A2830. Chassés-croisés ***
Q1 Déterminer tous les sextuplets d’entiers a1,a2,a3, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ 1 et b1,b2,b3, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ 1 tels que le produit des trois premiers est égal à la somme des trois derniers et le produit des trois derniers est égal à la somme des trois premiers.
Q2 Déterminer tous les octuplets d’entiers a1,a2,a3,a4, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ 1 et b1,b2,b3,b4, b1 ≥b2 ≥ b3 ≥ b4 ≥ 1 tels que le produit des quatre premiers est égal à la somme des quatre derniers et le produit des quatre derniers est égal à la somme des quatre premiers.
Q3 Démontrer que quel que soit n ≥ 3, on sait trouver au moins cinq 2n-uplets d’entiers ai ≥ 1 (i = 1 à n) et bi ≥ 1 (i = 1 à n) tels que le produit des n premiers est égal à la somme des n derniers et le produit des n derniers est égal à la somme des n premiers.
PROPOSITION Th Eveilleau
Q
1
Avec n=3, nous avons 7 sextuplets
(2, 2, 2, 6, 1, 1)(3, 2, 1, 3, 2, 1) (3, 3, 1, 7, 1, 1) (5, 2, 1, 8, 1, 1) (6, 1, 1, 2, 2, 2) (7, 1, 1, 3, 3, 1) (8, 1, 1, 5, 2, 1)
Q
2 Avec n=4, nous avons 5 solutions (4, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 1)
(4, 3, 1, 1, 9, 1, 1, 1) (7, 2, 1, 1, 11, 1, 1, 1) (9, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 1) (11, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 1)
Q
3
Avec n=5, nous avons les solutions suivantes : (11, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1)
(14, 1, 1, 1, 1, 9, 2, 1, 1, 1) (5, 2, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 1, 1) (9, 2, 1, 1, 1, 14, 1, 1, 1, 1) (3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1) (5, 3, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1)
De façon générale,
avec n
, nous avons au moins les 5 solutions suivantes :(n,2,1, ... ,1, ,n,2,1, ... ,1) avec (n-2) fois
1
dans chaque groupe
s = 2n et p = 2n(2n+1,1 ... ,1, ,n,3,1 ... ,1) avec (n-1) fois
1
dans le 1er groupe et (n-2) fois dans le 2ème groupe.
s1 = 3n et p1 = 2n+1 PUIS s2 = 2n+1 et p2 = 3n(n,3,1 ... ,1, ,2n+1,1 ... ,1) avec (n-2) fois
1
dans le 1er groupe et (n-1) fois dans le 2ème groupe.
s1 = 2n+1 et p1 = 3n PUIS s2 = 3n et p2 = 2n+1(2n-1,2,1 ... ,1, ,3n-1, 1 ... ,1) avec (n-2) fois
1
dans le 1er groupe et (n-1) fois dans le 2ème groupe.
s1 = 3n-1 et p1 = 4n-2 PUIS s2 = 4n-2 et p2 = 3n-1 (3n-1,1 ... ,1, 2n-1, 2, 1,... ,1) avec (n-1) fois1
dans le 1er groupe et (n-2) fois dans le 2ème groupe.
