A548 : Chassés-croisés dans un quadrille

A548 : Chassés-croisés dans un quadrille

On considère les quatre expressions p³+p², 3^p+2^p, 3^p+p², 2^p+p³ avec p nombre premier Lesquelles de ces expressions peuvent donner un carré parfait? un cube parfait?

Le cas p=2 ne donnant pas de solution, nous pouvons supposer p impair.

p³+p²=p²(p+1), divisible par p², mais pas par p³, ne peut être un cube, et n’est un carré que si p+1 est un carré : p=a²-1=(a-1)(a+1) n’est premier que si a=2, soit p=3.

Pour p impair, 3^p+2^p, est divisible par 5=3+2; modulo 25, les valeurs sont cycliques, et ne sont nulles que si p est divisible par 5. Pour p premier, 3^p+2^p n’est donc divisible par 25 que pour p=5, et vaut alors 275 qui n’est ni un carré ni un cube. Pour les autres valeurs de p impair, 3^p+2^p est divisible par 5 et non par 25, donc ne peut être un carré ni un cube.

Si n²=3^p+p², (n-p)(n+p)=3^p, donc n-p=3^m avec m<p/2, 2p=3^p-m-3^m =3^m(3^p-2m-1) ne peut avoir de solution que pour p=3, m=1 (on retrouve la même valeur qu’avec p³+p²) ou alors m=0, et 2p=3^p-1 qui n’a pas de solution.

p=3 ne donnant pas un cube, nous pouvons supposer p=6k±1, donc

3^p+p²=3^p+(6k±1)² =3^p+36k²±12k+1=3^p+12k(3k±1)+1 ; or, modulo 8, les puissances impaires de 3 sont congrues à 3 ; 12k(3k±1) est divisible par 8 ; 3^p+p² est pair, mais non divisible par 8, et ne peut être un cube.

De même, 2^p+(6k±1)³ =2^p+216k³±108k²+18k±1=2^p+18k(12k²±6k+1)±1. Modulo 9, 2^6k vaut 1, donc 2^p±1 vaut ±3, donc 2^p +p³ est divisible par 3 mais pas par 9, et ne peut être un carré.

Enfin, si n³=2^p+p³, (n-p)(n²+np+p²)=2^p , donc n-p=2^m avec m<p/3 : n=p+2^m 2^p-m=n²+np+p²=(n-p)²+3np, donc 3p(p+2^m)=2^2m(2^p-3m-1) : le premier membre est impair, donc m=0, et 3p²=2^p-1 ; le second membre est inférieur au premier pour p≤7, et supérieur dès que p>7; il n’y donc pas de solution.

En résumé, les seuls carrés sont obtenus pour p=3 avec les expressions p³+p² et 3^p+p².