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méthode des éléments discrets

Vincent Michaut

To cite this version:

Vincent Michaut. Modélisation de la fragmentation dynamique par la méthode des éléments discrets.

Autre. Ecole Centrale Paris, 2011. Français. �NNT : 2011ECAP0010�. �tel-00601766�

DES ARTS

ET MANUFACTURES

ÉCOLE CENTRALE

PARIS

THÈSE

présentée par

Vinent MICHAUT

pour l'obtention du

GRADE DE DOCTEUR

Spéialité: Modélisationnumérique,Dynamique des Sols

Laboratoired'aueil : Méanique des Sols, Strutures et Matériaux

SUJET : MODÉLISATION DE LA

FRAGMENTATION DYNAMIQUE PAR LA MÉTHODE

DES ÉLÉMENTS DISCRETS

Soutenue le : 31janvier 2011

devant un jury omposé de :

Mme. MODARESSI Arézou, Diretrie de Thèse

M. MOLINARIJean-François, Co-Direteur de thèse

M. MARIOTTIChristian, Enadrant CEA

M. BAILLY Patrie, Rapporteur

M. BARDET Jean-Pierre, Rapporteur

M. DARVE Felix

M. FORQUIN Pasal

Je n'aurai jamais imaginé érire es phrases il y a un peu plus de trois ans,

quand j'ai ommené ma thèse. Une thèse n'est jamais une tâhe faile, mais elle

m'a apportée beauoup de hoses, que e soit professionnellement ou dans ma vie

privée.

Tout d'abord, je tiens à remerier du fonddu ÷ur mafemme, Niole. Je n'ou-

blieraijamaistonpréieuxsoutienainsiquetoutl'amourquetumedonnesàhaque

instant. Durant ette thèse, il y a eu deux événements qui ont été les plus beaux

dans ma vie : ma renontre ave toi et notre enfant qui est attendu ette année.

Sans toi,je n'auraipas pu érire e mémoire.Également un grandmeri à toipour

toutle tempsquetu aspasséà lireet reliree mémoire... Ca m'abeauoup touhé.

Ensuite, j'aimerais remerier personnellement et exprimer toute ma gratitude

envers mon enadreur au CEA, M. Christian Mariotti, pour m'avoir soutenu tout

au long de ette thèse, sa très grande patiene ave moi, et la qualité de son suivi.

Vousm'avezbeauoupapportésurleplanhumain.UngrandmeriàvousChristian.

Mes remeriementsvont également à M. Jean-François Molinari, qui a odirigé

e travailetpour laqualitéde sonsuivilorsdemes deux premièresannéesde thèse.

Cetteolaborationaététrèsenrihissanteparbiendes aspets,etmeriàvouspour

les haleureux aueils que j'ai eu lors de mes déplaementssur Lausanne, et pour

vos préieux onseils.

JetienségalementàremerierMadameArezouModaressi,madiretriedethèse

à l'Éole Centrale de Paris, pour avoir dirigé ette thèse, de son bon déroulement,

ainsi quede sagrandegentillesse etles bons ommentaires pour l'élaborationde e

mémoire.

Magratitudevaégalementenvers MessieursPatrieBaillyetJean-PierreBardet

pour leurs nombreux ommentaires et ritiques onstrutives sur mon travail, leur

gentillesseet d'avoir aepté de partiiperau jury.

Je remerie M. Felix Darve pour avoiraepté de présider mon jury de thèse et

ses préieux onseils lorsde notre petite entrevue àGrenoble.

Jeremerie M. Pierre-Frank Piserhia, notre hefde laboratoire,pour ses qual-

ités humaines et qui a toujours su être à mon éoute, que e soit pour le milieu

professionnel ou personnel, et pour les moyens qu'il a mis à disposition pour la

réalisationde mon projet au sein du CEA.

Eveillard, Romain Pilon. Je nirai par la personne que j'ai appréié le plus, Au-

gustin Jehl,en es derniers mois de thèsedéliats,pour nos belles onversations sur

le mondelointainet pour notre belle amitié.

Un grand meri égalementà toutes les autres personnes au sein du laboratoire,

je pense à Magaly Arlery, Jean-Yves Vinçont, Françoise Le Piver pour son soutien

durantmes présentationsen onférene ou auCEA. Meri àvous tous.

Jepense aussi àma famille,mamère etmon père, qui onttoujours été présents

pour moi, et mes soeurs, pour leur onstant soutien durant toute ette thèse. Je

vous dois beauoup, je suis e queje suis aujourd'huigrâe à vous.

Unevie après thèse ommene maintenantave mapetite famille.

L'objetif de e travail de thèse a été de modéliser ave une méthode aux éléments

disrets la fraturation en tension, et plus partiulièrement la fragmentation dynamique,

surdesmatériaux fragilespourde hautes vitessesde déformation.

Lafragmentationestunphénomèneirréversible,nonlinéaireetaléatoire.Elleintervient

dansde nombreux domainesde lavie ourante,quelque soit l'éhelle onsidérée.

La modélisation numérique de e phénomène permettrait une prédition de ertains

paramètres statistiques de lafragmentation, omme lenombre de fragments, la taille des

fragments,la distributionde lataille desfragments,et.

Pourette thèse,laMéthodedesÉlémentsDisrets(DEM) s'estrévélée êtreunexel-

lent moyen poursimuler lafraturation en raison desanature disrète.

Toutefois, une bonne méthode de simulation numérique ne sut pasà elle seule pour

modéliser la fragmentation dynamique. Un ritère de rupture doit également être inséré,

an d'introduire un endommagement. Ce ritère de rupture s'érit au niveau d'un lien

entredeux partiulesetil engendre un dommage,en faisant déroître laontrainteloale

jusqu'àl'obtention d'unessuration disrète.

Dans un premier temps, un ritère de rupture de Camaho-Ortiz [24℄ a été introduit

dansuneméthode auxélémentsdisrets.Ce ritèresetraduit par unendommagement en

fontion d'uneouverture de ssure.

Cepremierritèreadonnédebonsrésultatsomparé àeuxde[69,88,97,143147℄sur

laonvergene desparamètres de lafragmentation surdes assimples, maisnéessite un

grandnombre de partiules.

Dansunseondtemps,and'envisagerlamodélisationdelafragmentation surdesas

plusomplexesentroisdimensionsàdehautesvitessesdedéformation,unseondritèrede

ruptureaétéintroduit.Ceritèrederuptures'appuiesuruneapprohephysiquediérente,

qui prendenompte l'hétérogénéité desmatériaux fragilesave leurs défautssuseptibles

d'évolueretdeprovoqueruneruptureloale.Pourela,ilfaitinterveniruneloiprobabiliste

deWeibullan d'introduire desdéfauts parélément devolume.Ceritère aétédéveloppé

par C.Denoual, P. ForquinetF. Hild[31,33,42 44℄.

Tout d'abord,e seond ritèrede rupture a ététesté surdes assimplesen obtenant

une onvergene des paramètres statistiques de lafragmentation ave un nombreenviron

10

foismoinsimportant departiulesquepourlapremièreméthode.Unasplusomplexe

entroisdimensionsdemodélisationde barred'Hopkinsonen troisdimensionsapermisde

testerde manièrequalitativela méthode.

Mots-lés

Méthode des éléments disrets,Critère de rupture de Camaho-Ortiz, Critère de rup-

tureprobabilistede Weibull, Convergene desparamètresstatistiques delafragmentation

(nombrede fragments, taillesdesfragments, et.).

The objetive of this thesis work is to model the high-strain rate and dynami frag-

mentation of brittle materials using the Disrete Element Method. Fragmentation is an

irreversible,nonlinear and randomphenomenon. It an be found inmanypratial appli-

ationsin engineeringand an take plae at various length sales.

Thisresearhworktakesadvantagesofomputersimulationstomodelthisphenomenon

andtopreditafewstatistialparameters relatedtofragmentationinludingnumber,size,

and sizedistribution offragments. To thiseet, theDisreteElement Method wasfound

to simulate eiently fraturing, whih isa disretephenomenon bynature.

However, aneient omputer simulation isnot suient forrepresentingfragmenta-

tion. It alsoneedsto aount for arupture riterion anda damageriterion. Thisrupture

riterionisdenedattheontatpointsbetweenpartileswhereitgeneratesaloaldamage

thatdereases the loal stressuntil adisrete rak appears.

Ina rststep, the rupture riterion ofCamaho-Ortiz [24℄ hasbeen introdued inthe

DisreteElement Method.Thisriterion expressesdamageasa funtionofrakopening.

When the loal stress reahes a rupture threshold, it dereases linearly with the rak

openinguntil the rupture isobtained.

Thisrst riterion givesgood results onthe onvergene offragmentation parameters

insimple ases [69,88,97,143147℄,but requires agreat numberofpartiles.

In a seond step, another rupture riterion has been introdued for simulating the

fragmentation of more omplex three-dimensional strutures for high-strain rates. This

rupture riterionisbasedonadierentphysialapproah thataountsfor heterogeneous

brittle materials withdefets.

Thesedefets anevolve and auseloal failure.Theyareintrodued perunit volume

elementusing a Weibull probability distribution [31,33,4244℄. This distribution depends

on the loal stress until the loal stress reahes an ativation threshold. After that, the

defets propagateandformareas ofrelaxationinwhihdefetannotevolve.Thedamage

evolvesasthese areas ofrelaxation evolve.

Thisseondruptureriterionhasbeen validatedinsimpleases byexaminingtheon-

vergeneofthestatistialparametersoffragmentation.Comparedtotherstriterion,the

seondriterionrequirestentimesfewerpartiles.After,amoreomplexthree-dimensional

ase, dynami tensile testsinHopkinsonbars, hasbeen treated.

Keywords

Disrete ElementMethod,Rupture Criterionof Camaho-Ortiz, Weibullproba-

bilityrupture riterion, Convergene ofthe statistialparametersof the fragmenta-

tion (numberof the fragments,size ofthe fragments, et.).

Remeriements 3

Résumé 5

Abstrat 6

Table des matières 7

Table des gures 11

Introdution 1

1 État de l'art 7

1 Introdution . . . 7

2 La fragmentationet ses diérentsméanismes physiques assoiés . . . 8

2.1 Lafragmentation . . . 8

2.2 Quelquesdomaines d'appliations de la fragmentation . . . 9

2.3 Laphysique de la rupture . . . 11

3 Lesdiérentesméthodesnumériquespourmodéliserlafragmentation dynamique . . . 18

3.1 Introdution . . . 18

3.2 Lesmodèles énergétiques [5,60℄ . . . 19

3.3 Lesméthodes lassiquesbasées sur leséléments nis . . . . 22

3.4 Lesméthodes non basées sur les élémentsnis . . . 28

3.5 Modélisationde lapropagation des ondes de ho [112℄ . . . . 29

4 La méthode des éléments disrets . . . 30

4.1 Introdution . . . 30

4.2 Lesdiérentsmodèlesélémentsdisrets . . . 30

4.3 Lemodèle élément disret employé dans ette thèse . . . 32

5 Le ritère de rupture de Camaho-Ortiz[24℄ . . . 37

6 Conlusion de ette étudebibliographique . . . 39

2 Modélisation de la fragmentation 41 1 Presentation of the Disrete Element Method . . . 43

1.1 Shape of the partiles. . . 43

1.2 Geometrialdesription of the system . . . 43

1.3 Expressionof fores and moments between partiles . . . 44

1.4 Numerialsheme . . . 45

1.5 Cohesive law . . . 45

2 Dynamifragmentation of aCeramibeam . . . 46

2.1 Problem denition . . . 46

2.2 Numerial results . . . 47

3 Conlusions . . . 52

3 Éléments disrets en deux dimensions ave un ritère de rupture de Camaho-Ortiz 53 1 Introdution . . . 53

2 Modèlisationnumériqueaveun ritèrederupture deCamaho-Ortiz introduit dans des éléments disrets d'une plaque 2D en tration bi- axiale . . . 54

2.1 Les onditions initiales . . . 54

2.2 Les paramètres du matériau . . . 54

2.3 Les diérents typesde maillagesutilisés . . . 55

3 Résultats. . . 56

3.1 Étude de la onvergene des diérentes énergies en fontion du nombre de partiules . . . 56

3.2 Les fragments . . . 58

3.3 Impat du type de maillage sur la fragmentation . . . 59

3.4 Inuene du degré de dispersion pour les maillagesaléatoires de Voronoi sur les résultats. . . 61

3.5 Analyse des résultatsdu modèle 2D . . . 63

4 Synthèse des résultatsave un ritèrede rupture de Camaho-Ortiz . 64 4 Introdution d'un modèle probabiliste dans une méthode aux élé- ments disrets 65 1 Introdution . . . 65

2 Inuene des défautssur les propriétés méaniques d'un matériau. 66 2.1 Le rle olletif des défauts. . . 67

2.2 Dispersiondes ontraintes de rupture . . . 67

2.3 Les eets d'éhelle : notion de volume eetif ou de surfae eetive . . . 68

2.4 Les diérentes approhes probabilistes[84℄ . . . 68

3 Modélisationd'unproessusdefragmentationsimple:approheprob- abiliste de Weibull[84℄ . . . 70

3.1 La genèsede l'approhe de Weibull . . . 70

3.2 Les hypothèses du modèle: prinipedu lien leplus faible . . . 70

3.3 Modélisationde l'ativationdes défautspar une loide proba- bilité de Poisson. . . 71

3.4 Caratérisation de ladensité de défauts

λ

^{. . . . . . . . . . . 72}

3.5 Inuene du volume et dénition de la variable de volume eetif

Z _{ef f}

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73}

3.6 Caratérisation des paramètresstatistiques de Weibull . . . . 75

4 Modélisationd'un proessusde fragmentation multiple:modèle de Denoualou modèled'oultation . . . 77

4.1 Caratérisation d'une variable d'endommagement . . . 80

5 Implémentation du modèle d'endommagement probabiliste dans le ode aux éléments disrets . . . 81

5.1 Introdution d'uneontrainteseuil

σ _k

^{aléatoire . . . . . . . 81}

5.2 Dimensionnementdu problème . . . 83

5.3 Desriptiondu hangement de variableutilisé . . . 83

5.4 Intégrationformellede laloid'endommagementpourl'expan- sion de défauts surfaique(2D) . . . 84

5.5 Intégrationformellede laloid'endommagementpourl'expan- sion de défauts volumique(3D). . . 85

5.6 Calulde l'endommagement

D

^{àhaque pas de temps . . . . . 87}

6 Tests de validationde la loi . . . 88

6.1 Test de trationdynamique sur deux partiules . . . 88

6.2 Test de trationsur une barreen une dimension . . . 91

6.3 Trationbiaxiale sur une plaque en éramique . . . 96

7 Conlusions du hapitre . . . 98

5 Appliations 101 1 Introdution . . . 101

2 Lesbarresd'Hopkinson:lestestsexpérimentauxetquelquesprinipes physiques misen jeux . . . 101

2.1 Lesdiérentstests de Barresd'Hopkinson . . . 102

2.2 Lesessais expérimentaux . . . 104

3 Modélisationnumériqueen troisdimensions debarre d'Hopkinsonen tration dynamique par une ombinaisonélémentsdisrets/méthode probabiliste de Denoual. . . 105

3.1 Lesonditions aux limites etlesparamètres des matériaux . . 105

4 Conlusions du hapitre . . . 111

Conlusions et perspetives 113

Bibliographie 117

1 Quelques exemples de fragmentationsdynamiques . . . 2

1.1 Un exemple de fragmentation dynamique : une assisette assée en plusieurs moreaux . . . 8

1.2 Un exemple de fragmentation quasi-statique : une assiette assée en deux moreaux . . . 8

1.3 Vue aérienne d'une mine de diamants en Inde [149℄ . . . 10

1.4 Illustration d'une brèhe de faille (faille de dérohement du ouloir ouest du Petit Som, dans le massifde laChartreuse en Frane)[148℄ . 11 1.5 Fragmentation d'une rohe en laboratoire soumise à une vitesse de déformation de

140

^{s-1 [34℄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11}

1.6 Fragmentation d'une rohe en laboratoire soumise à une vitesse de déformation de

400

^{s-1 [34℄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11}

1.7 Courbeontrainte/déformation[98℄ . . . 12

1.8 Courbe ontrainte/déformation dans le as des ruptures fragile et dutile [98℄ . . . 13

1.9 Les diérentsmodes de rupture [98℄ . . . 13

1.10 Évolution du rapport

K _I ^dyn K _Iu ^dyn

en fontion de la vitesse de propagation [98℄ . . . 18

1.11 Inuene de la vitesse de ssuration sur le fateur d'intensité des ontraintes [51℄, ave

Cr

^{lavitesse des ondes de Rayleigh . . . . . . . 19}

1.12 Bifurationdessureexpliquéeparlesontraintesenpointedessure [138℄ . . . 20

1.13 Fontionsuniverselles de vitesses en mode I et II [98℄ . . . 21

1.14 Desription de l'insertiondes interfaes ohésives [144℄ . . . 27

1.15 . . . 32

1.16 Shéma du ritère de rupture modié de Camaho-Ortiz et les dif- férentes énergies assoiées [97℄ . . . 38

2.1 Desription of two partiles ininteration . . . 43

2.2 Irreversible lineardeaying lawused in the disrete models . . . 45

2.3 Initial onditions . . . 47

2.4 Evolution of the stress and the number of fragments in the beam (

ǫ ˙ 0 = 5 × 10 ⁵ s ^{− 1}

^{, the beam is modelledwith 400 partiles) . . . . . . 48}

2.5 Cohesiveenergydependeneonmeshsizeforaone-dimensionalbeam fragmentation problem . . . 49

2.6 Damage artography along the beam (strain rate =

4 × 10 ³ s ^{− 1}

^{) . . . 49}

2.7 Fragment size distribution orrespondingto a

4 × 10 ⁵

^partilesmesh

atstrain rate

ǫ ˙ 0 = 5 × 10 ⁵ s ⁻¹

^{(onverged model) . . . . . . . . . . . . 50}

2.8 Average fragment size normalized vs. strain rate normalized (homo- geneous beam) . . . 51

3.1 Maillage arré . . . 55

3.2 Maillage de Voronoirégulier . . . 55

3.3 Maillage de Voronoialéatoire . . . 55

3.4 Étudedelaonvergenedesdiérentesénergiespourunmaillageave des partiules de formearréen fontion du nombre de partiules . 56 3.5 Étude de la onvergene des diérentes énergies pour un maillagede Voronoirégulier en fontion du nombre de partiules . . . 57

3.6 Étude de la onvergene des diérentes énergies pour un maillagede Voronoialéatoire (20%)en fontiondu nombre de partiules . . . 57

3.7 Nombre de fragments en fontion du nombre de partiules pour un maillagearré . . . 58

3.8 Nombre de fragments en fontion du nombre de partiules pour un maillagede Voronoi ave un degré de dispersion de

50

^{% . . . . . . . 58}

3.9 Visualisationde la rupture du nombre de liens rompus par partiule dans la plaque pour un maillage àforme arré. . . 59

3.10 Visualisationde la rupture du nombre de liens rompus par partiule dans la plaque pour un maillage de Voronoirégulier . . . 60

3.11 Visualisationde la rupture du nombre de liens rompus par partiule danslaplaque pourun maillagedeVoronoialéatoireave un tauxde dispersion de 20% . . . 60

3.12 Étudedunombredefragmentsenfontiondutauxdedispersionpour un modèle numérique omposé d'environ 120 000 partiules . . . 61

3.13 Visualisationde la rupture du nombre de liens rompus par partiule danslaplaquepourunmaillageaveuntauxdedispersiongéométrique de 1% . . . 62

3.14 Visualisationde la rupture du nombre de liens rompus par partiule danslaplaquepourunmaillageaveuntauxdedispersiongéométrique de 2% . . . 62

3.15 Visualisationde la rupture du nombre de liens rompus par partiule danslaplaquepourunmaillageaveuntauxdedispersiongéométrique de 10% . . . 63

4.1 Une disloation est un défaut à l'éhelle atomique orrespondant à une disontinuité dans l'organisation de la struture ristalline. Elle est suseptible de provoquer une rupture ausein d'un matériau. [54℄ . 66 4.2 Diérents défauts suseptibles de provoquer une rupture . . . 67

4.3 L'étude des aratéristiques des diérents défauts présents dans un matériau fait intervenir les lois de probabilité, notamment la loi de Weibull[74℄ . . . 68

4.4 Évolution de la ontrainte ultime en fontion de la largeur d'une plaquessuréeenbétonentrationpourdiérentesvitessesdeharge- ment(Ref. [56℄) . . . 69

4.5 WallodiWeibull (1887-1979) . . . 70

4.6 Éhantillon

A

^{en tration uniaxialeave un volume}

V _A

^{et un harge-}

ment en tration ave une ontrainte

σ A

^{. . . . . . . . . . . . . . . . 73}

4.7 Éhantillon

B

^{en tration uniaxiale ave un volume}

2 × V A

^(deux

éhantillons

A

^{montésen série)etun hargement ave une ontrainte}

σ A

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73}

4.8 ShématisationdeladisparitédesdéfautssuivantlemoduledeWeibull

75

4.9 Ban de exion à quatre points du Laboratoire de Méanique et

Matériaux du génie ivilde l'université de Cergy-Pontoise. . . 77

4.10 Prinipedu méanisme d'oultation[31℄ . . . 78

4.11 Les onditions aux limites du test de tration dynamique sur deux

partiules etun lien . . . 88

4.12 Évolution de l'endommagement en fontion du module de Weibull

pour une vitesse de déformation

ε ˙ = 5.10 ⁵

^{s-1 . . . . . . . . . . . . . . 89}

4.13 Contrainteultime

σ max

^{en fontionde lavitesse de} déformationpour un module de Weibull

m = 9.3

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90}

4.14 Convergene de l'energieinétiqueen fontionde lavitesse de défor-

mation . . . 92

4.15 Nombrede fragmentsenfontionde ladensitédemaillagepourdeux

vitesses de déformation . . . 94

4.16 Distribution de la taille des fragments en fontion de la densité de

maillage pour une vitesse de déformationde 10 5

s -1

. . . 94

4.17 Distribution de la taille des fragments en fontion de la densité de

maillagepourunevitessededéformationde10 4

s -1

pourdes maillages

standardset des maillagesaléatoiresà

5%

^{. . . . . . . . . . . . . . 95}

4.18 Convergene de l'énergieinétique en fontion de la densitéde mail-

lagepourunevitessededéformation

ε ˙ = 10 ⁵

^{s-1aveunmaillageave}

des partiules de forme arré . . . 97

4.19 Distribution de la taille des fragments en fontion de la densité de

maillage ave des partiules de forme arrépour une vitesse de

déformation de 10 5

s -1

. . . 98

5.1 Le test de ompression dynamiqueave lesbarres d'Hopkinson [86℄ . 102

5.2 Conguration du test expérimental pour le système d'Hopkinson en

tration dynamique [17℄ . . . 103

5.3 Essai d'éaillageauxbarresde Hopkinson,test développéauLabora-

toire de Physique et Méanique des Matériaux à Metz, par B. Erzar

et P. Forquin [37,48℄ . . . 103

5.4 Rapport de la ontrainte de rupture dynamique sur la ontrainte de

rupture statique [22℄ . . . 104

5.5 Résultatsde l'essaiN

◦

2:fraturationde l'éprouvette àdeuxendroits

diérents [22℄ . . . 105

5.6 Les onditions aux limitesdu modèle . . . 106

5.7 Maillage 3D de l'éhantillon, maillé ave plus de 500 000 partiules . 106

5.8 Visualisation de la vitesse aux apteurs

J 1

^,

J 2

^,

J 3

^,

J 4

^et

J 5

^{pour une}

vitesse d'impat de

7

^{m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107}

5.9 Zoomdu apteur

J 1

^{lors de la}propagation de l'onde inidente . . . . 108

5.10 Fraturation de l'éprouvette pour une vitesse d'impatde

7

^m.s-1.Au

niveau des éhelles, le rouge indique une ompression de l'ordre de

− 10 ⁶

Pa et le violet une onde de tration de l'ordre de

10 ⁶

Pa. Le vert/jaune matérialise une pression presque nulle. . . 109

5.11 Visualisationdelavitessedansl'éprouvetteetdesmaro-fraturations

en fontion de lavitesse d'impatdu projetile . . . 110

5.12 Résultats d'un essai de tration dynamique ave des barres de Hop-

kinson ave une vitesse d'impatde

7

^{m/s . . . . . . . . . . . . . . . . 114}

5.13 Perspetives : Exemple d'une modélisationplus omplexe ave de la

exion : leomportementau soue de strutures en béton armé [106℄ 116

Un as simple qui permet d'illustrerla fragmentation est de laisser tomberune

assiette sur le sol. Elle se asse en plusieurs moreaux. On peut également iter le

asoùlaséheresse, oasionnéepar laaniuledel'été2003,afaitraquelerlemur

de nombreuses habitationsen Europe.Ces deux observations proviennent du même

phénomènephysique : lafragmentation.

Physiquement, la fragmentation est un phénomène irréversible, non linéaire et

aléatoire.Elleintervientdans de nombreux domaines de lavie ourante, mais aussi

lors d'événements exeptionnels, omme la ollision d'une météorite sur l'atmo-

sphère, de glissements de terrain lors de séismes, et. Une des partiularités de

la fragmentation est son aratère multi-éhelle : des éhelles nanosopiques aux

éhelles astronomiques,elle survient à toutesles éhelles de la physique.

Laoneption d'unmodèle numériqueablede fragmentationpermettrait d'ap-

porterunemeilleureompréhensionde ephénomènephysiquemajeur,ave ses dif-

férentsméanismesomplexes.Cemodèlepourraitégalementpermettreunemeilleure

préditionde ertainsparamètresstatistiquesdelafragmentation,ommelenombre

de fragments,la tailledes fragments, ladistribution de la tailledes fragments,et.

Cette prédition pourrait serévéler déterminante dans diérents domaines :

Dansle domaineindutriel:Parexemple, dans l'industrieminière,où lamod-

élisation numérique de la fragmentation pourrait permettre l'élaboration de

nouvelles méthodes d'abattage des rohes à l'explosif, permettant ainsi de

réaliserune distributiondes taillesde fragmentsoptimaleave une utilisation

minimaled'explosif;

Dansledomained'appliationsmilitaires:lamodélisationdelafragmentation

est égalementun plus lorsde la oneption de blindages, par exemple dans le

as d'impat de missiles.Cet outil permettrait d'optimiser la géométrieet les

matériauxemployés dans es blindages;

Dans le domaine ivil : la prédition de la fragmentation pourrait être un

outil de oneption de nouveaux bâtiments permettant de mieux résister aux

séismes lesplus violents,et.

D'autreshampsd'appliationspourraientêtrelebroyaged'agrégatsdearrières.

Ce proessus onsomme beauoup d'énergie, etla modélisationde lafragmentation

pour ette appliation serait un outil apital pour diminuer ette onsommation

d'énergie [100℄. Une autre appliation est la fragmentation des rohes au sein des

failles sismique. Cette modélisation pourrait permettre de mieux omprendre les

diérents méanismes intervenant lors d'un séisme [35℄. On peut également iter

ommeappliationleasdelaompationdespoudresmétalliquesoudeéramiques.

Lesdomaines d'appliationde lafragmentationsontdon importantsdans tous

lesdomaines,queesoitsur leplanéonomique(lebroyage d'agrégatsde arrières),

ou ivil(améliorationdes outils de prédition des séismes).

D'énormes progrès ont été aomplis es dernières déennies dans l'analyse et

la modélisation des méanismes de rupture d'un matériau. La méanique linéaire

élastique de larupture [15℄ fournit en partiulier un adre théoriquequi permetde

dérirelapropagationdesssures.Cespréditionssontenbonaordavelesobser-

vationsexpérimentalestantquelematériauonsidéréest susammenthomogèneet

quelavitessede déformationreste assezlente(généralementinférieureà

100

^s-1).En

revanhe, elles éhouent largementdans les as dynamiques (supérieure à

1000

^s-1).

(a)Impat d'unemétéorite (b)Séismed'Agadir(Maro)du

29février1960

()Impatd'unmissilesurun

hardeombat

(d)MinededimantdansleYak-

outieenRussie

Figure1 Quelques exemples de fragmentationsdynamiques

Savoir modéliser numériquement la fragmentationdynamique est don un sujet

atuel susitant beauoup d'intêrets dans le milieu de la Reherhe internationale.

Depuis plusieurs dizaines d'années, tous relèvent les mêmes dés : onevoir des

matériaux plus ou moins résistants, maximiser ou minimiser le nombre de frag-

ments, ontrler leur taille et leur forme, ouplus généralement, mieux omprendre

e phénomène physique. Par onséquent, il est indispensable de posséder de bons

moyens de prédition numérique de lafragmentation.

Historiquement, es moyens de prédition ont ommené dès les années trente.

Des ingénieurs ontd'abord tenté d'établirdes loisempiriquesdérivantl'état résul-

tant de la fragmentation, le nombre de fragments et la distribution de leur taille.

Seullesonséquenes de lafragmentation,'est àdire àl'étatnal, étaientétudiées

sans la préoupation de l'évolutiontemporelle du proessus physique [11,91,118℄.

And'expliquerplusrigoureusementlesobservationsexpérimentales,lesthéoriiens

ont modélisé la fragmentation ave une approhe statistique dérivant les inerti-

tudesliéesàlamirostruture dumatériau.LathéoriedePoisson aété ainsimaniée

durant plus d'un demisièle. Elleest àl'origine de nombreuses théories(Mott [99℄,

Grady[5862℄,et.).Ces théoriespermettent unepréditionen supposantque seule

l'énergieinétique loale est utilisée pour la propagationd'une ssure.

Toutefois,esthéoriesmontrentaujourd'huileurslimitesarellesnepeuventpas

inlurelesphénomènesnon-linéairesinternes,quiagissentégalementsurlaformation

des fragments et leurs distributions de tailles. Les méthodes numériques ave les

outils informatiques atuels sont les moyens les plus adaptés pour la modélisation

de es non-linéaritésetde voirleurs inuenes sur le résultatnal.

Plusieursméthodesnumériquespourlamodélisationdelafragmentationpeuvent

être employées, et lasséesen deux atégories :

Tout d'abord, les méthodes ave maillage; Ces méthodes dérivent de la mé-

anique des milieux ontinus. Dans ette lasse, les méthodes par éléments

nissontlesplus représentatives[9℄. Ces méthodes peuventêtre adaptées àla

fragmentation, mais demandent un remaillage onstant du domaine lors des

avanements des ssures. Toutefois, de nouvelles méthodes, sans avoir à re-

mailler le domaine sont apparues es dernières années, omme les méthodes

X-FEM[107℄ oules méthodes ohésives [88,97,143146℄ où des élements dits

ohésifssontintroduitsdynamiquement.On peutégalementiterlesméth-

odes des équations intégrales ne maillant que le ontour du domaine [39,79℄.

Ensuite, les méthodes dîtes sans maillage. Ces méthodes ont la partiu-

larité de pouvoir traiter naturellement les problèmes de rupture, les grandes

déformations et les problèmes de ontat, sans néessiter un remaillage du

domaine. Dans es méthodes, on peut iter les méthodes Smooths Partile

Hydrodynamis [76℄, les méthodes aux éléments disrets, les lattie mod-

els [21,23,27,70,93,124,124℄. Dans es méthodes, le domaine d'étude est

diviséde manièredisrète, oùhaquepartiedu domaineest unepartiule.Ces

partiulessontreliéesentre-ellespardesliens.Leprinipalintérêtdeesméth-

odesest biensûrleursgrandesapaitésàtraiterlafraturation.Enrevanhe,

le oût de alul est plus lourd que les méthodes ave maillage et la gestion

des ontats etdes fores est omplexe.

Pour ette thèse, la méthode des éléments disrets nous a paru être la méthode

la plus eae pour modéliser des phénomènes où la fragmentation dynamique in-

tervient. Eneet, ette approhe numérique permet de failiterla modélisationde

es fraturations faisantintervenir de multiplesontats entre lessurfaes ssurées.

De plus, es méthodes s'avèrent parallélisables.

La méthode que nous avons employée [93℄ est une méthode de Lattie Mod-

elsquis'inspireà lafoisdes méthodes partiulaires,etdes méthodes aux éléments

disrets. Cette méthode se distingue des méthodes partiulaires existantes par le

fait que les partiules sont déformables, et peuvent avoir des formes quelonques

(partiules de Voronoien 2Det 3D,et.) L'avantage d'avoires partiules à formes

quelonques est quelamatièrepeutêtre modéliséesansespaevaant.Leode util-

isé est le ode auxélémentsdisrets Mka3D

^{développé par Christian Mariotti} pourlesbesoinsduCEAen matièredemodélisationdeséismesàtrèsgrandeéhelle.

Lehoixde laméthode numériqueétantfait,laquestion s'estposéesur la mod-

élisationdelafraturationenellemême.Cettemodélisations'appuiesurdesritères

de rupture qui introduisent un endommagementau sein du matériau.

Atuellement,plusieurs ritèresde rupture ont été proposés :

Un ritèrede rupturedisretdéveloppéàl'originepar Camaho-Ortiz[24℄.

Ce ritère traduit un endommagement suivant une ouverture de ssure. Il se

dit disret dans la mesure où il dérit un endommagement pour un lien. Il a

été utiliséave suèspar J.F.Molinaridanslaméthodedes élémentsohésifs

[88,97,143146℄. Ce ritère de rupture permet une onvergene du nombre de

fragmentset de l'énergie dissipée dans le proessus de la fragmentation, mais

néessite un grand nombre de partiules. Le développement d'une méthode

multi-éhelle, pour avoir une onvergene plus rapide des énergies dissipées,

est aussi déliate.

Un ritère de rupture probabiliste où des défauts sont introduits de manière

probabiliste ave des lois de Weibull dans un élément de volume. Ce ritère,

s'appuyant non passur une approhedisrètemais sur unélémentde volume,

permet une approhe multi-éhelle eae. Ce ritère de rupture a été intro-

duit par C. Denoual [31℄ et utilisé dans des odes ommeriaux aux éléments

nisommeAbaqus

^{pourtraiterdesproblèmesde} fragmentationommedes tests d'impats sur tranhe. En revanhe, auune étude n'a été portée sur la

onvergene des énergies dissipées, et le nombre de fragments ave e type

d'approhe.

Dans un premier temps, l'objetif a été de valider l'approhe aux éléments dis-

rets en introduisant un ritère de rupture de Camaho-ortiz simplié [24℄ pour

simuler unproblème simplede poutre1Den trationdynamique.Pour ettevalida-

tion, nous avons étudié et omparé nos résultats, sur laonvergene des diérentes

énergies dissipées, etlesstatistiquessurlesfragments,aveeux de[88,97,143146℄.

Après ettephasedevalidation,notrepréoupations'estportéesur lamodélisation

de as plusomplexesen deuxdimensionsave e ritère,enentrantl'étudesurles

onvergenesdesparamètresdefragmentationetl'aspetqualitatifdesfragments.

Pourela,nous avons étudiéunmodèle numériqueendeux dimensionsdeplaqueen

tration bi-axiale. Ce modèle nous a permis de voir que les approhes numériques

misesen plaepermettaientd'obtenirlaonvergenedes énergiesdissipées,dunom-

bre de fragments et d'avoir une statistique ohérente sur la distribution des tailles

de esderniers,maisseulementpourdefaiblesvitessesde déformation.Toutefois,e

modèle aégalementpu mettreen évideneplusieurspoints.Tout d'abord,lesrésul-

tats sont très dépendants du type de maillageutilisé. Ensuite, un grand nombre de

partiules sont néessaires pour obtenirla onvergene de es diérents paramètres

pour lesfortes vitesses de déformation, rendant très diile,ave lesmoyens infor-

matiquesatuels,lamodélisationdelafragmentationpourdesasplusomplexesen

deux dimensions.Lesmodèlesàtroisdimensionssontave eritèrede fraturation

tout simplement impossible.

Lesanalyses de es premiers résultatsont amené à reentrer l'étude pour intro-

duire un autre ritère de fraturation, dit volumique. Ce ritère ne dérit pas

l'endommagmentpour haque lien, mais pour tout un élément de volume.

Dans un seond temps, l'objetif a été d'introduire dans le modèle disret un

ritère de rupture probabiliste. Ce ritère introduit des défauts ave des lois de

Weibull dans des élements de volume. Cette approhe probabiliste est don par

nature multi-éhelleet permet a priori une onvergene des paramètres de frag-

mentationplus rapide même sile maillageest grossier.

Le premier hapitre passe tout d'abord en revue quelques appliations on-

rètes de la fragmentation. Il montre ensuite un aperçu des diérentes tehniques

numériquesutilisées pour lamodélisationde lafraturation, de laméthode des élé-

mentsnis,en passantpar lesméthodes ne maillantqueleontour,etlesméthodes

sans maillage omme la méthode des éléments disrets. La propagation des ondes

de hosen milieu hétérogène est également passée en revue.

Le seond hapitre reprend en intégralité un artile en anglais que nous avons

soumis au journal Engineering Frature Mehanis validant le ritère de rup-

turede Camaho-Ortizintroduitdans notreméthode desélémentsdisretspour un

modèle simple de poutre en tration dynamique.

Le troisièmehapitre est onsaré à la modélisationd'un as plus omplexe en

deux dimensions ave le ritère de rupture de Camaho-Ortizintroduit dans notre

méthode des éléments disrets, et expose les diérents problèmes de onvergene

renontrés.

Lequatrièmehapitredéritlaphysiqueetl'introdutiondumodéleprobabiliste

de Denoual.Ce modèleaété toutd'aborddéveloppépar C. DenoualetF.Hild[31

33℄,puisutiliséetétendu parP.Forquin[37,4345,48℄.Dansemodèleprobabiliste,

desdéfautssontintroduitsaveuneloideWeibull.Detrèssimplesappliationspour

illustrer les bienfaits de ette introdution de e modèle probabiliste au sein d'une

méthode auxéléments disrets seront eetuées.

Enn,leinquièmehapitreseradédiéàl'appliationentroisdimensionsdebarre

d'Hopkinson en trationdynamique, qui permettra de tester de manière qualita-

tivelaméthode.

État de l'art

1 Introdution

Ce hapitre bibliographique est onsaré à l'analyse de la fragmentation dy-

namique et de sa modélisationnumérique. Cet état des lieux qui y est dressé n'est

pas exhaustif maispermet de passeren revue laphysique de lafragmentationetles

diérentestehniquesnumériquespourlamodéliser.Leleteurintéresséparertains

sujets peut se reporter à la setion de la bibliographie pour onsulter des ouvrages

plusomplets,surlesméthodesnumériquesemployées,ousurlesritèresderupture

de la fragmentation.

Ce hapitres'organise de lamanièresuivante. Dans unepremière partie,lafrag-

mentation,ainsiquedesappliationsonrètes,etlesphénomènesphysiquesassoiés

seront abordés, omme la physique de la rupture et ses diérents modes, la ssur-

ation, etlapropagation des ssures. Dans une seonde partie, diérentes méthodes

numériquespermettant de modéliser lafraturation seront passéesen revue, quee

soitpour lesrégimesstatique ou dynamique :

Lesmodèlesénergétiques de Grady-Kipp[5862℄etde Glenn-Chudnovsky [5℄,

qui émettent l'hypothèse que toute l'énergie inétique loale est onvertie en

énergiede surfae etque lesénergies de déformationsont négligées;

Lesméthodes numériques lassiquesbasées sur les éléments nis; Dans e

paragraphe, une brève desription générale de la méthode par éléments -

nis sera eetuée et diérentes variantes de ette méthode pour traiter les

problèmes de fraturation seront énonées, omme la méthode des éléments

ohésifs[24,88,97,143146℄,lesméthodessur lapartitiondel'unité(méth-

odes X-FEM entre autres), les méthodes numériques basées sur le remaillage

du domaine[102,113℄ etle relâhement des noeuds [13,82,139℄;

Lesméthodes numériquesquine sontpas baséessurlesélements nis,omme

la méthode des éléments de frontière (ou méthode des équations intégrales)

[39,79℄ ,les méthodes partiulaires [21,27℄ etles méthodes disrètes [93,124℄.

Un paragraphe dérira diverses méthodes numériques pour la propagation des

ondes de ho en milieu hétérogène, qui peuvent survenir dans les as d'impat à

haute vitesse.

Une troisième partie sera onsarée à une étude approfondie des méthodes aux

élémentsdisrets,quiontétéutiliséespourettethèse.Aprèsavoirdéritbrièvement

les diérents types de méthodes disrètes disponibles, l'expression des moments et

des foresdenotremodèleseradonnée,ainsiqueleshémaderésolutionnumérique.

Enn, dans une dernière partie, diérents types de ritères de rupture pou-

vant être introduits dans les odes aux éléments disrets seront présentés, à savoir

des ritères de rupture de type disrets(ritère de Camaho-Ortiz) [103℄, et des

ritèresderuptureditsvolumiques(ritèresprobabilistes)[6,3133,4347,63,119℄.

2 La fragmentation et ses diérents méanismes physiques

assoiés

2.1 La fragmentation

Un des aspets les plus importants de la fragmentation dynamique est qu'un

orps de matériau fragile ou quasi-fragile, à la n du proessus de la rupture, est

divisé en de nombreux moreaux(Fig.1.1). Dans des onditions de hargement sta-

tiqueouquasi-statique,un orpsest souventsoitendommagéouseulementasséen

deux moreaux(Fig.1.2).

Figure 1.1 Un exemple de fragmen-

tationdynamique:une assisetteassée

en plusieursmoreaux

Figure 1.2 Un exemple de frag-

mentation quasi-statique: une assiette

assée en deux moreaux

Sous l'eet de l'impulsion d'une harge, un matériau fragile ou quasi-fragile se

fragmente en de nombreux moreaux. Une telle harge peut être due à l'impat

ave un autreorps, une radiationénergétique fournie,par exemple, par des rayons

X, un ho thermique, une onde de ho, et. La fraturation et la fragmentation

des matériaux sont en général opposées à leur résistane. En eet, d'un point de

vue stabilité d'une struture, elles sont indésirables. Cependant, il y a une large

gamme de proédés industriels tels que les tirs àexplosifs, ladémolition, et. oùla

fraturation et lafragmentationdeviennent désirables.

D'un point de vue physique, la fragmentation dynamique est un proessus im-

pliquant un ertain nombre de méanismes. Dans la plupart des as, e proessus

est trop omplexe pour être traité seulement par des théories déterministes.Aussi,

des approhes statistiques doivent également être onsidérées. Un travail pionnier,

inorporant des onsidérationsstatistiquessur lafragmentation des matériauxdu-

tilesa été rapporté par Mott en 1947 [99℄. Des aspets statistiques etgéométriques

de lafragmentationdesmatériauxfragilesontété introduitspar GradyetKipp[60℄

en 1982.

Atuellement, les modèles de Grady (1982) et de Glenn-Chudnovsky (1986) [5℄

sontprobablementlesmodèlesthéoriques lesplusutilisés.Ilsutilisentdesapprohes

énergétiques pour prédirelatailledes fragments.Réemment, lamodélisationde la

fraturation, essentiellement dans un but de prévention de la rupture, a été l'objet

de nombreux aluls numériques. Toutefois, la modélisationpréise de la fragmen-

tation est toujours un véritablehallenge pour la ommunauté sientique, ar une

multitudede phénomènesphysiques interviennent.

Le paragraphe suivant traite quelques phénomènes physiques intervenant dans

lafragmentation,omme laphysique de larupture et de la propagationde ssure.

2.2 Quelques domaines d'appliations de la fragmentation

Le but de ette partie est de dérire quelques domaines d'appliations non ex-

haustif, omme le broyage d'agrégats de arrières, et les modélisations numériques

assoiées pour la fragmentation industriel. On peut iter également la frag-

mentation de rohe dans les zones de failles sismiques, exemple de fragmentation

naturel.Uneautreappliationonrète àlafragmentationpourraitêtre laom-

pationdes poudresde éramique.

Le broyage d'agrégats

Les domaines d'appliation du broyage d'agrégats Les diérentes utilisa-

tions pour e domained'appliationpeuvent être :

le onassage pour les pavés, graviers de rivière, des rohers, des résidus de

minerai,et;

le onassage de l'asphalte et du béton, des agrégats de onstrution, des

agrégatsdebasalte,agrégatsdegranit,matériauderembourrage,desagrégats

de alaire,et;

les projets hydroéletriques, routes, hemins de fer à grande vitesse, ponts,

pistes d'aéroport, etdes travaux muniipaux,et;

lesmatériauxdeonstrution,matériauxignifuges,métallurgie,industriehim-

ique,l'exploitationminière,le iment;

lesmatériauxdehautepuretédefabriationommeleverreetsabledequartz.

Comme on peut le voir, les domaines d'appliations pour le broyage d'agrégats

sontextrêmement variés.

Le broyage d'agrégats de arrières La fragmentation est un phénomène qui

est très souvent utilisé dans le broyage d'agrégats de arrières, et qui onsomme

beauoup d'énergie. Or, on est dans un ontexte mondial où l'énergie n'a jamais

été aussi outeuse, et diile à obtenir. De plus, la demande mondiale pour es

ressoures roit, omme pour l'uranium, ou ertains métaux omme l'étain pour

lessoudures etsont non renouvellables... Aussi, l'extration de es minéraux est de

plus en plus diile, et on assiste à un développement d'opérations souterraines

d'extrationde plus en plus profondesetave des environnementsgéotehniques de

plus en plus déliats. Lesméthodes d'extration traditionnellessontdangereuses et

non rentables. Surla Fig.1.3,onpeut observerune mine de diamants en Inde, dans

laquelle on peut voirl'ampleuret ladiulté de l'extration du diamant.

Figure1.3 Vue aérienne d'une mine de diamantsen Inde [149℄

Le rle de la modélisation numérique de la fragmentation est don onsidéré

omme lavoie de l'avenir pour laprédition quantitativede laréation de lamasse

roheuse et les déisions de oneption opérationnelle. De plus, ette modélisation

peut égalementavoir un rle an de diminuer l'énergieonsommée dans lebroyage

[100,142℄.

La ompation de poudres

Unautredomainepossiblede l'appliationdelafragmentationestlaompation

de poudre. Pour ette appliation,la méthode des éléments disrets appliquéeave

unritèrederupturepeutdonnerdesinformationssurlesdéformationsnon-linéaires

des grains.Le leteurpeut seréférer [77,128,142℄.

La fragmentation de rohe dans les failles sismiques

Lesfaillessontdesassuresdel'éoreterrestre,danslesquellesilyaundéplae-

mentrelatifdesdeuxblosséparés.Lalongueurdesfaillespeutêtretrèsvariable:de

métrique, à kilométrique,omme la faille de San Andréas en Californie. Les failles

sont les auses de la majorité des tremblements de terre, dus prinipalement au

glissement rapide sur le plan de faille quand les ontraintes emmagasinéespen-

dant une longuepériode intersismiquese libèrent.

Ces ontraintes provoquent une fragmentation de la rohe pour onstituer des

brèhes de faille.La Fig.1.4illustre e phénomène.

Ainsi,lorsd'unséisme,lesparois d'unefaillepeuventglisserl'uneontrel'autre,

à grande vitesse (de l'ordre de plusieurs mètres par seonde). La déformation en-

gendrée, qui a lieu autour de ette faille,se fait àdes taux de déformations élevés,

provoquant la fragmentation etla pulvérisationdes rohes.

L'étude de la fragmentation de es rohes dans les zones de failles sismiques

pourrait aider à une meilleure ompréhension des méanismes mise en jeux lors

d'un séisme.Des herheurs tentent atuellementde reproduire es phénomènesen

laboratoire[34,35℄. Les Fig.1.5et 1.6illustrent es phénomènes.

Figure 1.4 Illustration d'une brèhe de faille (faille de dérohement du ouloir

ouest du Petit Som, dans lemassif de la Chartreuseen Frane)[148℄

Des modélisations numériques ave des éléments disrets ont été eetuées de

es matériaux dans les failles sismiques. Des progès ont été aomplis es dernières

annéesdanslesmodèlesnumériquesdeprévision,notammentdanslaompréhension

de lamiro-méaniquequi déterminel'évolutiondes matériauxdans es failles.Ces

modèlesnumériquesontpermisdedémontrerqueesmatériauxontunedistribution

granulométrique ave des propriétés de fratals [1,120,121℄.

Figure 1.5 Fragmentation d'une

rohe en laboratoire soumise à une

vitesse de déformation de

140

^{s-1 [34℄}

Figure 1.6 Fragmentation d'une

rohe en laboratoire soumise à une

vitesse de déformationde

400

^{s-1 [34℄}

2.3 La physique de la rupture

Les diérents modes de rupture

La ourbe ontrainte/déformation (Fig.1.7),issue par exemple,d'essais de tra-

tion sur des éprouvettes jusqu'à la rupture, fait souvent apparaître deux zones lors

de la déformationdu matériau[87℄ :

Unezoneélastique,danslaquelleontraintesetdéformationssontliéespropor-

tionnellement.Le matériaurevientà son état d'originelorsque la solliitation

esse;

Unezoneplastique,pourlaquellelematériaunerevientpasàsonétatd'origine

lorsque la solliitationesse.

Figure 1.7 Courbe ontrainte/déformation [98℄

Au regard de la ristallographie ('est à dire à l'éhelle des grains atomiques),

les déformations élastiques et permanentes respetent la ohésion de la matière.

De e fait, la rupture survient lorsque ette ohésion est détruite. Elle opère par

réation de disontinuités surfaiques ou volumiques au sein de lamatière. Il s'agit

demirossuresdel'ordredumiron,quideviennentdesmarossuresen atteignant

des dimensions de l'ordre du millimètre,etenn, des ssures apparentes, àl'éhelle

des strutures méaniques. Deux méanismes de rupture loale sont dérits : la

rupture fragileetla rupture dutile.

La rupture fragile

Larupturefragileest aratériséeparuneassuresansdéformationplastique,ou

ave une déformationplastique très faible. La déformationavant rupture est don

presque exlusivement élastique. L'énergie de rupture, qui est présentée par l'aire

sous laourbe ontrainte déformationest faible, ommenous le montre laFig.1.8.

Lephénomènefragileorrespondauas oùlesdisloationsne peuventpas sedé-

plaer, oudontles mouvements sontdiileset limités.C'est le as des géomatéri-

aux dans lesquels les aratéristiques de résistane ont été fortement augmentées.

Ainsi, très généralement, la fragilité augmente ave la limite d'élastiité. Les rup-

tures fragiles,sefaisantsans déformationplastique,seproduisentpardéohésionde

plansristallographiques.Ensomme,larupturefragileseproduitlorsquelesliaisons

interatomiquesse rompent sans déformationplastique globale.

Figure 1.8 Courbe ontrainte/déformation dans le as des ruptures fragile et

dutile[98℄

La dénition d'une ssure [98℄

Une ssure est défnie omme la surfae séparant loalement un solide en deux

parties. Le hamp de déplaement est alors disontinu à travers ette surfae et

les trois omposantes vetorielles de ette disontinuité forment les trois modes de

rupture [15,49,83,90,110℄, qui sont représentés dans laFig.1.9 :

Mode I : mode d'ouverture de la ssure, où lesdéplaements aux lèvres de la

ssure sont perpendiulaires à ladiretionde propagation;

Mode II : mode de isaillement dans le plan, où les déplaements aux lèvres

de la ssuresont parallèlesà ladiretion de propagation;

Mode III : mode de isaillementhors plan, où les déplaements auxlèvres de

lassure sont parallèlesaufond de la ssure.

Figure1.9 Lesdiérents modes de rupture [98℄

L'objet delaméanique de larupture estl'étudedes évolutionsde ettesurfae,

'est à dire la propagation de la ssure en fontion des hargements appliqués et

des aratéristiques du matériauonstituant le solide. Prévoir le omportement de

lassure dansle milieussuré s'apparente àprévoirsa propagationdans un ritère

de ruine. Tout paramètreoutoute valeur issu de plusieursparamètres aratérisant

la propagation d'une ssure, omparé à sa valeur ritique (mesurée expérimentale-

ment),peutservir deritèrederuineàonditionde déterminerlavaleurritiquedu

hargement qui délenhe la roissane de lassure et la diretionselon laquelle la

ssure sepropagera.Unritèrede ruinepermetde onnaîtreleomportementdela

ssureàuninstantdonné.Cependant,ertainesssuressepropagentàune ertaine

vitesse jusqu'à la ruine. Dans e as, la onnaissane de la vitesse de propagation

s'avère primordiale.

On s'intéresse partiulièrement à deux méanismes physiques de la rupture par

ssuration, à savoir la rupture fragile et la rupture dutile. Ces deux méanismes

peuvent intervenir selon deux types de ssuration [15,110℄ :

la ssuration brutale : pour les matériaux à très haute résistane, les on-

traintes de travailsonttrès élevées. Uneénergie potentielle est ainsi réée.La

présene de petites ssurespeut alorsonduire àune rupture brutalequi sou-

vent ne s'aompagne pas de déformation plastique marosopique par suite

de latrès faible dutilitédu matériauau voisinage de la ssure;

lassuration suessive :il s'agitii,d'une suession de méanismes(fragile-

dutile) qui, sous ontraintes répétées, entraîne une ssuration progressive,

appeléehabituellementlaruptureparfatigue.Cettessurationpeutintervenir

sans déformationappréiableave un grandnombrede variationsde ylesde

ontraintes, ouellepeut s'aompagnerde grandesdéformationsplastiques et

intervenir àpetit nombre de yles. On parlede lafatigue oligoylique.

Sur le plan industriel, la rupture brutale intervient de façon exeptionnelle,

mais néanmoins atastrophique. Dans le as de la rupture par ssuration sues-

sive,la plupartdes strutures, soumisesaux harges répétées,sont vulnérables àe

phénomène. Bien que de nombreux fateurs méaniques inuenent la ssuration,

les développements de la méanique de la rupture ont montré que trois fateurs

majeursontrlent le omportement de la struture àla ssuration :

larésistane àlarupture du matériau:ils'agitd'unegrandeur intrinsèqueau

matériau qui peut être dénie ommeétant l'aptitude du matériauà résister

à une singularité (ssure) existante au sein du matériau. Plusieurs valeurs

expérimentales peuvent dérire etterésistane;

latailledelassureexistante:lassurationàpartirdedisontinuités.Cesdis-

ontinuitéssont représentées par lesssures dont lesdimensionsgéométriques

sont d'une extrêmeimportane vis-à-visdu omportementde lassuration;

la trajetoire de harge appliquée à la struture : le niveau des ontraintes

et le niveau de leurs variations sont étroitements liés au omportement de la

ssuration, ainsi qu'au type de elle-i.

Cestroisfateurs peuventêtre misrespetivement souslesétiquettes:ritèrede

ruine, de géométrie, et de onditions aux limites.Ils ne sontpas exlusifs.

Pour résumer, quatre types de propagationde ssure se distinguent [15,110℄ :

une ssuration brutale provoquant une rupture fragileoù la loi de omporte-

mentdu matériaureste dans le domaineélastiquelinéaire(et élasto-plastique

mais à petites déformations);

une ssuration brutale provoquant une rupture dutileoùla loide omporte-

ment du matériau est généralement élasto-plastiqueà grandesdéformations;

une ssuration progressive fragile (dont l'eet se umule ave le nombre de

yles), la loi de omportement onsidérée est élastique linéaire,la vitesse de

ssuration est lente (

10 ⁻⁷

^à

10 ⁻⁴

^{mm/yle de} hargement). Cette ssuration est onstatée sous harge répétée (fatigueà grand nombre de yles);

unessurationprogressivedutile,laloideomportementonsidéréeestélasto-

plastique à petites déformations; la vitesse de ssuration est relativement

rapide. Cette ssuration est provoquée sous harge répétée (fatigue à petit

nombre de yles appelée oligoylique).

La rupture en dynamique [98℄

La méanique de la rupture traite bien l'état de ontrainte autour de ssures

hargées de manière statique. Cependant, lorsque les ssures se propagent rapide-

ment,leproblèmen'est pasenore maîtrisé.De nombreuxphénomènes viennentin-

terféreravelassureendéveloppement,telsquelasensibilitéduomportementàla

vitesse de déformation, labifurationde ssure, son aélérationet sadéélération,

ladépendane du fateur d'intensité desontraintes àlavitessede hargement,et.

Ilssontàlabasedu développementdelarupture dynamique.Leseets dynamiques

inuent sur la méanique etsur leomportementdu matériau.

Il est néessaire d'introduire les termes d'inertie dans les équations loales du

mouvement lorsque l'hypothèse d'un événement statique n'est pas vériée. En dy-

namique,leséquationsloalesdu mouvementprennentdon enompte, en plus,les

termes d'inertie:

σ ij,j + f i = ρ¨ u i

^(1.1)

ave :

i, j = x, y, z

^{les oordonnées dans un repère xe par rapportaumatériau;}

σ ij

^{la omposante du tenseur des ontraintes;}

u i

^{laomposante du veteur déplaement;}

ρ

^{lamasse volumique;}

f i

^{la omposantedu veteur des fores} volumiques.

Le terme

ρ¨ u i

^est aratéristique des problèmes dynamiques. Pour des milieux élastiques isotropes, en régime dynamique, pour des vitesses de propagationde s-

suresélevées [3,52℄,deux onstantes apparaissentlorsde larésolutiondes équations

du mouvement. Elles sont aratéristiques de la vitesse de propagation des ondes

longitudinales

C 1

^ettransversales

C 2

^.

Expression de la éléritédes ondeslongitudinales

C 1

^:

C 1 = s

λ + 2µ

ρ =

s

E (1 − ν)

ρ(1 + ν)(1 − 2ν)

^(1.2)

Expression de la éléritédes ondesde isaillement

C 2

^:

C 2 = r µ

ρ =

s E

2ρ(1 + ν)

^(1.3)

ave

E

^{lemodule de Young,}

ν

^{leoeient de Poisson,}

λ

^et

µ

^lesoeientsde

Lamé.

Fateurs d'intensité des ontraintes en dynamique Freund et Rie [50℄ ont

montré quel'analysequasi-statiqued'une ssurehargéedynamiquementonduità

une estimation fausse des hamps de ontraintes et de déplaements en pointe de

ssure. Par onséquent, des hangements ont été apportés à es formulations. La

forme des équations établiespar Irwin[75℄ est onservée mais lefateur d'intensité

de ontrainteen statique

K

^{est remplaé parson homologueendynamique}

K ^dyn (t)

^.

Son alulanalytique n'estpossible quedansleas d'unestruture innie.Dansles

autres as, le alul par simulationnumérique est néessaire.

Le fateur d'intensité de ontraintes dynamiques

K ^dyn (t)

^{évolue dans le temps.}

PartometBoriskovsky [105℄ontmontréune élévation de

K ^dyn (t)

^{pendant untemps}

aratéristique déterminé par le rapport de la vitesse des ondes de Rayleigh sur la

longueur de ssure.

Une nouvelle méthode de détermination de

K ^dyn (t)

^{a été proposée et expéri-}

mentée par Bui, Maigre et Rittel [16℄ pour une ssure subissant un hargement

transitoire. Cette méthode, qui s'applique à une ssure stationnaire hargée dy-

namiquement,assoielaonnaissanedes eorts etdes déplaementsauxpointsde

hargement à une simulationnumérique donnant des hamps de référene.

Propagationdessure Leasd'unessure,soumiseàunhargementdynamique,

se propageanten mode

I

^{est pris ommeexemple.Lapointede ssuresuit une tra-}

jetoirenotée

a(t)

^.Savitessedepropagationinstantanéeest:

v = ˙ a

^.Enintroduisant un repère dont l'origine oïnide ave la pointe de ssure, le hamp asymptotique

des ontraintes s'érit :

σ _ij = K ^dyn (t)

√ 2πr X

ij

(θ) + O(1)

^(1.4)

Laforme ainsi obtenue est lamême qu'en statique. La singularité en

r ^−1/2

^{sur les}

ontraintes, établie par Irwin[75℄, est onservée dans leséquations dynamiques.Le

fateur d'intensité de ontraintes dépend de la vitesse de propagation de ssure.

Cette remarque sejustie par le développement asymptotique du hamps des on-

traintes,en modeIetendéformationplane.Cehampde ontraintes s'éritàpartir

deparamètresadimensionnels,pourunmatériauélastique.Lavitessedepropagation

de lapointede ssure

v

^{intervient dans l'ériture des paramètres} adimensionnels:

β 1 = p

1 − (v/C 1 ) ²

^(1.5)

β 2 = p

1 − (v/C 2 ) ²

^(1.6)

D = 4β 1 β 2 − (1 + β 2 ² ) ²

^(1.7)

Les formules des fontions

P

ij

^{en dynamique du hamp des ontraintes ont été}

établiestoutd'abord dansle asd'une ssuresepropageantàvitesse onstantepar

Rie [116℄ et Sih [125℄. Elles ontété généralisées auas d'une ssure sepropageant

selon une trajetoire arbitrairepar Nilson [101℄, Clifton [26℄ etFreund [51℄.

Les fateurs d'intensitédynamique des ontraintes s'expriment ainsi :

K _I ^dyn = lim

r→ 0

√ 2πrσ 22 (θ = 0)

^(1.8)

K _II ^dyn = lim

r→ 0

√ 2πrσ 12 (θ = 0)

^(1.9)

On peut introduire un fateur d'intensité des déplaements par analogieave le

as statique :

K _Iu ^dyn = lim

r→0 ⁺

E 4(1 − v ² )

r 2π

r u 1 (θ = π)

^(1.10)

Lorsqu'une ssure se propage, le fateur d'intensité dynamique des ontraintes,

en mode I, (

K _I ^dyn = lim

r→ 0

√ 2πrσ 22 (θ = 0)

^{), n'est plus égal au fateur} d'intensité des déplaementsexpriméi-dessus.Lerapportentreesdeuxgrandeursestalorsdonné

par la relation:

K _I ^dyn

K _Iu ^dyn = D(1 − ν)

β 1 (1 − β ₂ ² )

^(1.11)

ave

β 1

^,

β 2

^et

D

^{quisont dérits auxEqs.1.5, 1.6et1.7.}

Le rapport de l'équation préédente est représenté en fontion de

v/C 2

^{sur la}

Fig.1.10.Lorsquelavitessedepropagationtendvers

0

^{,leseetsdynamiquess'aténu-}

entetlerapport tend vers

1

^{.Ce rapports'annulepour}

v

^{tendantvers unevaleurde}

laélérité des ondes de Rayleigh

Cr

^{(solutionde l'équation}

D = 0

^).

Inuenede la vitessede ssuration Beauoupderésultatsaménentàpenser

que

K _I ^dyn

^{augmented'autantplus quelavitessede} propagationdessureest élevée.

Cependant,lesétudesdeFreund[51℄surdesmatériauxlaissentsupposerunedérois-

sane de la ténaité dynamique pour les faiblesvitesses de propagation.

Bifuration de ssure En théorie, la vitesse des ondes générées par la rupture

de l'interfae,dansleplan delassure,ne peut pas dépasserlavitesse des ondesde

Rayleigh

Cr

^{. Aette vitesse, lehamp de ontrainteen pointede ssuren'a plus le}

temps de s'établiret onstitue une vitesse limite théorique [109℄.

Une expliation de e phénomène est apporté par Yoé [138℄. Elle s'appuie sur

laFig.1.12,quireprésentelaomposante

σ _θθ

^{enmodeI d'unmatériau}parfaitement élastiquepour plusieursvitesses depropagation.Silavitesseest supérieureà

0.6C 2

^,

lemaximum de

σ θθ

^{n'est plus en}

θ = 0 ^◦

^{mais autour de}

θ = 60 ^◦

^{, de part et d'autre}

du plande ssure.Ceipeut expliquerqu'au delàde ettevitesse lassurebifurque

etsesépareendeux ssuresformantunanglede

120 ^◦

^{entreelles.Yoéamontrépar}

ailleurs que, pour un matériau réel, ette vitesse de bifuration est omprise entre