ESD 2009 – 0703 : Problèmes sur les configurations
Auteur du corrigé : Gilbert JULIA TI-Nspire CAS Avertissement : ce document a été réalisé avec la version 1.7 de TI-Nspire CAS.
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1. Le sujet
1. L’exercice proposé au candidat
Dans le plan, on considère le trapèze ABCD, de bases [AB] et [CD], rectangle en B. On donne : AB = 3; BC = 7 ;CD = 2. 1. Justifier l’existence et l’unicité d’un point M de la droite (BC) tel que : AM = DM. Construire ce point à la règle et au compas.
2. Existe-t-il des points M de la droite (BC) tels que (AM) et (DM) soient perpendiculaires ? Si oui, construire ce ou ces point(s) à la règle et au compas
3. On note f la fonction qui à tout point M du segment [BC] associe AM+DM. Cette fonction admet-elle un minimum1 ? (On pourra utiliser une transformation géométrique ou se placer dans un repère)
2. Le travail demandé au candidat Le candidat rédigera sur ses fiches :
• Sa réponse à la question 3.
• Un ou plusieurs exercices sur le thème « Problèmes sur les configurations ».
Le candidat présentera au jury :
• Une animation, à l’aide du module de géométrie de la calculatrice, permettant de conjecturer la réponse à la question 3.
• Le contenu de ses fiches.
2. Eléments de correction
L’exercice proposé regroupe deux petits problèmes de construction utilisant des configurations connues (questions 1 et 2) et un problème de recherche de trajet de longueur minimum (question 3). L’énoncé est de plus en plus ouvert au fil des questions.
Les points M à construire dans les questions 1 et 2 sont définis par une condition métrique situant le point M sur un ensemble de référence, la médiatrice de [AD] puis le cercle de diamètre [AD].
Dans la question 1, la condition métrique est explicite et il s’agit aussi explicitement de « justifier l’existence et l’unicité » d’un point satisfaisant.
Dans la question 2, la condition métrique est implicite (il faut interpréter la perpendicularité des droites (AM) et (DM)). Il n’est cependant pas suffisant de répondre par « oui » ou par « non », mais il faut justifier la réponse et produire un argument pertinent permettant d’affirmer qu’il existe exactement deux points satisfaisants. Le calcul de la distance du milieu de [AD] à la droite (BC) par exemple, et sa comparaison avec la moitié de la longueur du segment [AD], peut être cet argument.
Dans la question 3, l’énoncé a la louable intention de diriger les élèves vers l’une ou l’autre de deux pistes de recherche. Cependant, les indications données ne paraissent pas en mesure d’apporter aux élèves une aide significative et leur formulation est contestable. Nous reviendrons sur ce point le moment venu.
3. Apport de TI-Nspire a. Apports proposés
Le texte de l’énoncé propose aux élèves deux pistes de résolution, l’une « utilisant une transformation », dans le cadre du plan géométrique, l’autre « se plaçant dans un repère », dans le cadre de la géométrie analytique. Nous proposons deux façons différentes de construire le trapèze ABCD et d’animer un point M sur le segment [BC] correspondant à chacun de ces deux cadres.
• Construction de la figure dans le plan géométrique et animation permettant de conjecturer la réponse à la question 3. Résolution de cette question à l’aide de l’outil des transformations.
• Construction de la figure dans le plan repéré et animation permettant de conjecturer la réponse à la question 3. Résolution à l’aide de l’outil du calcul numérique.
b. Construction de la figure dans le plan géométrique et animation
Ouvrir une page Graphiques & géométrie et choisir Afficher le plan géométrique.
Créer un segment [BC] quelconque. Afficher sa longueur (b71). Sélectionner le texte, et remplacer la longueur affichée par le nombre 7. On obtient un segment [BC] de longueur 7 cm.
Éditer les textes « 2 » et « 3 ». À l’aide de l’outil Compas (b97), tracer le cercle de centre B et de rayon 3 cm et le cercle de centre C et de rayon 2 cm. On obtient le point A comme étant l’un des points d’intersection du cercle de centre B avec la perpendiculaire en B à [BC]. Le point D est obtenu de manière analogue. Tracer le polygone ABCD.
Les constructions intermédiaires ont été mises en pointillés
(b14).
Cacher les constructions intermédiaires.
Créer un point M sur le segment [BC]. Mesurer les longueurs AM et DM exprimées en centimètres (3,61 cm et 5 cm sur l’écran ci-contre) et calculer leur somme « a+d ». En déplaçant le point M sur le segment [BC] de B vers C, on conjecture que la sommeAM+DM est minimale pour une position de M un peu plus proche de C que de B.
c. Résolution de la question 3 « utilisant une transformation »
Utiliser une transformation, soit, mais pour quoi faire ? L’indication paraîtra obscure à un élève qui découvre ce type de problème.
L’objectif est plutôt de trouver un trajet de même longueur que le trajet AM+DM qui soit plus facile à minimiser. L’indication donnée aux élèves aurait gagné à évoquer cet objectif. C’est en cherchant des trajets dont des tronçons sont isométriques à des tronçons de AM+DM qu’un élève va peut-être penser de lui- même à l’utilisation d’une transformation, une isométrie en l’occurrence.
On peut remarquer à ce propos que le point M est à la même distance de A et de D que de leurs symétriques respectifs A’et D’ par rapport à la droite (BC) (conservation des distances par une symétrie axiale).
De ce fait, les trajets AM+DM, A'M+DM et AM+D'M ont tous les trois la même longueur. Minimiser AM+DM revient à minimiser, par exemple, AM+MD'.
Construire à cet effet l’image [MD’] du segment [MD] par la réflexion d’axe (BC) (bA2 en sélectionnant d’abord l’axe de symétrie puis l’élément à symétriser).
D’après l’inégalité triangulaire dans le triangle AMD’ : '
' AD MD
AM+ ≥ . Le minimum de AM+MD' est atteint lorsque le triangle AMD’ est aplati et que A, M, D’ sont alignés dans cet ordre. Dans ce cas, et dans ce cas seulement, l’inégalité triangulaire devient en effet une égalité.
Nous sommes amenés à nous intéresser au point d’intersection I de (AD’) avec (BC), point qui réalise le minimum recherché.
Puisque A et D’ sont de part et d’autre de (BC), la droite (AD’) coupe (BC) sur le segment [BC] et le point d’intersection I appartient bien au segment [AD’], les points A, I, D’ sont alignés dans cet ordre.
Puisque (CD’) et (AB) sont perpendiculaires à (BC), elles sont parallèles et la configuration I, A, B, C, D’ est une
configuration de Thalès. 3
' 2
IB BA BA
IC =CD =CD= . I étant un point du segment [BC] :
( )
3 3
2 2
BI= IC= BC−BI donc : 3 BI=5BC.
d. Construction de la figure « en se plaçant dans un repère » Un repère orthonormal d’origine le point B et dans lequel les points C et A ont pour coordonnées respectives
(
7 ;0)
et(
0; 3)
paraît apte à décrire la situation. Le point D a alors pour coordonnées(
7; 2)
.Ouvrir une nouvelle Activité et une page Graphiques &
géométrie. Régler la fenêtre d’affichage (-2 et 10 pour XMin et Xmax, puis b4B pour obtenir un repère orthonormal).
Créer les points repérés A, B, C, D ainsi que le segment [BC].
Pour créer A, on peut par exemple créer un point sur l’axe des ordonnées, afficher ses coordonnées, et remplacer (b16) l’ordonnée affichée par le nombre 3. On procède de manière semblable pour C (point sur l’axe des abscisses)
Créer un point M sur le segment [BC] et faire apparaître ses coordonnées. Mesurer les longueurs MA et MD (en unités de longueur maintenant) et calculer leur somme « a+d ». En déplaçant le point M sur le segment [BC], on conjecture l’existence d’un minimum de AM+DM , pour une valeur de l’abscisse de M certainement comprise entre 4 et 4,5.
L’idée de « se placer dans un repère » nous a aidés à proposer une alternative de construction de la figure, mais non à résoudre le problème. Une indication plus pertinente aurait été de modéliser la situation à l’aide d’une fonction, ce que l’énoncé suggère par ailleurs. Il convenait de choisir un paramètre numérique (endossant le statut de variable) déterminant sans équivoque la position de M sur son segment. Dans le repère choisi, l’abscisse de M joue ce rôle. La distance BM aurait aussi bien fait l’affaire, sans qu’il soit question de repère. Il convenait ensuite d’exprimer en fonction de cette variable les grandeurs utiles, en l’occurrence les distances MA et MD puis leur somme.
La modélisation d’une situation à l’aide d’un choix judicieux de « variable » constitue une méthode que les élèves doivent s’approprier, sans nécessairement pour autant « travailler dans un repère ».
4. Pour aller plus loin
a. Evolution de AM + DM quand l’abscisse de M varie
Il parait intéressant de visualiser comment évolue la somme MA+MD en fonction de l’abscisse de M :
Sélectionner l’abscisse de M et la stocker (h) en variable xx. Sélectionner pareillement la somme MA+MD et la stocker en variable yy.
Ouvrir une page Tableur & listes. Dans les colonnes A et B, nommées respectivement bm et traj, capturer de façon automatique les données respectivement des variables xx et yy
(b321).
Revenir à la page Graphiques & géométrie et animer le point M à l’aide de l’outil Attributs de ce point. Laisser ce point parcourir la totalité du segment [BC] avant d’arrêter l’animation. (Pendant cette animation, une série de couples xx et yy est automatiquement capturée dans la page Tableur &
listes).
En ouvrant une nouvelle page Graphiques & géométrie, représenter le nuage de points
(
bm;traj)
, ce qui donne une idée de l’allure de la courbe représentant la fonction qui associe à l’abscisse de M la longueur du trajet AM+DM.b. Résolution formelle de la question 3
Si on désigne par x l’abscisse du point M du segment [BC]
dans le repère précédent, x varie dans l’intervalle
[
0 ; 7 et la]
longueur du trajet AM+DM est égale à
2 2
( ) 9 14 53
f x = x + + x − x+ . Définir cette fonction puis la dériver.
Si l’expression de la dérivée de f est peu significative, en revanche l’outil de résolution de la calculatrice nous fournit la valeur de x de l’intervalle
[
0 ; 7 pour laquelle la dérivée de f]
s’annule.
Il reste à justifier que la valeur 21
5 correspond bien à un minimum pour f, en s’assurant que la dérivée de f est négative dans l’intervalle 21
0 ; 5
et positive dans l’intervalle 21; 7
5
. On peut terminer en calculant la valeur exacte du trajet minimum.
4. Conclusion
Nous relevons particulièrement dans l’étude de ce sujet deux rôles différents de l’usage d’une calculatrice.
Au début du problème, c’est la « calculatrice rétroprojetable du professeur » qui est en œuvre, pour présenter la situation et en faciliter l’appropriation, pour susciter des conjectures. Cet usage est explicitement demandé par une question du jury.
Dans la résolution proprement dite du problème, l’usage des calculatrices individuelles rend concurrentielle la méthode de modélisation par une fonction face à sa rivale géométrique. La fonction à optimiser est en effet une fonction contenant des radicaux dont l’étude « à la main » n’est pas performante : le calcul de sa dérivée est fastidieux et ne met en valeur qu’une dextérité calculatoire sans grand intérêt.
La décision de déléguer l’exécution des calculs à la calculatrice paraît pertinente. Savoir utiliser à bon escient le module de calcul formel de sa calculatrice est une compétence : l’élève doit d’abord savoir quels outils du calcul formel il peut utiliser, puis il doit interpréter les informations de sa calculatrice de façon que celles-ci s’enchaînent et prennent du sens, il doit enfin justifier ses procédures.
En synthèse de l’exercice, la confrontation des deux méthodes n’en sera que plus riche et montrera qu’un même problème peut très bien être résolu dans deux cadres différents :
• D’un côté une méthode géométrique élégante, ne nécessitant que papier, crayon … et un peu de réflexion, mais quelque peu circonstancielle.
• De l’autre, une méthode numérique plus générale, au champ d’application plus vaste, rendue compétitive par une utilisation raisonnée du calcul formel.
