1.8
On a3 2
y x On a donc
2
3 3
3 3 0 xdy y x
dx x x
x x
On a donc
dy 0
x y
dx
1.9
On a3 3
4 x 3 sin 4 x cos y e x e x On a donc
3 3
3 3
3
4 3 sin 4 cos
3 4 sin 4 cos
3 4 cos
x x
x x
x
dy e x e x
dx
e x e x
y e x
On a donc
3 4 3x cos
dy y e x
dx
1.10
On asec2 sec tan y x x x On a donc
2
2 2
sec sec sec tan sec tan sec
sec sec tan sec tan sec 0
dy y x x x x x x x
dx
x x x x x x
On a donc
sec 0
dy y x
dx
1.11
On a3 5/2 2 15 7/2 4
y x
y x
On a donc
7/2 5/2
15 3
4 2
7/2 5
2 2 3/2
2 3/2
3
/ /2
3 /2
3/2 3
/ 2 2
4 12 3 4 12 3
15 3
15 18 3
15 18 3 0
18 x
x xy y x x x
x x x
x x
y x x
x x
x
On a donc
4x2y12xy3y0
1.12
On a3/2 3 5/2 2
y x
y x
On a donc
2
2 2 3 5/2 3/
2 5/2
/ 3/2
1 /
1/2
2 1/2
1 2
/2 1 2 /2
1
4 12 3 4 12 3 2
6 6
6 12 6
1
6 6
2 2
0
1
y x
x xy y x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
On a donc
4x2y12xy3y0
1.13
On a3/2 3 5/2
1
2 2
5/2 7/2
3 15
4 4
y Ax Bx
y Ax Bx
On a donc
3
5/ 2 7/
2 2 1/2 /2
2 3 1/2
2 3/2 5/2
3 15 1 3
4 4 2 2
5/2 7/2 /2 5
/ /2
1/2 3/2 1/2 3/2
1/
3/2
1 2
2
/2 3
4
3
12 3 4 12 3
3 3
3 3
3 6 3 15 1
3 15 6 18
15 6
8 18
x xy y x x Ax Bx
x x Ax Bx
Ax Bx
A A A B B
y Ax Bx Ax Bx
Ax Bx Ax Bx
Ax Bx Ax Bx
x
3
3/20
B x
On a donc
4x2y12xy3y0
Trouvons maintenant la solution particulière si y = 5 et y¢ = -1/2 quand x = 1.
On a donc
1/2 3/2
5
y Ax Bx
A B
Et
3/2 3 5/2 1
2 2
3
1 1
2 2 2
1 3
y Ax Bx
A B
A B
On a donc les deux équations suivantes.
5
1 3
A B
A B
Si on fait (équation 1) – (équation 2), on a
5 1 3
4 2
2
A B A B
B B
De là on trouve facilement que A = 7. La solution particulière est donc
1/2 3/2
7 2
y x x
2.1
2
2
2
2
6 6 6
1 3
dy y x dx
dy xdx y
dy xdx y
x C y
Puisque si y (1) = 1/5, on a
2
15
1 3 1 3 5 3
8 x C y
C C C
2
2
2
1 3 8
1 8 3
1 8 3 y x y x
y x
2.2
2
2
2
2 3 2
3 4 4
2 4
2 4 3 4 4
2 4 3 4 4
4 2 4
x x
y
y dy x x dx
y dy x x dx
y y x x x C
dy dx
Puisque si y (1) = 3, on a
2 4 3 2 2 4
9 4 3 1 2 4
3 1
2
y y x x x C
C C C
La solution est donc
2 3 2
4 2 4 2
y y x x x
2.3
3
3 2
2
3 2
2
2
1 1 1 1
1
2 1 1
d
C y
xy x x dx
x x d
x y
dx y dy
d
y
y x
x
Puisque si y (0) = -1, on a
1 0 1
2 1 1 2
3 2
C C C
La solution est donc
2 2
2 2
2 2
2
2
1 3
2 1 2
1 2 1 3
1 3 2 1
1
3 2 1
y x y x y x
y x
2.4
2
2 4
2 4
2 4
4
y
y y y
dy e x dx
e dy x dx
e dy x dx
e x x C
Puisque si y (5) = 0, on a
2 0
4 25 4 5 1 25 20
4 ey x x C
e C
C C
La solution est donc
2 4 4
ey x x
2.5
2
2
2
1 ln dr r d dr d r dr d r r C
Puisque si r (1) = 2, on a
1 ln 1 ln 1 2
1 0 2
1 2 r C
C C C
La solution est donc
1 2
2
1 1
ln 2
1 1
2 ln 1 ln 2 1 2ln
2 1 ln r
r r r
r
2.6
2
2
2
2
2
2
sec 1
sec 1
sec 1
cos 1
cos 1
1 sin cos 2 3
2
y t
y t
y
t
y t
y t
y t
dy e y t
dt
dy e e y t
dt
e dy e t dt
y
e ydy e t dt
e ydy e t dt
e y y e t t C
Puisque si y (0) = 0, on a
0 0 2
1 sin 0 cos 0 0 0 3
2
1 0 1 1 3
2
5 2
e e C
C C
La solution est donc
2
2
1 5
sin cos 2 3
2 2
sin cos 5 2 4 6
y t
y t
e y y e t t
e y y e t t
3.1
2 2
2 2
2 2 2
3 8 9 1 3 8 9 1
3 8 9 1
x xy y x x y y
x xy y
L’équation n’est pas homogène.
3.2
4
3
2 2
3 44 3 2 2 3 4
4 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4
4 6 4 4 6 4
4 6 4
y xy x y x y x y x y x y x y x
y xy x y x y x
L’équation est homogène.
3.3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
4 4
4 4
4 4
4
x y x x y x
x y x
x y x
x y x
x y x
x y x
L’équation est homogène.
3.4
cos sin cos sin
cos sin
cos sin
x x x x
x y x y
y y y y
x x
x y
y y
x x
x y
y y
L’équation est homogène.
3.5
xcosh
x ysinh
y xcosh
x ysinh
yComme on n’a pas de moyen de mettre les à l’intérieur des fonctions hyperboliques en évidence, l’équation n’est pas homogène.
3.6
L’équation estsinh y dy sinh y
x y x
x dx x
Comme l’équation est homogène, on pose y = ux. On a alors dy udx xdu
L’équation devient alors
2
2
sinh sinh
sinh sinh
sinh sinh sinh
sinh sinh 1
ux udx xdu ux
x ux x
x dx x
x u u xdu ux u x
dx
xu u x u du ux u x
dx
x u du x
dx
u du dx
x
Si on intègre de chaque côté, on a
1sinh
cosh ln
u du dx
x
u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
cosh y ln
x x C
On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante
1
1
1
1
cosh ln ln
cosh ln ln
cosh ln
arcosh ln arcosh ln
arcosh ln
y x C
x
y x C
x
y Cx
x
y Cx
x
y x Cx
y x C
x
3.7
L’équation est2 2
4 0
xydy x y dx
Comme l’équation est homogène, on pose y = ux. On a alors dy udx xdu
L’équation devient alors
2 2 2
2 2 2
2 2 3 2 2 2
2 2 3 2
2
4 0
4 0
4 0
2 4 0
2 4 0
udx xdu
xux x u x
dx
xux u xdu x u x dx
x u ux du x u x dx
x u ux du x dx u uxdu
dx
On peut alors séparer les variables.
2
2
2
2 4 0
4 2 1 4 2
u uxdu dx
uxdu u
dx
udu dx
u x
Si on intègre de chaque côté, on a
2 2
1 4 2
1ln 2 ln
4
udu dx
u x
u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à 1 2
ln 2 ln
4
y x C
x
On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante
2
2
1
2
2
1ln 2 ln ln
4
1ln 2 ln ln
4
1ln 2 ln
4
ln 2 4 ln
y x C
x
y x C
x
y C
x x
y C
x x
2 4 4
2 4
4
2 4
4 4
2 2
2
ln 2 ln
2
2 2
y C
x x
y C
x x
y C
x x
y C x
x
En redéfinissant encore la constante, on arrive à
2 2
2 2
y C x
x
3.8
L’équation estl (ln n )
ln
xdy y y
dx
dy x
x y
dx y
x
Comme l’équation est homogène, on pose y = ux. On a alors dy udx xdu
L’équation devient alors
2
ln ln
ln1 ln1 ln1
dy x
x y
dx y
udx xdu x
x ux
dx ux
x u xdu ux
dx u
xu x du ux
dx u
u xdu u
dx u
On peut alors séparer les variables.
1
ln1 ln1
ln ln
1 ln
u xdu u
dx u
xdu u u
dx u
xdu u u u dx
xdu u u u dx
du dx
u u u x
Si on intègre de chaque côté, on a
1 ln
ln ln 1 ln
du dx
u u u x
u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
ln ln y 1 ln
x x C
On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante
1
1
1
ln ln 1 ln ln
ln ln 1 ln ln
ln ln 1 ln
ln 1
y x C
x
y x C
x
y Cx
x
y Cx
x
1
1
1
1
1
1
ln 1
Cx
Cx C x
y Cx x y e x y xe
y xe
3.9
L’équation est
x28xy9y2
dydx
3x22xy4y2
0Comme l’équation est homogène, on pose y = ux. On a alors dy udx xdu
L’équation devient alors
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2
2 2 2 2 3 2 3 3 2 3
2 3 2
8 9 3 2 4 0
8 9 3 2 4 0
8 9 8 9 3 2 4 0
3 3 12 9 8 9 0
3 3 12 9 8 9
udx xdu
x xux u x x xux u x
dx
x x u u x u xdu x x u u x dx
x u x u u x x x u u x du x x u u x dx
x x u x u u x x x u u x du dx u u u x xu u x du
d
2 3 2
0
3 3 12 9 1 8 9 0
x
u u u x u u du
dx
On peut alors séparer les variables.
2 3 2
2 2 3
2
2 3
3 3 12 9 1 8 9 0
1 8 9 3 3 12 9
1 8 9 1
3 3 12 9
u u u x u u du
dx
x u u du u u u
dx u u
du dx
u u u x
Si on intègre de chaque côté, on a
2
2 3
2
2 3
2
2 3
2 3
1 8 9 1
3 3 12 9
1 8 9 3
1 4 3
1 8 9 3
1 4 3
ln 1 4 3 3ln
u u
du dx
u u u x
u u
du dx
u u u x
u u
du dx
u u u x
u u u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
2 3
2 3
ln 1 y 4y 3y 3ln
x x x x C
On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante
2 3
2 3
2 3
3
2 3
2 3
3
2 3
2 3
3
2 3
3 2 2 3
ln 1 4 3 3ln ln
ln 1 4 3 ln ln
ln 1 4 3 ln
1 4 3
4 3
y y y
x C
x x x
y y y
x C
x x x
y y y
x x x Cx
y y y
x x x Cx
x x y xy y C
3.10
L’équation est2 2
xdy y x y dx
Comme l’équation est homogène, on pose y = ux. On a alors dy udx xdu
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1 udx xdu
x ux x u x
dx
x u xdu ux x u dx
ux x du ux x u dx
x du x u dx
xdu u
dx
On peut alors séparer les variables.
1 2
du dx
u x
Version 1
Si on intègre de chaque côté, on a
1 2
arsinh ln
du dx
u x
u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à arsinh y ln
x x C
On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante
arsinh ln ln arsinh ln
sinh ln sinh ln
y x C
x
y Cx
x
y Cx
x
y x Cx
Version 2
Si on intègre de chaque côté, on a
2 2
1
ln 1 ln
du dx
u x
u u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
2
ln y y2 1 ln x x x C
On peut finalement isoler y. Pour y arriver, on redéfinit la constante.
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
ln 1 ln ln
ln 1 ln
1 1 1 1
y y
x C
x x
y y
x x Cx
y y
x x Cx
y x y Cx
x
y x y Cx
x
y x y Cx
x
y y x Cx
C’est une réponse acceptable.
On peut même isoler y dans cette équation.
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 4 2 2
2 2 4 2
2 2 4 2
2 4 2
2 2
2
2 2 2
2 2
1
2 2
y x Cx y
y x Cx y
y x C x Cx y y x C x Cx y
Cx y C x x
C x x
y Cx Cx
y Cx
C
4.1
L’équation est
3 1
dy x y dx On va poser u = x + y. On a alors
du dx dy L’équation devient alors
3 1
1 3 3
du dx dx u
du u
dx
On peut alors séparer les variables.
3 2
3 2
du u dx
du dx u
Si on intègre de chaque côté, on a
3 2
1ln 3 2 3
du dx
u
u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
1ln 3 2
3
ln 3 3 2 3 3
x y x C
x y x C
On peut finalement isoler y.
3 3 3
3
ln 3 3 2 3
3 3 2
3 3 2
3 3 2
1 2
3 3
x C C x C x
C x
x y x C
x y e
x y e e
y e e x
y e e x
Si on redéfinit la constante, on obtient
3 2
3 y Ce x x
4.2
L’équation est
4
2dy y x dx On va poser u = 4y + x. On a alors
4 du dx dy L’équation devient alors
2
4 du dx
dx u
On peut alors séparer les variables.
2
2
2
2
4 1 4
4 1
4 1
du dx dx u
du u
dx du u dx
du dx u
Si on intègre de chaque côté, on a
4 2 1 1arctan 2 2
du dx
u
u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
1arctan 2 4 2
1arctan 8 2 2
y x x C
y x x C
On peut finalement isoler y.
arctan 8 2 2 2
8 2 tan 2 2
8 tan 2 2 2
1tan 2 2
8 4
y x x C
y x x C
y x C x
y x C x
Si on redéfinit la constante, on obtient
1tan 2
8 4
y x C x
4.3
L’équation est
4y 2x
dy e2y x 2y xdx
On va poser u = 2y - x. On a alors
2 du dx dy L’équation devient alors
2 2
u
u
du dx
u e u
dx du dx
u e u
dx
On peut alors séparer les variables.
1 u
u
u
u
u du e u
dx
udu u e u dx
udu e dx u du dx e
Si on intègre de chaque côté, on a
1
u
u
u du dx e
u x C
e
Si on défait le changement de variable, on arrive à
2
2 1
y x
y x x C
e
On peut écrire ce résultat sous la forme suivante.
2y x 1 e2y x x C
Trouvons maintenant la solution particulière puisqu’on sait que y = 0 quand x = 0.
On a alors
0 0 1 0 0 0 1
e C
C
La solution est donc
2y x 1 e2y x x 1
4.4
L’équation est
1 xy
dy y2 0 dx On va poser u = xy (donc que y = u/x). On a alors
2
1 dy u dx du
x x
L’équation devient alors
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
1 1
1 0
1 1 0
1 1
0
1 0
2 1
0
u u
u dx du
dx x x x
u du u
u x x dx x
u u u du u
x x dx x
u u u du u
x x x dx x
u u u du
x x x dx
On peut alors séparer les variables.
2
2 2
2
2
2
2 1
0
2 1 0
1 1 2
1 1
2
u u u du
x x x dx
u u du
x x u dx
u du u u
dx x u du dx
u u x
Si on intègre de chaque côté, on a
2
1 1
2
ln 1ln 2 1 ln 2
u du dx
u u x
u u x C
Si on défait le changement de variable, on arrive à
ln 1ln 2 1 ln
xy 2 xy x C
On peut simplifier un peu. Pour y arriver, on redéfinit la constante.
2 2
ln 1ln 2 1 ln ln
2
ln ln 2 1 ln ln
ln ln
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
xy xy x C
xy xy x C
xy Cx
xy
xy Cx
xy
y C
xy y C xy y C xy
En redéfinissant la constante, on arrive à
2 2 1
y C xy
5.1
L’équation estdy y 3 dx x x
On a
1P x x Le facteur intégrant est donc
1
dx lnx
ex e x
En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
2
2
3 3 xdy y x
dx
xdy ydx x dx
On peut alors écrire l’équation sous la forme
3 2d xy x dx Si on intègre de chaque côté, on a
23
3 d xy x dx
xy x C
Si on isole y, on a
2 C
y x x
5.2
L’équation est2 4 2
2 4
xdy y x dx
dy y x
dx x
On a
2P x x Le facteur intégrant est donc
2 2
2ln ln 2
dx x x
ex e e x En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
2 3
2 3
2 4
2 4
x dy xy x dx
x dy xydx x dx
On peut alors écrire l’équation sous la forme
2 4 3d x y x dx Si on intègre de chaque côté, on a
2 32 4
4 d x y x dx
x y x C
Si on isole y, on a
2 2
y x C
x
5.3
L’équation est
3
2
sin 2 cos sin 1
1
cos dy x y x x
xdx dy
On a
tanP x x Le facteur intégrant est donc
1
tan ln cos ln cos 1 1
cos cos
xdx x x
e e e x
x
En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
2 2
2
1 cos sec s
tan 1
2cos sin
cos cos
sec tan 2 cos sin sec
sec tan 2cos sin sec
ec
x y x x
x x
x x y x x x
x x ydx x x x dx
dy x dx xdy
dx xdx
On peut alors écrire l’équation sous la forme
sec
2cos sinx x sec2x dx
d x y
Si on intègre de chaque côté, on a
2
2
2cos sin sec s
sec sec se 1
2
c cos 2
2
in sec tan d
C
x x x dx
x x y
d x y
x y x
x x
dx
Si on isole y, on a
1sec cos 2 tan
2
1 1 sin
cos 2
cos 2 cos
1cos 2 cos sin cos 2
x y x x C
y x x C
x x
y x x x C x
On arrive à l’autre réponse en utilisant
2cos 2x 1 2sin x On a alors
2
2
2
1 1 sin
cos 2
cos 2 cos
1 1 sin
1 2sin
cos 2 cos
1 1 sin
cos sin 2 cos
1 sin 1
cos sin cos 2
y x x C
x x
y x x C
x x
y x x C
x x
y x x C
x x
On peut alors redéfinir la constante pour arriver à
2
2
1 sin
cos sin cos
sin cos sin cos
y x x C
x x
y x x x C x
5.4
L’équation est2 2 1
2 1
1 tdy y t t
dt
dy y t
dt t t
On a
2P t t Le facteur intégrant est donc
2 2
2ln ln 2
dt t t
et e e t En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
2 3 2
dy 2
t ty t t t
dt
On peut alors écrire l’équation sous la forme
2 3 2
d t y t t t dt Si on intègre de chaque côté, on a
2 3 2
2 1 4 1 3 1 2
4 3 2
d t y t t t dt
t y t t t C
Si on isole y, on a
2
2
1 1 1
4 3 2
y t t C
t
On peut ensuite trouver la valeur de la constante puisqu’on sait que y = ½ quand t = 1.
1 1 1 1
2 4 3 2
0 1 1 4 3
1 12
C C C
La solution est donc
2
2
1 1 1 1
4 3 2 12
y t t
t
5.5
L’équation est
3 4 5
2 3 4
2 sin 2 2 3
2 sin 2 2 3
tdy y t t t t
dt
dy y t t t t
dt t
On a
2P t t
Le facteur intégrant est donc
2 2
2ln ln 2
2
1
dt t t
e t e e t
t
En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
2
2 3
2
2 3
1 2
sin 2 2 3
1 2
sin 2 2 3
dy y t t t
t dt t
dy ydt t t t dt
t t
On peut alors écrire l’équation sous la forme
2
2
1 sin 2 2 3
d y t t t dt
t
Si on intègre de chaque côté, on a
2 2
2 3
2
1 sin 2 2 3
1 1
cos 2 2
d y t t t dt
t
y t t t C
t
Si on isole y, on a
2
4 5 2
cos 2 2
y t t t t Ct
5.6
L’équation est
2 4sin 3
1 2sin 3 2
dy y x
dx
dy y x
dx
On a
1P x
Le facteur intégrant est donc
1
2 2
dx x
e e
En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
/2 /2 /2
/2 / 2 / 2
1 2 sin 3
2
1 2 sin 3
2
x x x
x x x
e dy e y e x
dx
e dy e ydx e x dx
On peut alors écrire l’équation sous la forme
x/2
2 x/2sin 3
d e y e x dx Si on intègre de chaque côté, on a
/2 /2
/2 / 2
2 sin 3
4 sin 3 6 cos 3 37
x x
x x
d e y e x dx
e y e x x C
Si on isole y, on a
/24 sin 3 6 cos 3 37
y x x Cex
On peut ensuite trouver la valeur de la constante puisqu’on sait que y = 0 quand t = 0.
4 0
0 sin 0 6 cos 0 37
0 4 0 6
37 24 37
Ce C C
La solution est donc
/2
/2
4 24
sin 3 6 cos 3
37 37
4 24 24
sin 3 cos 3
37 37 37
x
x
y x x e
y x x e
5.7
L’équation est
2
02 0
2 2
y
y
y
y
e x dy dx e dy xdy dx
dx xdy e dy
dx x e
dy
(Ça semble un peu différent, mais c’est juste parce que les rôles de x et y sont inversés.)
On a
2P y Le facteur intégrant est donc
2dy 2y
e e
En multipliant par le facteur intégrant, l’équation devient
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
y y y y
y y y
y y y
e dx e x e e dy
e dx e x e
dy
e dx e xdy e dy
On peut alors écrire l’équation sous la forme
2y yd e x e dy Si on intègre de chaque côté, on a
22
y y
y y
d e x e dy
e x e C
Si on isole x, on a
2 2 2
y y y
y y
x e e Ce
x e Ce
6.1
L’équation est2 2
4
dy y x y dx x
Cette équation est une équation de Bernoulli avec n = 2. On va donc diviser par y2 pour obtenir
2 2
1 dy 4 1 y dxx y x
et ensuite poser que z y1. On a alors dz y dy2 . Cela nous amène à
2
2
4 4
dz z x dx x
dz z x
dx x
On a alors une équation linéaire avec P (x) = -4/x. On peut la résoudre en multipliant par le facteur intégrant. Ce facteur est
4dx 4ln ln 4 4
P x dx x x x
e e e e x Si on multiplie notre équation par ce facteur, on obtient
4 5 4 2
4 5 2
4 4
x dz x z x x dx
x dz x zdx x dx
On peut écrire cette équation sous la forme suivante.
4 2d x z x dx Il ne reste qu’à intégrer
4 24 1
d x z x dx x z x C
Notre solution est donc
3 4
3 4
3 4
1
1 z x Cx
x Cx y
y x Cx
6.2
L’équation est2 2
5 x
dy y e y dx
Cette équation est une équation de Bernoulli avec n = -2. On va donc diviser par y-2 pour obtenir
2 3 2
5 x
y dy y e dx
et ensuite poser que z y3. On a alors dz3y dy2 . Cela nous amène à
2
2
1 5
3
15 3
x
x
dz z e dx
dz z e
dx
On a alors une équation linéaire avec P (x) = -15. On peut la résoudre en multipliant par le facteur intégrant. Ce facteur est
15 15
P x dx dx x
e e e Si on multiplie notre équation par ce facteur, on obtient
15 15 2 15
15 15 17
15 3
15 3
x x x x
x x x
e dz e z e e
dx
e dz e zdx e dx