Enoncé D1870 (Diophante) Bon ménage
Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
E1 Soit un triangleABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E . On connaît les longueurs AB= 987,AC = 1234 etDE = 202. Que vautBC?
• Sir est la distance de I àBC,IA=ID=IE=r/sin(A/2), DE = 2√
AI2−r2= 2rcot(A/2) =CA+AB−BC, BC = 987 + 1234−202 = 2019.
E2 Soit un rectangle ABCD tel queAB= 2BC. On trace le pointM du côtéAB tel queM Dest la bissectrice de l’angle6 AM C. Que vaut l’angle
6 AM D?
• On a en ADM le complémentaire de l’angle AM D, qui est ainsi égal à M DC et DM C. D’où CM = CD, BM = AB√
3/2, BM C = 30°, AM D =AM C/2 = 75°.
E3 Soit un rectangleABCD. On trace deux droites perpendiculaires pas- sant parB. L’une coupe le côtéAD au pointK et l’autre coupe la droite DC au pointL. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 etF K= 12. Que vautBF?
• Les trianglesBAK etBCL sont semblables,BK/BA=BL/BC, donc BAC etBKLsont semblables. Le segment BF est vu sous le même angle de A et deK, les points A, B, F, K sont cocycliques, sur le cercle de dia- mètre BK; le triangleBF K est rectangle enF, d’oùBF = 5.
E4 Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC tel que la somme des
aires des cercles circonscrits aux trianglesABP etACP est minimale. Que vautBP?
• Je note B0 et C0 les milieux de CA et AB, M et N les centres des cercles circonscrits aux triangles ABP etACP,H la projection de A sur BC. BH = 9, HC = 5. (AB, AM) = π/2−(P A, P B) = (AH, AP) ; le triangle rectangle AHP est semblable au triangle AC0M, d’où M A = AP.AB/(2AH). De même N A = AP.AC/(2AH). L’aire étudiée est π(M A2 + N A2) = π.AP2(AB2 +AC2)/(4AH2) ; elle est minimale en même temps queAP, ce qui fait choisirP en H,BP =BH = 9.
E5 Soit un triangleABC dont l’angle enAest aigu. Le cercle de diamètre BC coupeAC en DetAB enE. On suppose queBC = 10,AE =BE et 7AD= 18CD. Que vaut l’aire du triangleABC?
• Les angles BDC etBEC sont droits ; CE, hauteur abaissée de C, est aussi médiane donc CA = CB = 10. Puis AD = 7/2, CD = 2,8, ces longueurs étant 18/25 et 7/25 de CA, et BD = √
BC2−CD2 = 9,6.
Finalement l’aire estBD.CA/2 = 48.
E6 On trace un point P sur l’arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que P Q= 673 etP C = 4038. Que vaut P B?
• P Q est la bissectrice de l’angle BP C. L’aire du triangle P BC est (1/2)P B.P Csin(2π/3) = (1/2)P Q(P B+P C) sin(π/3) d’où
1/P B = 1/P Q−1/P C.
SiP Q= 673,P B = 807,6 ; Diophante aurait pu choisirP Q= 1346 pour queP B = 2019.
E7 SoitABC un triangle rectangle enA. Les bissectrices issues deB et de C coupent AC en D etAB enE. Les points M etN sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?
• Soit H la projection de A surBC. Par ThalèsM C/M H =DC/DA= BC/BA=AC/AH, le triangle AHC étant semblable àBAC à retourne- ment près. Dans AHC, M est le pied de la bissectrice et (AH, AM) = (AH, AC)/2. De même dans AHB, (AN, AH) = (AB, AH)/2 ; ainsi (AN, AM) = (AB, AC)/2 =π/4.
