Les Dossiers Pédagogiques de l'Educateur n° 60-61 - Un trimestre de mathématique libre au CE2 (2ème partie)

•

•

Les dossiers pédagogiques

- - - - ; . , - -

.,

SUPPLt:MENT arr Illlméro 1 dll 15 septembre 1970

,

ICEM . FIMEM

•

UN

AU

ca e

Pédagogie Freinet

MATH

ELEMENTAIRE 2 ^éme

2

^éme

PARTIE

•

par Paul LE BOHEC

•

Dali s la mê me co l/eclioli :

« DOSS I ERS PÉDAGOG I Q U ES »

des num é ro s pour votre docum entatioll math é matiqu e :

22 :

28 - 29 :

4 1- 4 2 -4 3 : 4 6- 4 7 - 48 :

5 6 - 57 - 58 :

Expérien ce d e rai so nn ement math é m a tique à l'E co le mat e rn e lle E xp é rien ces d'initiation au rai so nn e m e nt lo g iqu e

autres 1I11me, raS

15 - 1 6 : 3 2- 33 : 3 6 - 37 : 5 3 :

Initiati o n a u rai so nn e men t log iqu e

à

l'E co l e m a t e rn ell e Un e exp é ri e n ce d e math é m a tiqu e libr e dan s un C El Un trim es tr e d e math é matiqu e libre a u CE 2 (1)

sur les math é matiqu es :

Math é matiqu es au Sec ond degr é

L' e nse ign c ln e nt Jnath é.matique au Seco nd degré

C alcul et m a th é matiqu e au CM e t e n cl a sse d e Tran s iti o n Tran s fo rmati o ns e t Jn atri ces

Da n s la collection BEM ( B ibliothèque d e

13- 14: L' e nse i g n em e nt du ca lcul

l' E c. Modern e )

•

STR U CT U RES DE VI E

STR U CT U RES MA T H ÉMA T I Q U ES

livr et s d'infor m a tioll

^{p OUf}

le s m a Îtr !!s

C es li v r e ts n e prét e nd e nt p as s uffir e

à

vo tr e info rmati o n m a th é m a tiqu e . Il s ne vou s di s pen se ro nt pa s d e la lec tur e d es livr es d 'initi a ti o n math é m a tiqu e .

Il s n e so nt pa s non plu s des leço n s m o d èl es . Ce n' es t pa s par ce qu e t ell e notion a é té intr o duite d e t e ll e fa ço n que vou s d e vez e n fair e autant.

Il s d és ir e nt s impl e m e nt vo us m o ntrer qu 'il es t poss ible, à partir d e s itua - tion s famili è res , co nc r è tes o u a bs trait es , d e pc nn e ttr e aux e nfant s d' e xp é riJne nt e r, d e rai so nn er , d e co ns truir e d es co nce pt s ln ath é m atiqu es.

L a vi e d e to us les j o ur s e t "im ag inati o n des e nfa nt s no us se mbl e nt assez féc ond es po ur le ur pe nn e ttr e un e ex pé rim e nt ati o n d ' un e ri c hesse in é pui sa bl e

^j

c 'es t po urqu o i n o us ne pe nso ns pas qu e l e r ec our s:' un m a té ri e l e t :. d es j e ux ar- tifi c i e l s so it indi s p e ns abl e .

Le v oc abulair e introduit es t d es tin é avant to ut a u lnaÎtr e qui do it d av ant ag e s 'e ffo rc e r d e se ns ibili se r ses é lèves a ux c on ce pt s math é lnatiqu es qu e d e le ur ap- pr e ndr e d es mo ts e t d es dé finiti o ns qui ne rep ose r a ie nt pas s ur un e e xp é rim e nt a ti o n r ée li e Jn e nt véc ue.

Ces li vre ts d e 1 6 p ages p a ra i sse nt par s éri es d e 5 à partir d e la r e ntr ée 1 970.

1 " sé rie ( n O

¹ à

5) :

¹⁾

Le s e n se m b les - 2) Alg èbr e des e n se mbl es - 3) L es re la ti o n s 4) Pr o pr ié tés des r e la tion s - 5) F o n c ti o ns e t appli ca ti o ns .

2 C sé rie ( n O 6

à

l a ) : Lo is d e co mp os iti o n - Stru c tur es, g r o up es - I s om o rphi s m es - Transfo rmati o n du plan - D é noJubr e ment s .

Tous aulr es re nse igne ments: C EL - BP 282 - 06 - C ANNES

•

PIERRICI{

•

E T

,

LA MATHEMATI UE

Un trimestre d e mathématiqu e libre

au CE 2

2 ^{è m c} partie

DÉCEMBHE 1968

•

•

2

Du

MEME AUTEUR:

Une expérience de mathématique libre au CEl (Dossier pédagogique nO 46-47- ' 18)

Rémi à la conquête du langage écrit

tOlUe

1 (178 pages)

tOllie

II (248 pages)

tOllie

III (224 pages)

(Collection {( Documents de l'ICEM »)

•

•

•

•

La première ]1art . ie de celle édition est ]lante dans la. mêm e col/ection,

SOIIS

le

^nO

56-57-58. ^(In brochure,' 3,50 F)

•

Vo u s pOllvez ' VOllS procurer ce numéro en vous adressa1lt cl la. :

3

^DECEMBRE

C.E.L. BP 282 - 06 - CANNE S

•

Encore

nn

calcul (raire;

lnai

s celle fois s

ur un

e

figure arrondie.

Pierrick

s'

in

s

pire ici d

'

un petit du

CEl,

Philipp

e,

qui

s'es

t alllu

sé

à

c

her

c

her de

s carrés

dan

s

un

rond.

Alor

s, ^110US

avon

s éc

rit que l

'a

ir

e ét

ait plus

grancle

que

24 c

arré

s so

us

celte forme : 24

<

Aire. Et cela

nous dOllllc la notion de limite inf

é

rieure

.

.

Je crois lue souvenir qne c'est

à

cette époque qu'a

déularré

celte

hi

sto

ire de

ca

lcul de l'aire par re

co

uvre- ment d'objet

s

Il l'aide de picrro

s

de

^JllOsaïquc

(<<

c

arr

e

-

lages)} de

2 cm ^X 2 c

m)

.

Jo

s

iane

,

Edith, Picrri

ck ont été

les pIns intére

ssés

par ce

c

alcul. Il

s se s

ai

siss

aient de

Il'iluportc quel

obj

e

t

(morceau

de

carton,

bro

sse

du tableau, morceau de boi

s) ct

il

s eAèctllaient

deux

c

al

c

ul

s.

Il

s

cherchaient d'abord ({

^cOlnhicll

dedan s

»,

ce qui dounait la Jimitc inférieure e t

^«

co m- bien de

ss

u

s»

,

c'est-à-dire

cOluLiell il fallait de pierres pour que Pobjet

so

it

co

mpl

è

-

tOll.lont

recouvert. Et

c'était

la limite

s

up

é

rieur

e.

Il

s

di

s

ai

ent: de

dan

s 24 e

l d

ess

u

s

44. Et nous écrivion

s 24

<

^Aire

<- ⁴⁴

^.

^L

^'a

^ire

était c01llprise entre ces

deux nombres.

Ces troi

s

enfallts

étaient

acharné

s

à

cc

travail.

Et

quand

c'é

tait à le ur lour d

'a

ller

à l'atelier de lll

es

ures, il

s

d

é

daignaient le

s c

apa

c

it

és,

le

s

poid

s,

le

s

longue ur

s, Pargcnt

pour aller aux

calculs

d

'

aire

s

.

Vr~lÎment ce

tâtonnement réel

(et

non

seulclncnt

fi

g

uré par des

s

in et quadrillage)

est exccllent car, alors,

la main

et

l'œil interviennent

.

Avant d'être une ab

s

tra

c

tion,

c'est

d

'

ahord une

se

n

s

ation.

Et s

ouvcnt quand la main fait, la luain

sait.

Et l'e

&

prit

su

it.

(B) 54321

24 03

021 o

3 65 , .3 210

1810 7

C'est

hien

ce

qu'il llle

sC

lnblait.

Pierrick a vo

ulu

connne11Ce1'

l'

é

lude de

s

di

-

visions par

2 - (30-11). :

MaÎntellant il

s'

altaquc aux divi

s

ion

s

par 3

ct 4.

3

G

DECE:llDflE

1,Z3 .. S 6 r 8 . : J

10 Il l,z /3 If< 15 /6 Ir lB

20.2/ <2,z3 .U ·.<5 Z6 oZ?

.J!9 30

~I 3.ê 33 ,~ 3536

H

38 39 0 ~/

V-<

~3

9-1'

^f'5

Y6 li? M

li.!! 505/ 5-<'.53 Sil

56 5? 585.9 606/ 6:1. 63

UII C fui s dl~ l'lus, Pierrick nHllait raire ^UIlC grande chose. Mais il s'est ravi sé. POllnplOi ? Parce qu'il s'est hrtlsqllclIU'llt souvellu (l'le, cc qu'il voulait faire,

c'l~taiL 1111 '1uadrillilgl!

.l

9. Qui lui a (InIlIH~ ("e tt e idée ~ Ginettc qui s'est mise hier à « quadriller à 9 ^{» •}

.J e Ile savais pas ^r(llillld cc quadrillage serait apparu.

Et

m ême s'il serail un jOllr apparu. D'ailleu'rs je Ile m'en souciais pas, mais pas dll tout. No n, je vis dalls le pn~sc ut , lllli11llelllent dalls le pn~sc nt. Et mon t'rontn'est jamais luurd de m a(' hia vélilflLl'S desseins, .J c m 'efl'lIl'cc simpl ~lllcllt de tnut recevoir au mieux. El quand j'ai ^Vil le ('arnet dc Ginett e, je Ille SllÎs :";O\lvcnu. J'ai dit aux enfa nts:

« Nn lls avolls d\~j .l ^Vil le fJlulllrilla gc il. 2. Pourquo) cst·il illlt~re~Salll

?

A cause tics pairs ct dt·:"; impairs c'est la classe 0 cl la cl asse 1 (modulo 2).

- EL le (JlIôl,drilia ge

à

10 ? -

0 11

voit les di7.aincs.

C'est Il ct

2 1

l 2 3 4 5 0 7 8 9 1 0

11 1 2 13 2 1

parce que c'est l rangée dc 10 e t 1

2

ran gées de ]

0

c t

1 - Et

le fJuilurillage à

7

'!

- Celui-là (,'es t le fllUHlriliage des semain cs.

E h ! bien le quadrillage il 9 de Ginette est très très intércssant. Mais je ne

VUIlS dirai pas pourquoi. - Oh! si dit cs·le nous nlOnsicur. - Eh! bien observez.

- Oh !

m oi je vois, dit .I can·Paul. Les

lO ,

les 20, les 30 .. :a descend: - Tiens tu cs tomhé du premier ('oup sur ce lille je voyais: Mais est·ce qu'il lI'y a pas autre chose?

- Oh ! si, dil Philippe du CE l, le

'J.O

cst dans la ligne qui a le '" en haut . - Oui, dil Yvon, et le 50 es t dans la ligne du 5. - Oui daus la colonne du 5. - C'est bien simple, dit Pi err ick: ils sont ^tOIlS dan s leur colonne : ça eorrespund. ^»

J e )lose la question: «Po urquoi? Cumment cela se fait-il ? Regardez le 10.

- C'est 1 bande de 9

+

^{1 carreau. C'est la famille reste}

^{1. -}

^{Le 20 c'est}

2 bandes

+

^{2, c'cst la} f:nllille reste 2. - Ils sout to us daus leur famille. - Ou encore ?

• • •

Dans leur classe. - Quellcs classes? - Les classes 1,2, 3 .. . ^».

Ccrtains enfants savent cc que j'attcnds : j'attcnds qu'ils discnt classe 9. •

4

,

,

,

,

,

Mais ^nOll, la plupart savent qu'il ne faut pas dire classe 9 mais classe 0 car les mltlti~

pies de 9 donnent pour reste O. C'est la classe rb;iducll e 0 (résidu ⁼ reste) . - E s l·ce qu'on peut additionner les classes cutre clics

' ?

Là, je l'avoue, je déroge pour la première fois peut-être à ma ligne de conduit e de nc rien pousser à fond . Mais c'est que je ^Ille trouve dans ^\lll domaine dan s lequel je dois m e soucier de Jlaycuir. Car certains enfants explorent déjà à [onù le ^lllUllde

des multiplications. Et je sais que l'an prochain , ils auront i.l faire la preuve par

Q ,

nlécaniqucmcnt. Alurs je veux profiter de l'occasion 'Ille nous oll're Ginette a vec son quadrillage par') pOHr faire comprenrlre cette preuve.

• • • • ^•

40 ct 10 sont dans cruell es class!-!s ? ⁼

4-

ct l

4- +

^{1.= oS ct jils tclllel~t :}

40

+

^{10 = 50 et 50 c'e}_• ^{st la} _• ^{classe 5. Et 100 c'est classe ] c t 200 ? ('lasse 2.}

• • ^• •

?20

,,',cs t

290 + ,20

ct

2 + 2

~ <1

22 3

^{corres!,,,,.'.!} à

2 + ? ^{+ 3}

^ct

^{34 7}

^?

3

+

^I~

+

⁷

=

^{1 1~ mais 1/1 c'est 10}

+

^{4 dOliC 1}

+

^,1

=

^S

On arri ve :\ la loi.

Pour trollVCI' la ('lasse (modulo

1))

^{d' ull} n umIJre on additionnc les chifl'rt's jusqu'à ('C qu'on n'ait plus qu' ull chifl're ,

Puur la lIlultiplicatioll 1;" marche t~ga l emcnl

(je

vu us fais grùce d e la démolls- tration ) .

.J e leur dis : « (Ju<lnd on lll.tlltil'iie :-i4

ï

par 22, ⁰¹¹ lIlultiplie ^,UII n,OJllbl'c

'? -, -

c1assc 5 par un lwmltre '! - classe 4, Cela de\'rait donner un nomhre;) ^X 4 = 20_ 2, Effectuons l'uprratioll ct Yhifiolls ... f,':l marche,»

No us cn ^SflI1lIllC!i rcst{-s I~l l'our l'installl. Ail sc('ond trimestre, lorsque j'in-

!-:i is terai davantagc :oI lIr I('s opérations (il faut bien 'Ille je m e soucie du prog ramllle ,'Iassiqnc puisque l'ail pruellain cc p rog ralllnll~ n'aam l'as encore c1lauJ.!n, les cnfants utiliscwnt la prc u\'c pal' ¹⁾ en sachant cc qu' ils font. J\lais ils auront ;\ d{-cull\'rir lJuc ('elle preuve pcut nous indiquer seulellH'nt la ('(!rlitude dl' la nun-jus tesse d e l'opé-

ration,

Je ferm e vite l'elle parcntlu'.se clans mon eXl't~riellee s i pure_ .\[ais je ^lItC suis luis un ins tant dans la pea u de l'ins tituteur fple je serai ail Sl'('01HI trinwstrc : (,'est- il-dire moins totalement {[{-taché ct plus anxicllx des l'{-s llitah 'I"e je doi :-; ohtcnir.

:rai d 'ailleurs l 'illlprt':-;~ioli qu'avec ce rtains enfants je pourrai ('fllitinuer ù faire de la mathématique libre car je serai assez v it e l'a:-;sud ^Ù Icur :-;uj ct.

(B)

,

10

1'9

19

+

^{19 ,}

10 9

3 Y

10

•

55 _, 5 _,

(1

• ,

+

^(l!) _,

70

_,

+

⁽¹ _,

2

_,

+

^fi

"

^•

Celle additiun tic classes dans le modulo ¹⁾ a y ant plu ;\ Pierrick, il reprt~nd

l'an'aire. Mai~ la critique lui permet de précis,cr la nllli.on dt! dass.!. Par ext'Illple ^UII n 'écrit pas 60 car 60 appartient,l'! la elasse ()

(l,t)

E Cl) . En t'herchant h!s IlUlIlbrt's qui appartiennent à cette classe 6 on trouve: () - 1 S - 2'1 - :U - Il2 - ^!") 1 - Cill, Et on a coutume tic prendre le premier nombre ',le la s llil(~ 11tIur domwr ^Ull nom .\

la classe. (II s'est trompé 10

+

^{19 ecla} (IOIlIH' 2.)

Dans la premi ère partie, Pi crrit:k a essa)'t1 de rt'!ali:oler \lIlt~ :-;(l rle dt!

«

till ITt~ »

des classes analogues au ti ercé a

+

^{b = t: .. (: - " il " (' - Il _::}

^Il.

5

Voyons cc que cela donne:

10 + ¹⁹

⁼

²⁹

^soit

^{reste 1} + ^{reste 1}

^-_-

^{reste 2} (modulo 9)

et naLurelleJuent 29 19 10 et 29 10 19

• • • ^• • •

• ^•

2 1 1 et 2 1 1

on peut cerne -

Le « tiercé» marche donc aussi avec les classes.

5·5 + ⁶⁰

⁼

^{70 c'cst (i} + (,

⁼

7) ^Mais

^il

aurait mieux valu éerire

:

55

_•

+ ⁶⁰

_•

Ils

_•

1

+ ^{6 7}

Voyons maintenant:

• • •

5 + (;

⁼

2

(; + ^il

⁼

^{1; En eA· ct 5} + ⁶

⁼

II et II rlonne 1 + ^{.1 .2 .}

Oui 6 + ^{B =} 14 el 14 = 10 + 4 donc 1 + ^{4 = 5}

L'enfant a vrajment compris

^• .

Je ne

sais

pas

si

nous reviendrons à ces classes d'équivalence nlOdulo 9. r.fais l'essentiel

est

qu'elles soient

solidement

accrochées

.

La preuve par 9 dit quand l'opération est luauvaise. Mais eUe ne nous dit pas

si

elle est bonne. Par exenlple,

s'il

y a un décalage dans les produits partiels la preuve par 9 ne révèle pas l'erreur

.

L'uti

l

isation de la notion de classes résiduelles permettra aux enfant

s

de

s'expliquel'

cette 8110ma

lie 100'squ'ils seront confrontés avec elle.

Lors qu'on décale les produits partiels à droite ou à gauche. on divise ou on multiplie par lO (ou par 100) donc par des nombres de la classe 1 (modulo 9). Et 1

c'est

un neutre, il ne

change

rien au résultat 7

X

l

⁼

7

.

Et c'est pour cela qu'on ne

s'aperçoit

pas de

l'CITCUl'.

(C)

/ 2 ^{3 ?} 5 ^{(] 7} 8

/ 2 3 ? ^{5 (J} 1

^III

Il

.

C'est curieux comme tous les évéueulents de la classe de maths: découvertes de

s c

aluarade

s,

di

s

cu

ss

ion

s

, critiques laissent aussitôt une trace sur le carnet de Pierrick

.

Je ne

s

avais pas

en.

choisissaut de le

s

uivre que je mettrais la ]nain

sur

un

secrétaire

fidèle des

séances

de notre académie. Je ne pouvais le

savoir

puisque l'an passé nOliS n'avion

s

pas du

tout

travaillé de

cette

façon.

, J'ai eu vrailnent la main

heureuse. Jc dois

signaler

que

ses

camaradcs

sont

heaucoup lnoins

sensibles

à ce qui

se

produit. Certain

s

enfants resLent plus attachés à des domaines préférentiels.

C'e

s

t lc ca

s

de Yvon le fils de mcnuisicr dont nOLIs avons déjà parlé. C'est un enfant du

CEl.

Il ln'é tollllC cet Yvon, un peu.

étrange

et passionnant. Il a CIl particulier mordll à l'électricité d'une façon

étonuHnte.

Pour Noël, à l'école, il avait demandé,

6

•

•

•

•

comme six de :iC~ camarades, ^Hile boîte d 't~leG lric ilé (2 pile:-, dcs pin('e:, lTol"odilt's, des fils, dcs ampoules). El non i-;c ulemcnt, il a tra\'ailll~ ,I\"CC' (~Ilc rgjc aH'C Sil hOÎte, mais il ^il parfaitement représcntp toitS ses monta ges. Et il est l'a ss(~ an stade f'oml'h:-

menLaiH., ("est-à -dire qu'il (;OmmCJH:aÎt par dessiner des lllonlagcs c l il t'Il \,~rifiail

la justc:-.sc avec lè matériel. 11 avait dOllc ill"Clltt'> url langa~c 'lui permettait d e trall ~­

crire le réel ct d 'y re tourn er.

Yvon est un réaliste, un pratique: il conduit le tracteur, il s'm;cupc tI c ses chieus, il va à la chasse.

Je vous parle d ' Yvon ^{e OllllllC} je vous aurais parlé de n 'impurte quel autre élh·c. J'ai voulu montrer combien les perso nnalit és sont dill'ércntcs ct ^commell!

chaque groupe-classe est constitué d 'une mosaïque cie tendanœs telle que ehacun peut s'épanouir librement au milieu d'un app'ort constant de doc umcnt s, d'élémcnt s de réflexions, de criti4ues, d'ouvertures surprenantes, etc_

La création C de Pierrick s'appuie s ur le travail d'Yvou (voir 25-11 : les mini- maîtres). I ci, pour introduire le millimètre, nous avions rappel é ^1I0S références pour les mesures de longueurs. Denis avait mesuré le couloir et la classe an!c le mi·tre.

Pour le décimètre, nOlis avions toutes les réglettes Cuisenaire de la classe (dont l'unité est le carn~ de 1 dm de côté) . Le cm a été plusieurs foi s introduit pac divers enfants

à

diverses occas ions. J'avais soin de rappeler à cha4ue [ois que lorsque l'ohjet

à

mesurer est plus petit que l'unité habituelle on tourne la difficlùté cu prenant une unité 10 fois plus petite. Et nous sommes arrivés à la nécessité du millimètre qui n 'est pas un mini-maître (nouveaux rires ; on Ile perd aucune occasion).

Mais l'idée d'Yvon avait été reprise le lendemain par Ghi slaine. L'atlnosphèrc était aux mesures puisque de son côté Jean-Paul avait subitement écrit un problème:

«

.rai ,,"e plaque de 1 m2. Je vellx savoir combiell ⁰¹¹ pellt ^ell meUre dall s uue mai SOli de 5 m.»

Mais ,

Ghislaine ^{• ,}

.

revenons a qUl ^a ccnt :

5 cm-

1 1

1

1

Gon

^{~ •}

Cc qui signifie 6 cm cl demi.

On pourrait croire que le rôle fixé

à

Ghislaine par le destin c'est d'être inlro- ductrice d 'erreur. Car Ghis]aine, très créatrice s ur le plan personnel est rarenlent du pnnlier coup dans le circuit de ses camarades. Et ce sont justement les écarts de ses réalisations qui introduisent chez nous les déséquilibres si nécessaires à ]a nlarche en avant. Sur le plan ,les mathématiques l'erreur est également féconde.

Mais cette fillette ne commet pas que des erreurs. Elle a souvent des trouvailles étonnantes, des idées géniales.

Ghislaine a ainsi repris l'idée d'Yvon. Et Pierrick prend

à

son tour le relais.

nIais outre la notion de lnesure qui est par accident peut-être plus précise qu'on ne le croit (1 côté de carreau de carnet =-=- 0,5 cm. 2 carreaux = 1 cm) Pierrick a introduit le tiercé ùes longueurs Granù - Moyen ⁼ Petit.

7

(0)

(E)

2. 4._ ~

-

^{f -}

1 .5 5 7

Vo ici une figur e v id e. On n o s aura p as ce que Pi c rri ck avait J'int e nti on d 'y r é ali se r . Etait- ce d au s la. li g ne de J e an·P a ul , d e Ghi s lain e, d ' Eri c . O n n e le s aura jamai s . Tant pi s . I\fai s pui s que j e Ill e s lli s dOlln é pour tâ ch e d'exantin e r c ha c uu e

d es c r éa ti on s d e Pi crri c k , j e livr e au ss i ce ll e-c i.

Cc qui es t certain, c'es t qlle s i e lle n'a lai ssé auc une tra ce d an s la classe, c li c c n a lai ssé un e d a n s la ce r ve ll e d e Pi e rri c k. Q ui s ait s i, dan s 1 5 ans ,

une découverte flli gurallte de Pierrick n e prendra

p as s a su ur ce dan s ce tt e c r é ation D du 6 ·1 2 -69.

8 ¹⁰ ~ .. ^{I f ., /6 / 8}

3 ^{1/ 7'3 15} Tr

Voi c i un e

Cltrieuse

fa çon d e r e pr e ndr e le j e u d e la parit é . Ju s qu 'à

prélScnl nous avions cu heaucoup de ces réalisations du genre

«

créneau » qui correspond aient égalem ent aux couples taLle-es pace vide

de

la classe. Ma is ici Pierrick dessine l'un

SOliS l'autre deux crénea ux. Et il fait correspondre par des flèches Ics vides du haut aux vides du Las.

Je vois bicn lnailltenant que j'a urais

dû

relenir égalemcllt cette création d e Pierrick · qui nous aurait permis d 'introduire les correspondan ces, les fonctions, la lnathématique sagittale. Mais ce jour-là, je n'avais vu que l'addition des classes

qui était aussi très intéressante .

.T c

prends garde de ne pas trop lu'arrêter à plusieurs créations d' un scul élève. J e ^IlC le fais qu'exccptiollllcllem.ent (c'est d'ailleurs v rai pour toute eréa lion : texte libre, danRe, c ie.) . Car nlOIl rôle principal, (:'est d 'ê tre le télllOin. Si l'enfant n'a pas de tém oin , il nc persévère pas. Ou du llloins, illle Ilevient persévérant que lorsqu'il ^il accédé à un domainc dont il fa it son bicn personnel pa rce qu'il correspond ^ù. toul son être (tcndances earactérulugiqucs, passé récent , passé enfuui, etc.). E n a ttendant (l'le cet accrochage sal va teur se réalise, il faut prendrc soin de signaler (ici tuus les deux juurs) J'intérêt d' unc création de ^c1wquf' en fant.

(F)

tions.

8

Zx2 x !Z

Voilà

qui

Comment

/ /

4 8

aura it cncore

ce la

se fait-il

permis d 'introduire

d es

que Pierriek s'intéresse

<:orrespondan ces, des fone-

• ^•

a nouveau aux pUIssances.

•

•

•

Je ^{ne me}

^SO

^tlVi

^C

^ll

^S

^pa

^s

que ricn dan

s

la

classe ail

pu provoqucr

ce

rebonùi

ssc

ment d'inl

érê

t.

Cc doit· ê tre une bulle pers onnelle qui éclate (voir D du 25·11 et F du 8·11).

Le

1

/2 (lui es

t harr

é

doit repré

se

nter le

2¹

pui

s

que

Pierrick

n

e

l'a pa

s écrit en

regard ùu prcnlÏ

cr

2.

!\fais comme

1

/2 c'cs

t

^lUI

demi Pi

e

rrick l'a biff

é.

(G)

o~.

^____

~~

^____

~!c- ___ ^3'~.

^____

^~~

^____

^"f~ __ ~~

Cclte fois

Pierri

c

k

est

dans la foul

ée

de

Eric qui en

me

s

urant des trait

s

av

ec so

u double-dé

ci

mètre

s

ur le

carneL

avait trouv

é fIuO c

haque trait

corres

pondait

exac·

tement

aux

traits du

carnet.

.Je rapp

e

ll

e

:

« J\ins

i, nous avion

s ^llll c

arn

e

t quadrillé

au ce

ntimètre

et nous

uc le

sav

ion

s

pa

s.

-

Mai

s

nOI1, dit Delli

s, assez

porté à

crgotcr, avcc

jus te rai

so

n

so

uvent.

C'est au

demi-

ce

ntim

è

tre qu'il

est

quadrill

é,

le

carnet.

- C'esl vrai,

lu a

s

rai

s

on.»

(H) r- --

El

voili,

que Hervé

(CEl) co

mmc

Stéphane

le 25-11

^il

posé

^UI1

petit

^«

blan

c»

du

Cuiscnairc

(1

cm3) s

ur les quadrillage

s et

il

s'a

p

erçoi

t que

cc

blanc re

couvre exac-

t

ement

4

ca

rreaux du

carnet.

.Je dis:

« Ticn

s

, , t ·

c

arreaux,

ça fait

un

ce

ntimètre

c

uhe

^».

Denis e

l

Eric

fron

ce

nt le

s so

ur

c

il

s.

«

^VOltS vous

trompe?:

¹¹¹¹ culJ e, c'cst

troi

s

rlimcn

s

ioll

s

.

C'est ^un carré

par

ce

qu'il n

'y

a que le

fond

qui

compte;

la troi

s

iè m

e

dill'

c

n

sio

ll

:

Ile

co

mpte pa

s

.»

, ,

cen

tllnel re la hauteur

Ces garçolls so

nl

se

n

s

ihili

sés

aux

trois

dimcn

s

ion

s

pan'

c

qu

e

nou

s

avioB

s

bi

e

n ri

;\

partir

de cc

rtain

es

invcntion

s

de problèm

cs

.

Par exclllple vuici

de Dcni

s :

«

J 'ai des tables (le

60

cm

de

long el

43

cm de lurge. Combien p eul-oll ^Cil mettre

Cil

hall

leur

dalls III cllIsse .»

El Ghislaine:

«

.l'ai ulle lable qui mesure

1053 cm d

e 10llg ct (le large

214

cm .

Combien m es urellt

les

pieds ?»

Alors

maint

c

nanl nous s avon

s

que lors que nou

s

po

so

n

s

un

c

ub

e

ou

^llll

paral- lé lé pip

è

de

su

r un

e s

urface

, se

ul

es

d

e

ux dim

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Jl

sio

n

s so

nt

cl co

n

s

id

é

rer. La hauteur n'intervi

e

nl qu

e

pour les c ouc he

s s

u

ccess

ives

el

non pour le co ntenu d'uuc rang

ée et

le nomhre d

es

rangée

s (surface

de ha

se)

.

La

d

éco

uv

c

rte d

e

Eric

cst

pcut-être

co

n

s

id

é

ra

hie

par

ce cJll'elle va

perm

e

ttr

e

d'introduire d

es

nombre

s

dan

s

de

s

fi

g

ure

s

de

ss

in

écs s

ur le

c

arnet.

Et

nous auron

s

d' I I

_{cm) cc}

' _no

_s

_Ulut "

_{es (c}

1 _lile

_s

_ures. J

_e

_ne

_sa

' _{is quant} Il ''

¹⁽

1

(!C

'

r e

1

s e

' ll

se

rvir " ' I I '

^S eta ^J

Ira uall , ·

S

la cla

sse.

Mai

s

fidèle à mon principe

(auqucl

j'ai peu d

érogé

ju

s

qu'à pré

scn

t) de

s

uivre

el

d'oh

se

rv

e

r

, cc

n'c

s

t pa

s

moi qu.i

)'

inciterai

.

9

7

DECE;\IDRE

(A)

1

.z

³

" ^,

^G

^{1- t}

^{9 10 11 1.<-}

11

Iq

_{U {6 (~}

0

^If

'0

^{21 .l'< JS 2d}

.!

,26 l7- ^.19

^~g

^àJ

^{-2J J2}

^{.!J lG}

< ^t

^Jg

f: ^So

5 ¹

Gt

,

_{3 84}

TI me semble i('i que Pierrick s'inspire (le ^HW présentation du travail de chacun au tableau. Quand ^llll g arçon ^H'a rien d'autre que dcs quadrillagcs il préscnter, je leur fais ^Hll sort. Mais je les traitc

à

toute vi tesse. Les traits sunt tracés

à

la volée

el tous les chilTres IlC sont pas inscrits. J 'écris souvent, comllle ici, ceux

du

déhut ct ceux de la . fin.

Picrrick a rait une drôle dc tête quand il a vu 26 après 24. Il s 'es t apert.:u qu'après 29, il avait t~crit 20. Ce qui décale tont. Mais cela n'expliquc pas pour autant le pas-

sa~c 62 au B4-. Pierrick a hesoin d'aHincr encore un peu sa perception des additions mentales avcc di7.ain es. Mais il gauche, il passe bien de 27 il 39, il 51 il ()3, en ajoutant

12,

C'est Michel Pcllissier qui m'avait sensibilisé il la permanence (le la diA't~rellcc

daus uue mêmc classe d 'équivalcnce. Et che:t nous, c'est Denis qui es t le plus sCllsihlc.

D ès <fil 'il pcn;uil unc ('onstante de la diA'érence, dans une suite de nomhres, il songc

au:;.;sitôt :\ ulle « famille» (ulle classe).

(H)

10

o. ⁸

1 1 2 L

3 b.

4

J'ai tenu

à

respccter la présenta t ion « verticale»

de ces des:-;ins car indiA'ércnte. Cela puisqu'il s'agit de une dOlllinantc.

l'utilisation de la direction Il'est. pas fait panie égalemcnt de l'cnfant son angle de vision qui pc ut avuir Dc quoi s'agit -il cet le fois? Tout s implement des chill'res édithains. POUl' en eOlllprendre la gcnt-sc, il faut remontcr très loi ^Il ell arrièrc. A Joëlle, je crois car c'est clle qui avait exploité le plus ;\ fond l'irlée de Picrrick cxposée le

1.6·10

(Jc ^IlC sais pOUl'fluoi je

Vu us fais rcvenir en arrit!re. En fait vous ne devez pas avoir le couragc de revcnir ^Cil arrihe. Vous dc"c:t ^VOliS d ire:

«

.le comprendrai bien sans ('cla n. Et si vous Ile comprcncz pas, tant pis . Mais fillislfue je s ais cela, je devrais rcprOfluire ces crt~atioll s auxquclles jc fai s allusion. Mais je dois être aussi paresse ux que vous.)

•

•

1

4

15·1 0

_4-

8

En ,,~ritl\ cn explorant le cahit'r de .Joi:llc pO Ill' Yllir ù quel 1llOlllcnl clic .n . lit cOlll1llcncé ,\ emboîter le l'as ù. Pierri ck, je lll'apCrt.,'ois 'Ille e'"s l ellc (pli ^il lIu"crt la pis te. Tonl a dl~lllarn~ par la représentation de nos

(h~placcmc lll s sous le prt~all (qllc j'ai relat ée

à

la da le (lu 19· 10. (Iras-tu vo ir Uil n 'i ras-Lu pas

?) .

C'est .Jut~lI c

qui s'é tait le plus allaclll~c ù cett e id[.c. J e ^{VU llS Cil ([oBne,} sans Ic.":i comment er, les divers développelllents .

SAo

Q _G AD

-1

₀

3 5 _{1 9}

0 0 0 0

&_"0

•

4

2

11

•

:3 4

· - + 1-'- 7

13.11

La dcrlli t" re ^{n {-aLion} es t particulièrement int éressante, s urtout parce qu'clle sUf\' icut "pn\-o) l'clic du (,·11. Gérard Huhin a tilt le scntlr puisqu'il dit: « i\lonsicllr, J oëlle nOlls diL ('Olllmcnt il faut faire l'é tuil e.

Et ^Cil cll'cL, apn"s a vuir dunnt~ l'étoil e cntit'.rc, cli c reprend le th ème ^Cil dis- tinguant I c~ diflc rcuts stades dc la ^{ClIllstrudÎon.} C'es t une sorte de mode d 'emploi, d e l'n)gramm e }HIIII" le dproul cm cnL d es ^{()!)ératiIHls.}

Edith a repris l' idée dc J uëll e mais clic l'a appliquée

.'t

^lIU problème qui pas- sionue la classe de puis un bon moment ; « Comlllent dessiner ^HIlC en veloppe sans lever la lllain ».

Edith dunne la sulut iun:

1 ₄ s

G

7-

On rC('OllllaÎt le travail fi d c Picrri ck. Picrrick a seulem enl mImi sa s uite d ' un 9^p d estiill ct ^Cil hallt le • c~ t un 101' dessin (Ic 0) . Car, ù la s uit e d c j c ^IIC tiai ~ qucllc tran :;;itiull :o> ubtilc la corrcti pondancc tennc ù term c entrc Ics de~:;;ills ct les ('hiffrcs est devcnuc ^UIll' {'orres pondilHt'C tenne ù term e cnlrc les chiffrcti arabes et d 'autrcs ('hiJl'rcs 'lue l'on vcnait ainsi !l'in\'cntcr. (C'es t une aventure (Ille j'ai déjù traitre dans Ic doss ier 4&,47.4 8 Mathélllati<!IlC lihre an cuurti t~lélllclltairc Pl' ann ée).

C) D ECE.\IDHE

• •

ICI cu

• o

1 •

L.

12

Pierrick re prcnd tion travail ct. le compl ète. ^POUl' pluti d e cmnnwdilé j e l'écris ligues hurizulltal c~ ct ^IlUlI en colonnes cmnlllc il l'était. tillr le carll ct.

1 L

1

z

1 1 IL ID. Ils I lS! 1181

LI LL ^{L~ L IS} L Gl LIZI

•

•

•

D'autr es élèves ont emboîté le pa s

à

Pierriek. Voici de Gérard (CEl) :

1 L c o ^{1ZI ....}

^,

^{. .}

Mais il s'cs t trompé parce qu'il a inv e nt é

^llU

10 c t pa s de

10

^nECEMBRE

65501 05

25 10

11

2

3

21833

65501 25

15 001

4

11250

zero. •

Picrrie-k s'inquiète

à

nOllveau dc ses divisions. Il réussit la division par 3 l.uaÎs

par

4 il sc

tromp

e co

mplètement.

Ce

n'

est

pas

grav·~ .

I l ^DECEMonE

(A)

« J'ai uu fût qui peut contenir

280

1. Combien de se aux d e 100

cl

peut-on m

e

ttre dan

s

le

fllt?»

Solution

200 100

11 s 'agit ici d'un problème qui est dÎl .\ J ea n-Paul. C'est Jean-Paul qui avait

lancé le calcul de l'aire avec pour uuité le m2 (CmnhiclI pout-OB Illettre de plaques

de 1 1H2 dan s

ulle

mai so n ùe 5 m).

Cc t le fois il avait écrit:

{( J'li;

IIll e grallfle clive.

A"

^{prut m ettre}

3 barrique s dedulls.

^Je

demande co mbi en

011 peut mettre de barriques dedan ... . »

Cc

«

problème» avait fait rirc, car J ean-Paul posait une questÎon à laquelle il venait

de

,Innncr la réponse. Jcan-Paul avait ri égalcmcnt. Mais il avait ajouté:

« J'ai dit ça parce que dimanche, ehez moi, on va faire le ci cJre. On a un fût de 3 barriques.

On

le remplit avee des seaux. Mais

je ne

sais plus cOlllbieli ou met de seaux

n.

J'ai

senti qu'il )' avait là une possibilité d'événclIlcnt· référence. Certes, ~l

l'atelier dc calcul, il y avait les mesures dc ca pacit é. Et les enfants)' allaient

r ég u·

lièrem ent. Mais ici, la vie intervient. Alors, nous sommes allés chez lean-Paul qui dcmeure

t\

dcux

pas de

l'école. Et nous avous vu

un fl'il

de

3

barriques

1/ 4,

une bar- ri(lue,

un e

(Icmi-barrique et

un

tonnelet.

En

revenant

cu

classc, nous avons mesuré la capacité d'un laDc (7

1)

el celle d' lUI sea u

(131).

Nous avons fait alnrs divers calculs:

contenance du

flh (228 X 3 1/ 4).

Combien faul-il rlc sea ux? Combicn faut-il de brocs pOllr

Ic rcmplir ?

13

El à cette occasion, j'ai même fait. une découverte: celle de l'utilisation de

la

division euclidienue que je crois avo!l' comprise.

En cAet. lorstlu'on cherche le 1l0lnhre de seaux que l'ou peul remplir avec les

741

J

du fît!, on peut écrire 741 : 13

~

57 car 13

^X

57

~

741.

i\fais si l'on cherche combien le ml contieut de brocs, on ne peut écrire

741 ; 7

=

105

car il y a un reste

(105

^X

7

⁼

735) .

Ce n 'est donc pas une égalité. On doit écrire

7/ H : 7

⁼

105 6/ 7.

Mais pour

plu s

de simplicité j'ai conseillé aux enfants, quand ]a division ne tOlubc pas jusle de corriger le signe de l'opération: en ---;-

741 ----;- 7 ccla signifie: quel est le plus grand nomhre t'Iltier de 7 Contenu dans

74 1.

• •

Alors s'il s'agit de calculer

7

^~

105 .

le nombre entier de

7

on ^il le droit d'énire 741

(Cumarcules mathématiciens est·cc exact?

1 H e

Ic dirc

S .

VP.)

Pour ne pas compliquer le prohlème, j'avais dit: « Cumhien peul-on remplir de seaux de

13

1 avec les

7, n

1 ? »

El

non: « Comhicll dc scaux faut-il pour remplir le mt.

? »

Cal'

pour

mettre les

G 1

rc!'O tants, il en faut prCStjllC ^lUl seau

de

plus

(6 /7 )

Et

cela aurait pu déranger les enfanLs.

Mais dans son énoncé, Picrrick s'cst trompé d' unité. Et il rit au . .;si forL que les aulres quanti il s'aperçoit qn'il a ùemanùé ^Cil fait: « Combie1l

.r

a-t-il de litres

dan s

^Ill! fût

de

280

1 ?

^»

(B) Pierrick reprend son travail tlu

23-11.

(C)

14

i _{' '';}

-a ^p

~

^.

1

~ .

5

Je n'ai pas su tirer profiL de c('s ('oll!'O Lrll('- tioBS parce que je ne suis pas cal(~ ^Cil

topologie. I ci, on pourrait critiquer la jonction du point. 12 au point 1 ('ar

dans un cycle il

n'y

a pas d 'ordrC'.

Si le 11 est avant le 12, le 12 ne pl'ul

(~lre avant le ^j. Mais je n' insiste pa:'> : je vous donne ('cLL~ fi~UH~ pour

<i

^IIC vous me disiez cc quc ^1'011 peut ^Cil

tirer. OO'rez-moi dcs pÎ!'Otes de recher- che, jc vous prie.

6

Pierriek rentre à nouveau dan s la danse des

«

chiO'res ».

•

•

•

•

(D)

432101234 3 543 4 S432 5

13 14403744 14 135 0.13 1086

12 23 32

01 1 3 2

22 13

14 2

Pierrick se remet aux divisions. Tl a fait des progn':s puisrfll'il n'a connnis

qu'un oubli (le 0).

BcmaffplCz

la prud e nce dc !'la

dt~man:hc

: il

^{COIllIlH!nt'C}

par 2 , pui s

par 3, puis pac 4 . Il faut dire qu'ù ceux 'lui avaient réu:o;si Icur.~ divisions par 2, j'avai.'i

conseillé de continu er par 3, pac 4.

Je Tne réjouis

de

voir

le s

enfants s'attaquer aux opl~ rations parf'c que j'Cil aurai prochainement souci (après les vacances de Noël (pas avanL, lIun , non, je veux m'cn tenir

à

mon programme d 'audace jusqu'.! Noël. Je l'écris pour me fortifier daus lllon courage).

(E)

6543210 ^L'fiS'

^=,..-;-

05 '1090531

54 032

21 10

4

cumment il sc débrouille mais il connait Je ne sais

hien 9

^X

6.

• • •

10 + ^{70 80}

• • •

80 10 7 0

• •

80 70 10

Picrrick reprend le quadrillage

à

1) Je GiIlell~. Et.

il

s'~ssaie

à

nouveau

à

un

«

tiercé» de classes. Mais il serail plus juste d'écrire

l + ⁷

⁼

⁸

^{car c'est le plus petit}

nombre de la colonne (cn haut) qui ùOllne généralement le nom à la classe.

• • •

D'ailleurs dans le module 9,

il

n'y a pas de classscs 10, 70~ 80.

15

13

^DECEMBRE

(A)

0 ₁ -<' ^.3

~

0

^:/

.L ³ 9

⁵

.5

.Ô

;r _{8 :J} ^1> ? 8 ^{9 10 Il}

10 /1 ;u _/3 7p

^{1,2 ;'3}

19 15 16" 17

15 ;'6"

7?

18 1.9 18 ^{-1.9 L'O 2 /} 12 ² 12 ³

..<'0

..?/ .z.?

^,23 _2{<

f2f 25 26" 27~ ^2.7'

':>5

'- - " - .26" 2?f28

..?.!l

,

0 / 2 .3

^{{- .5 Ô}

^{7 8 ..7'}

.

70 ^// /.2 / J ^{7p /5 l'ô /7} /8 :&

..Ro ^{2/ 22 23 2f ..?5}

_•

^{..?ôV?' 28 2.!l}

30

^;$1

^.!S2

3~

3p 35 ^3ô :37

_-'

"'0' 3.5'

Ici se place un petit événement. A l'occasion dc la reprise dc l'étude des classes par Picrrick , j'ai cxpliqué

à

nouvcau cc quIcHes signifiaicnt. Le quadrillage par 9

pennel de

voir la

descente en escalier de 10-20-30-40-50-60-70. En hallt de chaque

colonne, il

y

a un nombre qui sert

à

nomlller la classe. i\fais l'inconvénient pour la classe des llluitiples, c'est que ce n'cst pas le 9 qui donne son nom, c'est le

O.

Car tous les nombres dc cette colonne divisés par 9 donnent 0 pour rcste (voir absolument le travail précéJcllt ùe Pierrick). Alors, pour bien faire, il faudrait nlcttrc le 0 au- dessus du neuf. Seulemcnt, il serait placé en dehors du rectangle. Et c'est bien dom- mage. Heureusement, il

y

a un procédé qui permet d'avoir le zéro

à

l'intérieur du

cadre, c'est de commencer par lui.

Mais cela challgc beaucoup de choses. Eu efret, quand on quadrille et qu'on compte les carrés, on COUllllcnce par 1.

Exemple:

1

²

3

.If.

" ^G

t s ⁹

Mais on peut aussi quadriller et mettre des u01ubres

à

l'intérieur des cases.

Et pourquoi alors ne commencerait-on pas par le

O.

Exemple:

0 -1 2-

, _{If 5}

b ^{'f- $}

16

•

•

•

•

Je m'étais

con

tent

é

de le dire aux

enfants, en

pa

ss

aut. Et le lendemain Joëlle

avait

réali

sé ceci:

0 1 .2- 3 Li- S ^(;

'1 ^g 3 ¹⁰

^,(-1

^10l

1:3 ^{ft! 1S 1(;} 1l ^f3

1j -<?o ^.21 _N ^.23 .2L;

J'ai

repris

alor

s lnon explication.

Pi

c

rrick

e

n

a été

tr

ès content.

Il a tr

ès

bien

compris

.

La

preuve

en est

faite

aujourd'hui avec

d

es

quadrilla

ges il 5, i

l

6, il

10.

J'ai alors ra

co

nté aux

enCants COll

llnc nt l\fonthubcrt m

'ava

it appri

s {'cHe

façon de Caire. Je di

sais :

«

Mais Monthube

rt

,

quand

^Ull Cait

de

s

quadrillage

s, les classes 0 sont

lI

éces·

sairClllcnl il

droite,

c

'

es

t·à·dire quand la bande

es

t

COlllplète.

Par exemple pOllr modulo

6

(comm

e

dan

s

le travail de Jo

ë

ll

e, c

i·d

ess

u

s) on ^il G,

12, 18

, 24

par

ce

qu

e

l'nu

a

l,

2,

3,

4

band

es co

mpl

è

t

es

de

6. Et ^pOllf

:e

c

alcul cie "airc du

rectangle,

Ic r

és

ultat

est

donn

é

immédiatem

e

nt.

-

Mais, m'a dit Monthub

er

t

, c'es

t

vrai si

tu

comptes les carreaux.

Mai

s s

i tu place

s

de

s

nombr

es, c'es

t diflë r

e

ut. Et

c'es

t hi

e

n plus pratique lor

s

qu'un

vcut changer

de ba

se. (Je

n

e

me

s

ouvi

e

n

s

plu s puurquoi.)

- Ah! bon. Mai

s on

doit pouvoir fair

e

les deux.

- Oui,

bien

s

Îtr.

Ou

bien

on

numérote le

s ca

rreaux

, ou

bien

on

pla

ce

de

s

nombres. »

SUI le travail de Pierrick (A de ce 13·12) on voit le s cla sses 0 (le s cla sses ùe s 11lultiples à

gauche et

non plus

.

à droite).

(B)

1

H

2

./0

3

9

"

₅

_1- ^a

,

-I t

16

14",

1"

1(,

1'1

J e ne sa

is ft. quoi attrihu

e

r

cette c

réation d

e

Pierri

c

k. J e n e

s

ais m ê me pa

s

dan

s

qu

e

l

ca

dre

elle

sc pla

ce.

Il y a un

e ce

rtaine r

ég

ularit

é

qui

m e

Cait p

e

n

ser à

la pi

s

te qu

e nuus a oA'crte Ghis

laine

• ^•

Cil HUItS fi11llCnant,

Je

^{Il e s ais}

d'o\l

, la

réali

sation s

uivante:

J e di

s aux c

nCant

s

:

« Qu'cs

t·

cc

qu

e ça

p

e

ut hi

e

n

être?

- Il n'y ^Cl qu'il

le

ùemander

à

Ghis

lain

e

».

Mai

s Ghis

laine

sourît, gê

née,

sans

dir

e ^Uli

mOt.

Eri c

dit:

«

Mons

ieur

, ^{0 11}

dirait que ça rc·

bondit

».

Cela m

e doune

un

e

iJ

éc. En e

fl'et, je

viens Ile

lir

e

l

'ar

ticle

17