Université Mohamed V Agdal Printemps 2020 Faculté des Sciences de Rabat Département de Mathématiques SMPC S2 ANALYSE

Université Mohamed V Agdal Printemps 2020 Faculté des Sciences de Rabat

Département de Mathématiques

SMPC S2 ANALYSE

Série d’exercices n° 2 : Intégrales généralisées Corrigé

Exercice n° 1

Prouver la convergence des intégrales suivantes I1 = !"#² (&)

&

(

*) dx I2 = ^&

(+, & )²- . .

* dx I3 = ^{/01 .12}

&⁾ .

* dx I4 = ^.

3⁴⁵- . .

* dx I5 = ^&²

789 :& 1 . .

* dx

Exercice 1 : corrigé

• L’intégrale I1 est impropre en 0 car la fonction f telle que f(x) = ^9;,²&_& n’est pas définie en 0. Mais lim

&→*𝑓(𝑥) = 0. C’est une limite finie donc I1 est « faussement impropre »

donc elle converge.

• L’intégrale I2 est impropre en 0 car la fonction f telle que f(x) = ^&

(B# & )²- . n’est pas définie en 0. Mais lim

&→*𝑓(𝑥) = 0. C’est une limite finie donc I2 est « faussement

impropre » donc elle converge.

• L’intégrale I3 est impropre en 0 car la fonction f telle que f(x) = ^351.1&

&² n’est pas définie en 0. Mais lim

&→*𝑓(𝑥) = ^.

: (Développements limités d’ordre 2 au voisinage de zéro ; e^x = 1 + x + ^&²

: + o(x²)). C’est une limite finie donc I3 est « faussement impropre » donc elle converge.

• L’intégrale I4 est impropre en 0 car la fonction f telle que f(x) = ^.

3⁴⁵- .

n’est pas définie en 0. Mais lim

&→*^C𝑓(𝑥) = 0. C’est une limite finie donc I4 est « faussement impropre »

donc elle converge.

• L’intégrale I5 est impropre en 0 car la fonction f telle que f(x) = ^&²

DE! :& 1 . n’est pas définie en 0. Mais lim

&→*𝑓(𝑥) = - ^.

:. (Développements limités d’ordre 2 au voisinage de

zéro ; cos(2x) = 1- ^(:&)²

: + o(x²) = 1- 2x² + o(x²)). C’est une limite finie donc I5 est

« faussement impropre » donc elle converge.

Exercice n° 2

Prouver la convergence des intégrales suivantes I1 = ^2-.

&(&^F- .) -∞

. dx I2 = ^3G5

&-H -∞

* dx I3 = _*^.𝑥𝐿𝑛(𝑥)dx I4 = ^9;,&

& &

-∞

* dx

Exercice 2 : corrigé

• L’intégrale I1 est impropre en + ∞ et la fonction f telle que f(x) = & (&^&-.F-.) est positive au voisinage de + ∞.

Par critères de comparaison, nous avons en + ∞ x + 1 ~ x et 𝑥(𝑥^H + 1) ~ 𝑥^M) . Donc f(x) ~ ^.

&^N) . Et ^.

&^N) -∞

. dx converge car c’est une intégrale de Riemann avec 𝛼 = ^P_: > 1 . Donc I1 converge.

• L’intégrale I2 est impropre en + ∞ et la fonction f telle que f(x) = _&-H^3G5 est positive au voisinage de + ∞.

Par critères de comparaison, nous avons plusieurs techniques, l’une d’entre elles est d’effectuer un test de Riemann ; nous savons que ^.

&⁾ -∞

. dx converge nous calculons

&→-Qlim 𝑥^:𝑓(𝑥). lim

&→-Q𝑥^{: 3}_&-H^G5 = lim

&→-Q𝑥 𝑒^1& = 0 . Donc en + ∞ f(x) = o(_&²^.) et par critère de comparaison I2 converge.

• L’intégrale I3 est impropre en 0. Elle est faussement impropre car lim

&→*𝑥𝐿𝑛(𝑥) = 0.

C’est une limite finie donc I3 converge.

• L’intégrale I4 est impropre en + ∞ et en 0. Donc nous allons montrer que les deux intégrales ^9;,&

& &

.

* dx et ^9;,&

& &

-Q

. dx convergent.

Pour la première, elle est impropre en 0. Regardons si elle est faussement impropre.

& →*lim

9;,&

& & = + ∞. Donc elle n’est pas faussement impropre. Utilisons les critères de

comparaison. |^9;,&

& & | ~ ^.

& en 0 et ^.

&

.

* dx converge (Riemann ; 𝛼 = ^.

: ) Donc ^9;,&

& &

.

* dx

converge absolument donc converge.

Pour la seconde |^9;,&& & | ≤ & &^. et & &^. -∞

. dx converge donc ^9;,&& &

-∞

. dx converge absolument donc converge

Finalement I4 converge.

Exercice n° 3

Calculer les intégrales suivantes après avoir montré qu’elles convergent

I1 = ^.

(3⁵- .)(3^G5- .) -∞

* dx I2 = ^{3G 5}

&

-∞

* dx I3 = ^+,(&)

&⁾ -Q

. dx I4 = TUDVT# (&)

. - &² -∞

* dx

I5 = DE! (:&)

!"# (:&) (

*) dx I6 = ^.

. - & - &² -∞

* dx

Exercice 3 : corrigé

• L’intégrale I1 est impropre en +∞ . Procédons en deux étapes, la convergence puis le calcul.

o Convergence : en +∞ _{35- . (3}^._{G5- .)} ~ 𝑒^1& et _*^-Q𝑒^1&dx converge, on peut soit faire un test de Riemann en multipliant par x² soit calculer aisément une primitive et montre que cette primitive a une limite finie en + ∞ .

o Calcul : Posons I1(X) = _*^W_{(35- .)(3}^._{G5- .)}dx. Effectuons un changement de variable et posons u = 𝑒^&, nous avons du = 𝑒^&dx = u.dx donc dx = ^XY

Y

1𝑒𝑋1(𝑢+ 1)(1𝑢+ 1)𝑑𝑢𝑢 = 1𝑒𝑋du(𝑢+ 1)² = [ - 1𝑢+1 ]𝑒𝑋1 = 12 - 1𝑒𝑋+ 1 Donc

W → - Qlim 𝐼_.(𝑋) = ^.

: Donc I1 = ^.

:

• L’intégrale I2 est impropre en 0 et en +∞ . Procédons en deux étapes, la convergence puis le calcul.

o Convergence : en +∞, procédons à un test de Riemann. ^{3G 5}_& est positive et

& → -Qlim 𝑥²^{3G 5}_& = 0. Donc ^{3G 5}_& = o(_&²^.) et _.^-Q_&²^.dx converge c’est une intégrale de Riemann, donc ^{3G 5}

&

-∞

. dx converge.

En 0, ^{3G 5}

& ~ ^._& et ^.

&

.

* dx converge donc ^{3G 5}

&

.

* dx converge. Et donc

3^{G 5}

&

-∞

* dx converge.

o Calcul : Posons I2(X) = ^{/G 0}

&

W

. dx. Effectuons un changement de variable et posons u = 𝑥, nous avons du = _{: &}^. dx = _:Y^..dx donc dx = 2u.du

I2(X) = _.^W2𝑒^1Ydx = [-2𝑒^1Y] 𝑋 1 .

Et lim

W→ - Q𝐼_:(𝑋) = ^:₃ . lim

W→ *𝐼_:(𝑋) = ^:₃ - 2. Donc I2 = 2

• L’intégrale I3 est impropre en +∞ . Procédons en deux étapes, la convergence puis le calcul.

o Convergence : en +∞, procédons à un test de Riemann. ^+,(&)_&² est positive et

& → -Qlim 𝑥 𝑥^+,(&)

&² = lim

& → -Q +,(&)

& =0. Donc ^+,(&)

&² = o( ^.

& &) et ^.

& &

-Q

. dx converge c’est une intégrale de Riemann, donc _.^-∞+,(&)_&² dx converge.

o Calcul : Posons I3(X) = ^+,(&)

&² W

. dx. Effectuons une intégration par parties.

Posons u(x) = Ln(x) v’(x) = ^.

&². Donc u’(x) = ^.

& . v(x) = - ^.

& I3(X) = [ - ^+,&

& ]𝑋

1 + ^.

&² W

. dx = [ 1+, & 1 .

& ]𝑋 1=

1 B# W 1 .

W + 1. Et lim

W → -Q𝐼_c(𝑋) = 1. Donc I3 = 1.

• L’intégrale I4 est impropre en +∞ . Procédons en deux étapes, la convergence puis le calcul.

o Convergence : en +∞, de7fg,&

&²-. est positive et de7fg,&

&²-. < ^h_:. _.-&²^. et ^h_:. _.-&²^. ~ ^h_:. _&²^. . De plus

( )

&² -∞

. dx converge donc I4

converge.

o Calcul : Posons I4(X) = de7fg,&

&²-.

W

. dx. Effectuons une intégration par parties.

Posons u(x) = Arctanx v’(x) = ^.

.- &². Donc u’(x) = ^.

.- &² . v(x) = Arctanx I4(X) = [(Arctanx)²]𝑋

1 - I4(X) Donc

W→-Qlim 𝐼_H(X) = ^.

: ((^h

:)² − (^h

H)²)) . Donc I4 = ^ch²

c:.

• L’intégrale I5 est impropre en 0 et en ^h

:. Procédons en deux étapes, la convergence puis le calcul.

o Convergence : en 0,| DE! (:&)

!"# (:&) | ~ ^._:& et ^.

:&

.

* dx converge Donc DE! (:&)

!"# (:&) (

*F dx

converge.

Pour la convergence en ^h

: elle est garantie en remarquant que f(^h

: - x) = f(x).

o Calcul : Posons I5(X) = DE! (:&)

!"# (:&) (

WF dx. Posons u = sin(2x) du = 2cos(2x).dx.

I5(X) = ^.

: Y .

!"# (:W) du = 1 – sin (2𝑋). Posons J5(X) = DE! (:&)

!"# (:&) (W

F

dx. Posons u =

h

: - x du = -dx J5(X) = ^{DE! (:Y)}

!"# (:Y) (

)1 W ( F

du = - I5(^h

:−X) = - I5(X) Donc I5 = 0

• L’intégrale I6 est impropre en + ∞. Procédons en deux étapes, la convergence puis le calcul.

o Convergence : en + ∞, ^.

&²-&-. ~ ^.

&² et ^.

&² -Q

. dx converge Donc I6 converge.

o Calcul : Posons I6(X) = ^.

&²-&-.

W

. dx. Posons u = x + ^.

: du = dx.

I6(X) = ^.

Y²- ^l_F W- ⁴₎ l )

du Posons v = ^:Y

c dv = ^:

c𝑑𝑢 Donc I6(X) = ^c

:. ^H

c

. m²- . )

l(W- ⁴₎)

c dv = ^:

c [Arctanv]

:

c(𝑋 + ^._:) 3 Donc I6 = ^:

c ( ^h

:− ^h

c) = ^h

c c

Exercice n° 4

On pose I = ^{/G0 1 /G)0}

&

-∞

* dx

1) Montrer que I converge.

2) Soit a > 0. Etablir que ^{/G0 1 /G)0}

&

-∞

g dx = ^/G0

&

:g

g dx . (On pourra poser u = 2x) 3) En déduire la valeur de I.

4) Calculer _*^._+,(&)^{& 1 .}dx (Poser x = 𝑒^1f)

Exercice 4 : corrigé

1) I est impropre en 0 et en + ∞.

o En 0, cherchons si elle est faussement impropre.

e^-x = 1 – x + ^&²

: + o(x²) ; e^-2x = 1 – 2x + 2x² + o(x²). donc f(x) = 1 - ^c

: x + o(x).

Donc lim

& → *𝑓 (𝑥) = 1. Donc I est faussement impropre en 0.

o En +∞ , Effectuons un test de Riemann. lim

& → -Q 𝑥² 𝑓 (𝑥) = 0.

Donc f(x) = o(^.

&²) Or ^.

&⁾ -∞

. dx converge Donc _.^-∞𝑓(𝑥)dx converge.

Par conséquent I converge.

2) _g^{-∞/G0 1 /}_& ^G)0dx = _g^-∞/G0_& dx - _g^-∞/G)0_& dx .

Considérons I(X) = ^/G0

&

W

g dx - ^/G)0

&

W

g dx = I1(X) – I2(X). Dans I2(X) effectuons le changement de variable u = 2x du = 2dx

I2(X) = _:g^:W/Go_Y du Donc _g^{-∞/G0 1 /}_& ^G)0dx = _g^:g/G0_& dx.

3) Par encadrement si a ≤ x ≤ 2a alors e^-2a ≤ e^-x ≤ e^-a Donc ^3G)p_& ≤ ^3G5_& ≤ ³_&^Gp

4) Donc e^-2aLn(2) ≤ _g^{-∞/G0 1 /}_& ^G)0dx ≤ e^-aLn(2) .En faisant tendre a vers 0 nous obtenons I = Ln(2).

5) Posons J = ^{& 1 .}

+,(&) .

* dx . Posons x = e^-t dx = - e^-tdt ; Donc J = ^{/G)q 1 /Gq}

1f -∞

* dt = I =

Ln(2)

Exercice n° 5

Déterminer les valeurs de 𝛼 et 𝛽 pour lesquelles les intégrales suivantes convergent.

I1 = ^.

f^s(.- f^t) -∞

* dt I2 = ^{+,(.- fs)}

f^)t -∞

* dt I1 = ^{(.-f))s1 f)s}

f^t -∞

* dt