4. Source de tension, source de courant Sommaire

Théorèmes généraux

1. Définitions 1. Dipôle

2. Dipôle linéaire

3. Dipôle passif, dipôle actif

4. Source de tension, source de courant Sommaire

1

4. Source de tension, source de courant 5. Réseau linéaire

6. Source dépendante

2. Techniques d’analyse des circuits 1. Lois de Kirchhoff

2. Diviseur de Tension 3. Diviseur de courant

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2. Techniques d’analyse des circuits (suite) 4. Transformation Triangle – Etoile ( ∆− Y) 5. Les courants fictifs (courants de mailles) 6. Théorème de Millman

Sommaire (suite)

Théorèmes généraux

2

6. Théorème de Millman

7. Transformation de sources 8. Théorème de Thévenin

9. Théorème de Superposition

10. Transfert maximal de puissance

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1. Définitions

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Composants linéaires

La tension aux bornes d’un composant LINEAIRE est par définition proportionnelle au courant qui le traverse

La caractéristique I = f(U) d’un dipôle

4

La caractéristique I = f(U) d’un dipôle linéaire est de la forme: I = aU + b

Exemple

Resistance: I = GU où G est la conductance

Source de tension réelle: où r est sa résistance interne

1 U

I U

r r

= − +

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Composants linéaires en domaine harmonique

( ) ( ) ( ) ^.

U ω = Z ω I ω Les composant linéaires:

5

Dans ce cas le facteur de proportionnalité est nommé impédance qui est en fonction de la fréquence.

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Dipôle Passif, Actif

Pour un dipôle passif, on a I=0 si U=0. Les trois circuits passifs principaux sont la résistance, la bobine d’induction et la capacité.

Pour un dipôle actif la tension à vide n’est pas nulle.

Exemple

Le dipôle 1 est linéaire et passif (il s’agit d’une résistance)

6

d’une résistance)

Le dipôle 2 est non linéaire et passif (diode)

Le dipôle 3 est linéaire et actif (générateur de tension non idéal)

Le dipôle 4 est linéaire et actif (générateur de tension idéal)

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Générateur de Tension

Générateur de tension idéal

Il délivre une tension U indépendante du courant I délivré au circuit externe.

7

→ la tension aux bornes de la source est indépendante de la charge

Générateur de tension réel

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Générateur de Courant

Générateur de courant idéal

→ le courant fourni par la source est indépendant de la charge

8

Générateur de courant réel

→ le courant fourni par la source est indépendant de la charge

domaine de fonctionnement linéaire ou “domaine de linéarité”

0

i

I I U

= − R

i

si I U I C I

R ⇒ ≅ =

≫

Ri : résistance interne de la source V ∈ domaine de linéarité

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Sources et domaine de linéarité

domaine de fonctionnement linéaire ou “domaine de linéarité”

9

Le domaine de linéarité défini la “plage de fonctionnement”

du composant en tant que source de courant ou de tension

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Réseau Linéaire

Un circuit est dit linéaire lorsque la réponse (tension ou intensité du courant) à une de ses branches est une fonction linéaire de ses sources (de tension et de courant)

10

Réseau linéaire N’est pas un Réseau linéaire

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Les sources liées (dépendantes ou contrôlées)

Les source dépendantes sont des sources de tension ou de courant contrôlées par une autre grandeur physique soit un courant

passant dans une autre branche du réseau ou la tension aux bornes d’un autre dipôle du réseau.

11

Les sources dépendantes suivent les mêmes règles que les sources de tension et de courant ordinaires.

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Remarque: Les sources liées (dépendantes) sont souvent schématisées comme suit,

12

Exemple de circuits comportant des sources dépendantes: (a) de courant i

,

(b) de tension v www.al3abkari-pro.com

Techniques d’Analyse des Circuits

13

Le physicien allemand Gustav Kirchhoff a établi en 1845 deux lois qui fondent tous les

calculs sur les circuits électriques.

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Les lois de Kirchhoff sont les deux lois de base de l’analyse de circuits électriques. Une des lois s’applique aux nœuds, et l’autre s’applique aux mailles (boucles).

La somme des différences de potentiel le long d’une maille est nulle.

Cette loi est baptisée loi des mailles ou première loi de Kirchhoff

Loi de Kirchhoff des tensions

Lois de Kirchhoff

14

( ) ^{( )}

( ) ^{( ) ( )}

( ) ( )

0

e B A

A B

i e B A C B

D C A D

W F e v v

W F e v v v v

v v v v

→

= −

⇒ =  − + −

+ − + −  =

∑

1 2 3 4

0 ou

0

i

v v v v v

⇒ + + + = ∑ =

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Le mouvement des charges créant le courant électrique est soumis aux lois fondamentales de la physique: Conservation de la quantité du mouvement, conservation de l’énergie et conservation de la matière (ici c’est la charge) Par conséquence, en un nœud il ne peut y avoir accumulation des

charges

Et donc on a pour l’exemple ci-contre:

Loi de Kirchhoff des courants

1 4 5 2 3

i + + = + i i i i

15

Et donc on a pour l’exemple ci-contre:

Autrement dit: La somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortant. Cette loi est baptisée loi des nœuds ou seconde loi de Kirchhoff

i

0

i

i =

∑

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Diviseur de tension

Le diviseur de tension est une méthode basée sur KLV pour accélérer le calcul de tensions dans un circuit où circule le

même courant i

i

R s

i

u R v

= R

∑

16

Diviseur de courant

i i

∑ R

j

j s

j j

i Y i

= Y

∑

Cette technique est basée sur KLC pour accélérer le calcul des courants dans des branches en parallèle

contenant des résistances

(impédances) alimentées par une

source de courant principal i

(ou ) I

KLC/V: Kirchhoff Law Current/Voltage

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Transformation Triangle – Étoile (ou ∆∆∆∆−−−− Y)

1

2

3

b c

a b c

a c

a b c

a b

É

R R R

R R R

toile R R R

R R R

R R R

R R R

 =

 + +

 

=

 + +

 

=

 + +



17 3

a b c

R = R R R

 + +



1 2 1 3 2 3

1

1 2 1 3 2 3

2

1 2 1 3 2 3

3 a

b

c

R R R R R R

R R

R R R R R R Triangle R

R

R R R R R R

R R

 = + +

 

 = + +

 

 = + +

 

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Transformation Triangle – Étoile (ou ∆∆∆∆−−−− Y) - Exemple Calculer la puissance dissipée

dans la résistance de 18 Ω

18

1

2

3

30 10 10

10 30 50 3

30 50 50

10 30 50 3

50 10 50

10 30 50 9

R R R

= × = Ω

+ +

= × = Ω

+ +

= × = Ω

+ +

Chercher V puis 18i par la technique de diviseur de tension

p = 18i

(W)

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Transformation Triangle – Étoile (ou ∆∆∆∆−−−− Y)

Exemple d’application (Exercice): Filtres en T ou ππππ

a. Utiliser la transformation Y- ∆ pour montrer que si R = R

donc R

= R

b. Si la condition de la question (a) est maintenue montrer que v

19

que

0, 5

i

v v =

Atténuateur

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Méthode des courants fictifs (courants des mailles)

Procédure:

On cherche le nombre de mailles indépendantes: M M = B – (N-1)

M: nombre de mailles indépendantes

B: Nombre de branches; N: nombre de nœuds

1. on définit pour chaque un courants et sens de parcours (souvent les sens sont les mêmes)

20

sens sont les mêmes)

2. On écrit pour chaque maille l’équation de maille dont les inconnus sont les courants de maille (Loi des mailles)

3. On résout le système d’équations

4. On calcule les courants qui circulent dans chaque branche à partir des courants de mailles

5. On en déduit la différence de potentiel entre deux nœuds en utilisant les lois des dipôles (loi d’Ohm)

Avantage: Déterminer tous les courants dans l’ensemble des branches

Désavantage: Les calculs sont lourds pour un réseau compliqué www.al3abkari-pro.com

Méthode des courants de mailles- Exemple

Nombre de nœuds N = 3 Nombre de branches

B = 5 Nombre de mailles indépendantes:

M = B – (N-1)

= 5 – (3-1) = 3

21

2 Nœuds (N=2) 3 Branches (B = 3) 2 Mailles independ.

2 courants de mailles:

i

= i

; i

= i

; i

= i

– i

1 1 3

2 3

( ) 0

2 ( ) 0

a a b

b a b

v R i R i i

v R i R i i

− + + − =

+ − − =

( )

( )

1 3 3 1

3 2 3 2

a b

a b

R R i R i v

R i R R i v

+ − =

− + + = −

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Méthode des courants fictifs (courants des mailles) – cas particulier: Source de courant seule dans une branche

Remarque: Lorsqu’une branche contient une source de courant indépendante, le nombre des équation à résoudre se réduit.

Exemple

5 branches où les courants

22

5 branches où les courants sont inconnus; 4 Nœuds essentiels, donc le nombre d’équations à résoudre est:

5 – (4 – 1) = 2

( )

( )

3 6 100 (1)

4 2 50 (2)

(1) (2) : 9 5 6 50 (3)

a b a

c c b

a b c

i i v i

i v i i

i i i

− + + =

− + − = −

+ − + =

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Maille b ³ ( ⁱ

^{− i}

) ^{+ 10 i}

^{+ 2} ( ⁱ

^{− i}

) ^{= 0 (4)}

5 (5)

c a

i − =i

Source du courant:

On réduit les équations (3) et (4) à deux équations avec deux

inconnus grâce à la condition assurée par la source du courant 5A.

D’où i

= 1.75A i

= 1.25A i

= 6.75A Concept de la maille suprême

(Supermesh en anglais)

23

(Supermesh en anglais)

( ) ( )

-100+3 2

50 4 6 0

a b c b

c a

i i i i

i i

− + −

+ + + =

9 i

− 5 i

+ 6 i

= 50 (3)

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Méthode des courants fictifs (courants des mailles) – Notion de la « maille suprême » (SuperMesh) -comparaison

24

( )

( )

( ) ( )

3 6 100 (1)

4 2 50 (2)

(1) (2) : 9 5 6 50 (3)

3 10 2 0 (4)

5 (5)

a b a

c c b

a b c

b a b b c

c a

i i v i

i v i i

i i i

i i i i i

i i

− + + =

− + − = −

+ − + =

− + + − =

− =

( ) ( )

( ) ( )

-100+3 2

50 4 4 0 (3) 9 5 6 50 (3)

3 10 2 0 (4)

5 (5)

a b c b

c a

a b c

b a b b c

c a

i i i i

i i

i i i

i i i i i

i i

− + −

+ + + =

⇒ − + =

− + + − =

www.al3abkari-pro.com − =

Méthode des courants fictifs (courants de mailles) Notion de Maille « suprême » - Exercice

( )

( )

1 0

2 0

(1) (2)

0 0

a cc E c b

b E b c

R i V R i i V R i V R i i

+ + − − =

+ + − =

β ^{= −}

Les contraints:

Loi des mailles:

Calculer i

Maille 1

25

On remplace l’expression de i

en (1) et (2) pour avoir un système à deux

équations avec deux inconnus: i

et i

( )

(3) (4) (3)

: 1

(4) (5)

B a c

B b a

c a b

i i i i i i

i i i

β

β β

+

= −

= −

= + −

Maille 2

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( ) ( )

( ) ( )

1 0

2 0

1 1 (6)

1 1 ( 7)

E a E b cc

E a E b

R R i R i V V

R i R R i V

β β

β β

+ + − + = −

 

 

− + +   + +   = −

Méthode des courants fictifs (courants de mailles) Notion de Maille « suprême » – Exemple (suite)

0 =

Maille 1

Remplaçons i

qui est donnée par (5) dans (1) et (2):

Solutionnons le système

26

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

0 2 2

1 2 1 2

0 1

1 2 1 2

1 1

1 1

cc cc E

a

E

cc E

b

E

V R V R V R

i R R R R R

V R V R

i R R R R R

β β

β β

− − +

= + + +

+ +

= + + +

( ) ( )

( ) ( )

2 0 1 2

1 2 1 2

2 1

1

cc cc E

B b a

E

V R V R R V R

i i i

R R R R R

β β

+ − + +

= − =

+ + +

Maille 2

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Théorème de Millman (Tensions des nœuds)

Ce théorème est une conséquence directe de la loi des nœuds de Kirchhoff

i

0

i

I =

∑

noeud i

i i

v Y Y e

v Y

ε ε η

+ +

ε

=

∑ ∑ ∑

∑

27

Exemple

2 2 2 1

1

1 2

v Y v Y i

v Y Y

+ +

= +

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Théorème de Millman - Procédure

n

= 4 : nœuds

n

– 1 = 3 Equations Nœud de référence

3 équations et 3 nœuds

1 2 3

4

28

1. Identifier les nœuds essentiels et leur nombre n

2. Le nombre des équations des nœuds à résoudre est: n

– 1

3. Marquer un des nœuds comme nœud de référence (le choix est arbitraire mais souvent c’est celui où se rencontre le plus

nombre de branches, ou le pôle (-) de la source de tension

ayant la plus grande valeur f.e.m ). Ce nœud sera lié à la masse pour pouvoir résoudre le système.

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la seule qui existe entre deux nœuds, donc la ddp entre ces deux nœud devient connu ce qui réduit le nombre de

potentiels (variables) inconnus.

Exemple

NB: Dans ce cas il faut commencer par écrire la loi des nœuds en fonction de leurs potentiels

1 2

29

Il existe 3 nœuds essentiels dans ce montage, donc on a besoin d’un système de deux équations à résoudre. Un des 3 nœud est lié à la masse (référence de potentiels); La ddp entre le nœud 1 et le nœud de référence est établie à 100V à cause de la source de tension, ce qui veut dire qu’il y aura un nœud dont le potentiel reste inconnu: nœud 2 (v

= ?)

La solution donc engendre une seule équation:

2 1 2 1

2

2 : 5 0 v 6 5

10 50 50 10

v v v v

Noeud − + − = ⇒ = +

Or v

= 100, donc v

= 125V

Exemple

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(Supernode) - Exemple

On 4 nœuds essentiels, donc 3 équations à résoudre. Il faut choisir un nœud de référence

2 1 2

2 : 0

5 50 (1)

v v v

Noeud − + + = i

3

(2

3 : 4 0

100 v )

Noeud − − = i

30 Nœud suprême

100

3

2 1 2

(1) + (2) : 4 0 (3

5 50 )

100 v

v − + + − = v v

Maintenant si on évite la source de tension 10i

et si on considère que les nœuds 2 et 3 forment un seul nœud on aura (Loi des nœuds)

3

2 1 2

4 0

5 50 1 (3

00 )

v

v − + + − = v v

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Nœud suprême

(Supernode) – Exemple (suite)

Les contraints (les conditions):

3 2

2 1

10 (4) (5 5 )

v v i

v v i

φ φ

− =

− =

31

2 3 1

(4)+(5): - 3 v + + v 2 v = 0 ( 6 )

2 1 2 3

2 3 1

1

4 0

5 50 100

-3 2 0 (3

50V

) (6) v v v v

v v v

v

−

 + + − =

 

+ + =

  =

 

2 3

60V 80V v

v

=

=

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Remarque: Pour certains circuits la méthode de Millman reste plus efficace comparer aux autres méthodes (Thévenin,

superposition…) comme dans l’exemple suivant:

1. Trouver la puissance

dissipée dans la résistance 5 Ω

Théorème de Millman – Exercice

32

5 Ω

2. Quelle est la puissance fournie par la source de tension 500V

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Transformation de sources

La transformation de sources est une méthode qui permet de

transformer une source de tension ayant une résistance en série à une source de courant ayant une résistance en parallèle

v

33

La transformation de sources est valable si on mesure entre les bornes a et b la même tension et la même intensité du courant

s s

i v

= R

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Transformation de sources - Exemple

Calculer la puissance à la source de 6V du circuit ci-dessous:

34

Etape 1

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Re 20 5 4 q = 20 5× = Ω

+

Etape 2

35

Etape 3

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20 30

Re 12

20 30

q = × = Ω

+

Etape 4

Etape 5

36

6 (4 12) i 19, 2 0 i 0,825 A

− + + + = ⇒ = −

( )

p vi 6 0,825 4.95W > 0

⇒ = − = − × − =

Remarque: La source de 6V consomme 4,95W

1,6x12=19,2

Loi de mailles:

Etape 5

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Transformation de sources – cas particuliers

Cas 1: Source de tension en parallèle avec une résistance

On peut

ignorer cette résistance parallèle

37

Cas 2: Source de courant en série avec une résistance

On peut

ignorer cette résistance en série

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Théorème de Thévenin

Un dipôle est caractérisé par trois grandeurs:

- différence de potentiel à vide : e

lorsque i = 0 - courant de court circuit : i

lorsque v = 0

- impédance Z

ou admittance Y

Publié en 1883 par l'ingénieur français Léon Charles Thévenin

38

L’ensemble du circuit linéaire dont les bornes sont a et b peut être remplacé (modélisé) par un générateur de tension idéal de force électromotrice v

en série avec une impédance interne Z

.

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Théorème de Thévenin et source liée - Exemple

Sachant que k est une constante réelle différente de -1, déterminer le schéma équivalent de Thévenin de ce dipôle.

Solution

Remarque : Le montage comporte une source de courant linéairement

dépendante. Il n’est pas donc possible de

39

dépendante. Il n’est pas donc possible de décomposer les deux sources pour

appliquer le théorème de superposition (une seule source indépendante).

( ) ( )

1 2

1 2

1

1 E Z k I Z I I E

Z k Z

= + + ⇔ =

+ + Loi des

mailles:

(

)

2

1

1

eq

E Z I Z E

Z k Z

= =

www.al3abkari-pro.com + +

s

eq s

V Z

I =

:

Pour le calcul de Z

il n’est pas possible de désactiver la source de courant dépendante. On réaliser donc le principe de l’ohmmètre qui consiste à appliquer une tension aux bornes, après désactivation des sources indépendantes, et à calculer le rapport :

Théorème de Thévenin et source liée – Exemple (suite)

40

2

V

I = Z ( ) ( )

1 1 2

1 1

s s s

s

V V V

I k I k

Z Z Z

= + + = + +

( )

1 2

1 1

I

1 k V

Z Z

 

⇒ =  + + 

 

( )

1 2

1 1

s

V k

Z I Z Z

+

 

⇒ = =  + 

 

et

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Théorème de Thévenin – Exercice

Calculer rapidement i

par la méthode de Thévenin

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Théorème de Thévenin et source liée – Exercice

Etant donné que toutes les sources fonctionnent en régime sinusoïdal, déterminer le générateur de Thévenin du circuit suivant:

a. Calculer la tension à vide v

b. Déterminer l’impédance du dipôle (ab): Z

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Dans le cas des circuits électriques composés exclusivement d'éléments linéaires.), la réponse dans une branche est égale à la somme des réponses pour chaque générateur indépendant pris isolément, en désactivant tous les autres générateurs indépendants.

Principe de superposition

Remarque : Le circuit peut inclure des composants non linéaires

(diodes ou transistors…) qui opèrent dans un domaine restreint où leur comportement est approximativement linéaire

43

comportement est approximativement linéaire

1 1 2 2

...

...

Réponse = a e + a e + a e + b i + b i

Où e

et i

sont des sources indépendantes Les coefficients a

,b

peuvent être nuls (= 0) ou non ( ≠ 0)

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Principe de superposition – Exemple

On veut calculer les tensions aux bornes de R

et R

.

On désactive la source E (cc) pour calculer

/ /

;

e e

r r

r R

u    e u e

′ =    ′ =

1

et

R R

u ′ u ′

Notion de schémas statique et dynamique

44

1 2

1

1 2 2

/ / ;

/ /

e e

R R

c e e

r r

r R

u e u e

r R Z r R r R

  

′ =    ′ =

+ + +

  

On désactive la source e (cc) pour calculer

1 2

1 1

; 0

R R

u R E u

r R

′′ = ′′ =

+

1

et

R R

u ′′ u ′′

Superposition:

1 1 1

2 2 2

1 1

1 2 1

2

/ / / /

0

e

R R R

c e

e

R R R

e

r R r R

u u u e E

r R Z r R r R

u u u r e

r R

   

′ ′′

= + =    +

+ + +

   

′ ′′

= + = +

www.al3abkari-pro.com +

Principe de superposition et source liée - Exercice

Déterminer la tension v

en utilisant le théorème de

superposition.

45

Efficacité du Principe de superposition - Exercice

Les sources du circuit ci- contre fonctionnent en régime sinusoïdales de pulsation ω.

A quelle condition le

courant i est-il indépendant

de e www.al3abkari-pro.com

NON

Principe de superposition et source liée – Ex. / Solution

On court-circuite la source de tension v

= 35V et on calcule v’

On met en C.O la source de

courant I

= 7mAet on calcule v’’

46 2 1

0

2 1

1 6 v R I

R R

′ = −

2

0 1

1

6

v R v

R R

′′ = +

2 1 2

0 0 0 1

2 1 2

1

1 6 6

R I R

v v v v

R R R

R

′ ′′

= + = +

− + Superposition:

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Souvent on a besoin d’analyser les circuits pour déterminer et

maximiser la puissance envoyée (transmise), par les sources (liées et non liées) du réseau, à une charge (R

ou Z

) qui peut être un haut parleur, une antenne…etc. Le bon rendement du circuit est donc jugé par le transfert maximal de puissance, c.à.d. moins de pertes.

Transfert maximal de puissance

47

La puissance consommée par la charge R

est:

2

2 Th

L L

th L

p vi R i R v

R R

 

= = =  

 + 

Puissance consommée par la charge R_L en

fonction de R

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Transfert maximal de puissance (suite)

( ) ( )

( )

2 2

4

2 0

th L L th L

Th

L th L

R R R R R

dp v

dR R R

 − − + 

=   =

 + 

 

La valeur optimale de R

s’obtient en cherchant le/les racines de la dérivée de p par rapport à R

:

L th

R = R Donc la puissance maximale transférée à R

est:

48

Donc la puissance maximale transférée à R

est:

2 2 2

2

max

4 4

Th Th Th

L th

th th th L

v v v

p R i R

R R R R

 

= =   = =

 + 

Remarque: la condition de transfert maximal déterminée au-dessus est, pour l’instant, spécifique au circuits résistifs. Pour les circuits qui comprennent des éléments résistifs et réactifs (L et C) la condition du transfert maximal de puissance devient Z

= Z

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Transfert maximal de puissance - Exemple

a. Pour le montage ci-dessous, trouver la valeur de R

qui lui assure un transfert maximale de puissance depuis la source.

b. Calculer ce maximum de puissance délivré à R

c. Si la charge R

est ajustée pour maximiser le transfert de la

puissance, qu’il est le pourcentage de la puissance qui lui arrive.

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Par M. Aoutoul

Les Quadripôles ( ou les biportes )

1

Par M. Aoutoul 2013

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( ou les biportes )

Sommaire

1. Nécessité d’un modèle 2. Définitions

1. C’est quoi un quadripôle ? 2. Représentation du quadripôle 3. Classification des quadripôles

1. Quadripôle linéaire 2. Quadripôle passif

2

2. Quadripôle passif 3. Quadripôle actif

4. Quadripôle non dissipatif 5. Quadripôle dissipatif

6. Quadripôle réciproque 7. Quadripôle symétrique

3. Représentation matricielle des quadripôles 1. Matrice impédance [Z]

2. Matrice admittance [Y]

3. Matrice hybride [H]

4. Matrice hybride inverse [G]

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Sommaire (suite)

5. Matrice chaine (Transmission, ou ABCD) [T]

6. Matrice de transfert [t]

7. Matrice de dispersion [S]

4. Schémas équivalents d’un quadripôle 1. Schéma dérivé de la matrice

impédance

5. Gan en tension composite A

6. Gain en courant composite

A

7. Fonction de Transfert H(j ω ⁾ 6. Association de deux quadripôles

3

impédance

2. Schéma dérivé de la matrice admittance

3. Schéma dérivé de la matrice hybride 5. Caractéristiques fondamentales d’un

quadripôle

1. Impédance d’entrée Z

2. Impédance de sortie Z

3. gain en courant A

4. Gain en tension A

6. Association de deux quadripôles 1. Association série-série

2. Association parallèle- parallèle

3. Association série-parallèle 4. Association parallèle-série 5. Association en cascade

Fonction de transfert de deux quadripôles en cascade

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1. Nécessité d’un modèle

La complexité des circuits à quatre bornes a créé le besoin d’un modèle équivalent pour simplifier le

traitement de tels réseaux. Etant donné que

Les travaux de Thévenin et de Norton ont poussé énormément le

4

Norton ont poussé énormément le traitement des réseaux à 4 bornes.

En effet, la modélisation des

quadripôles est faisable en plusieurs versions car le quadripôle peut être vu comme un réseau à deux dipôles modélisables par le dipôle de

Thévenin ou Norton selon leurs natures (passifs ou actifs) et le cas

d’étude. www.al3abkari-pro.com

2. Définitions

Le quadripôle est un circuit électronique qui a quatre bornes

distribuées sur deux accès, chaque accès est vu comme un dipôle:

un dipôle d’entrée et l’autre de sortie. Le quadripôle assure le

transfert d’énergie entre l’entrée et la sortie. Le quadripôle peut être un composant simple ou ensemble de composants.

2.1 – C’est quoi un quadripôle?

5

un composant simple ou ensemble de composants.

Les signaux électriques manipulés par les quadripôles sont généralement des tensions, des intensités de courant ou des puissances électriques

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2.2 Représentation d’un quadripôle

Le quadripôle est caractérisé par ses tensions d’entrée et de sortie (V

, V

) et ses courants d’entrée et de sortie (I

, I

). Donc le

quadripôle possède quatre grandeurs aux accès dont deux sont indépendantes.

Par convention les courants entrant au quadripôle possèdent un sens positif.

6

positif.

Exemple: Le transistor

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Un dipôle passif ne contient pas de sources (de tension ou de courant), et on a toujours:

Exemple de quadripôle passif

s e

p ≤ p

(Juste des éléments passifs)

7

2.3.3 - Quadripôle actif

Un quadripôle actif comporte des sources liées commandées par des grandeurs électriques internes (courants ou tensions)

0 v0

s e

U = A U

Exemple de quadripôle actif (Juste des éléments passifs)

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Un quadripôle non dissipatif n’est composé que des

éléments réactif pures (inductances et capacités)

8

2.3.5 - Quadripôle dissipatif Un quadripôle dissipatif est composé aussi des éléments résistifs là où la puissance est dissipée sous forme de

chaleur

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Un quadripôle est dit r é ciproque quand la mesure de l’intensité du courant du court-circuit d’un

accès, lorsque l’autre est attaqué par un générateur de tension, donne le même résultat même si

I

II

9

2.3.7 - Quadripôle symétrique Un quadripôle est dit symétrique si l’inversement des deux accès ne modifie pas le quadripôle. La symétrie implique la réciprocité donne le même résultat même si on inverse la situation.

II

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2.3.8 - Quadripôle linéaire

Un quadripôle est dit linéaire lorsque le signal de sortie est proportionnel au signal d’entrée.

Par conséquence un quadripôle linéaire n’entraine pas de déformations ou distorsions sur les signaux électriques de telle sorte que le signal de sortie garde la même forme que celle du signal d’entrée.

10

Exemple: Quadripôle linéaire

( )

2 2

2 3 3

2 2 2 1

2 3 3 2

2 2

C C

C

R C j R

v v

R C j R C C

ω ω

ω ω

− +

= − + +

R = R

NB: Un quadripôle linéaire ne comporte pas des sources indépendantes

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Comme il y a deux grandeurs (courant et/ou tension) dépendantes parmi les 4 grandeurs du quadripôles, donc on peut les choisir et de les relier aux deux autres grandeurs indépendantes de six

façons différentes:

Introduction

11

(U

, U

) en fonction de (I

, I

): Matrice impédance [Z]

(U

, I

) en fonction de (U

, I

): Matrice chaine [ABCD]

(U

, I

) en fonction de (I

, U

): Matrice hybride [H]

(I

, U

) en fonction de (U

, I

) : Matrice hybride inverse [G]

(I

, U

) en fonction de (I

, U

): Matrice transfert [T]

(I

, I

) en fonction de (U

, U

): Matrice admittance [Y]

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3.1 - Matrice impédance [Z]

1 11 12 1 1 11 1 12 2

21 22

2 2 2 21 1 22 2

U Z Z I U Z I Z I

Z Z

U I U Z I Z I

= +

      

= ⇒ 

     

= +

 

    

Les éléments de cette matrice, qui ont les dimensions des impédances, se calculent en mettant un accès au circuit ouvert:

Elle exprime les tensions en fonction des courants

12

calculent en mettant un accès au circuit ouvert:

2

1 11

1 I 0

Z U

I

=

2

2 21

1 I 0

Z U

I

=

1

1 12

2 I 0

Z U

I

=

1

2 22

2 I 0

Z U

I

=

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3.1 - Matrice impédance [Z] – Exemple (3.1)

Déterminer les éléments de la matrice impédance du quadripôle suivant:

13

Si I

= 0

(

)

21 3

2 21 1 22 2 21 1 3 1

U Z I Z I Z I Z Z I Z Z Z

Z Z

U Z I Z I Z I Z I

= + = = + = +

 

 ⇒

 

= + = = =

 

 Si I

= 0

( )

1 11 1 12 2 12 2 3 2 12 3

2 21 1 22 2 22 2 2 3 2 22 2 3

U Z I Z I Z I Z I Z Z

U Z I Z I Z I Z Z I Z Z Z

= + = = =

 

 ⇒

 

= + = = + = +

 



La matrice impédance de ce

quadripôle est: [ ]

3 2 3

Z Z Z

Z Z Z Z

+

 

=  

 + 

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3.2 - Matrice Admittance [Y]

1 11 12 1 1 11 1 12 2

21 22

2 2 2 21 1 22 2

I Y Y U I Y U Y U

Y Y

I U I Y U Y U

= +

      

= ⇒ 

     

= +

 

    

Elle exprime les courants en fonction des tensions

Les éléments de cette matrice, qui ont les dimensions des admittances, se calculent en court-circuitant les deux bornes d’un accès:

14

calculent en court-circuitant les deux bornes d’un accès:

11 12

21 22

Y Y

Y Y

 

 

 

11 12

21 22

Y Y

Y Y

 

 

 

2

1 11

1 U 0

Y I

U

=

2

2 21

1 U 0

Y I

U

=

1

1 12

2 U 0

Y I

U

=

1

2 22

2 U 0

Y I

U

www.al3abkari-pro.com =

Matrice inverse 2x2 - Rappel

A est une matrice carrée 2x2 a b A c d

 

=  

 

Opérations sur les matrices:

Remarque: Etant donné que les quadripôles sont représentés par des matrices carrées 2x2, donc toutes les opérations matricielles de base sont possibles.

15

c d

 

Si le déterminant de A est non nul donc A admet une matrice inverse , , dont les éléments sont les suivants,

A⁻1

( )

1

1 1

det

t

d b

A Com A

c a

A ab cd

−

 − 

= =  

−

−  

où ( ) ^{( 1)}

^{( 1)}

( 1) ( 1)

t

d b d b

Com A

c a

c a

+ +

+ +

−

 − −   

=    = 

− −  − 

 

Est la comatrice transposée de A

Remarque: Si le déterminant de A (detA) est nul alors A ne possède pas

de matrice inverse. www.al3abkari-pro.com