TEST de Resistance des Matériaux 2013-2014

TEST de Resistance des Matériaux 2013-2014

Calculatrice autorisée. Téléphone et autres appareils électroniques interdits.

La clarté des explications sera prise en compte. Chaque exercice est indépendant.

Durée 2h

EXERCICE 1 – Torsion : (2 points – 10 min)

On étudie ici une griffe de jardin, outil servant aux jardiniers du dimanche à aérer la terre ou à désherber. En fonctionnement, cet outil est planté (considéré encastré) dans la terre au niveau du point noté A, et l’utilisateur exerce deux efforts perpendiculaires au manche (partie DC) aux points D et C que l’on estime à 400 maxi chacun.

On souhaite réaliser cette pièce à l’aide d’un axe de diamètre D.

On étudie la partie AB, sollicitée en torsion.

Données géométriques :

200 1200 Données Matériau :

210 240

ح 150

1. Déterminer le moment de torsion appliqué à la barre AB

C’est un couple:

2. . 160 .

2. Déterminer le diamètre minimal du tube permettant la résistance de l’outil.

Contrainte de cisaillement maxi dans la section:

!".^#_$% & avec '( ^).#_+$^* On en déduit l’expression de D :

, -⁴ _).0^./. ₁₂₃

EXERCICE 2 – Traction : (2 points – 10 min)

Une éprouvette de traction en alliage d’aluminium de type AU4G (Caractéristiques matériau : 80 000 ; ν _0,32) de section carrée de coté et de longueur 9 200 est soumise à un effort normal de 40 : . La contrainte σ_;<=> vaut 200 MPa et l’allongement % admissible vaut 20%, c'est-à-dire ^∆@

@ 0,2.

Déterminez taille de la section _A mini qu’il faut pour respecter la contrainte admissible imposée et la taille de la section _B% mini qu’il faut pour respecter l’allongement admissible imposé. Conclure.

A la contrainte admissible: D ^E_F ^E_²% D &

, -_A123^E , 14,14

A l’allongement admissible: H ^A31I_{J J.F}^E _{J. ²}^E % K^∆@_@L _&

, M_J.K^∆NE

NL₁₂₃ , 1,581 Conclusion :

C’est à la contrainte que la dimension de la section est la plus pénalisante.

, 14,14

EXERCICE 3 – Torseur de cohésion : (7 points – 45 min)

La poutre ci-contre est posée sur deux appuis en A et C, soumise à une charge uniformément répartie O (1500 / ) suivant ST de B à C, un couple T (intensité O. 9^$) autour de UT en B. La longueur vaut 9 1,5 , le moment quadratique autour de UT vaut '_VW 307 500 ^X, la demi hauteur ℎ 25 et le module d’élasticité longitudinale vaut 220 .

1. Exprimez les actions aux appuis.

Système matériel isolé : SMI={La poutre}

On applique le Principe Fondamental de la Statique :

Somme des moments en A autour de UT : Somme des forces sur ST : + [ O. \. \_@^$.@ + 2. 9. ]^_{_} 0 ]^_B+ [ O. \_@^$.@ + ]^_{_} 0 +⁺_$. O. 9² + 2. 9. ]^_{_} 0 ]^_B+ O. 9 + ]^_{_} 0 2. 9. ]^_ − −⁺_$. O. 9^$ −O. 9^$−⁺_$. O. 9^$ ]^B .

X. O. 9 ]^_ −^a_X. O. 9

2. Exprimez les éléments différents de zéro du torseur d’action de cohésion.

Zone AB : Coté gauche

bS(c) −d]^_Be bS(c) −^._X. O. 9

fU(c) −d−]^B. ce fU(c) ^._X. O. 9. c

Zone BC : Coté droit bS(c) [ O. \^$.@ + ]^_

bS(c) O. (2. 9 − c) −^a_X. O. 9 bS(c) −O. c +⁺_X. O. 9

fU(c) [ O. (\ − c). \^$.@ + (2. 9 − c). ]^_{_}

fU(c) O.^{($.@g )²}_$ −^a_X. (2. 9 − c). O. 9

3. Tracez les diagrammes de variation des éléments du torseur d’action de cohésion en précisant les valeurs particulières.

Ty Mfz

4. Déterminez le lieu et la valeur de la contrainte maxi

La contrainte est maxi quand le moment fléchissant est maxi. Ici la contrainte est maxi quand c 9 (Zone 2) et fU fU(9) −⁺_X. O. 9^$ −2531 . .

Valeur de la contrainte : D ^hi_!^31I

jk . ℎ 205,77

5. Déterminez les 2 équations échelons relatives au problème.

. '. l^m(c) . '. n_o+^._X. O. 9._$^²

p(q 1r − O. 9^$. (c − 9) +^{s.( g@)}_/ ⁴

p(q 2r (1) . '. l(c) . '. lo+ . '. no. c +^._X. O. 9. _/⁴

p(q 1r −^{s.@t.( g@)}_$ ^t+^{s.( g@)}_$X ^*

p(q 2r (2) Conditions aux limites :

En c 0, l(0) 0(p(q 1) Dans l’équation (2) : l_o 0

En c 2. 9, l(2. 9) 0(p(q 2) Dans l’équation (2) : . '. no. 2. 9 +^._X. O. 9.^($.@)_/⁴−^s.@_$^*+^s.@_$X^* 0 . '. no s.@⁴

./

Bilan :

. '. l^m(c) ^s.@_./⁴+^{s.@. ²}_u

p(q 1r − O. 9^$. (c − 9) +^{s.( g@)}_/ ⁴

p(q 2r . '. l(c) ^s.@_./^4. +^s.@._$X⁴

p(q 1r −^{s.@t.( g@)}_$ ^t+^{s.( g@)}_$X ^*

p(q 2r

6. La flèche est maxi quand x 1,899 m. Calculez la valeur de la flèche.

On remplace dans l’équation précédente : l(c 1,899) 14,424

EXERCICE 4 – (45 min – 7 points) : Soit la section droite ci-contre, symétrique par rapport à l’axe ST . Elle est décomposée en éléments simples :

• y_B rectangle plein de coté 40 x 20 mm

• y_z carré creux de coté 20 mm

• y_{_} demi-disque plein de diamètre 40 mm

• y_# demi-disque creux de diamètre 20 mm

1. Déterminez la position du centre de gravité G. (Ne remplir que les cases utiles !!)

Dimensions en mm Signe y_{ c_{ c_{. y_{ S_{ S_{. y_{

y_B ^{+ 800 10 8000}

y_z ^{- 400 10 4000}

y_ + 628,32 -8,49 -5333,33

y_# ^{- 157,08 -4,24 -666,67}

| 871,24 -666,67

c} 0 S} g///,/~

u~.,$X −0,765

2. En vous aidant du tableau, déterminez la valeur du moment statique de l’ensemble par rapport à l’axe OcT et celui par rapport à l’axe OST.

Directement à partir du tableau :

•_€ −666,67 ⁺ •_€• 0

3. Pour la suite on prendra c_} 0 et S_} −0,8 . Pour chaque élément de base ‚ (‚ y_B, y_z, y_{_}, y_#), déterminez '_}^{ , '_}•^{ et '_{} •}^{ . Faites un schéma détaillé pour chaque élément étudié.

Rectangle A Carré B

b= 40 mm b= 20 mm

h= 20 mm h= 20 mm

X_XG= 0 mm X_XG= 0 mm

Y_YG= -10.800 mm Y_YG= -10.800 mm

IX= 26666.667 mm^4 IX= 13333.333 mm^4

IY= 106666.667 mm^4 IY= 13333.333 mm^4

MsX= 0 mm^3 MsX= 0 mm^3

MsY= 0 mm^3 MsY= 0 mm^3

IXG= 119978.667 mm^4 IXG= 59989.333 mm^4

IYG= 106666.667 mm^4 IYG= 13333.333 mm^4

Demi disque C3 Demi disque C4

D= 40 mm D= 20 mm

X_XG= 0 mm X_XG= 0 mm

Y_YG= -0.800 mm Y_YG= -0.800 mm

IX= 62831.853 mm^4 IX= 3926.991 mm^4

IY= 62831.853 mm^4 IY= 3926.991 mm^4

MsX= -5333.333333 mm^3 MsX= -666.6666667 mm^3

MsY= 0 mm^3 MsY= 0 mm^3

IXG= 54700.644 mm^4 IXG= 2960.855 mm^4

IYG= 62831.853 mm^4 IYG= 3926.991 mm^4

Récapitulatif :

Dimensions en mm Signe ;_ƒ„ ;_ƒ… ;_ƒ„…

†‡ 0

†_ˆ ⁰

†_‰ ⁰

†Š 0

| 111 729,12 152 238,20 0

4. Déterminez l’orientation du repère principal d’inertie.

Identique à celui de départ puisque ST est axe de symétrie.