D1979. Deux lieux en terres équilatérales
Problème proposé par Dominique Roux
Etant donné un triangle équilatéral ABC, pour tout point M de son plan on construit les symé- triques A', B', C' de M par rapport aux côtés respectifs BC,CA, AB.
1) Montrer que les droites AA', BB', CC' sont concourantes en un point M' ou sont parallèles.
2) Quel est le lieu des points M tels que AA',BB', CC' sont parallèles?
3) Quel est le lieu du point M' lorsque M décrit une droite (D)?
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
1 y 2) Si tomamos unos ejes coordenados con centro en el triángulo y abscisas paralelas a , sin pérdida de generalidad podemos suponer que la longitud del lado es 2 y entonces los vértices tienen coordenadas √3, 1 ; √3, 1 , 0,2 y , un punto arbitrario del plano, , . Los lados y son las rectas de ecuaciones respectivas 2 √3 y
2 √3 . Vamos a calcular las coordenadas del triángulo ’ ’ ’. El más fácil es ’ , 2 . Para hallar ’ trazamos la perpendicular a por : la recta
√ . Esta recta corta al lado en el punto ’’ √ √ !" ,√ !" #. Finalmente ’ es tal que ’’ es el punto medio del segmento ’, por consiguiente $ √ √ !,√ !#.
De forma similar hallamos el punto ’. La perpendicular a por es la recta
√ y corta a la recta , en el punto ’’ %" √3 2√3, √3 3 2 y entonces
& √ ! √ , √ ! #.
La ecuación de ’ es √3 4 √3 4√3 2 √3 0;
la ecuación de ’ es √3 4 √3 4√3 2 √3 0
y la de ’ es 4 2 0
Es fácil ver la concurrencia de estas tres rectas pues la ecuación de la segunda se obtiene su- mando a la primera el doble de la tercera.
El punto de intersección de esas rectas se obtiene resolviendo el sistema formado por dos de ellas, por ejemplo ’ y ’. Resolviendo el sistema se obtiene el punto
$ ( 4 2
16 ,2 4
16 *
De las coordenadas de ’ dedu- cimos que cuando el punto recorre la circunferencia + centra- da en , y de radio 4 (el doble del radio de la circunscrita) el punto
’ de intersección está en el infi- nito: en ese caso las rectas ’,
’ y ’ son paralelas y esto responde al punto 2.
Así pues, el lugar de los puntos M tales que las rectas AA’, BB’ y CC’
son paralelas es una circunferen- cia - de centro el del triángulo y radio el doble de la circunscrita.
3) Cuando las coordenadas y de están relacionadas funcionalmente, es decir . , el lugar geométrico descrito por ’ es una curva. Cuando esa función . es lineal entonces te- nemos una cónica circunscrita al triángulo. En efecto: si la parametrización de esta curva es de la forma / 0 12 34
52
6 1$2 3$4
52
7 a partir de 8
9 1
12 3
1:2 3$ podemos despejar el parámetro ;, que lle- vado a la expresión de (o ) nos conduce a la ecuación cartesiana de la curva: un polinomio
de segundo grado en e .
Para cualquier < situado en la paralela a por , los simétricos de < respecto de
<1 y respecto <8 están sobre y respectivamente, por tanto & . Por la simetría de la figura, igual sucede con las para- lelas a los otros lados.
La conclusión es que cuando se mueve so- bre una recta, & describe una cónica circuns- crita al triángulo .
En particular, si ,, & ,.
La circunferencia + es el conjunto de puntos límite de la transformación = &, de forma que si pertenece a una recta que no corta a esta circunferencia, la cónica descrita por ’ es una elipse. Si es tangente, es una parábola y si corta en dos puntos es una hipérbola. Así por ejemplo cuando recorre la recta 3, es decir, 3, la curva que describe ’ es una hipérbola de ecuaciones paramétricas
/
4
2 721
7
?
De 9 @, despejamos y lo sustituimos en , donde después de operar obtenemos la curva 9 "5
"
5
" @⁄ 1.
Si tomo 5, o sea tomo 5, que no corta a la circunferencia + de los puntos límite, ob- tendremos una elipse: en efecto, se trata de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
/
12
2 945
9 DE F
Para obtener la expresión en cartesianas calculo
9 G, despejando y operando resulta la elipse de ecuación 5
"
9 "5
H 1.
Cuando recorre la recta 4, esto es 4, que es tangente a la circunferencia de puntos límites, obtendremos una parábola. Sus ecuaciones paramétricas son
/
I
5 5
7 y eliminando el paráme- tro se tiene 2 .
Si se toman rectas del tipo 0 , que pasan por el origen y cortan en dos puntos a +, la cónica es una hipérbola circunscrita al triángulo que también pasa por ,. Sabemos que todas las cónicas que pasan por los vértices de un triángulo y su ortocentro son hipérbolas equiláteras. En particular para la recta se tiene la hipérbola equilátera o rectangular de ecuaciones paramétricas
/
2 2
4 8 8
?
A partir de
9 , como antes, se obtiene "9
9 después de operar resulta finalmente la
ecuación 2 2 2 0.
K
