Séries de Engel et fractions continuées

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

P

IERRE

L

IARDET

P

IERRE

S

TAMBUL

Séries de Engel et fractions continuées

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{1 (2000),}

p. 37-68

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_1_37_0>

© Université Bordeaux 1, 2000, tous droits réservés.

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37

Séries

de

_Engel

et

fractions

continuées

par PIERRE LIARDET et PIERRE STAMBUL

RÉSUMÉ. Le thème de ce travail est la conversion entre le

dévelop-pement en fraction continuée d’un nombre réel et son

développe-ment en série de

_Engel.

Chacun d’eux _peut se traduire en terme

de

_{produits matriciels, produits}

_qui sont à

_l’origine

_{d’algorithmes,}

exprimés sous la forme de

transducteurs,

_permettant de calculer un des

_{développements}

à _partir de l’autre. Cette méthode fournit des résultats nouveaux sur les nombres de _Lucas, les nombres de

Fredholm et sur toute une variété de nombres

_{transcendants,}

à quotients

partiels

bornés ou non.

ABSTRACT. Relations between continued fraction

_expansion

and

Engel’s

series of a real number are

investigated.

Product of matri-ces

_{corresponding}

to these

_expansions

leads to transducers which

convert the continued fraction _expansion of any irrational num-ber to its

_Engel’s

series and

_{reciprocally. Finally,}

new results about Lucas _numbers, Fredholm numbers and various

transcen-dental numbers with bounded or unbounded

_{partial quotients}

are

obtained.

1. INTRODUCTION

Tout nombre réel de l’intervalle unité

_{]0, 1]}

admet un

développement

unique

sous la forme d’une série de

_Engel,

à savoir

où les

_ai(x)

sont des entiers tels _que 2 et _pour tout indice

i &#x3E; 1

_(voir

O. Perron

_[Pe],

E. Borel

_[Bo]

et P. Erdôs

_[E-R-S]

pour

plus

de

dé-tails).

Ce

_{développement}

sera

_représenté

dans la suite _{par x}

=]ai,

_{a2, a3, ...}

[,

ceci _par

_analogie

avec celui des fractions continuées

_régulières

Ce travail fait suite à une étude

_générale

effectuée _par les auteurs dans

[Li-St).

Elle concerne le calcul

_algébrique,

sur les fractions

continuées,

aux

moyens

d’algorithmes

basés sur une notion de transducteurs

_qui

sera

large-ment utilisée ici. Notre

_premier

_objectif

consistera à déterminer de tels

algorithmes

permettant

de _passer du

_{développement}

en fraction continuée

(DFC)

à celui de

_Engel

_(DE)

et

_{réciproquement.}

Ceux-ci seront donc décrits aux _moyens de transducteurs sur un ensemble infini d’états. Il existe

déjà

dans la littérature des nombres dont les DFC et DE sont connus

explicite-ment. Ce

_sont,

_par

_exemple,

les nombres

_{quadratiques, appelés}

ici nombres de

_Lucas,

_r(p)

_{:= 2 (p -}

_{p2 - 4)}

avec _p entier &#x3E;

_3,

pour

lesquels

on a

où ai = p et

an+1 - an -

2 pour tout entier n &#x3E; 1

_(cf.

_{[Si], [Lu]).}

La

démonstration de cette formule est

_rappelée

dans la section 3.2. Il était

donc

_naturel,

dans un

premier

_temps,

d’examiner de

_près

la suite des états

apparaissant pendant

l’exécution de nos

_algorithmes.

Cela nous donnera l’occasion de retrouver et d’améliorer des résultats connus de E. Lucas

[Lu],

W.

_Sierpinski

_[Si]

et J. Tamura

_[Ta]

en utilisant une méthode tout à fait différente.

Les nombres

_{f (n)}

n- 2i n

entier &#x3E;

_2,

dits de

_Fredholm,

_sont par-ticulièrement

_{remarquables.}

Ils ont un

_{développement}

de

Engel

immédiat,

à savoir

~n, n, n2, ... , n2k-2, ...

_[

(ak - n2k-2, k &#x3E;

_2),

sont transcendants

et leur DFC est à

_quotients

_partiels

bornés. Ce dernier résultat est la

con-séquence

d’un théorème

_général

obtenu

_{indépendamment}

par J. O. Shallit

[Sh2]

et M. Kmoget

_(Kmo).

Comme l’ont montré A. Blanchard et M. Mendès France

_[BI-Me],

le DFC de

_{f (n)}

s’obtient _par

_composition

_{d’opérateurs}

de

symétries

perturbées

opérant

sur les mots d’un

_alphabet

fini

_(voir

aussi

[A-L-M-P-S]

et

_[De-Po-Me]).

Donnons le DFC de

_{2 f (2) -}

_1,

dû à A. J. Van der Poorten

_[VdP],

afin d’illustrer les mécanismes mis en

_jeu.

Dans ce

_but,

introduisons

_quelques

notations et conventions utiles. Une suite

finie x _

_{(x1, ... ,}

à coefficients dans un ensemble

donné,

appelé

alpha-bet,

sera souvent identifiée avec le mot _{x 1 ... zm} et

_{si y}

=

( yl , ... , Yn)

est une autre suite

_finie,

la concaténée de x suivie de _y sera _par définition la

A.

_L’alphabet

n’est _pas

_supposé

être fini.

_Lorsqu’il

est

_égal

à

_N,

les

opéra-tions usuelles sur cet

_alphabet

_pourraient

donner lieu à des

_ambiguïtés

dans l’écriture d’un

_{mot ;}

en

_général

le contexte ne

_prêtera

_{pas à} confusion

_mais,

si

_nécessaire,

les crochets seront utilisés _pour

_indiquer

les lettres constitu-antes du mot. Par

_exemple,

la suite

_(2(m

+

_{1), b)}

sera

_{représentée}

_par le

mot

_{[2 (m}

+

_{1 )~ b}

tandis que le mot

2[m + 1] b

désignera

la suite

(2,

m

+ 1, b) .

Pour toute suite finie a =

(al,

a2, ... , définissons

l’opérateur

Sa qui

à toute suite

_{(finie) b}

=

(bi,

b2, ... ,

bm)

associe la suite

La suite

_S;:(b),

obtenue en itérant

Sa

n

fois,

est formée de

2nm+(2n-l)s

lettres et se

_prolonge

_par

Sâ +1 (b) .

En itérant

,Sa

une infinité de

fois,

on détermine alors une suite infinie

Sg° (b)

dont les 2’~m +

_{(2n - 1 ) s}

_premiers

termes coïncidents avec

S’â (b).

Avec ces

définitions,

où a =

(1,1,1, l, 2,1)

et b =

(2, l,1,1).

Nous _{retrouverons ce}

type

de

résul-tat,

sous une autre forme et _par une autre

_méthode,

utilisant le transducteur

qui

calcule le DFC à

_partir

du DE

_{correspondant.}

Par

_exemple,

soit

la suite définie _par rl - 3 et =

2~~ (rn -

2)

+ 1. Si _gn =

(9n, - ~ - ,

1 pour n &#x3E;

_2,

désigne

la suite des

_quotients

partiels

du DFC

qui

- 22n-l

se termine _par

_1,

alors

Cette écriture est très différente de celle obtenue _par la

_symétrie

_perturbée.

Un fait

_important

à noter est _que, dans les

_exemples

_{précédents,}

les sommes

partielles

du DE sont des réduites du DFC.

Nous _commençons, dans la section

_2,

_par

_quelques

_rappels

utiles sur

les

_{développements}

en fractions continuées et les

_{développements}

de

En-gel,

ainsi _que les relations matricielles

_qui

leur sont naturellement associées. Elles sont à

_l’origine

de nos

_algorithmes.

La section 3 décrit le

transduc-teur

_{TE qui}

_permet

de passer du DFC au DE :

(o; cl, c2, c3, ... ~

1

=

]~i)~2?~3) " ’ [,

alors il existe une suite croissante non bornée d’entiers

kn

tels que si le transducteur

TE

prend

en entrée le mot cl - - - cn, il donne en sortie le mot _{ai ... akn. La} section 4 est consacrée à la détermination des

états successifs de

_TE

dans le cas des nombres de Lucas.

L’algorithme

de _passage du DE au DFC est le

_plus

riche en

applications,

il est

_développé

dans la section 5 sous la forme d’un transducteur

TF

_et,

section

_6,

nous revenons sur les nombres de _{Lucas pour} déterminer les états

du transducteur lors du _passage du DE au DFC. La fin de l’article mène

au calcul

_explicite

de diverses familles de nombres transcendants

_(à

quo-tients

_partiels

bornés ou

non),

définis à

_partir

de leur DE ou de leur DFC.

On découvre ainsi les nombres

_{"pseudo-Lucas", appelés}

ainsi à cause des

analogies

observées avec les nombres de Lucas. Plus

_exactement,

les

quo-tients

_partiels

du DE de ces nombres satisfont à la relation de récurrence

an

+ man - 1

(m

para,mètre

entier,

cf.

_(6.2)).

Ils sont d’ordre

d’approximation

rationnelle

_égale

à 3. D’autre

_part,

nous étudions des nombres de

_=~al,

_{a2, a3, ...}

_{[ tel}

_que le

_produit

al a2 ... an divise

pour tout entier n &#x3E; 1. Cette famille contient aussi bien celle des nombres

de Fredholm _que celle des nombres de Liouville étudiée par J. O. Shallit

~Sh3~ .

Enfin,

à la section

_8,

nous

_calculons,

_par une méthode

_analogue,

le DE de nombres dont le DFC est donné _par une

_{duplication perturbée.}

On

_obtient,

en

_particulier,

de nouveaux nombres transcendants à

_quotients

partiels

bornés dont on calcule le

_{développement}

de

_Engel.

2. DÉVÉLOPPEMENT DE ENGEL D’UNE FRACTION CONTINUÉE

2.1. Le

_{développement}

en

traction

continuées est étroitement lié à la

trans-formation de Gauss

- ,.- -, r- -,

définie _par

_T(0)

:= 0

_et,

_pour 0 x

_1,

T(x)

:= ~ -

(où LtJ

_désigne

la

partie

entière du nombre réel

_t).

Dans la

_suite,

nous notons oo le

_point

de

compactification

à l’infini de

_{[0, +oo[}

et

_adoptons

_pour oo les

règles

opéra-toires

_d’usage,

à _{pour tout x E}

_{(0, oo~, ~}

= 0

et 0

= _oo. De

plus,

_on

pose

ooj

= _oo. Pour _a, b dans

[0, oo],

définissons

[a; bl

:= a

+ l

de sorte que T est aussi déterminé _par la relation

avec

c(x) :

:= _pour 0 x

1

et

c(0)

:= oo. Introduisons les

ap-plications

:= _ci o

Tn-1,

(ci(’)

:=

c(~)).

Par itérations

_successives,

X =

[0;

[Cl (X); ~c2(x); ... ; [en ( x)

₊ ...

111,

ce que nous écrivons sous

la forme

_simplifiée

Lorsque

est

_irrationnel,

le _passage à la limite dans

₍₃₎

donne le DFC de x

que nous

_explicitons

en

_posant

DFC(x)

:_

[0;

_{cl, c2,}

c3, ... ~.

Lorsque

est

un nombre rationnel _r, il existe un

_premier

entier n &#x3E; 1 tel _que

T’~(r)

= 0

et

₍₃₎

donne la forme dite normale du

_{développement}

de r :

.. , , . ,

avec _c.i =

cz (r)

_et 2.

Rappelons

que r admet un second

_{développement,}

dit

_{impropre :}

r =

[0;ci,...,c~-i,c~-l,l].

Le

_{développement}

₍₃₎

se

_prolonge

sans difbculté à tout nombre réel x en

remplaçant

0,

dans le second membre de

_{l’égalité}

_(3),

_par

_[x].

D’autre

_part,

si =

[~;~,... gnn

représente

_un DFC d’un nombre rationnel r~ &#x3E; 1

(n &#x3E; 1),

nous noterons

_[0;

_(YI),

_{(g2 ), ... ~ le}

DFC de

Dans la

_suite,

_(gn)

sera

désigné

comme étant le mot des

_quotients

_partiels

de _rn

_(sous

forme normale ou

_impropre,

selon les

_cas).

Par

_extension,

si

(gn),

pour n &#x3E;

no, est donnée par une

_expression

_explicite

g(n)

en fonction de _n, on notera le

_{développement}

de x _par

Le même

_type

de notation sera

adopté

_pour les

développements

de

Engel,

comme _par

_exemple,

dans la formule

_classique

e - 2

=~ n (2° .

Par

_définition,

la n-ième réduite de x =

[0;

_{ci , C2,}

...

1

est le nombre rationnel

_[0;

_ci,... Il sera

_représenté

sous la forme irréductible

~T~y?

où numérateur et dénominateur satisfont aux mêmes relations de

récurrence,

avantageusement

résumées sous la forme du

_produit

matriciel suivant :

Dans la

_suite,

nous _{poserons pour}

_simplifier

_IIa

:=

(l 1)

(a

E

_R)

et

_plus

généralement

pour tout mot w =

wi ... Wn, Wi e

_R,

nous noterons

Il sera utile

_{d’interpréter}

les

_{égalités précédentes}

_par des

_{homographies.}

Dans ce

but,

à toute matrice A

= (:

b

dans

_GL2(R),

associons la

(c d)

transformée de Môbius définie sur R U

_{oo}

_par

avec les

règles

_opératoires

usuelles sur oo.

Classiquement

A Ho est un

morphisme

de _{groupes. En}

_outre,

, ,

où

A*

est la

_{bitransposée}

de . .. c’est-à-dire

1.

Les relations

₍₃₎

et

₍₄₎

montrent en

_particulier

_{que pour tout t} E

_{[0, oo],}

. yiv

Pour x =

[0;

on déduit _{que ~} i

2.2. Le

_{développement}

en série de

Engel

est relié à la transformation

définie _par

ce

qui

fournit le début du DE de x

_puisque

Par itération et en

_posant

an(x)

:= il vient

Notons _que S a _pour

_points

fixes les nombres rationnels

n , n = 1, 2, ... , ce

qui

conduit à

_prolonger

,S’ en 0 _par

S(0)

= 0. En

outre,

S ( x )

x en dehors de ses

_points

fixes de sorte que la suite des entiers est

croissante ;

elle n’est _pas ultimement stationnaire si x est irrationnel. Si x

= ~

avec

p, q entiers tels que 1 p q, un calcul immédiat donne

-

avec

q q

0

_p’

_p. Il en résulte

_qu’il

existe un diviseur d &#x3E; 1 de _{q et} un

plus

petit

entier k

₍

1 k

_p)

tel _que

_{= 1,}

d’où le double

_{développement}

de x,

l’un infini obtenu _par ,5’ et

_{l’autre, fini,}

obtenu _par sommation du

_{premier :}

avec _ak d. En

_symboles

Supposons

maintenant x

=]al,

_{a2, ...}

[ irrationnel.

L’entier an est

appelé

quotient partiel

de

_Engel

d’ordre n et la n-ième réduite

_{(de Engel)}

sera _par définition

avec _{vn = ai ... an}

(un

est donc un

_{entier, qui}

n’est _{pas nécessairement}

premier

à

_{vn ) .}

Les suites

_{(un )}

et

_{(vn )}

sont aussi données par le

produit

Introduisons les définitions i

relations

₍₆₎

et

₍₉₎

se traduisent

par

et conduisent à la relation

L’intervalle fondamental de x = _{a2, ... ~}

d’ordre n

est défini _par

Par

_{construction,}

si y E alors

ak(x)

=

ak (Y)

pour tout k =

1, ... ,

n.

Les relations de définition de S et T

_peuvent

se _regrouper sous la forme

relation

_qui

conduit à introduire

_{l’égalité}

matricielle

Celle-ci

_jouera

_par la suite un rôle essentiel avec c =

c(x).

3. CALCUL DE

_DE(x)

EN FONCTION DE

DFC(a?)

3.1. Produits de matrices. La détermination de

_DE(x)

_{=]a1,a2,... à}

par-tir de

_{DFC (x) =}

_[0;

_{cl, c2, ...}

_{] repose}

sur une idée

_simple.

Le nombre irra-tionnel x est déterminé par la suite des intervalles emboîtés

In(x)

et l’on

a

IZ (~)

C

_J1(x)

C

_{Ii (z) =}

_{(0, i ~.}

_Alors,

_{pour tout n &#x3E;}

_2,

il existe un

plus grand

entier

_kn

tel que

In (x)

soit contenu dans Il est clair _que

lim,, k~,

= _oo. La relation

conduit à introduire

_{l’homographie}

_H~

définie _par

de sorte

_qu’en

fait .

Un calcul direct montre _que

Bn

est à coefficients

_entiers,

de déterminant

(-I)na1...akn

et que

Hn =

~Bn~ .

De

plus

l’inclusion C

im-plique

ainsi que les coefficients de

Bn

de même

_{signe. D’après}

₍₁₃₎

et

_(9),

ce

_signe

est

_positif.

Le transducteur déterminant le DE d’un nombre à

_partir

de son DFC

est basé sur la double factorisation

(13)

_que nous examinons maintenant de

manière

_{intrinsèque.}

Dans ce

but,

introduisons l’ensemble ,M des matri-ces 2 x 2

_régulières

à coefficients entiers &#x3E; 0 et soit D

_{(respectivement}

_D’)

l’ensemble des matrices

U

₎

de .M telles que u’ u et v’ v

(respec-u v

- -

,

tivement u’ &#x3E; u et v’ &#x3E;

_v).

Les trois ensembles

_D,

D’ et E

_(D

U

_V’)

forment une

_partition

de ,M. Une matrice A de est donc dans D

(resp.

D’ )

si,

et seulement

_si,

_{~A~ ( ~0, oo])}

C

_{[0, 1]}

_(resp.

_{~A~ ( ~0,}

C

_[1,

tandis que A

= (:

c d

b

est dans E si et seulement si 1 est intérieur à

l’intervalle

_{A((0, oo) (ou}

_encore, si

_{(a - c)(b -}

_d)

_0).

Une

_conséquence

immédiate est _{que pour} tout DM E D. Notons

aussi que

l’opérateur

de

_{bitransposition}

A H-

A.

_échange

D et D’ et laisse E invariant.

Rappelons

que toute matrice j4 =

ut

VI

j

dans D se factorise de

(U

V)

manière

_unique

sous la forme

avec _{cl, ... cn} E

_{N B}

_{0}

et B E ~. On trouvera dans

_[Li-St]

une étude

plus

générale

sur ce

_type

de

factorisation ;

ici,

c’est la version

"bitransposée"

du lemme 4 dans

_[Li-St]

_qui

est utilisée. En

_particulier,

la relation

_(F)

avec B e E entraîne _que les n - 1

_{premiers quotients}

_partiels

de (

sont ci, ... , cn-i et le suivant est &#x3E; cn. Si n &#x3E; 2 dans

(F),

la matrice A’ = est encore dans D.

vraies pour tout entier c &#x3E;

_1,

et les

_égalités

matricielles

Cette factorisation nous conduit à introduire l’ensemble 0 des matrices A de D

_qui

admettent une factorisation

(F)

2. On notera A’ la

matrice définie par la factorisation

partielle

résultant de

(F) :

Remarquons

que A’ E D

_puisque

A E A.

Nous sommes en mesure de

préciser

la matrice

Bn

de

l’égalité

(13) :

En

_{fait, Bn}

est dans

_{M ;}

son

_appartenance

à D vient de l’inclusion

C sorte _{que si}

_Bn

e

_0,

on a la factorisation

Bn =

avec c &#x3E; 1 et

_B~

E D.

_Puis,

_par

_{( 12)}

et

_{( 14),}

on

_peut

écrire

Bn =

avec

Bri

E

D,

ce

_qui

est contraire au choix

optimal

de kn puisque

dans ces

conditions,

[B§§] ([0, oo])

C

[0, ~]

et donc

Le lemme suivant donne deux caractérisations

_pratiques

des éléments de A.

Lemme 1. Les trois

_propriétés

suivantes sont

équival entes :

La démonstration est élémentaire. Donnons maintenant une

Lemme 2. Soit . d ans A.

(a)

Il existe un entier n &#x3E;

_1,

des matrices , dans D et des

entiers _{ak, pour} k =

_{1, ... ,}

n, tels que

et

_qui

_satisfont

aux conditions suivantes :

, , ,

pour tout k =

1, ... , n ;

-(jjj) Bn g

0. En

_particulier

_Bn(1

(b)

Les

_{factorisations}

_(P),

dont est

_af,jîrmée

dans

_(a),

avec les

conditions

_{(j), (jj)}

et

_(j,jj),

sont

_uniques.

En outre

Démonstration.

(a) -

Par

_hypothèse,

on a A =

IIqA’

avec

D’après

(12)

et

_(15),

avec

(14)

Bi

= _q

et

M _e M. Si de

plus Bl appartient

à

A,

on a M E D ce

_qui

_permet

d’itérer la factorisation

précédente

sur

BI.

On

construit ainsi une suite finie croissante d’entiers

1 ::;

_{91 ’ ’ ’}

_qp et des

/ B

et,

puisque

Br+1,

Ces

_inégalités

_majorent

_p en fonction de A

_uniquement,

ce

_qui

montre

_qu’il

’autre

_part,

la construction des

_B,.

donne

pour tout r =

1, ... ,

n.

(b) -

Démontrons l’unicité des factorisations

_(P).

Notons tout d’abord

que les qr construits ci-dessus sont donnés par

(et ar

=

_ (q,. -f-1),Q~.-1- ~).

Supposons

maintenant

_qu’à

l’étape

r on factorise

Br

( E

A)

sous la forme

1 1 1

B’,

avec

i

_,1

q

1 0

_q+

b

r

B’ =

r

( q

r

r

E D. Un calcul

_simple

montre _{que si q}

a °

ar r ’

alors

_{Bl E}

Et si _q &#x3E;

L b,

alors aa. +

b3T

aT

+ ce

_qui

r _{r r} r

est exclu _par

_(jj).

L’unicité de la factorisation de A en résulte. C7

3.2. Transducteurs. Nous

_appellerons

transducteur tout

_quintuplet

7-(C,

,A.,

B,

B11)

où C et ,A, sont des ensembles au

plus

dénombrables, appelés

respectivement

alphabet

d’entrée et

_alphabet

de sortie. 13 est un

ensemble,

fini ou _pas, dont les éléments sont dits les états de T. c E

C}

~~~ ;

c E

_C}

sont des familles

_{d’applications,}

_{respectivement}

pc : et

,A., appelées

instructions de transition et de sortie.

à tout mot ci... cn sur

l’alphabet

C et à tout état initial

_Bo,

le transducteur fait

_correspondre

une suite d’états

Bo, Bl -

~p~l (Bo ), ...

,Bn

=

Vcn

(Bn-1 )

et un mot de sortie Cette définition n’est _pas

_usuelle,

mais elle sera

particulièrement

bien

adaptée

_pour décrire nos

algorithmes.

Définissons maintenant le transducteur

_{TE =}

_(C,

_{.A., B,}

_(b,

_w)

_qui

_permet

de passer du DFC au DE. Les

alphabets

C et

_,~4,

sont donnés _par C :=

N ) (0)

et

,~4

_{:== NB{0,1}.}

_L’espace

des états de

_TE

est l’ensemble B =

où

10 = ( )

0 1

est l’état initial. Les familles d’instructions (P et W sont

1 °

définies de la manière suivante : soit

_BIlc,

alors : - si

A,

on _pose := A et

ec(B)

_{:= 1B ;}

- si A

e

_A,

_par le lemme

_2,

avec unicité de la

... p

Théorème 1. Soit x un nombre irrationnel dans

~0,1~,

de

développement

en

,fraction

continuée

[0;

_{Cl, C2,} ...

].

Le

développement

de

Engel

de x est

alors calculé _par le transducteur

_TE.

Plus

_{précisément,}

_{pour tout n &#x3E;}

_2,

le

mot

_{TE (cl}

...

en)

= a1 a2 ...

akn sur

l’alphabet

A

vérifie

la suite des entiers

_kn

étant croissante

_(au

sens

large)

et non bornée. Démonstration. Pour n =

_1,

_{on a}

CPCI

(10)

=

TIcI

et

_{(Io )}

= _{A ;} mais pour

n =

2,

CPC2 0 E il et la factorisation

(P)

montre que pour un entier

p

CPC2 o

CPcl(Io)

= et

[B(1)](T2(x))

= SPI

~~).

D’où =

al...apt.

Supposons

maintenant que

IE(C1... xen)

= _{al . ~ . as}

(en

posant

s =

kn

pour

simplifier),

le transducteur étant dans l’état B =

u’

_E B. Par

(U V)

hypothèse

de récurrence

..

avec as - 1 et =

SS(x).

D’après

[Li-St],

théorème

_2,

il existe un entier k &#x3E; 1 tel _{que pour} tous entiers

d1, ... , dk &#x3E; 1,

on ait

-- .

Il existe donc un

_{plus petit}

entier

_{p &#x3E;}

0 tel _{que p} k et

Alors

B(*)

=

_appartient

à 13 _pour 1 _{r p et par}

construc-tion de

_TE

, , 1 - / . Le lemme

2,

appliqué

à A donne

avec i D’où

Ainsi

_TE(C1...

_{c,+j) =}

a1 ... as et

_{kn+j =}

s _pour 0

_j

_p,

_puis

al ... as ... as’ et

kn+p -

s’. De

plus

(B’~(Tn+~(x))

-ss’ (x).

L’existence de la suite

_(kn)n

est

_établie,

ce

_qui

termine la démon-stration. 0

4. NOMBRES DE LUCAS

Soit p un entier &#x3E; 3 et _rp le nombre

quadratique

dans

[0, 1]

qui

est

racine de

_{l’équation}

_{x2 - px}

+ 1 = 0. Un calcul

classique

donne

DFC(rp)

=

[0;p -

1,1, p -

2].

Le DE _{de rp pour p} = 3 _{a été} étudié

par E. Lucas. Il

donne dans

_[Lu]

_{l’égalité}

-

-Ici et

_plus

_loin,

_Fn

_désigne

le n-ième nombre de Fibonacci

_qui

_peut

être

défini _par

_{l’égalité}

L’étude

_générale

_{des rp} est faite _par W.

_Sierpinski

dans

_[Si].

Le DE est

basé sur le fait _{que toute}

_solution’

de y2

=

ay - 1

(avec

a E C

_donné,

a ~

0,

::f::.J2)

vérifie aussi

_{l’équation}

_y4

_{= (a2 -}

_{2)?/~ 2013}

_1,

ce

_qui

entraîne

En

_remplaçant

a _{par p,} on déduit

[Si] :

avec _{a, = p et ak+1 =}

ak -

_{2 pour} k &#x3E; 1.

Plus

_récemment,

J. Tamura

_[Ta]

a montré

’;f’¿;’" 1 -G

ce

_qui

_signifie

_{que les réduites d’ordre n de rp, pour} le

_{développement}

de

Engel,

sont les réduites d’ordre

2’~+1 -

2 _pour le

_{développement}

en fraction continuée.

Nous allons à

_présent

décrire les états du transducteur

_{TE qui}

calcule le DE de _rp à

_partir

de son DFC. Pour

cela,

introduisons les suites

et

_(Pn)nEN

_définies,

à

_partir

de la matrice M = =

IIIIIr-2,

_par les

Remarquons

que

(

est la suite des réduites du nombre

quadratique

et _que, dans le cas

_{où ;}

_~,

Lemme 3. Les suites

_(an)n&#x3E;o

et

_vérifient

les relations de

récur-rence suivantes :

Démonstration.

_D’après

_(19),

ao =

0, {31

= 0 =

(p - 2)ao

et

_/32

=

al = 1.

Supposons

(20)

pour une valeur donnée n &#x3E; 1. En calculant sous la forme MMn

_{puis Mn M,}

on obtient

Q2n+3

=

(p - 2)a2~+z

et la

pre-mière récurrence de

_(20).

Pour démontrer la seconde

_récurrence,

il suffit de calculer

Mn+2

sous la forme La relation

(21)

est une

_simple

con-séquence

de

₍₂₀₎

et de

_{l’égalité}

_det(Mn)

= 1. Les relations

(22)

reviennent

à calculer

M2n

sous la forme Mn Mn. 0

Lemme 4. Soit suite

_définie

_{par ai} =

p et =

an -

2. Alors

pour tout entier n &#x3E; 1.

Démonstration.

_{L’égalité}

₍₂₃₎

_{pour n} = 1 vient du fait _{que al +a3} =

p =

ai.

Supposons

₍₂₃₎

pour une valeur donnée de n &#x3E;

1,

alors +

+

_{a2n+1 -}

2. En tenant

_compte

des

_égalités

₍₂₁₎

et

_(22),

on obtient bien _{an+1 -} + _{Cl2n+1+1. D’autre}

_part,

_{l’égalité}

cx 1 3 0 )

)

est

_immédiate,

d’où

₍₂₄₎

_{P our n} = 1.

Supposons

_à

présent

1

a3 a4

(24)

pour une valeur donnée de n &#x3E; 1 et remarquons que

les formules

₍₂₀₎

et

₍₂₂₎

donnent alors successivement

Finalement,

ce

_qui

termine la démonstration de

(24).

Remarquons

qu’en

_passant

aux déterminants dans

_(24),

on trouve _{a2n+l =} al ... a~. Il

Écrivons

tout entier k &#x3E; 4 sous la forme l~ = 2n _{+ r,} avec n et r entiers déterminés _{par 0} r

_2’~,

et définissons la suite des matrices

_{(Mk ) k&#x3E;4}

par

pour

Théorème 2. _{Soit rp =}

_{[0;p - 1,1, p - 2~}

=

~0; cl, c2, ... ~ .

Soit

la suite des états

_successifs

du transducteur

TE

lorsqu’il prend

en entrée le

DFC de rp en

_partant

de l’état initial

Bo

=

Io.

Alors :

(a)

Bk

=

Mk+2

pour k &#x3E;

2 ;

(b) si k

= 2’~ - 2 -~- r _{avec n} entier &#x3E; 2 _{et r} entier tel _{que 0} r

2n,

_ l~ ;

(c)

5f’CZn -2 (B2n -3 )

=

an-i pour tout entier &#x3E; 2.

Dérrtonstration.

_D’après

la _preuve du théorème

1,

CPCI (Bo) =

Bi =

_IIp-1,

(Bo )

= A et

~1

(B1 )

=

p. Un calcul

simple

donne

B2

=

CP1

(Bi)

=

M4.

Les relations de récurrence sur la suite

(cxn),

à savoir an+2 = _{an+1 + an}

si n est

_pair

et _{an+2 =}

_{(p -}

-f- an si n est

impair,

montrent que

pour 0 r 2 n - 1.

Supposons

=

B2n _2

=

_M2n

_et

"pc2n-2(B2R_3)

= _{an-1 pour} une valeur donnée de n &#x3E; 2.

D’après

(24)

et l’unicité de la factorisation

_(P),

les matrices

_M2n+r,

₍₀

r 2’~ -

1)

ne sont _pas dans A. Donc

_Bk

=

_Mk+2

_et = A _pour 2’~ - 2 k

2n+1-

3.

_{Toujours d’après}

_(24),

_{CPC2n+I_2}

_{(B2n+~ -3 )}

=

M2n+l

5. CALCUL DE DFC

_~~~

EN FONCTION DE

~x~

5.1. Nouveaux

_produits

de matrices. Soit x E

_(0,1]

un nombre

irrationnel,

]ai,

a2, a3, ...

[

son DE et

_[0;

_{cl, c2 , c3 , ...}

_son

DFC. La formule

₍₃₎

montre

que pour tout y intérieur à l’intervalle

on a = _ck

pour

=

1, ... , n.

D’autre

_part,

_en

adoptant

les notations de

_(9),

la suite des intervalles

est strictement décroissante pour l’inclusion et

donc un

plus grand

entier ln

tel _que l’intervalle

_Kln(z)

contienne Introduisons une matrice à coefficients entiers &#x3E; 0 telle _que

_{[L] ([0, oo])}

=

(0,1~.

Soit alors

_{l’homographie}

_Mn

définie _{par la} relation

Elle vérifie

En

_{conséquence,}

il existe une matrice

Bn

_ayant

tous ses coefficients de même

signe,

telle _que

Choisissons L de déterminant

_+1,

ce

_qui

détermine

complètement

L,

à savoir L =

(1 1) .

Le calcul de

B

et le fait _que les nombres rationnels

1

1 q

tfi et

appartiennent

à l’intervalle _{montrent que} la matrice

_Bn

Vn Vn n

appartient

à D. Par

_contre,

le choix

_{de In}

entraine _que

_{Bn n’appartient}

pas à A.

Remarque

1. Si

_Bn

dans

₍₂₅₎

est de la forme , alors

Ce résultat reste valable même dans le cas où D.

En

_effet,

il suffit de traduire la formule

₍₂₅₎

en termes

_{d’homographies}

et

de

_prendre

la valeur en 0.

Le lemme suivant est une

_conséquence

de

_{l’égalité}

(25)

et du lemme

2 ;

Lemme 5. Pour toute suite croissante non bornée d’entiers

(an)n&#x3E;l

telle que

2,

il existe deux suites d’entiers &#x3E;

1,

et

_{(cn).&#x3E;,,}

une

suite de matrices

_(En)n

dans £ et une suite croissante non bornée d’entiers telles _que

avec L =

(1 ~)

et

Va -

Sous _ces

conditions,

la

factorisation

(26)

est

_unique

_pour

_chaque

2ndice n et

_]ai,

_{a2, ~3~ " ’}

_{[= [0;}

_ci,

_{~2,03,... ].}

D’après

l’unicité de la factorisation

_(F)

on _a, dans le

lemme,

cn

5.2.

_{Définition du}

transducteur

_{TF .}

Le lemme 5

_suggère

d’introduire

l’en-semble

_{Di =}

_{V B,à,}

formé des matrices

_IIc

où c e

_{N B}

_{01

et E E E. L’introduction de la matrice

_conjuguée

/ , ,

est directement reliée à celle du transducteur

_permettant

de _passer du DE

au DFC. Notons _que

_VV,

C D et

Soit

_{TF -}

_(C,

_{A, ~3,}

le transducteur défini de la manière suivante :

C =

N B

~0,1~, ,~1.

=

N B

101,

~3 =

Di .

L’état initial est L. Reste à définir les instructions _{pc et}

_lbc

_(c

E

_{C) .}

Pour tout B E

_l3,

_posons B’ =

B%.

- Si B~

E 13,

alors

_’Pc(B)

:= B’ et := A.

-

Sinon,

(F)

fournit la factorisation B’ = B" _E E. On définit alors

_’Pc(B)

:= et := _ala2 ...

ap.

Théorème 3. Soit x un nombre irrationnel dans

[0, 1]

dont le

développe-ment de

_Engel

est

_{]al ,}

_{a2, a3, ...}

_[.

Le

_{développement}

en

fraction

continuée

[0;

CI, C2, c3,

...

]

de x est alors calculé _par le transducteur

_{TF ;}

_pour tout n

assez

grand,

7-F(al ...

an)

=, _ci ... ci., la suite

(In)

étant croissante et non

bornée.

Démonstration. Il suffit

_{d’appliquer}

le lemme

_5,

_compte

tenu de la définition

de TF.

D

Remarque

2. Dans le cas où x est

_rationnel,

son DE est ultimement

sta-tionnaire,

x

=]ai,

_{CL2, a3, · .. ~}

1 = ]a1’...’

_ano’

e [-

Soit x =

[0 ;

Cl, C2,... , c~., oo, oo, ... ~

]

la forme normale de son DFC. La formule

(25)

vaut _{pour n} tant r. Comme se réduit à

(25)

devient,

_{pour n} assez

_grand,

En prenant les

_images

_{homographiques}

de l’intervalle

_{[0, oo],}

on obtient _que la suite des intervalles emboîtés

_{[En] ([0, oo])}

converge vers

{l 1

6. APPLICATIONS AUX NOMBRES DE LUCAS ET AUX NOMBRES

PSEUDO-LUCAS

6.1. Retour sur les nombres

quadratiques

p entier

&#x3E; 3. Pour décrire les états du transducteur

_{TF qui}

transforme le 1)~ de _rp

en son

DFC, rappelons I’égalité

(24)

du lemme 4 :

D’après

(19)

et le lemme

_3,

on a

pour tout entier ~x &#x3E; 1. Suivant

(24), (27)

et la définition des matrices

Va,

on déduit

pour n &#x3E;

2.

_{Finalement, d’après}

_{(21), (22)}

et

_(23),

Notons que

An

E

_VI

si

_{p &#x3E;}

4 et

_An

si _p = 3.

Théorème 4. Soit

_{Bn la}

suite des états du transducteur

_TF

_{lorsqu’il prend}

en entrée le DE de rp.

Alors,

_pour tout entier n &#x3E;

2, Bn = An

(cf. (28))

pour

p &#x3E;

4 et

_Bn

=

IIiAn

d ans le cas où p = 3.

Démonstration. rp

=]ai,

a2, a3, ...

[

avec ai = p et

a2 -

2 pour tout

n &#x3E; 1.

_{Bo =}

L. Un calcul

_simple

montre _que A et

LVal =

Bi.

Dans le cas où _p &#x3E;

4, d’après

l’égalité

(28),

[p - 111,

= An = B n

pour tout n &#x3E; 2 et

1/lan (Bn-1)

=

( 1~’ -

2 1)(2n-2)

Dour tout n &#x3E; 3.

D’après

(28),

2,

pour

tout n &#x3E;

2 et

Dans tous les cas, on a bien rp =

[O;p -1, l,p -

2 °°.

D’autre

part,

(24)

et la _{remarque 1}

_permettent

de retrouver le résultat de Tamura

_{[Ta] :}

où

_désigne

la suite _{des réduites de rp.}

qn

6.2. Les nombres

_{pseudo-Lucas.}

Soient m un entier relatif donné et p un

entier &#x3E; 3. Par

_analogie

avec les nombres de

_Lucas,

nous

appelons

pseudo-Lucas les nombres _{irrationnels rp,m dont} le

_{développement}

de

_Engel

a3, ... ~

[ est

donné par en =

p &#x3E;

max(2, 2 - m)

et

an

+ man -

1 pour

n &#x3E; 1. Notons

_qu’avec

la valeur initiale de al, la suite des an est

stricte-ment croissante. Pour calculer

_DFC(rp,m),

nous aurons besoin d’établir deux lemmes

_techniques.

Le

_premier

va

_permettre

de déterminer les déno-minateurs des réduites de

_Engel

_(écrits

sous forme

irréductible).

Lemme 6. _{Soit rp,m}

_{=] ai ,}

_{a2, a3, ... ~}

_{[ un}

nombre

_pseudo-Lucas

et soit

_(dn)n

la suite d’entiers

_{dé, finie}

_par

do

=

_1,

pour tout n,

dn

divise an+2 + m.

Démonstration. On vérifie facilement _que

_an+2+m

=

m)

et an -E- m &#x3E; 2. Pour n = 1 _ou

2, dn

=

an, donc

dn

divise an+2 + m dans

ces cas.

_Supposons

cette

_propriété

vérifiée _pour un n &#x3E; 2 donné.

Puisque

dn+2

=

dnan+2

et _{an+4 -f- m} =

an+2(an+2

₊

m) (an+3 -

1 ~-

m),

il _en résulte

que

dn+2

divise an+4 + ~n, ce

_qui

démontre le lemmes. D

Le résultat

_précédent

conduit à introduire la suite des entiers suivants :

Considérons maintenant la suite des mots wn

(n &#x3E; 2)

sur

l’alphabet

N~{0~ :

Avec ces

_notations,

on

_peut

énoncer le second lemme

_qui

est la clé _pour

Lemme 7. Soit

_(an)n

la suite des

_quotients

_partiels

de

_Engel

_{de rp,m. Alors}

" 1

pour tout n &#x3E; 2. En

particulier

~al, ... , an ~

est une réduite du DFC de _rplm. Plus

_{préczsémertt,}

si

_kri

= 2n - 2

lorsque

m 0 _{et p} = 2 - _{m, et} si

kn

= 2n dans les _{autres cas,} alors la

_kn-ième

_{réduite de rp,m, pour}

_2,

_{vérifie :}

Démonstration. Procédons _{par récurrence} sur n. Un calcul direct donne

LVa~ Va2 =

Il,, A2.

Supposons

(30)

pour n &#x3E;

2,

Alors

Comme + =

bndn,

cela donne

An+l

et _prouve

₍₃₀₎

_pour n + 1 . La fin du lemme est une

_conséquence

de

_{l’égalité classique}

_H,IIoH,,

= de la définition de

W2 et de

l’égalité

(30). n

Théorème 5. Soit m un entier

_relatif

donné et

_]ai,

_{a2, a3, ... ~}

_[

où _{rp,m est le norrabre}

_{pseudo-Lucas défini}

_{par al =}

_{p &#x3E;}

_{max(2, 2 - m)}

et + man - 1

(n &#x3E; 1).

Alors rp,m =

[0;

cl, c2, c3, ... ~

1

avec

pour tout n &#x3E;

1. Dans le cas où m 0 _{et al}

_{= 2 - m,}

on a

(c2, c3, c4 )

-(1, 0,1)

que l’on doit

remplacer

par un seul

quotient

partiel,

à savoir 2.

Démonstration. Pour ai = 2 - _{m avec m}

0,

_{on a}

A2 fi.

M . Dans tous les

autres _cas, le lemme 7 _{montre que}

_An

E E si n &#x3E; 3 et

₍₃₀₎

se traduit _par

TF (al ... an)

=

W2 ... D’où

La

_{séquence 1, 0,1,}

au début de ce

développement,

doit être

remplacée

par 2 dans le cas où m 0 et _p = 2 - _m. Il reste à montrer les relations de récurrence sur les

_quotients

partiels.

On a

déjà

C2n = 1. De

plus,

b2 =

= et

b3

=

ai

Enfin,

à

_partir

de

_(29),

on

_peut

écrire 1 . , .

Il est

_possible

de

_préciser

la suite des états successifs du transducteur

TF

lorsqu’il prend

le DE de en entrée :

_{pour n &#x3E;}

_3,

" ,

Remarque

3.

_Puisque

=

2r2,o -

1,

le nombre r3,o est une

_image

ho-mographique

de r2,o. Dans ce cas

_particulier,

le résultat de

[Li-St] (3.2.,

exemple

1 ) ,

se traduit _par un

algorithme

très

_{simple :}

à

_partir

du troisième

quotient

partiel,

le _{DFC de r3,o} se déduit de celui de r2,o en effectuant la substitution suivante : 1 -~

_1,

_C4~+3 -~

2 c4n+3 -

1 et _c4n+1 2013~

_2c4n+1

-E- 2.

Théorème 6. Les nombres

_pseudo-Lucas

sont

_{transcendants,}

leur ordre

d’approximation

rationnelle est 3.

Démonstration. Soit

_{( q )n}

la suite des réduites du _{DFC de rp,m} =

a3, ... ~

[ et

soit

(kn)n

la suite des entiers du lemme 7. Par définition des an,

on a

_log(an+1)

=

2log(an)

1-).

Soit f &#x3E;

_{0 ;}

il existe un entier an n

no &#x3E; 2

tel _que 1 et

_{2 log ( an ) -}

e

log ( an+ 1 )

2log(an)

+ f _pour n &#x3E; no et par

conséquent,

pour tout entier 1 &#x3E;

0,

Les entiers

dn

étant définis comme dans le lemme

_6,

_{posons pour}

simplifier,

b := K := :=

dno-1.

On a

_toujours

Puisque

KK’ = ala2 ... les

inégalités précédentes

conduisent aux

majorations

1 m. 1)

ainsi

_qu’aux

encadrements suivants de

_dno+n,

en fonction de la

_parité

de n : -.

Par

_suite,

si w

_3,

il existe une infinité d’entiers n tels _que 0 _{Tp m -}

~q

, _n tandis _{que pour} w &#x3E;

_3,

ces mêmes

inégalités

ne sont vérifiées _{que pour}

qkn "

un nombre fini de valeurs de n. Pour

terminer,

il suffit de montrer que

c’est encore le cas _pour les autres réduites à

_{l’exception}

éventuelle d’un nombre fini. Or celles-ci

_{correspondent}

aux indices

_impairs

(cf.

lemme

7),

alors _que les

_{quotients partiels}

d’indices

_{pairs &#x3E;}

4 sont

_égaux

à

_1,

d’où

3 1

. Donc rp m est un nombre transcendant par le

’ &#x3E;

théorème de Roth et de

_plus,

son ordre

d’approximation

rationnelle est

exactement 3. D

7. NOMBRES DE FREDHOLM ET SYMÉTRIE PERTURBÉE

Dans un

_premier

_temps

nous calculerons le DFC d’un nombre de Fredholm

particulier,

à savoir

_{2/(2) -}

1 =

]2,4,16,...,

12 2n-1,...

[

à l’aide du

trans-ducteur

_TF.

La

_description

_{algorithmique}

de ce DFC est très différente de celle décrite _par

_[VdP].

_Ici,

le DFC s’obtient par concaténation de mots associés à des DFC de nombres rationnels. Dans un deuxième

_temps,

les résultats connus sur les

_symétries

perturbées

sont

_{généralisés}

à

_partir

des

séries de

_Engel

_pour

_lesquelles

le n + 1-ième

_quotient

_partiel

est un

mul-tiple

du

_produit

des n

_{précédents.}

Dans ces

_exemples,

comme dans ceux

j

de la section

_6,

_an = oo alors _{que, pour presque} tout nombre

_réel,

e

(voir

[E-R-S]).

7.1. Le DFC de

_{2 f (2) -}

1. A. J. Van der Poorten

_[VdP]

a montré que

2/(2)-1=[0; 1,1,1,~(6)]

avec

a = (1,1,1,1, 2,1)

et

_{b = (2,1,1,1)}

(voir

l’introduction _pour la définition de

_Sa).

_Explicitons

ici la formule

_(26).

Pour

_cela,

introduisons la suite des entiers rn

(n &#x3E; 1)

et les matrices

An

et

Mn

(n &#x3E; 2)

suivantes :

Lemme 8.

In1B N

Dérraonstration. Un calcul direct donne

II1112A2 =

Laissons au lecteur le soin de

_vérifier,

en utilisant la définition de

(rn),

que

_MnAn+l,

ce

_qui

donne

(31).

D’autre

_part,

rn

2 2n-l

par récurrence sur _{n, et} donc

An

E E.

_Enfin,

22n-l (rn-1 - 2) =

1 par

définition,

d’où

det(Mn) =

1.

L’appartenance

de

Mn

à D en résulte

simplement. D

Lemme 9. Posons

Mi

:=

_{111212 ;}

alors

pour tout n &#x3E; 3.

Démonstration. pour

simplifier

les

notations,

posons 1

montrons par récurrence que .

~= i6 = ._ /

L’égalité

est immédiate si n = 2. En utilisant

det(Mn) =

1 et la définition de la suite on déduit

Enfin un calcul laborieux mais sans

_surprise

donne bien

Ces deux lemmes conduisent aux définitions suivantes.

Puisque

la matrice

Mri

est dans

_D,

de déterminant

_1,

elle admet une factorisation

unique Mn

= avec k

_pair.

Introduisons les

_{mots gn}

:= _{c,.t,l ... cn,k}

pour n &#x3E; 1 ;

par

construction,

gn

correspond

à la suite des

quotients

partiels

d’un des

deux DFC du nombre

rationnel 22 n 2n l’’n

_(cf.

lemme

_8).

En

_fait,

comme

2

[ §fi J

qn

Supposons

maintenant que, pour un indice n &#x3E;

_1,

le

_{mot gn}

commence

par 111 ou 12 et se termine _par 11 ou 2.

Puisque

1-Il,

( 110 ) -

1 12

et

112

_{(-l 0) =}

II1l,

on

_désignera

_par

9~

le mot

_qui

se déduit de _9n en

remplaçant

le suffixe _{11 par 2} et le suffixe _{2 par 11.} De

_même,

_puisque

( 1 1 )

IT111 =

II12

et

_{(-l 3)}

_{IIi2 = nui,}

on

_désignera

par gn

le mot

_qui

se déduit

de gn

en

remplaçant

le

préfixe

111 _{par 12} et le

_préfixe

12 par 111. Les deux

_premières

valeurs

_{de gn}

sont

_{g) =}

1212 _{et 92 =} 111111. En

conséquence,

gn commence _{par 12}

_{pour n &#x3E;}

3 et se termine par 11 pour

n &#x3E; 2. Nous sommes

_prêt

_{pour énoncer et} démontrer le théorème sur le

développement

en fraction continuée de

2 f (2) -

1 :

Théorème 7. Le DFC de

_{2 f (2) - 1}

est donné _par les

_formules

suivantes :

(i)

2 f (2) -1

=

[0; 1,1,1,2, (g2 ), (93),...] 1

_{où gn}

(n &#x3E; 2)

est le mot corres-22n - 1

+rn .

pondant

aux

_{quotients partiels}

du DFC de

longueur

_paire

de

222n ;

(ii)

la suite des mots _9n

_satisfait

à la relations de récurrence

4,

et aux conditions initiales _{gi =}

_1212,

_{92 = 111111} et

Démonstration.

_{L’égalité}

de

_(i)

est la

_conséquence

du lemme 8 et de la définition des _gn. On

_peut

_préciser

la suite des états du transducteur

:

1

B - 0 1

B2 = 2 3

@ et

B -II A

o i

2 1 2 6 5 3 2 2 n+1 i

pour 7n &#x3E; 3.

La récurrence dans

_(ii)

est la

_conséquence

du lemme 9 et de la définition des

_applications

et On _retrouve, en

_particulier,

le résultat de

_{[VdP] :}

tous les

_quotients

_partiels

de

_{2f (2) -}

1 sont

_égaux

à 1 ou 2.

Notons _que est une matrice de la forme

(Yn x. Zn 0 ).

D’après

(31)

et la _remarque

_1,

_{J2, 4, ... ,}

22n-l

_{[= ~o;1,1,1, 2, (g2 ), ...}

_ailleurs,

en

notant ln

la

longueur

du _{mot gn,} on a

Il

=

4, 12

= 6 _et

d’après

(ii),

ln

+ l2 + ...ln-1 =

5 x

2n-2

_{pour n &#x3E;}

_3,

ce

qui

démontre

(iii).

~

7.2. Généralisation de la

_{symétrie perturbée.}

Dans le résultat

_précédent,

la

_symétrie

du DFC a été occultée. Nous allons la remettre en évidence

sous une forme

_{plus générale.}

Soit _p un entier &#x3E;

_{2, k}

= _une suite d’entiers de

_{Z B {-1}}

et soit la suite définie par

Posons

Il est clair _que

_]a1,

_{a2, a3, ... ~}

_si

0 pour tout n. D’autre

_part,

posons

han

:= i _{-+- di Z +... + 1} avec an = al ... an- On a

immédiate-Ctyt al 010-2 Gi02’"OTt " * ’

ment les relations _{an+1 =} + et +

_1)an-Yn

+ 1 et donc

an et yn sont

toujours premiers

entre eux.

Soit wn

(n &#x3E; 1)

le mot de la suite des

_quotients

_partiels

définie par le

DFC de

_longueur

_paire

de a.

_{Classiquement,}

il existe un

_couple

_unique

’fn

d’entiers

_{(a~, ~y~)}

vérifiant simultanément Ce

_couple

est donné _{par .} Lemme 10.

Démonstration. En utilisant la définition des suites

_(an)n

et

_(T’n)n

et

Inégalité

anyn - ynan

=

1,

on obtient

d’où

_{(33). D}

étant donné un mot w = _{cl ... c,} avec r &#x3E; 2 et les _q, entiers &#x3E;

_1,

le lemme 10 et les relations

conduisent définir le mot

Enfin,

pour obtenir le DFC de

h

_an à

partir

de

(33),

il faut

envisager

d’une

part

le cas

où kn

=

0, qui

relève de la relation

IIcIIoIIc’

= d’autre

part

celui

_{où kn -2, qui}

fait intervenir

_{l’égalité}

pour k &#x3E; 2. Notons que les cas

particuliers

où k =

0,

-2 ont été étudiés avec une autre méthode _{par M.} Mendès France et J.O. Shallit

_[Me-Sh].

Définition. Soit w un mot dont les lettres sont dans

Z B

1-11

et

n’ayant

jamais

deux lettres consécutives 0 ou deux lettres 0

_séparées

_par un

1. On définit alors le mot de z,u comme étant celui obtenu en substituant tous les mots facteurs

_c[-k]c’

de z,v _par

[c

-

1]1[k -

2]1[c’ -

1],

puis

tous les mots facteurs

_c[O]c’

_par la lettre c -~- c’.

Notons _que

_p(w)

ne

_dépend

_pas de l’ordre suivant

lequel

on a effectué les diverses substitutions.

Théorème 8. Soit une suite

d’entiers ~

-1 et

(an)n&#x3E;l

la suite d’entiers donnée par c~l

= p &#x3E;

2 et _{an+1 =}

_(kn

+

_1)al

... an.

Définissons

la suite de mots

_(wn)n&#x3E;l

_par W1 :=

(p - 1]1,

_Wn+l := _pour rt &#x3E; 2 _{et posons}

_h

:=

â

+

1

+ ... +

d a 1 "Q .

.

Alors,

pour tout n, l’un

n ai ala2 ala2 n

des deux DFC de

_7n

est

_égal

à

_{[0; (wn)] .}

Démonstration. Le DFC de

_1!!.

est une

_conséquence

du lemme 10 et de la

On

définition de _u. D’autre

_part,

le DFC de _Xp,k est la limite de

_[0;

_quand

n tend vers l’infini. . D

Théorème 9. Dans le cas où les

(kn + 1)

ont un nombre

fini

de diviseurs

premiers,

les nombres _xp,k sont transcendants.

Démonstration.

_D’après

_(A),

an =

1)2l ai" 1.

Il existe

donc un ensemble fini de nombres

_premiers

S et un entier no tel que pour

n &#x3E; no, tout

élément q

de S divise an et tout nombre

premier

qui

n’est pas

dans S ne divise _{pas an.} Nous utilisons à la fois le théorème de Roth tel

qu’il

est

_présenté

dans

_{[La] (chapitre}

_VI,

th

_1,

_remarque

_{( v) )}

et la structure

multiplicative

des réduites

_~

de _Xp,k. Par la formule du

_produit,

où 1 - lq

est la valuation

_q-adique

usuelle sur

Q

(normalisée

_par

Iqlq

=

1).

Notons 1

. 10

la valeur absolue usuelle sur R et

_rappelons

que an et qn sont

premiers

entre eux. On a donc

ce

_qui

_implique

la transcendance de xp,k _par le théorème cité supra. 0

Remarque

4. S’il existe un réel e &#x3E; 0 tel _que +

₁₎

&#x3E;

_a~

pour une infinité de valeurs de _{n, alors Xp,k} est transcendant. C’est une

_conséquence

immédiate du théorème de Roth

_classique.

Nous laissons ouvert le cas des nombres _Xp,k restants.

7.3.

_Exemple.

Le résultat du théorème 8

_permet

de trouver les DFC de

plusieurs

types

de nombres transcendants. Certains résultats étaient

con-nus, d’autres sont nouveaux. En voici

_quelques

uns. 7.3.1. Nombres de Fredholm.

-

Si

_kn

= 0 _{pour tout} indice _n, alors

f (p)

et

pour

p &#x3E;

3 ;

les

_quotients

_partiels

ck sont tous dans

{p -

2, p, p

+

_2}

pour

k &#x3E; 2. Pour _p =

2,

pour tout indice n, alors Xp,k =

p f (P) -

1 et

Dans le cas où _{p =}

2,

il faut

remplacer

au début du

développement

la

séquence 1, 0,1

par 2. Les

quotients partiels

prennent

les valeurs

_1,

_{p -}

_2,

p - 1 et p si

_{p &#x3E;}

3 et 1 ou 2 si _p = 2.

- Si

kn

= -2 pour n

impair

et

_{kn =}

0 pour n

pair,

alors

7.3.2. Par

_analogie

avec les nombres de

_Fredholm,

on

_peut

définir la classe SF des nombres suivants :

_{SF(p) _}

_pour

_lesquels

ici

_kn

=

1. Le théorème 8

_permet

d’obtenir

pour

p &#x3E;

3. Ces nombres sont

_{transcendants,}

leur ordre

_{d’approximation}

est 3.

Par

_analogie

avec le lemme 8 et le théorème

7,

on

_peut

aussi définir les

DFC des nombres _par concaténation des DFC d’une suite de nombres rationnels. Précisons cela :

Proposition.

Soient les entiers rn

définis

par

ro - -1

et pour n &#x3E;

0,

’"" 9n - , " - ..

où _gn

_{(n &#x3E; 1)}

est le mot

_{correspondant}

aux

_{quotients partiels}

du DFC de

2x3"’

_rn

l ongueur

paire

d e