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L usage de calculatrices est interdit. L usage de tout ouvrage de référence et de tout document est interdit.

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(1)

CPGE TSI 2

CONCOURS BLANC PHYSIQUE

2 NOV 2020

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L’usage de calculatrices est interdit.

L’usage de tout ouvrage de référence et de tout document est interdit.

AVERTISSEMENT

De nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de prendre connaissance rapidement de la totalité du texte du sujet.

Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question posée.

ATTENTION : deux feuilles annexes sont à rendre avec la copie.

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.

Les candidats sont invités à faire une marge à droite de 5 cm, encadrer les résultats de leurs calculs, et tracer un trait en travers de toute la page entre deux questions.

Si l’une de ces consignes n’est pas respectée, vous perdrez 2 points sur 20.

(2)

Préliminaire 1

a) Que signifie le sigle ENSISA ? b) Où se trouve l’école ?

c) Est-elle publique ou privée ?

d) Comment y entre-t-on quand on est en CPGE TSI ?

e) Combien y a-t-il de filières ? de places dans chaque filière ?

f) Quelle serait la filière qui vous intéresserait et pourquoi (6 lignes … ) ?

Préliminaire 2 - Démonstration du Premier principe industriel Les hypothèses suivantes seront adoptées dans tout le sujet :

− le régime de fonctionnement de la machine est permanent,

− les variations d’énergie cinétique et potentielle de pesanteur du fluide traversant chaque partie du dispositif sont négligeables devant les autres formes d’énergie.

0(t) 0(t+dt)

B B’ B B’

A A’ A A’

Pe Ps

D D’ D D’

C C’ C C’

(t) (t+dt)

Le volume de contrôle A’BCD’ définit le système machine ouvert 0. La masse de fluide gazeux contenue dans ce volume est notée m0(t) à la date t et m0(t+dt) à la date t+dt.

Le fluide s’écoule du réservoir de pression Pe au réservoir de pression Ps (Pe > Ps) : pendant la durée dt, une masse δme (contenue dans le volume AA’D’D) entre par l’ouverture de section Se et une masse δms (contenue dans le volume BB’C’C) sort par l’ouverture de section Ss.

Le système fermé considéré pour cette étude occupe à l’instant t le volume ABCD et à l’instant t + dt le volume A’B’C’D’.

Pour les fluides entrant et sortant, u, h et v désignent respectivement l’énergie interne massique, l’enthalpie massique et le volume massique.

Les grandeurs d’échange massiques entre ce système et le milieu extérieur sont :

− le transfert thermique massique q,

− le travail massique utile wu fourni à l’intérieur de la machine par des pièces mobiles (ailettes ou pistons)

a) Établir un bilan de masse pour le système entre les instants t et t + dt.

En déduire une relation simple entre δme et δms.

b) Déterminer, en fonction de Pe, Ps, ve et vs , le travail wp exercé par les forces de pression sur le système entre les instants t et t + dt.

c) En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système entre les instants t et t+dt, montrer que : hs − he = wu + q.

Dans la suite du sujet on pourra appliquer cette relation, si nécessaire, sans la

démontrer de nouveau, mais en précisant ses conditions d’application.

(3)

Problème 1 - Principe d’un système de refroidissement

Le Grand Collisionneur de Hadrons (Large Hadron Collider ; LHC) est entré en fonctionnement en 2008. Il est situé dans un anneau de 27 kilomètres de circonférence et enterré à 100 m sous terre à la frontière franco-suisse, près de Genève. Le LHC est désormais le plus puissant des accélérateurs de particules au monde.

Dans les accélérateurs de particules, des protons (ou des ions) de très haute énergie circulant dans deux faisceaux tournant à contre-sens se choquent les uns contre les autres, dans le but de rechercher des indices de la supersymétrie, de la matière noire et de l’origine de la masse des particules élémentaires.

Afin d’éviter une perte d’énergie par effet Joule trop importante, le choix a été fait au LHC d’utiliser des matériaux supraconducteurs, notamment pour les bobines générant un champ électromagnétique. Il est nécessaire de refroidir ces matériaux en faisant circuler de l’hélium liquide à la température extrêmement basse de 1,9 K. Le refroidissement de l’hélium liquide utilisé se déroule en plusieurs phases ; une de ces phases utilise des turbines de réfrigérateurs afin de liquéfier l’hélium à la température de 4,2 K.

Le but de cette partie est d’étudier le fonctionnement d’un réfrigérateur.

(4)

A - Caractéristique d’un réfrigérateur ditherme réversible

Un fluide réfrigérant décrit un cycle ditherme réversible entre une source chaude de température Tc

et une source froide de température Tf . On note Qc et Qf les transferts thermiques algébriques reçus par le fluide, pendant un cycle, respectivement de la part des sources chaude et froide et W le travail reçu par le fluide pendant un cycle.

1. Dans le cas d’une machine frigorifique, quel milieu (extérieur ou intérieur du réfrigérateur) constitue la source chaude ? La source froide ?

2. Donner, en le justifiant pour une telle machine, les signes de Qc , Qf et W .

3. À partir du premier principe de la thermodynamique, exprimer la relation entre Qc, Qf et W.

4. Définir l’efficacité η de la machine frigorifique puis l’exprimer en fonction de Qc et Qf. 5. À partir du deuxième principe de la thermodynamique, établir la relation entre Qc, Qf , Tc et Tf

pour le cycle réversible du réfrigérateur .

6. En déduire que, pour le réfrigérateur réversible, l’efficacité η s’écrit : η = Tf

Tc−Tf

7. Calculer η pour Tc = 300 K et Tf = 280 K.

B - Étude d’un réfrigérateur réel

Le schéma de la figure 5 décrit le fonctionnement d’une machine frigorifique réelle. Elle comporte quatre éléments : un compresseur, un condenseur, un détendeur et un évaporateur.

Le fluide réfrigérant est de l’ammoniac.

Données sur l’ammoniac :

Soit γ = 1,3 = cp/cv , le rapport des capacités thermiques massiques à pression et à volume constants.

Relation de Mayer : cp - cv = R/M

Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K-1.mol-1 Masse molaire : M = 17,0 g.mol-1

Enthalpie massique de vaporisation à T1 = 263 K (ou chaleur latente massique de vaporisation) :

l

vap(T1) = 1450 kJ.kg-1

(5)

Description du cycle réfrigérant :

L’ammoniac est considéré comme un gaz parfait à l’état gazeux.

- L’ammoniac sort de l’évaporateur sous forme de vapeur saturante à l’état 1 (pression P1, température T1)

- L’ammoniac gazeux subit ensuite, dans le compresseur, une compression adiabatique et réversible qui l’amène à l’état 2.

- La vapeur subit dans le condenseur une transformation à pression constante : elle est d’abord refroidie jusqu’à la température de l’état 3, notée T3, où elle commence à se condenser jusqu’à liquéfaction totale (état 4).

- L’ammoniac liquide passe ensuite dans le détendeur où il subit une détente isenthalpique qui le ramène à la pression initiale P5 = P1 et à la température T5 (état 5).

- La vaporisation du liquide restant se termine dans l’évaporateur pour un retour à l’état 1

La fraction massique en vapeur sera notée x. Pour un mélange binaire liquide/vapeur, elle a pour expression x = 𝑚𝑣

𝑚𝑣+𝑚𝑙 où mv est la masse de vapeur et ml est la masse de liquide.

Aide aux calculs pour cette partie

8. Représenter l’allure de ce cycle dans le diagramme de Clapeyron (Pression P, volume massique v) et dans un diagramme T-s (température T en ordonnée, entropie massique s) en utilisant le document ANNEXE 1.

9. Donner les valeurs numériques de la fraction massique de la vapeur : x1, dans l’état 1.

x3, dans l’état 3.

x4, dans l’état 4.

Calcul des températures T2 et T3

10. Pourquoi l’entropie massique ne varie-t-elle pas entre les états 1 et 2 ? 11. En déduire l’expression de T2 en fonction de T1, P1, P2 et γ.

12. Calculer T2.

13. Démontrer l’expression de la capacité thermique massique à pression constante cp de l’ammoniac gazeux en fonction de γ , R et de la masse molaire M de l’ammoniac.

(6)

14. Exprimer la variation d’enthalpie massique Δh2→3 entre les états 2 et 3 en fonction de T2, T3, M, R et γ.

15. Calculer T3. Calcul de x5 et de Qf

16. Justifier que la variation d’enthalpie massique Δh5→1 s’écrit : Δh5→1 = h1 - h5 = (1 - x5)

l

vap (T1)

17. En écrivant le premier principe de la thermodynamique sur un cycle et en considérant que (h1 - h5) +(h5 - h4) + (h4 - h2) + (h2 - h1) = 0,

montrer que le travail W de compression sur le cycle s’écrit : W = m (h2 – h1) , où m désigne la masse de fluide contenue dans le réfrigérateur.

18. Exprimer puis calculer l’efficacité ηr du réfrigérateur réel.

19. Comparer à l’efficacité calculée à la question 7 et commenter.

PROBLEME 2 -

CONDITIONNEMENT D’AIR & FLUIDE A GLISSEMENT DE TEMPERATURE L’objet de ce problème est d’étudier un modèle simplifié de pompe à chaleur (PAC), destiné au conditionnement air-air et qui fonctionne avec le nouveau fluide frigorigène « R 407C », mélange de fréons dont les propriétés sont adaptées aux nouvelles exigences environnementales.

Le principe d’une pompe à chaleur (PAC), destinée au chauffage d’une maison d’habitation, est de prélever de l’énergie dans l’atmosphère extérieure et de céder ensuite de l’énergie thermique à l’air intérieur de l’habitation (PAC air-air).

Dans cette machine, le fluide décrit un cycle à compression de vapeur, constitué des étapes décrites ci- dessous. Les valeurs numériques des principaux paramètres associés, notamment enthalpie et entropie massiques, sont précisées sur la figure f.1, pour un fonctionnement en saison hivernale. Le système thermodynamique étudié est le fluide de la machine.

Description du cycle :

- Dans l’évaporateur F-A, le fluide achève, dans un premier temps, sa vaporisation en restant sous la pression de vaporisation (ou pression de vapeur saturante) P2 constante et se retrouve à l’état de vapeur tout juste saturante (état G). Dans un second temps, toujours sous la pression P2, le gaz subit une élévation de température T = +5 K au-dessus de la température de rosée, ce qui l’amène à l’état A.

- Le mélange R 407C quitte alors l’évaporateur et rentre dans le compresseur A-B où il subit une compression. Le gaz sort du compresseur à la température TB et sous la pression P1 (état final B).

- Dans le condenseur B-E, le fluide subit un processus entièrement isobare, sous la pression de condensation (pression de vapeur saturante) P1 constante. Le fréon gazeux se refroidit, dans un premier temps, jusqu’à la température de rosée (état C) puis, dans un second temps, se liquéfie complètement (état D) avant de subir, à l’état liquide, une baisse de température T = -5 K, ce qui le conduit à l’état E.

- Le corps pur, à l’état liquide (état E), pénètre dans le détendeur E-F où il subit une détente isenthalpique (ou isenthalpe), ce qui lui permet de passer de la pression P1 à la pression P2. Cette détente s’accompagne d’une vaporisation partielle du liquide caractérisée par la fraction massique xv en vapeur (avec 0 < xv < 1)

(7)

Hypothèses de travail :

- Les variations d’énergie cinétique macroscopique et d’énergie potentielle de pesanteur du fluide sont négligées dans tout le problème.

- L’installation fonctionne en régime permanent et stationnaire.

- La vapeur du fluide R 407C est assimilée à un gaz parfait.

→ Les calculs numériques seront menés en respectant le nombre de chiffres significatifs de l’énoncé.

Notations des constantes :

• M (unité : kg.mol-1) : masse molaire moyenne du mélange R 407C ;

•  =

m v,

m p,

C

C : caractéristique énergétique du fluide gazeux, avec Cp,m et Cv,m (unité : J.mol-1.K-1), coefficients

thermiques molaires (ou chaleurs molaires), respectivement à P et V constants ;

• cp,vap (unité : J.kg-1.K-1) : coefficient (ou capacité) thermique massique, à pression constante, du fluide gazeux ;

• R (unité : J.mol-1.K-1) : constante du gaz parfait, avec r = M

R .

→ De nombreuses questions peuvent être traitées de manière indépendante.

(8)

Cycle et diagrammes ( 30 % des points)

1. Compléter la figure f.2 de la feuille annexe en :

- identifiant clairement les principaux organes (numérotés de 1 à 4) de la machine thermique : détendeur, compresseur, évaporateur et condenseur ;

- situant, sur le parcours du fluide et aux sommets du rectangle, quatre des sept points représentatifs des états A, B, C, D, E, F et G.

(→ Feuille annexe à rendre avec la copie)

2. Pourquoi ce cycle est-il qualifié de cycle récepteur ?

3. Quel est le rôle du condenseur ? Se trouve-t-il à l’intérieur ou à l’extérieur de l’habitation ?

4. A partir de l’identité thermodynamique sur l’enthalpie massique, démontrer que, dans la partie correspondant à l’état gazeux (parfait) du diagramme entropique (s en abscisse, T en ordonnée), une isobare est représentée par une exponentielle.

5. Représenter le cycle complet du fluide R 407C sur les trois figures f.3, f.4 et f.5 des feuilles réponses annexes, en repérant, à chaque fois, les sept points représentatifs A, B, C, D, E, F et G. Les diagrammes à compléter sont les suivants :

a) diagramme de Clapeyron P = f(v) (avec v volume massique du mélange) (figure f.3) ; b) diagramme des frigoristes log P = f(h) (figure f.4) ;

c) diagramme entropique  = f(s), avec  température en °C (figure f.5).

(→ Feuille annexe à rendre avec la copie)

ON JUSTIFIERA LA POSITION DES POINTS EN PRECISANT LES DONNEES DE L’ENONCE UTILISEES, ET EN SURLIGNANT LES ISOBARES P1 ET P2

6. Les échanges thermiques du fluide avec les sources sont-ils réversibles ou irréversibles ? - Justifier la réponse (trois lignes maximum).

- Si ces transferts thermiques sont jugés irréversibles, proposer un type d’échangeur susceptible de diminuer l’entropie créée par irréversibilité.

Etude de la compression ( 10 % des points) La compression est supposée adiabatique.

7. Exprimer le coefficient (ou capacité) thermique massique à pression constante cp,vap du fluide vapeur, en fonction de r (défini dans l’énoncé) et .

8. Les températures TA et pressions PA et PB des états A et B étant connues, établir, dans l’hypothèse d’une compression adiabatique et réversible (compresseur dit isentrope), l’expression littérale de la température de sortie TB du compresseur.

9. Montrer que les données (numériques et/ou graphiques) ne plaident pas en faveur d’une transformation A-B réversible.

10. Pour cette question, les données de l’énoncé sont : PA, PB, TA, TB, r et . Etablir, à l’aide de tout ou partie de ces grandeurs, l’expression littérale des variations d’enthalpie massique hAB et d’entropie massique sAB du fluide.

11. Comment déterminer le travail massique indiqué wi = wAB reçu par le fluide, au cours de la compression ?

12. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer : a) le travail indiqué massique wi = wAB du mélange R 407C ;

b) la variation d’entropie massique sAB correspondante.

(9)

Passage dans le condenseur ( 5 % des points)

Le condenseur ne comporte aucune partie mobile.

13. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer :

a) l’enthalpie massique de vaporisation h(P1) du R 407C sous la pression P1 fixée (mais à température non constante) ;

b) la chaleur massique qcond échangée par le fluide dans le condenseur.

Passage dans le détendeur (laminage) ( 15 % des points)

Le détendeur est un tube capillaire de cuivre, de 2 à 3 m de long, indéformable et qui n’échange pas de chaleur, chargé de créer une grande perte de charge entre le condenseur et l’évaporateur.

14. Démontrer que la transformation (ou laminage) dans le détendeur est isenthalpique.

15. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer la variation d’entropie massique s, ainsi que les entropies massiques échangées se et créée sc correspondantes. Le signe de la variation d’entropie s est-il prévisible sans calcul ?

16. Soit g une grandeur massique extensive (volume massique ou énergie massique ou entropie massique) caractérisant un système diphasé liquide-vapeur.

Démontrer le théorème des moments, qui relie g à la fraction massique de vapeur xv

17. Application numérique : après exploitation d’un des graphes (figures f.4 ou f.5), calculer la fraction massique moyenne xv en vapeur (égale à la masse de la phase vapeur, tous constituants confondus, rapportée à la masse totale des phases liquide et vapeur) à la sortie du détendeur, sachant que les volumes massiques des phases vapeur et liquide valent respectivement, en ce point :

vv = 5,00.10-2 m3.kg-1 et vl = 8,30.10-4 m3.kg-1. Passage dans l’évaporateur ( 5 % des points)

L’évaporateur ne comporte aucune partie mobile.

18. Pourquoi le fluide ne doit-il pas pénétrer dans le compresseur dès l’état G ?

19. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer la chaleur massique qévap échangée par le fluide dans l’évaporateur.

Coefficient de performance (COP) ( 15 % des points)

20. Le compresseur est entraîné par un moteur électrique de rendement électromécanique él = 0,800. Le rendement mécanique m du compresseur est supposé ici, pour simplifier, égal à 1. Comment définir, ici, le coefficient de performance (COP) de cette machine thermique ?

21. Bien que le coefficient de performance dépende du type d’installations, des conditions climatiques et de nombreux paramètres, proposer un ordre de grandeur habituellement admis pour le COP des pompes à chaleur destinées au chauffage des maisons individuelles.

22. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé (fonctionnement hivernal), calculer le COPhiver de la machine.

(10)

23. Quel(s) avantage(s) présente ce chauffage par rapport au chauffage électrique ? Quels peuvent être aussi les inconvénients d’une PAC air-air ?

24. Sur le diagramme P = f(v) de la figure f.3, au cycle déjà représenté dans le cadre de la question 9.a, superposer en pointillés le cycle du fluide imaginé sans les étapes G-A et D-E.

(→ Feuille annexe à rendre avec la copie)

25. D’un point de vue énergétique, montrer, sans calcul, que les étapes G-A et D-E favorisent le COP.

Fonctionnement de l’installation domestique ( 20 % des points)

Cette pompe à chaleur sert à compenser l’énergie cédée, par une maison d’habitation, à l’atmosphère extérieure en saison hivernale, du fait d’une isolation non idéale. La PAC permet donc de maintenir l’air intérieur à la température Th constante, alors que la température extérieure, plus basse, vaut Te. Dans le but d’évaluer la puissance mise en jeu, le chauffage est interrompu : la température de l’air intérieur (supposée uniforme) passe alors, au bout d’une durée , de la température Th à la température T =

2 T Th + e

.

26. Au cours du refroidissement, la puissance thermique reçue algébriquement par l’air de la maison s’écrit : Pth,pertes = - k C [T(t) – Te], puissance comptée négativement. Dans cette expression, C désigne la capacité thermique de l’air intérieur, T(t) la température intérieure (supposée uniforme) à l’instant t et k une constante positive dépendant de l’isolation.

a) Vérifier la cohérence de la loi définissant la puissance Pth,pertes (en particulier, justifier la présence du signe « - » placé devant la constante k).

b) Etablir l’équation différentielle vérifiée par la température T(t) de l’air intérieur de l’habitation.

c) En déduire, en fonction de , l’expression de la constante k.

27. En régime permanent, une puissance électrique moyenne Pél est nécessaire pour faire « tourner » la PAC et maintenir la température de l’atmosphère intérieure à la valeur constante Th. Soit Dm,fl le débit massique moyen du fluide dans la machine.

a) Relier la puissance électrique moyenne Pél reçue à la différence de températures (Th – Te).

b) Même question pour le débit massique moyen Dm,fl du R 407C dans la machine.

28. L’air du logement, qui traverse l’échangeur intérieur, subit une variation de température Ta. La capacité thermique massique constante de l’air vaut cp,a. Relier le débit massique moyen Dm,a de l’air à travers l’échangeur (composé, en réalité, de plusieurs échangeurs) au débit moyen Dm,fl du R 407C.

29. Application numérique :

•  = 6,93.102 s ; C = 1,00.106 J.K-1 ; (Th – Te) = 10,0 K ; Ta = 10,0 K ; cp,a = 1,00 kJ.kg-1.K-1 ;

• la chaleur massique libérée dans les échangeurs intérieurs vaut q = 2,00.105 J.kg-1 ;

• le coefficient de performance est estimé à la valeur COPhiver = 4,00 ;

• aide au calcul : ln 2  0,693.

Calculer, en n’utilisant que les données numériques proposées dans cette question 35 et en respectant le nombre de chiffres significatifs, les quatre grandeurs k, Pél, Dm,fl et Dm,a.

(11)

ANNEXE PROBLEME 1 NOM ci-dessous les diagrammes de l’ammoniac, à compléter et à rendre avec la copie la courbe en pointillés représente la courbe de saturation

Température T

Entropie massique s

(12)

ANNEXE PROBLEME 2 NOM

(13)
(14)

CORRIGE Banque PT 2017 Pompe à chaleur

1. Figure f2 : il faut JUSTIFIER la place des organes et des points

Il faut donc ANALYSER LE CYCLE AVANT de répondre à la moindre question, et surtout préciser la PHASE liq, vap, etc… du fluide en chaque point

A 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛

→ B 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑒→ C 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑒→ D 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑒→ E 𝑑é𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑠𝑜−𝐻

→ F 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑒→ G 5 bar 18 bar 18 bar 18 bar 18 bar 5 bar 5 bar

Gaz gaz vap sat liq sat liq liq+gaz Vap sat

isobare

On connait l’enchainement des (T) : Evaporateur – Compresseur – Condenseur – Détendeur Pour une PAC : l’agent thermique (fluide R407C) reçoit de la chaleur de la source froide (extérieur) et donne de la chaleur à la source chaude (intérieur de l’habitation)

Lors d’une vaporisation, le fluide reçoit de la chaleur, on peut donc placer l’évaporateur dans le bloc 1, le reste est automatique.

2. Cycle récepteur car l’agent thermique reçoit du travail pour décrire le cycle (Wcycle >0) Le cycle sera tracé dans le sens INVERSE des aiguilles d’une montre

3. Dans le condenseur, le fluide se liquéfie en cédant un transfert thermique à l’environnement car la liquéfaction est un processus exothermique. Le condenseur se trouve donc à l’intérieur de l’habitation que l’on veut chauffer avec la PAC.

4. Déterminons l’équation d’une isobare en diagramme (T, s).

D’après la 2ème identité thermodynamique écrite en grandeurs massiques : dh = T ds + v dP pour une isobare : dP = 0

pour un gaz parfait (2ème loi de Joule) dh = cP dT donc cP dT = T ds

Soit dT

ds - T

cP = 0 donc T = A exp(s

cP) , avec A une constante d’intégration (inutile de la déterminer).

Ainsi, une isobare est bien représentée par une exponentielle dans le diagramme (abscisse s, ordonnée T)

5. Pour bien placer les points il faut repérer sur les 3 diagrammes les isobares P2 = 5 bar et P1 = 18bar, placer en premier les points vapeur saturant (C et G) et liquide saturant (D) Pour les diagrammes 2 et 3 on place les points grâce aux valeurs de h et s.

(15)
(16)

6. Les échanges thermiques avec les sources sont nécessairement irréversibles, car il y a un écart de température entre le système et le milieu extérieur, donc des inhomogénéités. Pour diminuer l’entropie créée, il faut diminuer l’écart de température ... mais conserver le même fonctionnement implique alors d’augmenter la longueur de l’échangeur.

7. On utilise la relation de Mayer :

en grandeurs molaires CPm – Cvm = R en grandeurs massiques cP – cv = r par définition γ = 𝐶𝑃𝑚

𝐶𝑉𝑚 = 𝑐𝑃

𝑐𝑉

on en déduit CPm = 𝛾

𝛾−1 R ou cP = 𝜸

𝜸−𝟏 r

8. AB est une compression adiabatique, réversible d’un gaz parfait, on peut donc appliquer la relation de Laplace PVγ = cte soit en remplaçant V par nRT/P P 1-γ Tγ= cte

Donc PA1-γ TA γ = PB1-γ TB γ d’où TB = TA(𝐏𝐀

𝐏𝐁)(1-γ ) / γ

9. La (T) AB est adiabatique donc séch = 0 Donc sB - sA = scréée

Or d’après la figure f1 de l’énoncé, sB > sA , donc scréée>0, donc la compression est irréversible 10. Entre A et B le fluide est un gaz parfait

ΔhAB = 𝛾

𝛾−1 r (TB - TA)

ds = dh/T -v/T dP = cP dT/T – r dP/P donc ΔsAB = 𝛾

𝛾−1 r (lnTB - lnTA) – r (lnPB - lnPA)

(17)

11. On applique le premier principe au compresseur, calorifugé par hypothèse, en négligeant les variations d’énergie cinétique et potentielle : ∆hAB + 0 + 0 = wAB + 0 12. wAB = hB - hA = 43 kJ.kg -1 ΔsAB = sB - sA = 0,03 kJ.K-1 kg -1

13. a) Par définition, l’enthalpie massique de vaporisation ∆h(P1) est la différence d’enthalpie massique entre la vapeur saturante (sèche) et le liquide juste saturant, qu’on lit sur la courbe de saturation, soit ici

∆h(P1) = hvap sat - hliq sat = hC - hD = 280 – 120 = 160 kJ.kg -1

b) On applique le premier principe au condenseur, sans partie mobile par hypothèse (travail utile nul), en négligeant les variations d’énergie cinétique et potentielle (cf énoncé) :

∆hBE + 0 + 0 = qcond + 0 donc qcond = hE - hB = 113 – 318 = -205 kJ.kg -1

Le signe - est cohérent avec le fait que c’est dans le condenseur que le fluide cède de l’énergie à l’intérieur de l’habitation 😊

14. Pas de pièces mobiles dans le détendeur, celui-ci est calorifugé, on néglige les variations d’énergie cinétique et potentielle ∆hEF + 0 +0 = 0 + 0.

On a donc bien une détente isenthalpique, hE = hF = 113 kJ.kg -1 15. ΔsEF = sF - sE = 0,03 kJ.K-1 kg -1

Le second principe s’écrit Δs = se + sc

La (T) est adiabatique donc se = 0 , sc est toujours positive (ou nulle si (T) réversible) on vérifie donc bien ΔsEF = sc > 0 , la détente est irréversible

16. Soit G une grandeur extensive (Volume V, énergie U, entropie S, etc…) et g la grandeur massique associée. Soit un système diphasé liquide-vapeur

Par extensivité G = Gliq +Gvap

Par définition de g : m g = m liq.g liq + m vap g vap

La fraction massique de vapeur est xv = m vap/m ; La fraction massique de liquide est xl = m liq/m On obtient donc g = x liq.g liq + xv g vap

17. Par lecture sur le graphe f4 ou f5 le volume massique en F est vF= 0,015 m3 kg -1 Théorème des moments : vF = xv vv + (1 - xv) vl donc xv =𝑣𝐹− 𝑣𝑙

𝑣𝑣− 𝑣𝑙 ≈ 0,3 soit 30% de vapeur 18. En G le fluide est sous forme de vapeur saturante, une petite perturbation pourrait le rendre en

partie liquide, ce qui abimerait le compresseur

19. On applique le premier principe à l’évaporateur FGA, sans partie mobile par hypothèse (travail utile nul), en négligeant les variations d’énergie cinétique et potentielle :

∆hFA + 0 + 0 = qévap + 0

qévap = hA - hF = 275 - 113 = 162 kJ.kg -1

l’agent thermique reçoit ici de la chaleur depuis l’extérieur 20. COP ou rendement COP = é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒

é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑐𝑜û𝑡𝑒𝑢𝑠𝑒= − 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑

𝑤𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒= −𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑𝑤𝑖

0,8

= …

21. Classiquement, une PAC domestique a un COP annuel moyen de l’ordre de 2 ou 3 mais le COP annoncé sur la documentation, mesuré dans des conditions optimales, peut atteindre 6.

22. COPhiver = 0,8 . 205/43 ≈ 3,8

(18)

23. Avec un simple chauffage électrique, 1 J d’électricité consommée permet de transmettre au plus 1 J de transfert thermique à l’habitation.

Avec une PAC comme celle envisagée l’habitation reçoit 3,8 J de transfert thermique pour 1 J électrique consommé, les 2,8 J en surplus provenant de l’air extérieur qui est gratuit. C’est donc un système de chauffage très rentable !

De plus, une PAC en fonctionnement ne rejette pas de CO2, au contraire d’une chaudière à gaz ou au fioul.

De plus les PAC sont fréquemment réversibles et permettent de climatiser l’été.

Les inconvénients majeurs d’une PAC air-air sont d’une part son insuffisance lors des grandes vagues de froid, qui nécessite un système d’appoint, son incapacité à fournir l’eau chaude sanitaire (évidemment !) et le fait que l’air chaud est transmis à l’habitation sous forme de ventilation, ce qui peut être générateur de courants d’air et de nuisances sonores. De plus, son installation est généralement plus coûteuse que celle d’une chaudière à gaz.

24.

25. q cond est plus important avec BE qu’avec B’D (voir figure f4, avec h en abscisse)

Qualitativement, le travail fourni par le compresseur représente l’aire sous la courbe de la transformation A-B dans le diagramme de Clapeyron : on constate qu’elle est approximativement la même avec et sans surchauffe et sous-refroidissement.

Donc le rapport qcond/w est plus grand avec les étapes GA et DE

26. a)Comme la puissance est comptée algébriquement, la puissance échangée par l’air est négative, ce que traduit le signe « - » car T > Te.

Par ailleurs, il est logique que la puissance fasse intervenir la différence de température : si les températures sont égales alors il n’y a plus de transfert thermique entre l’habitation et l’extérieur.

L’expression donnée n’est autre que la loi de Newton.

b)Procédons à un bilan d’enthalpie de l’habitation entre t et t + dt, le chauffage étant arrêté dH = C dT = - k C [T(t) – Te].dt

d’où dT

dt +kT = kTe

c) Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : T(t) = A e-kt+ Te

à l’instant initial : T(t=0) = Th

d’où on conclut : T(t) = (Th - Te) e-kt + Te.

(19)

à l’instant τ : T(t=τ) = (Th + Te)/2 = (Th - Te) e-kτ + Te

ce qui donne après 2 calculs : k = ln2 / τ

27. a) En régime stationnaire, la puissance thermique PPAC reçue par l’habitation depuis la PAC compense exactement les pertes : PPAC – kC (Th - Te) = 0 avec PPAC > 0

et par définition du COP : COP Pél– kC (Th - Te) = 0 ce qui donne Pél = kC(Th - Te) / COP

b) D’après le premier principe appliqué à l’agent thermique dans le condenseur : - PPAC = D,m,fl qBE

donc Dm,fl = - kC(Th - Te) / qcond où le transfert thermique qcond a été calculé question 19.

28. Le premier principe appliqué à l’échangeur double flux globalement calorifugé donne Dm,a ha + Dm,fl hfl = 0

et en assimilant l’air à un gaz parfait on a d’après la loi de Joule D m,a c P,a Ta + D m,fl qcond = 0 ce qui conduit à D m,a = …

29. On trouve en prenant -qcond = |q|

k = 1,00 · 10-3 s Pél = 2,50 kW D m,fl = 5,00 · 10-2 kg · s-1D m,a = 1,00 kg · s-1.

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