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PRIMITIVES

A. DAOUI

16 mars 2016

Intégrale indé…nie - Théorème fondamental

Soitf une fonction intégrable sur [a,b]. Alors f est intégrable sur [a,x] pour toutx 2 [a,b]. La fonction F dé…nie sur[a,b] par F(x) =Rx

a f(t)dt est appelée intégrale indé…nie de f.

Le théorème fondamental permet de faire le lien entre le calcul di¤érentiel et le calcul intégral en montrant que la dérivation et l’intégration sont des opérations inverses l’une de l’autre.

On va voir queF améliore la régularité de f.

Théorème

Soitf une fonction bornée et intégrable sur [a,b]. Alors

1 F(x) est continue sur [a,b].

2 Sif est continue sur [a,b] alorsF est dérivable sur [a,b] et F⁰(x) =f(x)

Remarque

La continuité def est une condition nécessaire à la dérivabilité deF. En e¤et, considérons l’exemple de la fonctionf dé…nie sur [0,2] valant 1sur [0,1] et 2 sur ]1,2].

Primitive

On dit qu’une fonctionf dé…nie sur [a,b] admet une primitive G sur [a,b] siG est dérivable sur [a,b] et G⁰ =f sur[a,b]. Une primitive est souvent notée R

f(x)dx.

En particulier, l’intégrale indé…nie def est une primitive de f lorsque f est continue et par conséquent toute fonction continue sur [a,b] admet une primitive sur[a,b]; F(x) est la primitive def qui s’annule ena.

Attention, il existe des fonctions non continues qui ont des primitives.

Par exempleG(x) =x²sin(¹_x) pour x 6=0 et G(0) =0 admet une dérivée qui n’est pas continue en0.

Proposition

SiF et G sont deux primitives de f alorsF G est constante sur [a,b].

Théorème fondamental

Théorème

Si f est une fonction continue sur [a,b] et siG est une primitive def alors :

Z _b

a f(x)dx =G(b) G(a) On note[G(x)]^b_a

Théorème

Sif est de classe C¹ sur [a,b] alors :

Dans la pratique, il arrive que l’on soit amené à considérer des fonctions d’une variablex dé…nies par des intégrales dont les bornes sont des fonctions dex.

Proposition

SoientI et J deux intervalles ouverts etu et v deux applications de classeC¹ telles queu(I) J et v(I) J et f une application continue surJ. Alors l’application

Φ: x 2 ^I 7!

Z _v(x)

u(x)

f(t)dt est de classeC¹ sur I et pour toutx 2 ^I,

Φ⁰(x) = f(v(x)).v⁰(x) f(u(x)).u⁰(x)

Propriétés supplémentaires de l’intégrale

Le théorème fondamental met la lumière sur deux autres propriétés de lintégrale : l’intégration par parties qui correspond à la règle de dérivation d’un produit et la fomule de changement de variable qui correspond à la formule de dérivation en chaîne.

Intégration par parties

Théorème

Soientu et v deux fonctions de classeC¹ sur [a,b], alors : Z _b

a u⁰(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a Z _b

a u(x)v⁰(x)dx

Changement de variables

Théorème

Soitf est une fonction continue sur [a,b] et soit ϕ une fonction de classeC¹ sur [α,β] telle que ϕ([α,β]) [a,b]. Alors :

Z _β

α

f(_ϕ(t))_ϕ⁰(t)dt = Z _ϕ(β)

ϕ(α) f(x)dx

Nous donnons ci-après deux variante du théorème de changement de variables :

Théorème

(Variante 1) Soit f est une fonction continue sur [a,b] et soit ϕ une fonction de classeC¹, strictement monotone sur

[_ϕ ¹(a),ϕ ¹(b)]. Alors : Z _b

a f(t)dt =

Z _ϕ ¹_(b)

ϕ ¹(a) f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx

Théorème

(Variante 2) Soit f est une fonction continue sur [a,b] et soit ϕ une fonction de classeC¹ sur [_α,β] telle que ϕ([_α,β]) [a,b] et telle que ϕ⁰ ne s’annule pas sur ]α,β[. Alors :

Z _β

α

f(ϕ(t))dt = Z _ϕ(β)

ϕ(α) f(x) ¹

ϕ⁰(ϕ ¹(x))^dx

Primitives des fonctions usuelles

Avant de donner des exemples sur les théorèmes précédents, nous donnons les primitives des fonctions usuelles

Fonction Primitive Domaine

xⁿ n2 ^N _n+¹1xⁿ⁺¹ R

1

xⁿ n 2^N rf¹g n¹1 1

x^{n 1} ] _∞,0[ ou ]0,+_∞[

1

x lnj^xj ] _∞,0[ ou ]0,+_∞[

x^α α 2 RrZ _α+¹₁x^α+1 ]0,+_∞[

e^{αx 1}_αe^αx R

cosx sinx R

sinx cosx R

tanx lnj^cosxj ] ^π₂ +nπ,^π₂ +nπ[, n 2^Z

chx shx R

shx chx R

thx lnchx R

1

1+x² arctanx R

p 1

1 x² arcsinx ou arccosx ] 1,1[

p 1

1+x² argshx R

p 1

x² 1 argchx ou argchj^xj ]1,+_∞[ ou ] _∞, 1[

1

cos²x tanx ] ^π₂ +nπ,^π₂ +nπ[, n2 ^Z

1

sin²x cotanx ]nπ,(n+1)_π[, n 2 Z

1

ch²x thx R

1

sh²x cothx R

Intégration d’une fraction rationnelle

Elément simple de première espèce

Un élément simple de première spèce est de la forme : u(x) = _(x ^α

β)ⁿ, oùα, β2^{R et n}2 ^N . Une primitive deu est de la forme :

U(x) = ₁^α_n(x ¹

β)^{n 1} si n6=1 U(x) = αlnj^{x β}j ^{si n} =1

Intégration d’une fraction rationnelle

Elément simple de deuxième espèce

Un élément simple de première spèce est du type : v(x) = ^αx+β

(x²+bx+c)ⁿ, avec α,β,b,c 2 ^{Ret ∆} =b² c <0. On a x²+bx+c = ^∆₄[1+ (^2xp^+b

∆)]. Le changement de variable t = ^2xp^+b

∆ conduit au calcul des primitives suivantes : I_n(t) =

Z 2t

(1+t²)^{ndt et Jn}(t) =

Z dt

(1+t²)ⁿ

On obtient immédiatement :

In(t) = ₁¹_n(1+t¹_{2)n 1} si n>1 I_n(t) = ln(1+t²) = si n=1

La fonctionJ_n(t) est calculée par une formule de récurrence obtenue par intégration par parties :

J₁(t) = arctant

2nJ_n+1(t) = (2n 1)J_n(t) +₍₁₊^t_t2)n

Exemple

Cherchons une primitive de la fonction dé…nie surRrf¹g ^par f(x) = ^x

2 3x 2

(x +1)²(x²+x+1)²

Exemple

Calculons la primitiveR _4x+3

x² 3x+2dx

Integration d’une fraction rationnelle en shx, chx ,exp(x)

Le changement de variablex =lnt (ou t =e^x) conduit au calcul d’une primitive d’une fonction rationnelle en la variablet.

Exemple

Calculons une primitive de f : x 7! chx shx^ex sur R

Integration d’une fraction rationnelle en sinx, cosx ,tan(x)

Le changement de variablex =2 arctant (out =tan(^x₂)) conduit au calcul d’une primitive d’une fonction rationnelle en la variablet.

Exemple

Calculons une primitive de f : x 7! _sin¹_x ^sur ]0,π[

Remarque

Fomules de Bioche

On peut dans certains cas simpli…er les calculs de R

f(x)dx par un changement de variable adapté aux propriétés de la fonction à intégrer.

Sif est paire, on e¤ectue le changement de variable t =cosx.

Sif véri…e f(π x) = f(x), on fait le changement de variablet =sinx.

Sif véri…e π-périodique, on fait le changement de variable t =tanx.

Cas d’une fonction polynomiale en sinx et cosx

Por calculerR

sin^pxcos^qx.dx, on e¤ectue un changement de variable qui dépend de la parité dep et q.

Sip est pair et q est impair, on fait la changement de variable t =sinx.

Sip est impair et q est pair, on fait la changement de variable t =cosx.

Sip et q est impairs, on fait la changement de variable t =sinx out =cosx.

Sip et q est pairs, on linéarise encoskx l’expression sin^pxcos^qx en utulisant les formules trigonométriques

cos²x = ¹+cos 2x

et sin²x = ^{1 cos 2x}

Primitive de fonction rationnelle en racine carrée

Dans le cas d’une fonction rationnelle enx et

qax+b cx+d, en

e¤ectue le changement de variablet =^qax_cx+⁺_d^b et on est conduit au calcul d’une intégrale d’une fraction rationnelle ent.

Dans le cas d’une fonction rationnelle enx et p

ax²+bx+c, avec a6=0, on écrit le trinôme sous la forme canonique : ax²+bx+c =a[(x+_2a^b )² k], aveck = _4a^∆₂.

Sik 6=0,le changement de variable t = p¹

j^kj(x+_2a^b ) conduit au calcul d’une primitive d’une fonction rationnelle ent et pt² 1 ou ent et p

1 t² ou en t et p

1 t².

Dans le premier cas, on fait le changement de variable t =e.chu avecu 2 ^{R+, e}=1 si les valeurs de t correspondant au domaine d’intégration sont positives et e = 1 dans le cas contraire.

Dans le deuxième cas, on fait le changement de variablet =cosu, avecu 2 [0,π] ou t =sinu, avecu 2 [ ^π₂,^π₂].

Dans le troisième cas, on poset =tanu, avec u 2] ^π₂,^π₂[. Dans tous ces cas, on sera amené à l’intégration d’une fonction rationnelle en chu, cosu, sinu ou tanu.