Mes exercices "originaux"
Exercice : Voici la représentation graphique d’une fonction f.
a ) Quelle est l’image de 10 par f ?
b ) Quelles sont les antécédents de – 40 par f ?
c ) Quelle est le minimum de la fonction f et préciser pour quelles valeur il est atteint.
d ) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = – 10.
e ) Cette représentation graphique est celle de la température (en degré Celsius) en fonction de l’altitude (en km).
1° ) Un avion a une altitude de croisière de 10 km. Quelle est la température à cette altitude ?
2° ) Un avion laisse une traînée blanche derrière lui lorsque la température extérieures est inférieure à – 40°C. A partir de quelle altitude l’avion laisse-t-il une traînée blanche derrière lui ?
Correction :
a ) L’image de 10 est f ( 10 ) = – 50
b ) Les antécédents de – 40 sont 8 ; 32 et 64.
c ) La fonction f atteint un minimum pour x = 84 et ce minimum vaut – 85 d ) Les solutions de l’équation f ( x ) = – 10 sont : 4 ; 44 et 54
e ) 1° ) à 10 km d’altitude il fait – 55°C
2° ) A partir de 8 km d’altitude il fait moins de – 40°C et donc l’avion laisse une traînée blanche.
y (°C)
0 10 60
– 50 10
x (km)
Exercice : Le bois flotte en général tandis que le métal coule dans l’eau.
En fait, un objet flotte dans l’eau s’il est plus léger que le même volume d’eau et il coule s’il est plus lourd.
On sait que 1 L d’eau fait 1 kg et que 1 L = 1 dm3
a ) Un cylindre de rayon 10 cm et de hauteur 50 cm pèse 15 kg.
Ce cylindre flotte t-il ou coule t-il ?
b ) Un pavé droit de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm flotte.
Que peut-on dire de sa masse ?
c ) A la piscine, on flotte lorsqu’on a les poumons pleins mais on finit par couler lorsqu’on les vide suffisamment.
Sachant que la différence de volume entre les poumons pleins et les poumons vides est d’environ 3 L, donner un encadrement du volume V d’une personne de 50 kg qui a ses poumons à moitié pleins.
Correction de l’exercice :
a ) le rayon du cylindre est 10 cm = 1 dm et sa hauteur est 50 cm = 5 dm Le volume du cylindre est V = B × h = π r ² h = π × 1² × 5 ≈ 15,7 dm3≈ 15,7 L Donc le cylindre flotte car son volume est supérieur à 15 L.
b ) Le pavé a pour longueur 40 cm = 4 dm, de largeur 20 cm = 2 dm et de hauteur 30 cm = 3 dm.
Son volume est V = L × l × h = 4 × 2 × 3 = 24 dm3 = 24 L
Puisqu’il flotte, alors il est plus léger que 24 kg : sa masse est donc inférieure à 24 kg.
c ) Les poumons pleins, le volume de cette personne est V + 1,5 L et puisqu’il flotte on peut dire que V + 1,5 >50 donc que V > 48,5 L
Les poumons vides, le volume de cette personne est V – 1,5 L et puisqu’il coule on peut dire que V – 1,5 < 50 donc que V < 51,5 L
Finalement, on peut dire que : 48,5 < V < 51,5
Autrement dit, le volume V est compris entre 48,5 L et 51,5 L
8 cm 60°
48°
42° 7 cm
E
D A
B
C Exercice : Réalise la figure ci-dessous en vraies grandeurs.
4,5 cm 8 cm
6 cm 80°
80°
E
D C
B A
Eléments de correction : le triangle ABE se construit sans difficulté avec ses instruments de géométrie.
(AB) et (CD) sont parallèles car les angles ♀B et ♀C sont alternes-internes et ont la même mesure.
Donc d’après le théorème de Thalès, on a : ED 8 = 4,5
6 donc ED = 8 × 4,5
6 = 6 cm Ceci permet de construire le triangle DEC.
Exercice : reproduire la figure ci-dessous en vraies grandeurs.
Solution :
Le triangle ABC est rectangle en C car ♀C = 180 – (42 + 48) = 90°
Donc le triangle CED est aussi rectangle en C.
Dans le triangle CED rectangle en C on a : cos(60) = CD
8 donc CD = 8 cos(60) = 4 cm Les informations ♀C = 90° et CD = 4cm suffisent pour tracer la figure en vraies grandeurs.
Exercice : Connaissant ses 5 premières tables de multiplication, on peut retrouver les autres en procédant comme dans l’exemple suivant : retrouvons le résultat de 6 × 8
sur la main gauche, on indique 6 – 5 = 1 sur la main droite, on indique 8 – 5 = 3
Le nombre de doigts tendus indiquent le nombre de dizaines : 1 + 3 = 4 dizaines La multiplication des doigts pliés indiquent les unités : 4 × 2 = 8
On retrouve bien que 6 × 8 = 48
a ) Retrouver le résultat de 7 × 9 en procédant de la même manière (préciser les calculs qui permettent de trouver les dizaines et les unités).
b ) Prouver qu’on a l’égalité suivante :
x × y = 10 ( x – 5 ) + 10 ( y – 5 ) + ( 10 – x ) ( 10 – y ) c ) On considère deux nombres entiers x et y compris entre 5 et 10.
En trouvant à quoi correspondent les différentes parties de l’égalité ci-dessus, expliquer pourquoi cette égalité permet de comprendre le fonctionnement de ce procédé.
Correction :
a ) pour trouver les dizaines, on fait 2 + 4 = 6 et pour trouver les unités on fait 3 × 1 = 3 On retrouve bien que 7 × 9 = 63
b ) On a :
10 ( x – 5 ) + 10 ( y – 5 ) + ( 10 – x ) ( 10 – y ) = ◙10 x – 50 + ◙◙◙◙10y – 50 + 100 –◙◙◙◙10y – ◙10 x + x y = x × y c ) x × y : c’est le résultat qu’on cherche à retrouver
x – 5 indique le nombre de doigts tendus sur la main gauche y – 5 indique le nombre de doigts tendus sur la main droite 10 – x indique le nombre de doigts pliés sur la main gauche 10 – y indique le nombre de doigts pliés sur la main droite
Le procédé demande de faire : 10 ( x – 5 ) + 10 ( y – 5 ) + ( 10 – x ) × ( 10 – y )
Le résultat correspond bien x × y d’après l’égalité prouvée dans la question précédente.
Exercice 6 : 7 points
Un cycliste descend la pente [CB] schématisée sur la figure ci-dessous où : AC = HB = 300 m, BD = 375 m, AH = 100 m et ☺BAC = 90°
1. Prouve que BC = 500 m.
2. Prouve que les droites (AC) et (HD) sont parallèles.
3. Le cycliste s’arrête au point D sur le chemin.
Calculer la hauteur DH qu’il lui reste à descendre.
4. Le dénivelé d’une pente se calcule avec la formule : dénivelé = distance verticale parcourue
distance horizontale parcourue et on donne le résultat en pourcentage.
Calculer le dénivelé de la pente [CB]
Correction de l’exercice 6 :
1. Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²
On a AB = 100 + 300 = 400 m
BC² = 400² + 300² = 250 000 donc BC = 250 000 = 500 m.
La longueur BC est égale à 500 m.
2. Dans le triangle ABC, on sait que :
o D est un point de (CB) et H est un point de (AB),
o BC BD = 500
375 et BA BH = 400
300 = 4 3
o 500 × 3 = 1 500 et 375 × 4 = 1 500
o Les produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales : BC BD = BA
BH
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut dire que les droites (AC) et (HD) sont parallèles.
3. Dans le triangle ABC, on sait que :
o D est un point de (CB) et H est un point de (AB),
o (AC) // (HD).
D'après le théorème de Thalès, on a : BC BD = BA
BH = CA DH Ainsi, DH
300 = 300
400 donc DH = 300 × 300
400 = 225 m Il lui reste à descendre 225 m.
4. Le dénivelé de la pente [CB] est de 300 400 = 3
4 = 0,75 = 75%.
375 m 300 m
300 m 100 m
D
H C
B A
Exercice 7 : 6 points
1. A Etretat en Normandie, Franck, qui a le compas dans l’œil, observe du haut de la falaise : sa hauteur est de 85 m et à 12 h précise, il arrive à mesurer par des moyens dont lui seul a le secret que les rayons du soleil font un angle avec la falaise de 12° comme l’illustre la figure 1 ci-dessous.
Calculer la longueur AC au mètre près.
2. Au même moment à 1000 km plus à l’Est, Charlotte, qui a la bougeotte, est au pied de la Fernsehturn (tour le la TV) à Berlin : incroyable, sa hauteur est de 365 m mais son ombre ne fait que 19 m comme l’illustre la figure 2 ci-dessous.
Calculer la mesure de l’angle ☺GEF et donner le résultat au degré près.
3. Plus proche de nous, Clara voudrait trouver une formule qui permettrait de calculer la longueur d’un arc de cercle ☼AB de rayon r et d’angle 9°.
En considérant la figure 3, aide Clara en recopiant le tableau ci-dessous puis en le complétant avec les bonnes formules :
x 360° 180° 90° 9°
longueur de l’arc ☼AB 2 π r
4. On considère la figure ci-dessous où les droites (AC) et (GE) sont parallèles et l’arc ☼BF fait 1000 km.
a ) Prouve que ☺AIG = 12°
b ) En déduire que y = 9°
c ) En utilisant la formule 1000 = π r
20, calcule le rayon r de la Terre au kilomètre près.
12°
? 85 m
C
A
B
E
G F
365 m
19 m Figure 2
r
x°
B
O A
☼AB Figure 3
Figure 1
Terre y°
3°
12°
I
r D
C
G E
A
F B
O
Correction de l’exercice 7 :
1. Dans le triangle ABC rectangle en B, on utilise la trigonométrie : cos (♀A ) = AB
AC donc cos ( 12 ) = 85
AC donc AC = 85
cos ( 12 ) ≈ 87 m La valeur de AC au mètre près est 87 m.
2. Dans le triangle GEF rectangle en F, on utilise la trigonométrie : tan (♀E ) = GF
EF = 19
365 donc ♀E = arctan (19
365 ) ≈ 3 ° La mesure de l'angle au degré près est 3°.
3. x 360° 180° 90° 9°
longueur de l'arc ☼AB 2πr πr πr : 2 πr : 20
4. a) On sait que : - (AC) // (GE),
- les angles ☺CAB et ☺BIG et sont alternes-internes.
Propriété : Si deux droites parallèles forment avec une même droite deux angles alternes-internes, alors ces deux angles ont la même mesure.
Conclusion : ☺CAB = ☺BIG = 12°
b) On a : ☺GIO = 180 – 12 = 168°
Dans le triangle OIE, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
donc y = 180 – ( 168 + 3 ) = 9 ° c) on a : 1000 × 20 = π r
◙20 ×◙20 donc 20 000
π = ●π× r
●π donc r ≈ 6 366 km Le rayon de la Terre est d’environ 6 366 km.
Exercice 5 (5 points) : Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en mètre.
On tire un boulet de canon avec un angle de tir de 30° comme l’illustre la figure suivante :
t secondes après le tir, le boulet se trouve à une hauteur H, et H se calcule grâce à la formule suivante H = 100 t – 25 t ²
1. Quelle est l’altitude maximale du boulet sachant qu’il est au plus haut 2 s après le tir ?
2. Factoriser H
3. Au bout de combien de temps le boulet retombe t-il sur par terre (c’est-à-dire H = 0) ? 4. La vitesse initiale du boulet était de v = 200 m/s.
La formule qui permet de calculer la distance en mètre à laquelle le boulet a atterri est : D = v ²
g sin ( 2 ♀a ) où g ≈ 9,81 ; ♀a est l’angle de tir et v est la vitesse initiale.
Calculer cette distance et donner le résultat au mètre près.
Correction de l’exercice 5 : 1°) Pour t = 2, H ( 2 ) = 100 × 2 – 25 × 2² = 200 – 100 = 100 L'altitude maximale du boulet est 100m.
2°) H = 100 t – 25 t² = t ( 100 – 25 t )
3°) On cherche t tel que H = 0, donc : t ( 100 – 25 t ) = 0
Or un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Donc t = 0 ou 100 – 25 t = 0 donc t = 0 ou t = 4 Le boulet retombe par terre au bout de 4 secondes.
4°) Le boulet atterrit à la distance D = v ²
g sin ( 2 ♀a ) ≈200²
9,81 sin ( 2 × 30 ) ≈ 3 531 m
Problème (12 points)
Les deux parties sont indépendantes. On peut donc faire la partie 2 sans avoir fait la partie 1.
Partie 1 : pression dans l’eau (6 points)
Plus on descend profond sous l’eau, plus la pression est grande.
La fonction f( x ) = 1 + 0,1 x permet de calculer la pression (en bar) à la profondeur x (en mètre).
1°) Quelle est la pression à la surface de l’eau (0 m de profondeur) ? 2°) Quelle est la pression à 50 m de profondeur ?
3°) Faire la représentation graphique de la fonction f sur la feuille et en respectant les consignes suivantes :
• en abscisse : 1 carreau pour 10 m avec des valeurs allant de 0 m à 110 m
• en ordonnée : 1 carreau pour 1 bar avec des valeurs allant de 0 bar à 12 bars
4° ) En utilisant la représentation graphique faite à la question 3, trouve en l’indiquant par des lignes en pointillés :
a ) Quelle est la pression à 100 m ?
b ) A quelle profondeur la pression est-elle de 7 bars ?
5° ) Vérifier les résultats trouvés aux questions 4°) a) et 4°) b) en faisant des calculs.
Partie 2 : pression dans l’air (6 points)
Plus l'altitude est grande, moins il y a de pression. Voici la représentation graphique de la pression en fonction de l’altitude :
1°) A l’aide de cette représentation graphique, trouver quelle est la pression au bord de la mer (altitude 0).
2°) Le Mont Blanc culmine à environ 4800 m. A l’aide de cette représentation graphique, trouver quelle est la pression au sommet du Mont Blanc.
3°) A l’aide de cette représentation graphique, trouver à quelle altitude la pression est de 0,6 bar.
4°) Il est bien connu que l’eau bout à 100°. Cependant, ceci n’est réellement vrai qu’au bord de la mer et il existe des endroits où l’eau bout à 80°. En fait, la température d’ébullition de l’eau dépend de la pression environnante et donc de l’altitude.
Voici une formule qui permet de calculer la pression P à laquelle l’eau bout à la température t.
P( t ) =
t 100
4
a ) Calculer la pression pour laquelle l’eau bout à t = 100°.
A l’aide de la représentation graphique ci-dessus, trouver à quelle altitude correspond cette pression.
b ) A quelle pression l’eau bout-elle à t = 80° ?
A l’aide de la représentation graphique ci-dessus, trouver à quelle altitude correspond cette pression.
altitude en mètre pression
en bar
0 1000 5000
0,1 0,5
x y
0 10 50 100
1 5 10
profondeur pression
11
7
60
Correction du problème
Première partie
1° ) La pression à la surface est f ( 0 ) = 1 + 0,1 × 0 = 1 bar
2° ) La pression à 50 m de profondeur est f ( 50 ) = 1 + 0,1 × 50 = 1 + 5 = 6 bar 3° ) f est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite.
x 0 50
y = f ( x ) 1 6
4° ) a ) A 100 m de profondeur, on lit sur la représentation graphique que la pression est de 11 bars.
b ) La profondeur correspondant à une pression de 7 bars est 60 m.
5° ) On a bien : f ( 100 ) = 1 + 0,1 × 100 = 1 + 10 = 11 et f ( 60 ) = 1 + 0,1 × 60 = 1 + 6 = 7 bars
Deuxième partie
1° ) Au bord de la mer, la pression atmosphérique est de 1 bar.
2° ) En haut du Mont Blanc, la pression atmosphérique est de 0,65 bar.
3° ) La pression atmosphérique est de 0,6 bar à 5500 m d’altitude.
4° ) a ) La pression pour laquelle l’eau bout à t = 100° est : P ( 100 ) = ( 100
100 ) 4 = 14 = 1 bar.
Ceci correspond bien 0 m d’altitude donc au bord de la mer.
b ) La pression pour laquelle l’eau bout à t = 80° est : P ( 80 ) = ( 80
100) 4 = 0,84 = 0,4096 ≈ 0,41 bar.
Cette pression correspond à une altitude d’environ 8 150 m.
Problème (12 points)
L’Indice de Masse Corporel (IMC) est une grandeur qui informe sur la "grosseur" d’une personne.
La formule qui permet de calculer l’IMC est la suivante : IMC = m
t ² où m est la masse de la personne en kilogrammes et t est la taille de la personne en mètres.
Exemple : Olivier pèse 52 kg et mesure 1,60 m donc son IMC est de 52
1,60 ²≈ 20 Partie 1
1° ) Lucie mesure 1,50 m et pèse 50 kg.
Calculer son IMC et donner le résultat arrondi à 0,1 près.
2° ) Voici la représentation graphique de l’IMC de David de 0 à 18 ans.
a ) Quel est son IMC à 1 an ?
b ) A quel âge a-t-il une IMC égale à 20 ? c ) A 12,5 ans, David mesure 1,46 m.
• Quel est alors son IMC ?
• Combien pèse t-il alors à 0,1 kg près ? d ) A 5 ans, David pèse 18 kg.
• Quel est son IMC ?
• Combien mesure t-il alors au centimètre près ? Partie 2
On considère les fonctions suivantes :
f ( x ) = x + 7 g ( x ) = 0,25 x + 14 h : x ẃ 0,5 x + 10 1° ) a ) Quel est l’antécédent de 16 par la fonction f ?
b ) Quelles sont les images de 0 et de 16 par les fonctions f, g eαt h ?
2° ) En utilisant les valeurs trouvées dans la dernière question, trace les représentations graphiques des fonctions f, g et h dans un même repère ayant pour unité « 1 carreau = 1 unité » (pour les abscisses et les ordonnées) et pour des abscisses allant de 0 à 18.
3° ) L’IMC de Guillaume entre x = 8 ans et x = 17 ans est donné par la fonction g.
Sur cette même période, les fonctions f et h sont les limites de surpoids pour f et de sous poids pour h.
a ) En observant le graphique fait dans la question 2, trouve approximativement les périodes de surpoids et de sous poids de Guillaume.
b ) Réponds à la question précédente par des calculs et en résolvant des inéquations.
0 11
1 10 15
15 20
10
ans
IMC
15
10
5
1
15 10
5 0 1
y
x
Correction du problème
(12 points) Partie 11° ) L’IMC de Lucie est de 50
1,5² ≈ 22,2 a ) L’IMC de David à 1 an est de 18.
b ) L’IMC de David est égale à 20 lorsque David a 15,5 ans c ) A 12,5 ans, l’IMC de David est de IMC = 18,5.
Si m est alors sa masse, on a : 18,5 = m 1,46² d’où m = 18,5 × 1,46 ² ≈ 39,4 kg
d ) A 5 ans, l’IMC de David est de IMC = 15,5.
Si t est alors sa taille, on a : 15,5 = 18 t ² D’où t ² = 18
15,5 et donc t = 18
15,5 ≈ 1,08 m Partie 2
1° ) a ) f ( x ) = 16 donc x + 7 = 16 donc x = 9 : l’antécédent de 16 est donc 9 b ) on a : f ( 16 ) = 16 + 7 = 23
g ( 16 ) = 0,25 × 16 + 14 = 18 h ( 16 ) = 0,5 × 16 + 10 = 18 D’où le tableau de valeurs suivant :
x 0 16
f ( x ) 7 23 g ( x ) 14 18 h ( x ) 10 18 2° ) voir le graphique.
3° ) L’IMC de Guillaume entre x = 8 ans et x = 17 ans est donné par la fonction g.
Sur cette même période, les fonctions f et g sont les limites de surpoids pour f et de sous poids pour h.
a ) g ( x ) est plus grand que f ( x ) pour x < 9,5 : donc Guillaume est en surpoids avant 9,5 ans.
g ( x ) est plus petite que h ( x ) pour x > 18 : donc Guillaume est en sous poids après 16 ans.
b ) On cherche les années x pour lesquelles : g ( x ) > f ( x )
C’est-à-dire : 0,25 x + 14 > x + 7 donc – 0,75 x > – 7 donc x < – 7 – 0,75 donc approximativement x < 9,33
On cherche les années x pour lesquelles : g ( x ) < h ( x )
C’est-à-dire : 0,25 x + 14 < 0,5 x + 10 donc – 0,25 x < – 4 donc x > – 4
– 0,25 donc x > 16
Problème (12 points)
Au billard américain ou anglais, le but est de mettre les "boules de couleur" dans des trous en les frappant avec une autre boule blanche.
Lorsqu’une "boule de couleur" est frappée par la boule blanche, la "boule de couleur" part dans la direction opposée à celle de l’impact fait par la boule blanche, comme le montre la figure ci-dessous :
Partie 1 : Recherche de l’angle de tir
Sur cette figure, la boule blanche avant le tir est en B puis est en B’ au moment de l’impact avec la "boule de couleur" en C.
Le but de cette partie est de déterminer la mesure de l’angle PBB’ ☺ pour que la "boule de couleur" aille dans le trou T.
Les boules sont disposées de la façon suivante :
TS = 40 cm ; SC = 30 cm ; TQ = 85 cm et QB = 70 cm Le rayon des boules est de r = 2,5 cm.
1°) Démontrer que TC = 50 cm puis que TB’ = 55 cm.
2°) Démontrer que les droites (SC) et (RB’) sont parallèles.
3°) Calculer les longueurs TR et RB’.
4°) Démontrer que PB’ = 41 cm et que PB = 37 cm.
5°) Calculer la mesure de l’angle PBB’arrondie au degré près. ☺ Partie 2 : Recherche d’une position
Dans cette partie, on considère cette figure où :
TS = 4 x cm ; SC = 3 x cm ; TC = 5 x cm, où x est un nombre positif.
TQ = 85 cm ; QB = 70 cm ; ☺PBB’ = 45°
Nous savons aussi que B’P = RQ et RB’= QP. (Le rayon des boules est toujours de r = 2,5 cm)
Le but est de trouver le nombre x pour qu’avec un tir d’angle ☺PBB’ = 45°, la "boule de couleur" aille dans le trou T.
1°) Démontrer que le triangle CST est rectangle en S.
Les droites (SC) et (RB’) sont donc parallèles et TB’ = 5 x + 5 cm.
2°) Démontrer que TR = 4 x + 4 cm et que RB’= 3 x + 3 cm.
3°) Démontrer que PB’ = 81 – 4 x cm et que PB = 67 – 3 x cm.
4°) Démontrer que le triangle PBB’ est isocèle et en déduire que PB = PB’.
5°) En résolvant une équation, trouve la valeur de x pour laquelle la "boule de couleur" en C ira dans le trou T.
B B'
C I
impact I trajectoire de la "boule de couleur" après
boule blanche en B avant le tir
boule blanche en B’ au moment de l’impact
P
R B'
B C
Q S T
40
30 85
70
P
R B'
B C
Q S T
4 x
3 x 85
70
45°
5 x
Correction du problème (12 points)
Partie 1 : Recherche de l’angle de tir (7 points : questions 1° et 5° sur 1,5 ; 2° et 4° sur 1 ; 3° sur 2) 1°) J’applique le théorème de Pythagore dans le triangle TSC rectangle en S.
On a TC² = ST² + SC² = 40² + 30² = 250 donc TC = 250 = 50 cm.
Et on a aussi : TB’ = TC + 2 r = 50 + 2 × 2,5 = 55 cm.
2°) Les droites (SC) et (RB’) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (TQ).
3°) Les droites (SC) et (RB’) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès dans le triangle TRB’ on a : TR
TS = TB’
TC = RB’
SC donc TR 40 = 55
50 donc TR = 40 × 55
50 = 44 cm et RB’
30 = 55
50 donc RB’ = 30 × 55
50 = 33 cm.
4°) QRB’P est un rectangle car il a trois angles droits.
Les cotés opposés de ce rectangle ayant la même longueur, on a : PB’ = QR = TQ – TR = 85 – 44 = 41 cm et QP = RB’ = 33 cm donc PB = QB – QP = 70 – 33 = 37 cm.
5°) Dans le triangle PBB’ rectangle en P, on a : tan(♀B ) = PB’
PB = 41
37 donc ☺PBB’ = tan – 1(41
37) ≈ 48°.
Partie 2 : Recherche d’une position (5 points : 1 point par question)
1°) TC² = (5 x)² = 25 x ² et ST² + SC² = (4x)² + (3x)² = 16 x ² + 9 x ² = 25 x ² donc TC² = ST² + SC² Le triangle CST est donc rectangle en S d’après le théorème réciproque de Pythagore.
Les droites (SC) et (RB’) sont donc parallèles et TB’ = 5 x + 5 cm.
2°) Les droites (SC) et (RB’) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès dans le triangle TRB’ on a : TR
TS = TB’
TC = RB’
SC donc TR
4 x = 5 x + 5
5 x donc TR = 4 x ( 5 x + 5 )
5 x = 20 x + 20
5 = 20 x 5 + 20
5 = 4 x + 4 cm De même RB’
3 x = 5 x + 5
5 x donc RB’ = 3 x ( 5 x + 5 )
5 x = 3 x + 3 cm
3°) On a : PB’ = QR = TQ – TR = 85 – ( 4 x + 4 ) = 85 – 4 x – 4 = 81 – 4 x cm et PB = QB – QP = 70 – ( 3 x + 3 ) = 70 – 3 x – 3 = 67 – 3 x cm.
4°) Dans le triangle PBB’, on a : ☺PB’B = 180 – ( 90 + 45 ) = 45°.
Donc ☺PBB’ = ☺PB’B = 45° : le triangle PBB’ est donc isocèle en P. D’où PB = PB’.
5°) Puisque PB = 67 – 3 x et PB’ = 81 – 4 x et que PB = PB’ alors on a : 67 – 3 x = 81 – 4 x donc 67 – 3 x + 4 x – 67 = 81 – 4 x + 4 x – 67 donc x = 14.
Pour que le boule aille dans le trou, il faut qu’elle soit placée telle que : TS = 4 x = 4 × 14 = 56 cm et SC = 3 x = 3 × 14 = 42 cm.
Exercice 7 (8,5 points) :
Une voiture est équipée de pneus sur lesquels sont inscrits : 205/55 D 16 91H Ces informations désignent (voir l’illustration) dans l’ordre :
• largeur (en mm) : 205
• hauteur (en % de la largeur) : 55
• lettre indiquant le type de structure : D
• diamètre (en pouce*) : 16
• charge : 91
• lettre correspondant à une vitesse : H
a ) Calculer la hauteur h en centimètre de ces pneus.
b ) Calculer le diamètre d de ces pneus en centimètre.
c ) En déduire que le rayon de la roue est R = 31,595 cm.
d ) En déduire que le périmètre P de cette roue vaut P ≈ 198,5 cm.
e ) Prouver que lorsque les roues de la voiture font 14 tours par seconde alors la vitesse de la voiture est d’environ 100 km/h.
Lorsqu’on roule, les pneus s’usent et leurs hauteurs diminuent. La zone d’usure fait 7,6 mm et le pneu est hors d’usage lorsque cette zone devient inférieure à 1,6 mm.
f ) Prouver que le rayon de la roue lorsque le pneu est usé est r = 30,995 cm et que son périmètre est alors p ≈194,7 cm.
g ) Calculer la vitesse de la voiture lorsque ses roues sont usées et qu’elles tournent à 14 tours par seconde.
*On donne : 1 pouce = 2,54 cm
Correction de l’exercice 7 : 7,5 points : 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 0,5 a ) 55% de 205 mm fait h = 0,55 × 205 = 112,75 mm = 11,275 cm b ) le diamètre d vaut d = 16 × 2,54 = 40,64 cm
c ) le rayon r des roues est : R = h + d
2 = 11,275 + = 31,595 cm d ) le périmètre p vaut : P = 2 π R = 2 π × 31,595 ≈ 198,5 cm
e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 × P ≈ 14 × 198,5 ≈ 2779 cm donc la vitesse de la voiture est :
v = d
t = 2779
1 ≈ 2779 cm/s ≈ 2779×3600 cm/h ≈ 10004400 cm/h ≈ 100 km/h
f ) La différence de hauteur entre le pneu neuf et le pneu usé est 7,6 – ,16 = 6 mm = 0,6 cm On a donc r = R – 0,6 = 31,595 – 0,6 = 30,995 cm et p = 2 π r = 2 π × 30,995 ≈ 194,7 cm g ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 × p ≈ 14 × 194,7 ≈ 2725 cm
donc la vitesse de la voiture est : v = d
t = 2725
1 ≈2725 cm/s ≈2725×3600 cm/h ≈ 9812880 cm/h ≈ 98 km/h
4
5 9
3,6 E
D
C B A
Exercice 7 : (5 points)
Le trapèze ABCD ci-dessous est un brouillon.
(AD) // (BC) AE = 3,6 cm DE = 4 cm CE = 9 cm BC = 5 cm
Refaire cette figure en vraies grandeurs en laissant les traits de construction et en écrivant d’éventuels calculs qui vous auraient permis sa réalisation.
Correction de l’exercice 7 : (5 points : 2,5 points le calcul de EB ou AD, 2,5 points la construction) Il suffit de calculer EB ou AD pour pouvoir faire cette figure :
J’utilise le théorème de Thalès.
On a :
E ∈ [AC]
E ∈ [BD]
(AD)//(BC)
donc EA EC = ED
EB = AD
BC d’où EB 4 = 9
3,6 donc EB = 4×9
3,6 = 10 cm et AD 5 = 3,6
9 donc AD = 5×3,6
9 = 2 cm
r
h = 76,5 m
89,72°
B
r
Terre A
H
O
Exercice : Situé en Bretagne et plus précisément dans le Finistère, le phare de l’île Vierge est le plus haut d’Europe. On peut y observer la mer d’une hauteur h = 76,5 m.
A ce niveau, la ligne de l’horizon fait un angle de 89,72° avec la verticale comme l’illustre la figure ci- dessous.
a ) En considérant le sinus de l’angle ☺HAO, établir les égalités suivantes : 1°) r – r sin ( 89,72 ) = h sin ( 89,72 )
2°) r = h sin ( 89,72 ) 1 – sin ( 89,72 )
b ) Calculer le rayon r de la Terre au km près.
Correction de l’exercice :
a ) 1° ) Dans le triangle HAO rectangle en H on a : sin ( ♀A ) = OH
OA donc sin (89,72) 1 = r
r + h
Les fractions sont égales donc les produits en croix sont égaux donc on a : sin ( 89,72 ) ( r + h ) = r × 1 donc r sin ( 89,72 ) + h sin ( 89,72 ) = r donc h sin ( 89,72 ) = r – r sin ( 89,72 )
On a donc bien r – r sin ( 89,72 ) = h sin ( 89,72 )
2° ) En factorisant par r le membre de gauche on obtient : r ( 1 – sin ( 89,72 ) ) = h sin ( 89,72 ) En divisant par 1 – sin ( 89,72 ) les deux côtés on obtient r = h sin ( 89,72 )
1 – sin ( 89,72 ) b ) On a h = 76,5 m = 0,0765 km donc r = 0,0765 × sin ( 89,72 )
1 – sin ( 89,72) ≈ 6 406 km
Remarque : Je n’ai pas trouvé cette façon de calculer le rayon de la Terre dans la littérature et il est fort probable qu’en pratique, la mesure de l’angle ☺HAO soit difficile à obtenir avec précision.
