(1)Calcul intégral

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(1)Calcul intégral. Exercices pour s’entraîner :. FR AN K. Exercice 1 : Calculer les intégrales √3. −3. π. I =∫ e cos t sint dt. x +1 dx −4 (x ²+2 x) ². J =∫. ;. 0. ;. x dx √ 2 √ x ²−1. K=∫. e. ;. L=∫ 1. ln x dx x. Exercice 2 :. On considère les fonctions f et g définies sur ] 0 ;+∞[ par f (x )=( x−4)( x−1) et g( x )=( x−4) ln x . 1) Démontrer que les courbes de f et de g admettent la même tangente au point d’abscisse 1.. 2) On pose φ ( x)=x−1−ln x . a) Montrer que pour tout x ∈]0 ;+∞ [ , φ ( x)≥0 . b) Montrer que f (x )− g( x )=( x−4) φ ( x) . c) En déduire la position relative des courbes de f et de g.. 3) Soit G la fonction définie sur ] 0;+∞[. 1 1 3 9 par G( x)=4 x ln x− x ² lnx+ x − x ² . 2 3 4. a) Calculer la dérivée de G. b) En déduire l’aire du domaine coloré.. Exercice 3 : Longueur de la chaînette. La forme prise par une chaîne suspendue est modélisée par la fonction f définie sur. ℝ par f (x )=. x. e +e 2. −x. .. 1) a)Montrer que la fonction f est paire. Interpréter graphiquement. b) Calculer la limite de f en +∞ c) Démontrer que f est strictement croissante sur [ 0 ;+∞ [ d) En déduire le tableau des variations complet de f sur ℝ . 2) La longueur de l’arc de courbe représentative d’une fonction f sur un intervalle [a;b] est donnée par b. L=∫ √1+f ' 2 (x)dx . a. 2. a) Exprimer 1+f ' ( x) en fonction de x. b) En déduire la longueur de la courbe de f sur [-2;2].. Exercice 5 : Intensité efficace. L’intensité, en ampères, d’un courant alternatif de période T est donnée à l’instant t par 2π où I M est l’intensité maximale du courant et ω = . T. i(t)=I M sin(ω t ). A.. L’intensité efficace I eff d’un courant alternatif est égale à l’intensité du courant continu dissipant la même énergie que i à travers une résistance sur une période T.. √. On admet que 1) Exprimer. T. 1 I eff = ∫ i ² (t) dt . T 0. T en fonction de ω .. 2) En utilisant la formule. 1 sin 2 x = (1−cos(2 x)) , exprimer 2. T. 3) Calculer. ∫ i ² (t) dt 0. puis en déduire que. I eff =. IM . √2. i ² (t) en fonction de cos(2 ω t ) ..

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(1)Calcul int&eacute;gral

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