ECE 2 - Année 2017-2018 Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com
Concours Blanc n°3
Durée : 4 heures
Exercice 1.
On désigne parM2(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordre2à coefficients réels. Pour toute matrice A∈ M2(R), on considère l’application ϕA qui à toute matrice M ∈ M2(R) associe le produit AM.
I - Premiers résultats sur l’application ϕA et la matrice A (1) Montrer queϕA est un endomorphisme de M2(R).
(2) Montrer que si l’endomorphisme ϕA est bijectif, alors il existe une unique matrice N ∈ M2(R) telle que AN =I2, où I2 désigne la matrice identité d’ordre 2.
(3) Montrer que l’application ϕA est un automorphisme de M2(R) si et seulement si la matrice A est inversible.
II - Un exemple
Dans cette partie et uniquement cette partie, on pose A=
1 2 0 −1
. On noteB= (E11, E12, E21, E22) la base canonique de M2(R)avec :
E11=
1 0 0 0
, E12=
0 1 0 0
, E21 =
0 0 1 0
, E22 =
0 0 0 1
. (1) Justifier que la matrice A est diagonalisable.
(2) Montrer que la matrice de l’endomorphismeϕA dans la base B est :
T =
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 −1
.
(3) Préciser les valeurs propres et une base de chaque sous-espace propre de l’endomorphismeϕA. (4) L’endomorphisme ϕA est-il diagonalisable ?
III - D’autres résultats sur l’application ϕA et la matrice A On désigne par M2,1(R) l’ensemble des matrices colonnes à 2lignes.
(1) Soit un réel λ tel qu’il existe une matrice M ∈ M2(R) non nulle vérifiant : ϕA(M) =λM.
Montrer par un raisonnement par l’absurde que la matrice A−λI2 n’est pas inversible.
2 Decembre 2017 (2) Soit un réel µtel qu’il existe une matrice X ∈ M2,1(R) non nulle vérifiant AX =µX.
On note X =
x y
, A=
a b c d
, N =
x 0 y 0
et N′ =
0 x 0 y
.
Montrer que N etN′ sont des vecteurs propres de l’endomorphismeϕAassociés à la valeur propre µ.
(3) Comparer le spectre de l’endomorphisme ϕA et le spectre de la matriceA.
(4) Montrer que si la matrice A est diagonalisable, alors l’endomorphisme ϕA est diagonalisable.
Exercice 2
Pour tout entier k∈N, on pose
Ik = Z +∞
0
tke−tdt.
(1) Montrer queI0, I1 etI2 sont des intégrales convergentes et préciser leur valeur.
(2) Soient a >0 et k∈N. On pose
Ik(a) = Z a
0
tke−tdt.
(a) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que Ik+1(a) = (k+ 1)Ik(a)−ak+1e−a.
(b) En déduire que I3 etI4 sont des intégrales convergentes et que I3 = 6 etI4 = 24.
(3) Déduire des questions précédentes que, pour tousx, y ∈R, l’intégrale Z +∞
0
(y+xt+t2)2e−tdt converge et que
Z +∞
0
(y+xt+t2)2e−tdt= 2x2+y2+ 12x+ 4y+ 2xy+ 24.
Exercice 3.
Partie I - Étude d’une fonction f.
On considère la fonction définie sur l’ensemble des réels positifs par f(x) =
( 1−e−x
x , si x >0 1, six= 0.
(1) À l’aide du développement limité de la fonction exponentielle, écrire le développement limité à l’ordre 2 def au voisinage de 0. En déduire que f est continue sur [0; +∞[.
(2) Montrer quef est dérivable en0 et donner la valeur de f′(0).
(3) Justifier la dérivabilité def sur l’intervalle ]0,+∞[puis déterminer la fonction ϕ telle que :
∀x >0 f′(x) = ϕ(x) x2
(4) Étudier les variations deϕ. En déduire le tableau de variation f qui sera complété par la limite de f en +∞.
Concours Blanc n°3: 3 Partie II - Étude d’une suite.
On introduit la suite (un)n∈N∗ définie par
∀n∈N∗, un= Z n
0
e−un 1 +udu.
(1) Démontrer que pour tout entier natureln non nul : un ≥ 1
eln (n+ 1). Donner la limite de la suite (un)n∈N∗.
(2) Prouver la convergence de l’intégrale Z 1
0
f(x) dx.
(3) Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier natureln non nul : 0≤
Z n 0
1
1 +udu−un ≤ Z 1
0
f(x) dx.
(4) Donner alors un équivalent simple deun lorsque n tend vers +∞.
Problème.
Partie 1 : Étude d’une variable aléatoire
Les sommets d’un carré sont numérotés 1, 2, 3, et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4 et le sommet 4 au sommet 1.
Un mobile se déplace aléatoirement sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
• Au départ, c’est à dire à l’instant 0, le mobile est sur le sommet 1.
• Lorsque le mobile est à un instant donné sur un sommet, il se déplace à l’instant suivant sur l’un quelconque des trois autres sommets, et ceci de façon équiprobable.
Pour tout n ∈N, on note Xn la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se situe le mobile à l’instant n. D’après le premier des deux points précédents, on a donc X0 = 1.
(1) Donner la loi de X1, ainsi que l’espérance E(X1) de la variableX1. On admet pour la suite que la loi de X2 est donnée par :
P(X2 = 1) = 1
3 P(X2 = 2) =P(X2 = 3) =P(X2 = 4) = 2 9.
(2) Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, donner, en justifiant, l’ensemble des valeurs prises par Xn.
(3) (a) Utiliser la formule des probabilités totales pour établir que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
P(Xn+1 = 1) = 1
3(P(Xn = 2) +P(Xn= 3) +P(Xn = 4)). (b) Vérifier que cette relation reste valable pour n = 0 et n= 1.
(c) Justifier que, pour tout ndeN, on aP(Xn = 1) +P(Xn= 2) +P(Xn= 3) +P(Xn= 4) = 1 et en déduire l’égalité :
∀n ∈N P(Xn+1 = 1) =−1
3P(Xn= 1) + 1 3. (d) Établir alors que, pour tout entier n ∈N,
P(Xn= 1) = 1 4+ 3
4
−1 3
n
;
4 Decembre 2017 (4) (a) En procédant de la même façon qu’à la question précédente, montrer que l’on a :
∀n∈N P(Xn+1 = 2) = 1
3(P(Xn= 1) +P(Xn = 3) +P(Xn= 4)). (b) En déduire une relation entre P(Xn+1 = 2) etP(Xn= 2).
(c) Montrer enfin que, pour tout entier n∈N, P(Xn= 2) = 1
4− 1 4
−1 3
n
. (5) On admet que, pour tout entier natureln, on a :
P(Xn+1 = 3) =−1
3P(Xn = 3) +1
3 et P(Xn+1 = 4) =−1
3P(Xn= 4) + 1 3. En déduire sans calcul que, pour tout entier n∈N,
P(Xn = 3) =P(Xn= 4) = 1 4 −1
4
−1 3
n
.
(6) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’espérance E(Xn) de la variable aléatoire Xn.
Partie 2 : Étude des puissances d’une matrice A Pour tout n deN, on considère la matrice-ligne deM1,4(R):
Un= P(Xn= 1) P(Xn= 2) P(Xn= 3) P(Xn= 4) (7) (a) Montrer (grâce à certains résultats de la Partie 1) que, si l’on pose
A= 1 3
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
,
on a, pour tout n∈N, Un+1 =Un A.
(b) Établir par récurrence que, pour tout n∈N, on a Un=U0 An. (c) En déduire la première ligne de An.
(8) Expliquer comment choisir la position du mobile au départ pour trouver les trois autres lignes de la matrice An, puis écrire ces trois lignes.
Partie 3 : Une deuxième méthode de calcul des puissances de A On considère les matrices I etJ suivantes
I =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
et J =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
(9) Déterminer les réelsa et b tels que A=aI+bJ.
(10) (a) CalculerJ2 puis établir que, pour tout entier naturelk non nul, on a : Jk = 4k−1J.
(b) À l’aide de la formule du binôme de Newton, en déduire, pour tout entier n non nul, l’expression de An comme combinaison linéaire de I etJ.
(c) Vérifier que l’expression trouvée reste valable pour n= 0.
