est complet

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intégration et probabilités Année universitaire 2012-2013

L’espace L

est complet

On rappelle que L¹(E,A, µ) (ou simplement L¹ si l’espace est évident) est l’ensemble des fonctions f ∈ L¹(E,A, µ) (c’est-à-dire intégrables : mesurables et telles que R

|f|dµ < ∞), dans lequel on identifie (c’est- à-dire que l’on considère comme identiques) les fonctions qui sont égales entre elles presque partout.

Malgré cette identification, on peut toujours écrire sans ambiguïtéR

f dµpourf ∈L¹, vu que les intégrales de deux fonctions égales presque partout sont les mêmes. En particulier, on peut définir, pourf ∈L¹, la quantité

kfk1= Z

|f|dµ.

On constate tout de suite que, pourf ∈L¹, kfk ≥0; que, pourf ∈L¹ etλ∈R,kλfk=|λ|kfk; et que, pour f, g∈L¹,kf+gk1≤ kfk1+kgk1.

De plus, sif ∈L¹ vérifie kfk1 = 0, c’est que l’on a R

|f|dµ= 0d’où f = 0(si on avait f ∈ L¹, on conclurait quef = 0presque partout, mais vu l’identification, sif ∈L¹ on a en fait strictementf = 0, où «0 » désigne l’ensemble des fonctions qui valent 0 presque partout). Notons que l’on pourra parler abusivement de « fonctions L¹ » pour parler d’éléments deL¹, bien qu’il s’agisse à proprement parler d’ensembles de fonctions égales entre elles presque partout, et non de fonctions.

Ces propriétés montrent quek · k1 est une norme sur L¹. Notamment, on peut parler de convergence pour la normeL¹, que l’on note « ^L

1

−→» : si (fn)n est une suite de fonctions deL¹et f ∈L¹,

fn L¹

n→∞−→ f si kf −fnk1−→

n 0, c’est-à-dire si Z

|f−fn|dµ−→

n 0.

Théorème 1. Muni de la normek · k1, l’espaceL¹(E,A, µ)est complet.

On rappelle que ceci signifie que toute suite de Cauchy dansL¹converge : si une suite (f_n)_n≥0 de fonctionsL¹ vérifiesup_p≥nkf_p−f_nk₁−→

n 0, alors il existef ∈L¹telle que f_n ^L

1

−→n f.

En tant qu’espace vectoriel normé complet, on peut qualifierL¹(E,A, µ)d’espace de Banach.

Démonstration. Soit (f_n)_n≥0 une suite de Cauchy dansL¹. Il existe une suite strictement croissante d’entiers (n_k)_k≥0 (autrement dit une sous-suite(f_nk)_k≥0) telle que, pour toutk,

kfnk+1−f_nkk1<2^−k.

En effet, on peut définir(n_k)_k par récurrence parn₀= 0et, pour toutk≥0,n_k+1= max(n_k+ 1, N_n), où N_n = min{n≥0|sup

p≥n

kfp−f_nk1<2^−k},

qui est fini par définition d’une suite de Cauchy. Pour alléger l’écriture, on pose g_k =f_nk. Par théorème de convergence monotone (pour les séries à termes positifs), on a

Z X

k≥0

|g_k+1−g_k|

dµ=X

k≥0

Z

|g_k+1−g_k|dµ=X

k≥0

kg_k+1−g_kk₁dµ≤X

k≥0

2^−k<∞

donc la fonctionP

k≥0|gk+1−g_k|est finie presque partout, ce qui implique que la sérieP

k≥0(g_k+1(x)−g_k(x)) converge (absolument) pour presque toutx. On peut donc définir

h=g₀+X

k≥0

(g_k+1−g_k),

en posant par exempleh(x) = 0si la série ne converge pas enx, ce qui n’a pas d’importance puisque de telsx forment un ensemble négligeable. Alorsh∈L¹ car, par le lemme de Fatou,

Z

|h|dµ= Z

lim

K

g₀+

K

X

k=0

(g_k+1−g_k)

dµ

≤lim inf

K

Z

g0+

K

X

k=0

(gk+1−gk)

dµ

1

et par l’inégalité triangulaire, Z

g₀+

K

X

k=0

(g_k+1−g_k)

dµ≤ Z

|g₀|dµ+

K

X

k=0

Z

|g_k+1−g_k|dµ

d’où

Z

|h|dµ≤ Z

|g0|dµ+

∞

X

k=0

Z

|gk+1−gk|dµ <∞.

Or (par somme téléscopique),

g_K =g₀+

K−1

X

k=0

(g_k+1−g_k)

converge vershpresque partout et, pour toutK,

|gK| ≤ |g0|+

∞

X

k=0

|gk+1−gk|=ϕ,

où on a vu queR

ϕdµ <∞, donc le théorème de convergence dominée donne R

|h−gK|dµ→K 0, c’est-à-dire quekh−gKk1−→

K 0 : la sous-suite(gk)k= (fn_k)k converge vershdansL¹.

Comme(f_n)_n est de Cauchy, ceci implique qu’elle converge vers hdansL¹. En effet : Soit ε >0. Il existek₀ tel que, pourk ≥k₀,kh−f_nkk₁≤ε. Et il existen₀ tel que, sip≥n≥n₀,kf_p−f_nk₁< ε. Alors, pour tout n≥max(n₀, n_k0), on a, en choisissantktel que n_k> n,

kh−fnk1≤ kh−fn_kk1+kfn_k−fnk1≤2ε.

Ceci conclut la preuve.

Au cours de la preuve, on a en fait obtenu un résultat intéressant en soi :

Corollaire 1. Si(fn)nconverge versf dansL¹, alors il existe une sous-suite(fn_k)kqui converge versf presque partout.

Démonstration. En effet, si(fn)n converge versf dansL¹,(fn)n est de Cauchy dans L¹donc on peut lui faire suivre la preuve précédente, oùh=f puisquehest (d’après la fin de la preuve) la limite de(f_n)_n dansL¹. Et on a vu que la sous-suite de terme généralg_K =f_nK converge versh(=f)presque partout.

On peut noter que la preuve s’adapte au cas deL²sans difficulté. Il faut seulement remplacer la normeL¹par la normeL² et utiliser l’inégalité triangulaire pourk · k₂ au lieu de certaines égalités. Par exemple, la première suite d’égalités et inégalités devient : par convergence monotone, puis inégalité triangulaire,

X

k≥0

|gk+1−gk| ₂

= lim↑

K

K

X

k=0

|gk+1−gk| ₂

≤lim↑

K K

X

k=0

kgk+1−gkk2=X

k≥0

kgk+1−gkk2≤X

k≥0

2^−k<∞.

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