NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes Une et une seule des écritures dans le tableau ci-dessous est une intruse pour une expression E(x).
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5
41 – 3(x – 16)2 3 x2 32x 727 3
− − +
123 123
3 x 16 x 16
3 3
− + − + + -3x2 + 96x – 727 3 x 16 123 x 16 123
3 3
− − + − − 1) Barrer cette intruse.
Dans la suite, il s’agit de résolution de problèmes avec des preuves algébriques. Cependant il est autorisé d’anticiper et de contrôler pour tout moyen mathématique, calculatrice graphique comprise.
2) a) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour résoudre, dans R, l’équation E(x) = -727 ?
b )Ecrire les solutions de cette équation.
c) Justifier la réponse.
3) a) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour trouver la valeur maximale de E(x) sans avoir recours à une étude de variations de fonction ?
b ) Quelle est cette valeur maximale ? et pour quelle valeur de x est- elle obtenue ?
Valeur maxi. : pour x = Prouver la réponse à la question précédente.
NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes 4) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour résoudre, dans R, l’équation
E(x) = -151 ?
Présenter alors, en apportant les justifications utiles, une résolution de cette équation.
5) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour résoudre, dans R, l’inéquation E(x) ≤ 0 ?
Présenter alors, en apportant les justifications utiles, une résolution de cette inéquation.
éléments pour un corrigé
Une et une seule des écritures dans le tableau ci-dessous est une intruse pour une expression E(x).
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5
41 – 3(x – 16)2 3 x2 32x 727 3
− − +
123 123
3 x 16 x 16
3 3
− + − + + -3x2 + 96x – 727 3 x 16 123 x 16 123
3 3
− − + − − 1) Barrer cette intruse. Ici, en grisé.
Dans la suite, il s’agit de résolution de problèmes avec des preuves algébriques. Cependant il est autorisé d’anticiper et de contrôler pour tout moyen mathématique, calculatrice graphique comprise.
2) a) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour résoudre, dans R, l’équation E(x) = -727 ?
n°4 b )Ecrire les solutions de cette équation.
0 ; 32
c) Justifier la réponse.
Par exemple
-3x2 + 96x – 727 = -727 ⇑⇓ th(s) 1, 2
-3x(x – 32) = 0 ⇑⇓ th. 3 -3x = 0 ou x – 32 = 0
⇑⇓
x = 0 ou x = 32 D’où, les solutions de l’équation : 0 ; 32.
Th. 1 : ∀A, ∀B, ∀C, A = B ⇔ A + C = B + C Th. 2 : ∀A, ∀B, ∀C, AB + AC = A(B + C) Th.3 : ∀A, ∀B, AB = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
Remarque : se rappeler où l’on veut aller !
on sait résoudre des équations de la forme ax + b = 0, ax + b = cx + d, (ax + b)(cx + d) = 0 (avec le th.3), (ax + b)/(cx + d) = 0 (avec le th. : A/B = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0), (ax + b)2 = c avec c ≥ 0 …
3) a) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour trouver la valeur maximale de E(x) sans avoir recours à une étude de variations de fonction ?
n°1
b ) Quelle est cette valeur maximale ? et pour quelle valeur de x est- elle obtenue ?
Valeur maxi. : 41 pour x = 16 c) Prouver la réponse à la question précédente.
Par exemple
∀x, (x – 16)2 ≥ 0 (th.1) ⇓ th.2
∀x, -3(x – 16)2 ≤ 0 ⇓ th. 3
∀x, 41 – 3(x – 16)2 ≤ 41 Donc, pour tout x, E(x) est inférieur ou égal à 41 ; de plus, E(16) = 41 – 3(16 – 16)2 = 41.
Finalement, 41 est la valeur maximale de E(x), obtenue pour la valeur 16 de x.
Th.1 : ∀A, A2 ≥ 0
Th.2 : ∀A, ∀B, ∀C < 0, A ≥ B ⇔ AC ≤ BC Th.3 : ∀A, ∀B, ∀C, A ≤ B ⇔ A + C ≤ B + C
4) a) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour résoudre, dans R,
l’équation E(x) = -151 ? n°1
b) Présenter alors, en apportant les justifications utiles, une résolution de cette équation.
Par exemple
41 – 3(x – 16)2 = -151 ⇑⇓ th(s) 1, 2
(x – 16)2 = 64 ⇑⇓ th. 3 x – 16 = 8 ou x – 16 = -8
⇑⇓
x = 24 ou x = 8 D’où, les solutions de l’équation : 24 ; 8.
Th. 1 : ∀A, ∀B, ∀C, A = B ⇔ A + C = B + C Th. 2 : ∀A ≠ 0, ∀B, ∀C, AB = C ⇔ B = C/A Th.3 : ∀A, ∀B ≥ 0, A2 = B ⇔ A = √B ou A = -√B
Même remarque qu’en 2) : se rappeler où l’on veut aller ! on sait résoudre des équations de la forme ax + b = 0, ax + b = cx + d, (ax + b)(cx + d) = 0 (avec le th.3), (ax + b)/(cx + d) = 0 (avec le th. : A/B = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0), …
éléments pour un corrigé
5) a) Parmi les écritures de E(x), laquelle est particulièrement bien adaptée pour résoudre, dans R,
l’inéquation E(x) ≤ 0 ? n°5
b) Présenter alors, en apportant les justifications utiles, une résolution de cette inéquation.
On peut envisager deux façons de faire, l’une s’appuyant sur les propriétés des inégalités, l’autre s’appuyant sur une étude des signes de E(x) suivant les valeurs de x. Une méthode graphique est toujours pour anticiper et contrôler ce qui est engagé par ailleurs.
Par exemple
E(x) ≤ 0 ⇑⇓
123 123
3 x 16 x 16
3 3
− − + − − ≤ 0 ⇑⇓ th.1
123 123
x 16 x 16 0
3 3
− + − − ≥
⇑⇓ th.2
123 123 123 123
x 16 0 et x 16 0 ou x 16 0 et x 16 0
3 3 3 3
− + ≥ − − ≥ − + ≤ − − ≤
⇑⇓ th.3
123 123 123 123
x 16 et x 16 ou x 16 et x 16
3 3 3 3
≥ − ≥ + ≤ − ≤ +
D’où, (écritures sous forme d’intervalles) l’ensemble des solutions de l’inéquation :
123 123
;16 16 ;
3 3
−∞ − ∪ + +∞
.
Autre façon de faire
Il s’agit d’étudier le signe de E(x) suivant les valeurs de x.
or de x 16 123 0 th.3 x 16 123
3 3
− + ≥ ⇔ ≥ − et de x 16 123 0 th.3 x 16 123
3 3
− − ≥ ⇔ ≥ +
(1)
on déduit le tableau de synthèse suivant :
d’après (1) d’après (1) th.4 D’où, (écritures sous forme d’intervalles) l’ensemble des solutions de l’inéquation :
123 123
;16 16 ;
3 3
−∞ − ∪ + +∞
.
th.1 : ∀A, ∀B, ∀C < 0, A ≥ B ⇔ AC ≤ BC
th.2 : ∀A, ∀B, AB ≥ 0 ⇔ [A ≥ 0 et B ≥ 0] ou [A ≤ 0 et B ≤ 0]
Th.3 : ∀A, ∀B, ∀C, A ≤ B ⇔ A + C ≤ B + C
th.4 : règle des signes pour la multiplication.
valeurs de x
-∞ 16 123
− 3 16 123
+ 3 +∞
signe de -3 – | – | – signe de x 16 123
− + 3
– 0 + | + signe de x 16 123
− − 3 – | – 0 + signe de E(x) – 0 + 0 +
