Devoir Surveillé n° 3

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₁ Devoir Surveillé n° 3 2éme Bac SM Biof

1ér Semestre Durée 3h Les parties du sujet sont dépendantes

Partie I

1) a) Montrer que pour tout 0;² x 3

 

  ; on a: ² ³ ^{ln 1}

 

²

2 2

x x

x x x x

       

b) Calculer

 

0 2

limln 1

x

x x

 x



 

2) a) Montrer que pour tout 0;² x 3

 

 ; on a : ² ^{ln 1}

 

² ³

2 2 2

x x x

x  x  x 

b) Calculer

 

0 2

limln 1

x

x x

 x



 

Partie II

Soient u et v deux fonctions définies par :

 

¹ ^ln

u x   x x x et ^{v x}

 

^{  }¹ ^x ^x^ln

 

^^x

1) a) Etudier les variations de u surIR^_ (le calcul des limites n'est pas demande) b) Déduire le signe de ^{u x sur}

    

^0;1 ^ ^1;^



^.

2) a) Etudier les variations de v sur IR^_ (le calcul des limites n’est demandé).

b) Montrer que l'équation^{v x}

 

^⁰ admet une unique solution; puis déduire le signe de ^{v x sur}

 

^IR^. Partie III

On considère la fonction f définie par :

   

 

In 2

1 1 2

; 1

x

f s

x x i x

f

 





 



1) Déterminer D le domaine de définition de f et Calculer les limites aux bornes de _f D ; puis donner une _f interprétation géométrique à chaque résultat.

2) a) Montrer que f est continue en x₀ 1

b) En utilisant les résultats de la première partie; Etudier le dérivabilité de f en x₀ 1.

3) a) Etudier la monotonie de f et dresser son tableau de variations.

(Utiliser les résultats de le deuxième partie)

b) Montrer que : ^f

 

^ ^_² ^{. (} est la Solution de l’équation^{v x}

 

^⁰⁾

Construire

 

Cf la courbe de f dans un repère orthonormé



O i j (on prend ^{; ;}



 3, 6) Partie IV

Soit a un réel non nul.

On considère les suites

 

un n_IN et

  S

n n_INdéfinies par : u_n e^^{nf a}^{ } et

1 n

n k

k

S u





1) Montrer que

 

un n_INest une suite géométrique ; puis déterminer sa raison et son premier terme.

2) Donner

S

_n en fonction de n et f(a) ; puis étudier la convergence de

 

Sn n_INet calculer sa limite.

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 ₂ Partie V

Soit nIN^ et

f

_n une fonction définie sur Df 

 

⁰ ^{par :}

 

^{ }

 

;

0 0

n f

n

f x e

nf x

x D

f

 



 

 

 

et

 

Cn la courbe représentative de

f

_n dans un repère orthonormé

 ^{O i j} ^{; ;} 

1) Etudier la continuité et le dérivabilité de

f

_n en

x

₀

 0

2) Utiliser les résultats de la partie III pour étudier les limites et la monotonie de

f

₁ ; puis dresser son tableau de variation.

3) Construire

 

C1 la courbe de

f

₁ dans le repère

 ^{O i j} ^{; ;} 

4) Ecrire fn

 

x en fonction de f x1

 

; Puis déduire les variations de

f

_n

5) Etudier la position relative de



Cn_1



et de

 

Cn

6) Construire les courbes

 

C2 et

 

C3 dans le même repère

 ^{O i j} ^{; ;} 

Devoir Surveillé n° 3

 

 

 

 

 

 

 

    



 

 

   

 

 

 

 





 

  S



 

S

 

f

 

 

 

 

;

0 0

f x e

x D

f

 

 

 

 

 

f

 O i j ; ; 

f

x

 0

f

 

f

 O i j ; ; 

 

 

f





 

 

 

 O i j ; ; 

 ^{O i j} ^{; ;} 

 ^{O i j} ^{; ;} 

 ^{O i j} ^{; ;} 