6-Les équations différentielles

(1)

1.8

^{On a}

3 2

y   x^ On a donc

2

3 3

3 3 0 xdy y x

dx x x

x x

 

    

  

 On a donc

dy 0

x y

dx 

1.9

^{On a}

3 3

4 ^x 3 sin 4 ^x cos y  e   x e  x On a donc

 

3 3

3

4 3 sin 4 cos

3 4 sin 4 cos

3 4 cos

x x

x

dy e x e x

dx

e x e x

y e x

    

   

    On a donc

3 4 3^x cos

dy y e x

dx    

1.10

^{On a}

(2)

sec2 sec tan y  x x x On a donc



²

 ^ ^

2 2

sec sec sec tan sec tan sec

sec sec tan sec tan sec 0

dy y x x x x x x x

dx

x x x x x x

    

   

 On a donc

sec 0

dy y x

dx 

1.11

^{On a}

3 5/2 2 15 7/2 4

y x



  

  On a donc

 

7/2 5/2

15 3

4 2

7/2 5

2 2 3/2

2 3/2

3

/ /2

3 /2

3/2 3

/ 2 2

4 12 3 4 12 3

15 3

15 18 3

15 18 3 0

18 x

x xy y x x x

x x x

x x

y x x

x x

x

 



    

  



  

 

 

 





On a donc

4x2y12xy3y0

1.12

^{On a}

3/2 3 5/2 2

y x



  

  On a donc

(3)

 

2

2 2 3 5/2 3/

2 5/2

/ 3/2

1 /

1/2

2 1/2

1 2

/2 1 2 /2

1

4 12 3 4 12 3 2

6 6

6 12 6

1

6 6

2 2

0

1

y x

x xy y x x

x x

x

x x



 



     

  

 



  













On a donc

4x2y12xy3y0

1.13

^{On a}

3/2 3 5/2

1

2 2

5/2 7/2

3 15

4 4

y Ax Bx

 

   

   On a donc

     

 

3

5/ 2 7/

2 2 1/2 /2

2 3 1/2

2 3/2 5/2

3 15 1 3

4 4 2 2

5/2 7/2 /2 5

/ /2

1/2 3/2 1/2 3/2

1/

3/2

1 2

2

/2 3

4

3

12 3 4 12 3

3 3

3 6 3 15 1

3 15 6 18

15 6

8 18

x xy y x x Ax Bx

x x Ax Bx

Ax Bx

A A A B B

y Ax Bx Ax Bx

Ax Bx Ax Bx

x

   



 



 



  



   



      

  

 

 

 







 









³



^3/2

0

B x^



 On a donc

4x2y12xy3y0

Trouvons maintenant la solution particulière si y = 5 et y¢ = -1/2 quand x = 1.

On a donc

1/2 3/2

5

y Ax Bx

A B

 

 

  Et

(4)

3/2 3 5/2 1

2 2

3

1 1

2 2 2

1 3

y Ax Bx

A B

 

   

   

  On a donc les deux équations suivantes.

5

1 3

A B

A B

 

  Si on fait (équation 1) – (équation 2), on a

   

5 1 3

4 2

2

A B A B

B B

    

 

De là on trouve facilement que A = 7. La solution particulière est donc

1/2 3/2

7 2

y x^  x^

2.1

2

6 6 6

1 3

dy y x dx

dy xdx y

x C y



  

 

Puisque si y (1) = 1/5, on a

2

15

1 3 1 3 5 3

8 x C y

C C C

  

 

(5)

2

1 3 8

1 8 3

1 8 3 y x y x

y x

  

 

2.2    

   

2

2 3 2

3 4 4

2 4

2 4 3 4 4

4 2 4

x x

y

y dy x x dx

y y x x x C

dy dx

 



   

    



 

Puisque si y (1) = 3, on a

2 4 3 2 2 4

9 4 3 1 2 4

3 1

2

y y x x x C

C C C

    

     

   

  La solution est donc

2 3 2

4 2 4 2

y  y x  x  x

2.3

3

3 2

2

3 2

2

1 1 1 1

1

2 1 1

d

C y

xy x x dx

x x d

x y

dx y dy

d

y

y x

 x





  



(6)

Puisque si y (0) = -1, on a

1 0 1

2 1 1 2

3 2

C C C

   

  



La solution est donc

2 2

2

1 3

2 1 2

1 2 1 3

1 3 2 1

1

3 2 1

y x y x y x

y x

   

  

2.4  

 

2

2 4

4

y

y y y

dy e x dx

e dy x dx

e x x C

  

 

  

 

2 0

4 25 4 5 1 25 20

4 ey x x C

e C

C C

  

   

  

 

2 4 4

ey x  x

(7)

2.5

2

1 ln dr r d dr d r dr d r r C

 





  

 

Puisque si r (1) = 2, on a

1 ln 1 ln 1 2

1 0 2

1 2 r C

C C C

   

  

1 2

2

1 1

ln 2

1 1

2 ln 1 ln 2 1 2ln

2 1 ln r

r r r

r



  

 

2.6

(8)

   

 

   

2

sec 1

cos 1

1 sin cos 2 3

2

y t

y t

y

t

y t

dy e y t

dt

dy e e y t

dt

e dy e t dt

y

e ydy e t dt

e ydy e t dt

e y y e t t C



 

 

     

 

   

0 0 2

1 sin 0 cos 0 0 0 3

2

1 0 1 1 3

2

5 2

e e C

C C

       

   

 La solution est donc

   

2

1 5

sin cos 2 3

2 2

sin cos 5 2 4 6

y t

e y y e t t

 

     

    

3.1       

 

2 2

2 2 2

3 8 9 1 3 8 9 1

3 8 9 1

x xy y x x y y

x xy y

   



      

   

L’équation n’est pas homogène.

3.2  

⁴

  

³

   

² ²

     

³ ⁴

4 3 2 2 3 4

4 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4

4 6 4 4 6 4

4 6 4

y xy x y x y x y x y x y x y x

y xy x y x y x

       

    

        

    

(9)

L’équation est homogène.

3.3      

 

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

4 4

4

x y x x y x

x y x

  

 



    

  

3.4

cos sin cos sin

cos sin

x x x x

x y x y

y y y y

x x

x y

y y

x x

x y

y y

 



       

  

       

       

   

    

   

    

     

   

 

3.5

^x^cosh

 

^x ^^y^sinh

 

^y ^^^x^cosh

 

^^x ^^^y^sinh

 

^^y

Comme on n’a pas de moyen de mettre les  à l’intérieur des fonctions hyperboliques en évidence, l’équation n’est pas homogène.

3.6

L’équation est

sinh y dy sinh y

x y x

x dx x

    

   

   

(10)

Comme l’équation est homogène, on pose y = ux. On a alors dy udx xdu 

L’équation devient alors

   

     

 

2

sinh sinh

sinh sinh sinh

sinh sinh 1

ux udx xdu ux

x ux x

x dx x

x u u xdu ux u x

dx

xu u x u du ux u x

dx

x u du x

dx

u du dx

x

     

   

   

   

 

 

  

 

Si on intègre de chaque côté, on a

 

¹

sinh

cosh ln

u du dx

x

u x C

 

  

 

Si on défait le changement de variable, on arrive à

cosh y ln

x x C

    

  

On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante

(11)

 

1

cosh ln ln

cosh ln

arcosh ln arcosh ln

arcosh ln

y x C

x

y x C

x

y Cx

x

y Cx

x

y x Cx

y x C

x



    

  

   

  

  

  



 

  

 

3.7

L’équation est

2 2

4 0

xydy x y dx  

2 2 2

2 2 3 2 2 2

2 2 3 2

2

4 0

2 4 0

udx xdu

xux x u x

dx

xux u xdu x u x dx

x u ux du x u x dx

x u ux du x dx u uxdu

dx

   

    

 

 

   

  

On peut alors séparer les variables.

(12)

2

2 4 0

4 2 1 4 2

u uxdu dx

uxdu u

dx

udu dx

u x

  

  

   Si on intègre de chaque côté, on a

 

2 2

1 4 2

1ln 2 ln

4

udu dx

u x

u x C

  

   

 

Si on défait le changement de variable, on arrive à 1 2

ln 2 ln

4

y x C

x

     

   

   

 

2

1

2

1ln 2 ln ln

4

1ln 2 ln ln

4

1ln 2 ln

4

ln 2 4 ln

y x C

x

y x C

x

y C

x x

y C

x x



     

   

   

 

    

   

   

 

   

   

   

 

   

   

   

 

(13)

2 4 4

2 4

4

2 4

4 4

2 2

2

ln 2 ln

2

2 2

y C

x x

y C

x x

y C

x x

y C x

x

   

   

   

 

    

   

  

 

En redéfinissant encore la constante, on arrive à

2 2

y C x

 x 

3.8

L’équation est

l (ln n )

ln

xdy y y

dx

dy x

x y

dx y

 x



2

ln ln

ln1 ln1 ln1

dy x

x y

dx y

udx xdu x

x ux

dx ux

x u xdu ux

dx u

xu x du ux

dx u

u xdu u

dx u



 

  

 

 

 

(14)

1

ln1 ln1

ln ln

1 ln

u xdu u

dx u

xdu u u

dx u

xdu u u u dx

xdu u u u dx

du dx

u u u x



 

 

  

   Si on intègre de chaque côté, on a

   

1 ln

ln ln 1 ln

du dx

u u u x

u x C

  

   

 

ln ln y 1 ln

x x C

        

   

 

1

ln ln 1 ln ln

ln ln 1 ln

ln 1

y x C

x

y x C

x

y Cx

x

y Cx

x



        

   

 

       

   

 

      

   

 

   

  

(15)

1

ln 1

Cx

Cx C x

y Cx x y e x y xe

y xe



   

  



3.9

L’équation est



^x²^⁸^xy^⁹^y²



^dy_dx^



³^x²^²^xy^⁴^y²



^⁰

   

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2

2 2 2 2 3 2 3 3 2 3

2 3 2

8 9 3 2 4 0

8 9 8 9 3 2 4 0

3 3 12 9 8 9 0

3 3 12 9 8 9

udx xdu

x xux u x x xux u x

dx

x x u u x u xdu x x u u x dx

x u x u u x x x u u x du x x u u x dx

x x u x u u x x x u u x du dx u u u x xu u x du

d

      

 

       

        

      

     

 

2 3 2

0

3 3 12 9 1 8 9 0

x

u u u x u u du

dx



      

 

2 3 2

2 2 3

2

2 3

3 3 12 9 1 8 9 0

1 8 9 3 3 12 9

1 8 9 1

3 3 12 9

u u u x u u du

dx

x u u du u u u

dx u u

du dx

u u u x

      

      

   

  

(16)

 

2

2 3

2

2 3

2

2 3

1 8 9 1

3 3 12 9

1 8 9 3

1 4 3

1 8 9 3

1 4 3

ln 1 4 3 3ln

u u

du dx

u u u x

u u

du dx

u u u x

u u

du dx

u u u x

u u u x C

   

  

   

  

   

  

     

 

2 3

ln 1 y 4y 3y 3ln

x x x x C

 

     

 

 

2 3

3

2 3

3

2 3

3

2 3

3 2 2 3

ln 1 4 3 3ln ln

ln 1 4 3 ln ln

ln 1 4 3 ln

1 4 3

4 3

y y y

x C

x x x

y y y

x C

x x x

y y y

x x x Cx

y y y

x x x Cx

x x y xy y C



 

     

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

   

3.10

L’équation est

2 2

xdy y x y dx  

(17)

 

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

1 1 1 1 udx xdu

x ux x u x

dx

x u xdu ux x u dx

ux x du ux x u dx

x du x u dx

xdu u

dx

   

    

 

 

   

 

  On peut alors séparer les variables.

1 2

du dx

u  x

 Version 1

1 2

arsinh ln

du dx

u x

u x C

 

 

 

Si on défait le changement de variable, on arrive à arsinh y ln

x  x C

 

arsinh ln ln arsinh ln

sinh ln sinh ln

y x C

x

y Cx

x

y Cx

x

y x Cx

 



 Version 2

(18)

 

2 2

1

ln 1 ln

du dx

u x

u u x C

 

   

 

2

ln y y2 1 ln x x x C

 

   

 

 

On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante.

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

ln 1 ln ln

ln 1 ln

1 1 1 1

y y

x C

x x

y y

x x Cx

y y

x x Cx

y x y Cx

x

y x y Cx

x

y x y Cx

x

y y x Cx

 

   

 

 

 

  

 

 

  

 

   

 

  

C’est une réponse acceptable.

On peut même isoler y dans cette équation.

(19)

 

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 4 2 2

2 2 4 2

2 4 2

2 2

2

2 2 2

2 2

1

2 2

y x Cx y

y x C x Cx y y x C x Cx y

Cx y C x x

C x x

y Cx Cx

y Cx

C

  

   

 

4.1

L’équation est

 

3 1

dy x y dx    On va poser u = x + y. On a alors

du dx dy  L’équation devient alors

 

3 1

1 3 3

du dx dx u

du u

dx

  

   On peut alors séparer les variables.

3 2

du u dx

du dx u

 

  Si on intègre de chaque côté, on a

 

3 2

1ln 3 2 3

du dx

u

u x C

 

  

 

(20)

 

1ln 3 2

3

ln 3 3 2 3 3

x y x C

x y x C

   

On peut finalement isoler y.

 

3 3 3

3

ln 3 3 2 3

3 3 2

1 2

3 3

x C C x C x

C x

x y x C

x y e

x y e e

y e e x

y e e x



   

  

  

Si on redéfinit la constante, on obtient

3 2

3 y Ce x x

4.2

L’équation est



⁴



²

dy y x dx  On va poser u = 4y + x. On a alors

4 du dx  dy L’équation devient alors

2

4 du dx

dx u

 

(21)

2

4 1 4

4 1

du dx dx u

du u

dx du u dx

du dx u

 

 

  Si on intègre de chaque côté, on a

 

4 2 1 1arctan 2 2

du dx

u

u x C

 

 

 

 

1arctan 2 4 2

1arctan 8 2 2

y x x C

y x x C

  

On peut finalement isoler y.

 

arctan 8 2 2 2

8 2 tan 2 2

8 tan 2 2 2

1tan 2 2

8 4

y x x C

y x C x

  

  

Si on redéfinit la constante, on obtient

 

1tan 2

8 4

y x C x

4.3

L’équation est



⁴^y ²^x



^dy ^e²^{y x} ²^{y x}

dx

    

(22)

On va poser u = 2y - x. On a alors

2 du  dx dy L’équation devient alors

2 2

u

du dx

u e u

dx du dx

u e u

dx

  

1 ^u

u

u du e u

dx

udu u e u dx

udu e dx u du dx e

   

 

 

  



 Si on intègre de chaque côté, on a

1

u

u du dx e

u x C

e



   

 

2

2 1

y x

y x x C

e ^

    

On peut écrire ce résultat sous la forme suivante.

 

2y x 1 e2^{y x}^ x C

    

Trouvons maintenant la solution particulière puisqu’on sait que y = 0 quand x = 0.

On a alors

(23)

 

0 0 1 0 0 0 1

e C

C

    

  La solution est donc

 

2y x 1 e2^{y x}^ x 1

    

4.4

L’équation est



¹ ^xy



^dy ^y² ⁰

 dx  On va poser u = xy (donc que y = u/x). On a alors

2

1 dy u dx du

x x

  

 

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

1 1

1 0

1 1 0

1 1

0

1 0

2 1

0

u u

u dx du

dx x x x

u du u

u x x dx x

u u u du u

x x dx x

u u u du u

x x x dx x

u u u du

x x x dx

 

    

 

 

    

 

   

     

    

(24)

 

   

2

2 2

2

2 1

0

2 1 0

1 1 2

1 1

2

u u u du

x x x dx

u u du

x x u dx

u du u u

dx x u du dx

u u x

    

  

 

 Si on intègre de chaque côté, on a

2

1 1

2

ln 1ln 2 1 ln 2

u du dx

u u x

u u x C

 



   

 

ln 1ln 2 1 ln

xy 2 xy  x C

On peut simplifier un peu. Pour y arriver, on redéfinit la constante.

2 2

ln 1ln 2 1 ln ln

2

ln ln 2 1 ln ln

ln ln

2 1

xy xy x C

xy Cx

xy

xy Cx

xy

y C

xy y C xy y C xy

   

 

 

En redéfinissant la constante, on arrive à

 

2 2 1

y C xy

(25)

5.1

L’équation est

dy y 3 dx x x

On a

 

¹

P x  x Le facteur intégrant est donc

1

dx lnx

ex e x

En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient

2

3 3 xdy y x

dx

xdy ydx x dx

 

On peut alors écrire l’équation sous la forme

 

³ ²

d xy  x dx Si on intègre de chaque côté, on a

 

²

3

3 d xy x dx

xy x C



 

 

Si on isole y, on a

2 C

y x  x

5.2

L’équation est

(26)

2 4 2

2 4

xdy y x dx

dy y x

dx x

 

On a

 

²

2 2

2ln ln 2

dx x x

ex e e x En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient

2 3

2 4

x dy xy x dx

x dy xydx x dx

 

 

² ⁴ ³

d x y  x dx Si on intègre de chaque côté, on a

 

² ³

2 4

4 d x y x dx

x y x C



 

 

Si on isole y, on a

2 2

y x C

 x

5.3

L’équation est

 

3

2

sin 2 cos sin 1

1

cos dy x y x x

xdx dy

  

(27)

On a

 

^tan

   ¹

 

tan ln cos ln cos 1 1

cos cos

xdx x x

e e e x

x

 

     

 

   

2 2

2

1 cos sec s

tan 1

2cos sin

cos cos

sec tan 2 cos sin sec

sec tan 2cos sin sec

ec

x y x x

x x

x x y x x x

x x ydx x x x dx

dy x dx xdy

dx xdx

  

 



^sec

 

^{2cos sin}^x ^x ^sec²^{x dx}



d x y  

     

 

2

2cos sin sec s

sec sec se 1

2

c cos 2

2

in sec tan d

C

x x x dx

x x y

d x y

x y x

x x

dx



 

 

 



Si on isole y, on a

 

¹

sec cos 2 tan

2

1 1 sin

cos 2

cos 2 cos

1cos 2 cos sin cos 2

x y x x C

y x x C

x x

y x x x C x

   

    

On arrive à l’autre réponse en utilisant

(28)

 

²

cos 2x  1 2sin x On a alors



²



2

1 1 sin

cos 2

cos 2 cos

1 1 sin

1 2sin

cos 2 cos

1 1 sin

cos sin 2 cos

1 sin 1

cos sin cos 2

y x x C

x x

y x x C

x x

y x x C

x x

y x x C

x x

   

    

   

 

    

On peut alors redéfinir la constante pour arriver à

2

1 sin

cos sin cos

sin cos sin cos

y x x C

x x

y x x x C x

  

5.4

L’équation est

2 2 1

2 1

1 tdy y t t

dt

dy y t

dt t t

   

On a

 

²

P t  t Le facteur intégrant est donc

2 2

2ln ln 2

dt t t

et e e t En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient

2 3 2

dy 2

t ty t t t

dt    

(29)

  

² ³ ²



d t y  t  t t dt Si on intègre de chaque côté, on a

  

² ³ ²



2 1 4 1 3 1 2

4 3 2

d t y t t t dt

t y t t t C

  

   

 

Si on isole y, on a

2

1 1 1

4 3 2

y t t C

   t

On peut ensuite trouver la valeur de la constante puisqu’on sait que y = ½ quand t = 1.

1 1 1 1

2 4 3 2

0 1 1 4 3

1 12

C C C

   

  

2

1 1 1 1

4 3 2 12

y t t

    t

5.5

L’équation est

 

3 4 5

2 3 4

2 sin 2 2 3

tdy y t t t t

dt

dy y t t t t

dt t

   

On a

 

²

P t  t

(30)

Le facteur intégrant est donc

2 2

2ln ln 2

2

1

dt t t

e t e e t

t

       

 

   

2

2 3

2

2 3

1 2

sin 2 2 3

1 2

sin 2 2 3

dy y t t t

t dt t

dy ydt t t t dt

t t

   

  

²



2

1 sin 2 2 3

d y t t t dt

t

    

 

  Si on intègre de chaque côté, on a

   

 

2 2

2 3

2

1 sin 2 2 3

1 1

cos 2 2

d y t t t dt

t

y t t t C

t

    

 

 

    

 

Si on isole y, on a

2

 

4 5 2

cos 2 2

y t t   t t Ct

5.6

L’équation est

 

2 4sin 3

1 2sin 3 2

dy y x

dx

dy y x

dx

 

On a

 

¹

P x  

(31)

Le facteur intégrant est donc

1

2 2

dx x

e e

 

 

 

/2 /2 /2

/2 / 2 / 2

1 2 sin 3

2

1 2 sin 3

2

x x x

e dy e y e x

dx

e dy e ydx e x dx

  

 



^x^/2



² ^x^/2^{sin 3}

^{ }

d e^ y  e^ x dx Si on intègre de chaque côté, on a

  ^{ }

   

 

/2 /2

/2 / 2

2 sin 3

4 sin 3 6 cos 3 37

x x

d e y e x dx

e y e x x C

 



  

 

Si on isole y, on a

   

 

^/2

4 sin 3 6 cos 3 37

y  x x Cex

  

On peut ensuite trouver la valeur de la constante puisqu’on sait que y = 0 quand t = 0.

 

4 0

0 sin 0 6 cos 0 37

0 4 0 6

37 24 37

Ce C C

  

   

   

 

   

/2

4 24

sin 3 6 cos 3

37 37

4 24 24

sin 3 cos 3

37 37 37

x

y x x e

  

  

(32)

5.7

L’équation est



²



⁰

2 0

2 2

y

e x dy dx e dy xdy dx

dx xdy e dy

dx x e

dy



  

  

(Ça semble un peu différent, mais c’est juste parce que les rôles de x et y sont inversés.)

On a

 

²

P y  Le facteur intégrant est donc

2dy 2y

e e

2 2 2

2 2

2

2 2

y y y y

y y y

e dx e x e e dy

e dx e x e

dy

e dx e xdy e dy

   

  

 

^2y ^y

d e x  e dy Si on intègre de chaque côté, on a

 

²

2

y y

d e x e dy

e x e C

 

  

 

Si on isole x, on a

(33)

2 2 2

y y y

y y

x e e Ce

x e Ce

 

  

6.1

L’équation est

2 2

4

dy y x y dx x 

Cette équation est une équation de Bernoulli avec n = 2. On va donc diviser par y² pour obtenir

2 2

1 dy 4 1 y dxx y x

et ensuite poser que z y^¹. On a alors dz y dy^² . Cela nous amène à

2

4 4

dz z x dx x

dz z x

dx x

  

  

On a alors une équation linéaire avec P (x) = -4/x. On peut la résoudre en multipliant par le facteur intégrant. Ce facteur est

  ⁴^dx _4ln _ln ⁴ ₄

P x dx x x x

e e^ e^ e ^ x^ Si on multiplie notre équation par ce facteur, on obtient

4 5 4 2

4 5 2

4 4

x dz x z x x dx

x dz x zdx x dx

  

  

On peut écrire cette équation sous la forme suivante.

 

⁴ ²

d x z^  x dx^ Il ne reste qu’à intégrer

(34)

 

⁴ ²

4 1

d x z x dx x z x C

 

 

 

 

Notre solution est donc

3 4

1

1 z x Cx

x Cx y

y x Cx

 

6.2

L’équation est

2 2

5 ^x

dy y e y dx

 

 

Cette équation est une équation de Bernoulli avec n = -2. On va donc diviser par y^-2 pour obtenir

2 3 2

5 ^x

y dy y e dx

  

et ensuite poser que z y³. On a alors dz3y dy² . Cela nous amène à

2

1 5

3

15 3

x

dz z e dx

dz z e

dx



 

On a alors une équation linéaire avec P (x) = -15. On peut la résoudre en multipliant par le facteur intégrant. Ce facteur est

  ¹⁵ 15

P x dx dx x

e e^ e^ Si on multiplie notre équation par ce facteur, on obtient

15 15 2 15

15 15 17

15 3

x x x x

x x x

e dz e z e e

dx

e dz e zdx e dx

   

  

 