαi,j∈ O^×_E

et on noteα_i,j la r´eduction modulo$_E deαg_i,j. Le r´esultat principal issu des ´etapes 3 et 4 en (1.2.8) est:

1.2. COMPATIBILIT ´E LOCAL-GLOBAL MODULOP POURGL_N(Q_P) 9 Proposition 1.2.11. On a l’´egalit´e

α_i,j= FL_i,j(ρ)⁻¹∈k^×_E (1.2.12)

siρestτi,j-g´en´erique.

Il reste `a clarifier les ´etapes 1 et 2 en (1.2.8). Il nous faut deux op´erateurs Sb^i,j, Sb^i,j,0∈Zp[GLn(Fp)]

et leurs r´eductions modulop

S^i,j, S^i,j,0 ∈F_p[GL_n(F_p)]

qui ne d´ependent que du choix deτi,j et deµi,j. Alors l’´egalit´e dansZp[GLn(Qp)] dont on a besoin est de la forme

Sb^i,j,0◦(Ξn)^m◦U_n^m=bci,jSb^i,j (1.2.13) (sur Π^sm(r)^I(1),µi,j) o`ubc_i,j∈E^× est une constante qui ne d´epend que du choix deτ_i,j, µ_i,j etk. On insiste que l’´egalit´e (1.2.13) peut ˆetre calcul´e dansZ_p[GL_n(Z_p)] parce que

(Ξ_n)^m◦U_n^m∈Z_p[GL_n(Z_p)]

d’apr`es le Lemme 1.2.7. On suppose que

p^−hi,jbci,j∈ O^×_E

et on note ci,j les r´eductions modulo $E de p^−hi,jbci,j. Alors en combinant (1.2.13) et (1.2.10), on obtient:

Sb^i,j,0◦(Ξ_n)^m=α⁻¹_i,jbc_i,jSb^i,j (1.2.14) sur Π^sm(r)^I(1),µi,j dont les r´eductions modulo$E sont

S^i,j,0◦(Ξn)^m=ci,jFLi,j(ρ)S^i,j (1.2.15) sur Π(r)^I(1),µi,j par la Proposition 1.2.11, quitte `a faire l’hypoth`ese suppl´ementaire suivante:

Hypoth`ese 1.2.16. On a

dimkEΠ(r)^I(1),µi,j = 1 et

τ_i,j^I(1),µi,j −^∼→Π(r)^I(1),µi,j.

On observe que l’Hypoth`ese 1.2.16 exige un choix optimal du niveauU<sup>v0</sup>. Sinon on aurait besoin de la remplacer par une autre hypoth`ese qui assure qu’un certain module sur l’alg`ebre de HeckeT est libre sur son support. Pour supprimer l’Hypoth`ese 1.2.16, on a besoin d’une version forte de la conditionτ_i,j-g´en´erique. En fait, il d´ecoule d’un calcul des modules de Kisin avec donn´ees de descente mod´er´ement ramifi´ees (qui g´en´eralise les calculs de [LLHLMa] et sera fait dans [LLMPQ]) qu’il existe un sous-sch´ema ouvert non videM_ρ^sm

0 deM_ρ0 contenu dans une strate ouverteτ_i,j-g´en´erique tel que ρest unkE-point deM_ρ^sm

0 si et seulement siR^LL_ρ ^{−1(τi,j),{0,···,n−1}} est formellement lisse. L’existence mˆeme deM_ρ^sm

0 donne une restriction tr`es forte sur le choix desτi,j.

D´efinition 1.2.17. On dit queρest fortementτ_i,j-g´en´erique s’il est donn´e par unk_E-point deM_ρ^sm

0 . La proposition suivante (qui est tr`es li´ee `a la conjecture de Breuil–M´ezard–Emerton–Gee) sera prouv´ee dans [LLMPQ] et d´ecoule essentiellement d’un foncteur construit par la m´ethode dupatching de Taylor–Wilies–Kisin (voir la Section 7.3 de [LLHLMa] pour le cas de GL3(Q_pf)).