TP microcontrôleur 16 bits : filtrage de signaux numériques

(1)

TP microcontrˆ oleur 16 bits : filtrage de signaux num´ eriques

J.-M Friedt, 17 novembre 2009 Objectif de ce TP :

– exploiter les fonctions de traitement du signal de GNU/Octave pour concevoir un filtre – impl´ ementer ce filtre dans un microcontrˆ oleur 16 bits

– valider exp´ erimentalement le fonctionnement du filtre

1 Conception d’un filtre de r´ eponse finie (FIR)

Le sujet de ce TP n’est pas de d´ evelopper la th´ eorie des filtres num´ eriques mais uniquement de rappeler quelques uns des concepts utiles en pratique :

– un filtre de r´ eponse impulsionnelle finie [1] (Finite Impulse Response, FIR) b

m

est caract´ eris´ e par une sortie y

n

` a un instant donn´ e n qui ne d´ epend que des valeurs actuelle et pass´ ees de la mesure x

m

, m ≤ n :

y

n

= X

k=0..m

b

k

x

_n−k

L’application du filtre s’obtient pas convolution des coefficients du filtre et des mesures.

– un filtre de r´ eponse impulsionnelle infinie (IIR) a une sortie qui d´ epend non seulement des mesures mais aussi des valeurs pass´ ees du filtre.

– GNU/Octave (et Matlab) proposent des outils de synth` ese des filtres FIR et IIR. Par soucis de stabilit´ e num´ erique et simplicit´ e d’impl´ ementation, nous ne nous int´ eresserons qu’aux FIR. Dans ce cas, les coefficient de r´ ecursion sur les valeurs pass´ ees du filtre (nomm´ ees en g´ en´ eral a

m

dans la litt´ erature) seront ´ egaux ` a a = 1.

Le calcul d’un filtre dont la r´ eponse spectrale ressemble ` a une forme impos´ ee par l’utilisateur (suivant un crit` ere des moindres carr´ es) est obtenu par la fonction firls(). Cette fonction prend en argument l’ordre du filtre (nombre de coeffi- cients), la liste des fr´ equences d´ efinissant le gabarit du filtre et les magnitudes associ´ ees. Elle renvoie la liste des coefficients b.

L’application d’un FIR de coefficients b (avec a=1) ou de fa¸ con plus g´ en´ erale d’un IIR de coefficients a et b sur un vecteur de donn´ ees exp´ erimentales x s’obtient par filter(b,a,x) ;

Tout filtre se d´ efinit en terme de fr´ equence normalis´ ee : la fr´ equence 1 correspond ` a la demi-fr´ equence d’´ echantillonnage (fr´ equence de Nyquist) lors de la mesure des donn´ ees.

Exercices :

1. en supposant que nous ´ echantillonnons les donn´ ees sur un convertisseur analogique-num´ erique ` a 16000 Hz, identifier les coefficients d’un filtre passe-bande entre 700 et 900 Hz. Combien faut-il de coefficients pour obtenir un r´ esultat satisfaisant ?

2. Quelle est la cons´ equence de choisir trop de coefficients ? Quelle est la cons´ equence de choisir trop peu de coefficients ? 3. ayant obtenu la r´ eponse impulsionnelle du filtre, quelle est sa r´ eponse spectrale ?

4. valider sur des donn´ ees (boucle sur les fr´ equences) simul´ ees la r´ eponse spectrale du filtre

Au lieu de boucler sur des fr´ equences et observer la r´ eponse du filtre appliqu´ e ` a un signal monochromatique, le chirp est un signal dont la fr´ equence instantan´ ee ´ evolue avec le temps. Ainsi, la fonction

chirp([0 :1/16000 :5],40,5,8000) ;

g´ en` ere un signal ´ echantillonn´ e ` a 16 kHz, pendant 5 secondes, balayant la gamme de fr´ equences allant de 40 Hz ` a 8 kHz.

Exercices :

1. appliquer le filtre identifi´ e auparavant au chirp, et visualiser le signal issu de cette transformation 2. que se passe-t-il si la fr´ equence de fin du chirp d´ epasse 8 kHz dans cet exemple ?

2 Application pratique du filtre

Exercices : Impl´ ementer sur MSP430

1. sachant que les acquisitions se font sur 12 bits, quelle est la plage de valeur sur laquelle se font les mesures ?

2. comment exploiter les coefficients num´ eriques du filtre pour un calcul sur des entiers sur 16 bits (short) ? sur 32 bits (long) ?

1. l’´ echantillonnage p´ eriodique de mesures analogiques acquises sur ADC0 2. l’affichage du r´ esultat de ces mesures

3. le filtrage de ces mesures par un FIR synth´ etis´ e selon la m´ ethode vue plus haut 4. l’affichage du r´ esultat de ce filtrage

5. l’affichage de l’amplitude du signal r´ esultant du filtrage

6. appliquer ce programme ` a une mesure sur un chirp g´ en´ er´ e par la carte son du PC au moyen de audacity

(2)

7. comparer l’exp´ erience et la simulation.

Exemple de programme et r´ esultats :

#i n c l u d e <msp430x14x . h>

#i n c l u d e <s t r i n g . h>

#i n c l u d e <s i g n a l . h>

#i n c l u d e <i o . h>

#i n c l u d e <s t d i o . h>

#u n d e f debug

v o i d Sommeil ( v o i d ) ;

v o i d Pause TIMERB ( u n s i g n e d s h o r t Compteur ) ; v o i d Pause ms ( u n s i g n e d s h o r t ms ) ;

i n t e r r u p t (TIMERB0 VECTOR ) wakeup Vector TIMERB0 ( v o i d ) ; v o i d i n i t h o r l o g e ( v o i d ) ;

v o i d init PORT ( v o i d ) ; v o i d init TIMER ( v o i d ) ; v o i d i n i t r s 1 9 6 0 0 ( ){

UCTL1=SWRST; // SetupUART1 : mov . b #SWRST,&UCTL1 ; c f p .13−4 UCTL1|=CHAR; // b i s . b #CHAR,&UCTL1

UTCTL1=SSEL0 ; // mov . b #SSEL0,&UTCTL1 ; 3 2 7 6 8 Hz ACLK UBR01=0x03 ; // mov . b #0x03 ,&UBR01 ; 4800 bauds

UBR11=0x00 ; // mov . b #0x00 ,&UBR11 UMCTL1=0x4A ; // mov . b #0x4A,&UMCTL1 UCTL1&=˜SWRST; // b i c . b #SWRST,&UCTL1

ME2|=UTXE1+URXE1 ; // b i s . b #UTXE1+URXE1,&ME2 }

v o i d s n d r s 1 ( u n s i g n e d c h a r c a r a )

{w h i l e ( ( IFG2 & UTXIFG1) ==0) ; // j z r s t x 1 TXBUF1=c a r a ;

}

v o i d s t r r s 1 ( u n s i g n e d c h a r∗ c a r a ) {i n t k =0;

do {s n d r s 1 ( c a r a [ k ] ) ; k++;} w h i l e ( c a r a [ k ] ! = 0 ) ; }

v o i d init PORT ( v o i d ){ P1SEL = 0 x00 ; P1DIR = 0xFF ; P1OUT = 0 x00 ;

P3SEL=0xFE ; // mov . b #0xF0 ,&P3SEL ; P3 . 6 , 7 = USART s e l e c t P3DIR=0x5B ; // mov . b #0x50 ,&P3DIR ; P3 . 6 = o u t p u t d i r e c t i o n P3OUT=0x01 ; // mov . b #0x00 ,&P3OUT ; P3 . 6 = o u t p u t v a l }

v o i d init ADC ( v o i d ){

ADC12CTL0=SHT0 6+REFON+ADC12ON ; // V REF=1.5 V

ADC12CTL1=SHP ; // mov . w #SHP,&ADC12CTL1

ADC12MCTL0=INCH 0+SREF 1 ; // mov . b #INCH 10+SREF 1 &ADC12MCTL0

ADC12CTL0|=ENC; // b i s . w #ENC,&ADC12CTL0

}

u n s i g n e d s h o r t t e m p e r a t u r e ( )

{ADC12CTL0|=ADC12SC ; // s t a r t c o n v e r s i o n do {} w h i l e ( ( ADC12CTL1 & 1 ) ! = 0 ) ;

r e t u r n (ADC12MEM0) ; }

i n t e r r u p t (TIMERA0 VECTOR ) wakeup Vector TIMERA0 ( v o i d ) { }

v o i d i n i t h o r l o g e ( v o i d ){ BCSCTL1 = 0 x87 ;

BCSCTL2 = SELM1 + SELS ; WDTCTL = WDTPW + WDTHOLD;

}

l o n g f i l t r e ( u n s i g n e d s h o r t ∗i n , l o n g ∗f i l , l o n g nin , l o n g n f i l , l o n g ∗s o r t i e ) {u n s i g n e d s h o r t k , j ; l o n g s =0 ,max=−2500;

i f ( nin>n f i l )

{f o r ( k =0; k<nin−n f i l ; k++) {s =0;

f o r ( j =0; j<n f i l ; j ++)

s +=(((( l o n g ) f i l [ j ]∗( l o n g ) i n [ n f i l−1+k−j ] ) ) ) / 2 5 6 ; s=s / 2 5 6 ;

(3)

s o r t i e [ k ]= s ; i f ( max<s ) max=s ; }

}

r e t u r n ( max ) ; }

v o i d init TIMER ( v o i d ){ TACTL=TASSEL0 + TACLR;

TACCTL0|=CCIE ; // CCR0 i n t e r r u p t e n a b l e d TACCR0=1;

TACTL|= MC 0 ; }

#d e f i n e NB 110

#d e f i n e NBFIL 61 i n t main ( v o i d ) {

c h a r c h a i n e [ 3 0 ] ;

u n s i g n e d s h o r t t a b l e a u [NB] , k =0;

l o n g s o r t i e [NB] , max ;

// a=( round ( f i r l s ( 6 0 , [ 0 500 700 900 1000 3 2 7 6 8 / 1 6 ] / 3 2 7 6 8∗1 6 , [ 0 0 1 1 0 0 ] )∗6 5 5 3 6 ) ’ ) /∗l o n g f i l 2 0 0 [ NBFIL] ={ −2 8 4 ,−3 4 3 , 1 9 3 , 7 0 0 , 3 6 2 ,−4 5 7 ,−6 6 5 ,−1 6 7 , 1 0 8 , 8 , 3 9 0 , 1 0 9 2 ,\

557 ,−1361 ,−2181 ,−294 ,2040 ,1797 ,−110 ,−628 ,−77 ,−1315 ,−3220 ,−821 ,\

5 5 3 9 , 7 1 7 7 ,−1 1 3 1 ,−1 0 6 2 6 ,−8 0 8 1 , 5 1 9 6 , 1 2 9 3 8 , 5 1 9 6 ,−8 0 8 1 ,−1 0 6 2 6 ,−1 1 3 1 , 7 1 7 7 ,\

5539 ,−821 ,−3220 ,−1315 ,−77 ,−628 ,−110 ,1797 ,2040 ,−294 ,−2181 ,−1361 ,\

5 5 7 , 1 0 9 2 , 3 9 0 , 8 , 1 0 8 ,−1 6 7 ,−6 6 5 ,−4 5 7 , 3 6 2 , 7 0 0 , 1 9 3 ,−3 4 3 ,−2 8 4};

∗/

// a=( round ( f i r l s ( 6 0 , [ 0 500 700 900 1000 3 2 7 6 8 / 2 ] / 3 2 7 6 8∗2 , [ 0 0 1 1 0 0 ] )∗6 5 5 3 6 ) ’ ) l o n g f i l 2 0 0 [ NBFIL]={ −384 ,−543 ,−695 ,−836 ,−964 ,−1074 ,−1164 ,−1229 ,−1270 ,−1283 , \

−1268 ,−1224 ,−1153 ,−1054 ,−930 ,−783 ,−616 ,−433 ,−237 ,−34 ,173 ,379 ,578 ,767 ,941 ,\

1 0 9 6 , 1 2 2 8 , 1 3 3 4 , 1 4 1 1 , 1 4 5 9 , 1 4 7 5 , 1 4 5 9 , 1 4 1 1 , 1 3 3 4 , 1 2 2 8 , 1 0 9 6 , 9 4 1 , 7 6 7 , 5 7 8 , 3 7 9 , 1 7 3 ,\

−34 ,−237 ,−433 ,−616 ,−783 ,−930 ,−1054 ,−1153 ,−1224 ,−1268 ,−1283 ,−1270 ,−1229 ,−1164 ,\

−1074 ,−964 ,−836 ,−695 ,−543 ,−384};

/∗ f r e q = [ 5 0 : 5 0 : 3 0 0 0 ] ; k =1;

f o r f=f r e q

x=s i n ( 2∗p i∗f∗[ 0 : 8 / 3 2 7 6 8 : 0 . 1 ] ) ; y= f i l t e r ( a , 1 , x ) ;

mm( k )=max ( y ( 1 0 0 : 2 0 0 ) ) ; k=k +1;

end

p l o t ( f r e q ,mm)

∗/

i n i t h o r l o g e ( ) ; init PORT ( ) ; init ADC ( ) ; i n i t r s 1 9 6 0 0 ( ) ; init TIMER ( ) ; e i n t ( ) ;

TACTL|= MC 1 + TACLR;

s p r i n t f ( c h a i n e ,”%% l o n g :%d i n t :%d s h o r t :%d\r\n ” , \ s i z e o f ( l o n g ) , s i z e o f ( i n t ) , s i z e o f ( s h o r t ) ) ; s t r r s 1 ( c h a i n e ) ;

w h i l e ( 1 ) { i f ( P4IN==0x04 )

{f o r ( k =0; k<NB; k++) {LPM3 ;

t a b l e a u [ k ]= t e m p e r a t u r e ( ) ; P1OUTˆ=0 x f f ;

}

#i f d e f debug

f o r ( k =0; k<NB; k++)

{s p r i n t f ( c h a i n e ,”%d %d\r\n ” , k , t a b l e a u [ k ] ) ; s t r r s 1 ( c h a i n e ) ;

}

#e n d i f

max= f i l t r e ( t a b l e a u , f i l 2 0 0 , NB, NBFIL , s o r t i e ) ;

#i f d e f debug

f o r ( k =0; k<NB−NBFIL ; k++)

{s p r i n t f ( c h a i n e ,”%d %l d\r\n ” , k , s o r t i e [ k ] ) ; s t r r s 1 ( c h a i n e ) ;

}

(4)

#e n d i f

s p r i n t f ( c h a i n e ,”%% %l d\r\n ” , max ) ; s t r r s 1 ( c h a i n e ) ;

}

e l s e {P1OUT=0x00 ;} }

r e t u r n ( 0 ) ; }

-400 -200 0 200 400 600 800

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

magntitude (u.a.)

frequence (Hz)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

magnitude (u.a.)

magnitude (u.a.) firls(160,[0 600 700 900 1000 fe/2]/fe*2,[0 0 1 1 0 0]);

fe=16000;

ffin=4000;

fdeb=40;

b=firls(160,[0 600 700 900 1000 fe/2]/fe*2,[0 0 1 1 0 0]);

x=chirp([0:1/fe:5],fdeb,5,ffin);

f=linspace(fdeb,ffin,length(x));

plot(f,filter(b,1,x));

freq=[fdeb:150:ffin];

k=1;

for f=freq

x=sin(2*pi*f*[0:1/fe:1]);

y=filter(b,1,x);

sortie(k)=max(y);

k=k+1;

end

hold on;plot(freq,sortie,’r’) xlabel(’frequence (Hz)’) ylabel(’magnitude (u.a.)’)

En haut à gauche : mesure expérimentale de la réponse d’un FIR passe bande con¸cu pour être passant entre 700 et 900 Hz. La mesure est effectuée au moyen d’un chirp de 40 à 4000 Hz en 30 secondes généré par une carte son d’ordinateur. En bas à gauche : modélisation de la réponse d’un filtre passe bande entre 700 et 900 Hz, en bleu par filtrage d’un chirp, en rouge par calcul de l’effet du filtre sur quelques signaux monochromatiques. Ci- dessus : programme GNU/Octave de la simulation.

3 Conception d’un filtre de r´ eponse infinie (IIR)

GNU/Octave propose les fonctions cheb et butter pour concevoir des filtres IIR. Une fois les coefficients b et a (cette fois a est un vecteur) l’IIR se tient compte non seulement des derni` eres observations mais aussi des valeurs pass´ ees du filtre :

y

_n

= X

k=0..m

b

_k

x

_n−k

− X

k=1..m

a

_k

y

_n−k

Exercice :

Exploiter ces fonctions pour concevoir un filtre aux performances comparables aux IIR propos´ es ci-dessus, et impl´ ementer ces filtres dans le MSP430 pour en valider le fonctionnement.

4 Expression explicite dans le domaine fr´ equentiel

L’efficacit´ e des filtres vus auparavant est leur application dans le domaine temporel : une fois les coefficients a et b identifi´ es, l’application du filtre consiste en N multiplication pour un filtre d’ordre N .

Le passage dans le domaine fr´ equentiel par transform´ ee de Fourier n´ ecessite un calcul consid´ erablement plus long. L’ap- proche na¨ıve de la transform´ ee de Fourier n´ ecessite N multiplications, puisque chacun des N termes en sortie n´ ecessite lui-mˆ eme N multiplications

X

n

= X

k=0..N−1

x

k

exp (−2iπk × n/N)

L’exploitation de la transform´ ee de Fourier rapide (FFT) exploite les sym´ etries de la formule vue ci-dessus pour utiliser

autant de fois que n´ ecessaire les mˆ emes termes x

k

exp (−2πk × n/N ) qui apparaissent plusieurs fois : on notera [2, p.432] la

(5)

relation suivante entre les termes pairs F

_n^p

et les termes impairs F

_nⁱ

de la transform´ ee de Fourier F

n

X

_n

= X

k=0..N−1

x

_k

exp (2iπk × n/N)

= X

k=0..N/2−1

x

_2k

exp (2iπ2k × n/N ) + X

k=0..N/2−1

x

_2k+1

exp (2iπ(2k + 1) × n/N)

= X

m=0..M−1

x

2m

exp (2iπm × n/N) + X

m=0..M−1

x

2m+1

exp (2iπm × n/N)

= P

_n

+ exp(−2iπn/N)I

_n

en posant M = N/2, et avec P

_n

le calcul sur les indices pairs et I

_n

le calcul sur les indices impairs. Chaque calcul d’un terme de FFT n´ ecessite donc N op´ erations, mais ceci le long d’un arbre binaire de longueur log

₂

(N) au lieu de N. La complexit´ e du calcul est donc pass´ ee de N

²

` a N log

₂

(N ).

L’impl´ ementation de cet algorithme est d´ ecrit en d´ etail dans la note d’application 3722 de Maxim

¹

.

0 20 40 60 80 100 120

0 100 200 300 400 500 600 700

frequence (FFT sur 256 points

440 Hz, 880 Hz, chirp 440-1320 Hz en 30 secondes

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

0 100 200 300 400 500 600 700

max(|FFT|)

temps (u.a.)

indice fr´ equence (point) (Hz)

11 440

21 880

31 1320

On a bien le point 256 qui corres- pond ` a la fr´ equence 10900 qui est

´ egale ` a 32768/3.

La principale optimisation reste ensuite l’exploitation du multiplieur mat´ eriel disponible dans le MSP430. L’´ etude du code assembleur g´ en´ er´ e par msp430-gcc -S d´ emontre que le compilateur est capable de convertir le symbole * en la s´ equence d’op´ erations exploitant au mieux le mat´ eriel.

Un autre aspect int´ eressant de l’´ etude du code de la note d’application AN3722 est de constater la g´ en´ eration automatique de code pour pr´ ecalculer un certain nombre de constantes. Ainsi, la r´ eorganisation des donn´ ees pour passer de la transform´ ee de Fourier classique ` a la FFT est g´ en´ er´ ee automatiquement, ainsi que les tables contenant les fonctions trigonom´ etriques pr´ e-calcul´ ees. Par ailleurs, cette g´ en´ eration de code automatique est tr` es sensible ` a la nature des donn´ ees manipul´ ees. Les casts successifs (long sur 4 octets et short sur 2 octets) sont n´ ecessaires pour le bon fonctionnement de ce code :

resultMulReCos=((long)cosLUT[tf_index]*(long)x_n_re[b_index])>>7;

resultMulReSin=((long)sinLUT[tf_index]*(long)x_n_re[b_index])>>7;

resultMulImCos=((long)cosLUT[tf_index]*(long)x_n_im[b_index])>>7;

1http://www.maxim-ic.com/appnotes.cfm/an pk/3722

(6)

resultMulImSin=((long)sinLUT[tf_index]*(long)x_n_im[b_index])>>7;

x_n_re[b_index] = x_n_re[a_index]-(short)resultMulReCos+(short)resultMulImSin;

x_n_im[b_index] = x_n_im[a_index]-(short)resultMulReSin-(short)resultMulImCos;

x_n_re[a_index] = x_n_re[a_index]+(short)resultMulReCos-(short)resultMulImSin;

x_n_im[a_index] = x_n_im[a_index]+(short)resultMulReSin+(short)resultMulImCos;

frequence (Hz)

temps (u.a.)

imagesc([1 232],[2*10900/256 10900/2],minicom’)

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200

Spectrogramme obtenu par ´ emission d’un signal ` a 440 Hz, puis 880 Hz, puis un chirp et finalement les deux fr´ equences initiales g´ en´ er´ ees simultan´ ement.

#i n c l u d e <s t d l i b . h>

#i n c l u d e <math . h>

#i n c l u d e ” m a x q f f t . h”

#d e f i n e msp430

#i f d e f msp430

#e n d i f

// msp430−g c c −mmcu=msp430x149 −c msp430 . c

// msp430−g c c −mmcu=msp430x149 −o m a x q f f t msp430 . o m a x q f f t . c // s i n o n g c c −o m a x q f f t m a x q f f t . c −lm

s h o r t x n r e [ N f f t ] ; // FFT i n p u t s a m p l e s , and r e a l p a r t o f t h e s p e c t r u m v o i d getSamplesFromADC ( )

{u n s i g n e d s h o r t i ;

s h o r t ∗p t r x n r e = x n r e ; f o r ( i =0; i<256; i ++) {

#i f d e f msp430

LPM1 ; x n r e [ i ]= mesure ( ) / 3 2 ; P1OUTˆ=0 x f f ;

#e l s e

∗( p t r x n r e ++)=( s h o r t ) ( 1 0 0 .∗( s i n ( ( d o u b l e ) i / 3 + 1 . ) ) ) ;

#e n d i f }

f o r ( i =0; i<256; i ++) {i f ( x n r e [ i ]&0 x0080 )

x n r e [ i ] += 0xFF00 ; // C o n v e r t t o 2 ’ s comp }

}

i n t main ( )

(7)

{

#i f d e f msp430

u n s i g n e d c h a r b u f f e r [ 2 0 ] ; init PORT ( ) ;

init ADC ( ) ; i n i t r s 1 9 6 0 0 ( ) ; init TIMER ( ) ; e i n t ( ) ;

TACTL|= MC 1 + TACLR;

#e n d i f

#i f d e f msp430

w h i l e ( 1 ) // FFT Loop

#e n d i f {

u n s i g n e d s h o r t i ; // Misc i n d e x

s h o r t n o f b = N DIV 2 ; // Number o f b u t t e r f l i e s s h o r t s o f b = 1 ; // S i z e o f b u t t e r f l i e s s h o r t a i n d e x = 0 ; // f f t d a t a i n d e x

s h o r t a i n d e x r e f = 0 ; // f f t d a t a i n d e x r e f e r e n c e

c h a r s t a g e = 0 ; // S t a g e o f t h e f f t , 0 t o ( Log2 (N)−1) s h o r t n b i n d e x ; // Number o f b u t t e r f l i e s i n d e x

s h o r t s b i n d e x ; // S i z e o f b u t t e r f l i e s i n d e x

s h o r t x n i m [ N f f t ] = {0 x0000}; // I m a g i n a r y p a r t o f x ( n ) and X( n ) , b z e r o ( x n r e , s i z e o f ( s h o r t )∗N f f t ) ;

b z e r o ( x n i m , s i z e o f ( s h o r t )∗N f f t ) ; getSamplesFromADC ( ) ;

/∗ Perform B i t−R e v e r s a l : Us e s an u n r o l l e d l o o p t h a t was c r e a t e d w i t h t h e f o l l o w i n g C c o d e :

#d e f i n e N 256

#d e f i n e LOG 2 N 8

s h o r t b i t R e v ( s h o r t a , s h o r t n B i t s ) {s h o r t r e v a = 0 ;

f o r ( s h o r t i =0; i<n B i t s ; i ++) {r e v a =( r e v a<<1)|( a &1) ; a=a>>1;}

r e t u r n r e v a ; }

s h o r t main ( s h o r t a r g c , c h a r∗ a r g v [ ] ) {p r i n t f ( ” u n s i g n e d s h o r t i ;\n ” ) ;

f o r ( s h o r t i =0; i<N ; i ++) i f ( b i t R e v ( i , LOG 2 N ) > i )

{p r i n t f ( ” i=x n r e [%3d ] ; ” , i ) ;

p r i n t f ( ” x n r e [%3d]= x n r e [%3d ] ; ” , i , b i t R e v ( i , LOG 2 N ) ) ; p r i n t f ( ” x n r e [%3d]= i ;\n” , b i t R e v ( i , LOG 2 N ) ) ; }

r e t u r n 0 ; }

∗/

i=x n r e [ 1 ] ; x n r e [ 1]= x n r e [ 1 2 8 ] ; x n r e [ 1 2 8 ] = i ; i=x n r e [ 2 ] ; x n r e [ 2]= x n r e [ 6 4 ] ; x n r e [ 64]= i ; . . .

i=x n r e [ 2 2 3 ] ; x n r e [ 2 2 3 ] = x n r e [ 2 5 1 ] ; x n r e [ 2 5 1 ] = i ; i=x n r e [ 2 3 9 ] ; x n r e [ 2 3 9 ] = x n r e [ 2 4 7 ] ; x n r e [ 2 4 7 ] = i ; f o r ( s t a g e =0; s t a g e<LOG 2 N ; s t a g e ++)

{f o r ( n b i n d e x =0; n b i n d e x<n o f b ; n b i n d e x++) {s h o r t t f i n d e x = 0 ; // The t w i d d l e f a c t o r i n d e x

f o r ( s b i n d e x =0; s b i n d e x<s o f b ; s b i n d e x ++)

{l o n g r e s u l t M u l R e C o s ; // j m f r i e d t : s h o r t −> l o n g ∗∗∗

l o n g r e s u l t M u l I m C o s ; l o n g r e s u l t M u l R e S i n ; l o n g r e s u l t M u l I m S i n ;

s h o r t b i n d e x = a i n d e x+s o f b ; // 2nd f f t d a t a i n d e x

r e s u l t M u l R e C o s =(( l o n g ) cosLUT [ t f i n d e x ]∗( l o n g ) x n r e [ b i n d e x ] )>>7;

r e s u l t M u l R e S i n =(( l o n g ) sinLUT [ t f i n d e x ]∗( l o n g ) x n r e [ b i n d e x ] )>>7;

r e s u l t M u l I m C o s =(( l o n g ) cosLUT [ t f i n d e x ]∗( l o n g ) x n i m [ b i n d e x ] )>>7;

(8)

r e s u l t M u l I m S i n =(( l o n g ) sinLUT [ t f i n d e x ]∗( l o n g ) x n i m [ b i n d e x ] )>>7;

x n r e [ b i n d e x ] = x n r e [ a i n d e x ]−( s h o r t ) ( r e s u l t M u l R e C o s+r e s u l t M u l I m S i n ) ; x n i m [ b i n d e x ] = x n i m [ a i n d e x ]−( s h o r t ) ( r e s u l t M u l R e S i n−r e s u l t M u l I m C o s ) ; x n r e [ a i n d e x ] = x n r e [ a i n d e x ] + ( s h o r t ) ( r e s u l t M u l R e C o s−r e s u l t M u l I m S i n ) ; x n i m [ a i n d e x ] = x n i m [ a i n d e x ] + ( s h o r t ) ( r e s u l t M u l R e S i n+r e s u l t M u l I m C o s ) ;

i f ( ( ( s b i n d e x +1) & ( s o f b−1) ) == 0 ) a i n d e x = a i n d e x r e f ;

e l s e

a i n d e x ++;

t f i n d e x += n o f b ; }

a i n d e x = ( ( s o f b<<1) + a i n d e x ) & N MINUS 1 ; a i n d e x r e f = a i n d e x ;

}

n o f b >>= 1 ; s o f b <<= 1 ; }

f o r ( i =0; i<N DIV 2 PLUS 1 ; i ++) // v a l e u r a b s o l u e {i f ( ( x n r e [ i ] & 0 x8000 ) !=0 x0000 ) x n r e [ i ]=−x n r e [ i ] ;

i f ( ( x n i m [ i ] & 0 x8000 ) !=0 x0000 ) x n i m [ i ]=−x n i m [ i ] ; }

#i f d e f msp430

n o f b = 0 ; // p o s max s o f b = 0 ; // v a l max

f o r ( i =3; i<N DIV 2 PLUS 1 ; i ++)

{ s p r i n t f ( b u f f e r ,”%d %d ” , x n r e [ i ] , x n i m [ i ] ) ; s t r r s 1 ( b u f f e r ) ;

// i f ( ( x n r e [ i ]+ x n i m [ i ] )>s o f b )

// {s o f b=x n r e [ i ]+ x n i m [ i ] ; n o f b=i ;} }

// s p r i n t f ( b u f f e r ,”%d %d\r\n ” , n o f b , s o f b ) ; s p r i n t f ( b u f f e r , ”\r\n ” ) ;

s t r r s 1 ( b u f f e r ) ;

#e l s e

f o r ( i =0; i<N DIV 2 PLUS 1 ; i ++) p r i n t f (”%d %d\n ” , x n r e [ i ] , x n i m [ i ] ) ;

#e n d i f } r e t u r n ( 0 ) ; }

Listing 1 – Calcul de la FFT tel que impl´ ement´ e dans l’AN 3722 de Maxim. Noter la g´ en´ eration automatique de code pour l’organisation des donn´ ees en m´ emoire.

#i f n d e f MAXQ FFT H

#d e f i n e MAXQ FFT H

#d e f i n e N f f t 256

#d e f i n e N DIV 2 128

#d e f i n e N DIV 2 PLUS 1 129

#d e f i n e N MINUS 1 255

#d e f i n e LOG 2 N 8

/∗

c o s i n e Look−Up T a b le : An LUT f o r t h e c o s i n e f u n c t i o n c r e a t e d w i t h t h e f o l l o w i n g program :

#d e f i n e N 256

v o i d main ( i n t a r g c , c h a r∗ a r g v [ ] ) {

p r i n t f ( ” c o n s t i n t cosLUT[%d ] =\n{\n ” ,N/ 2 ) ; f o r ( l o n g i =0; i<N/ 2 ; i ++)

{

p r i n t f (”%+4d ” , ( i n t ) ( 1 2 8∗c o s ( 2∗M PI∗i /N) ) ) ;

i f ( i<(N/2−1) ) p r i n t f ( ” , ” ) ;

i f ( ( i +1)%16 == 0 ) p r i n t f ( ”\n ” ) ; }

p r i n t f ( ”};\n ” ) ; }

∗/

c o n s t s h o r t cosLUT [ N DIV 2 ] =

(9)

{

+128 ,+127 ,+127 ,+127 ,+127 ,+127 ,+126 ,+126 ,+125 ,+124 ,+124 ,+123 ,+122 ,+121 ,+120 ,+119 , +118 ,+117 ,+115 ,+114 ,+112 ,+111 ,+109 ,+108 ,+106 ,+104 ,+102 ,+100 , +98 , +96 , +94 , +92 , +90 , +88 , +85 , +83 , +81 , +78 , +76 , +73 , +71 , +68 , +65 , +63 , +60 , +57 , +54 , +51 , +48 , +46 , +43 , +40 , +37 , +34 , +31 , +28 , +24 , +21 , +18 , +15 , +12 , +9 , +6 , +3 , +0 , −3, −6, −9, −12 , −15 , −18 , −21 , −24 , −28 , −31 , −34 , −37 , −40 , −43 , −46 ,

−48 , −51 , −54 , −57 , −60 , −63 , −65 , −68 , −71 , −73 , −76 , −78 , −81 , −83 , −85 , −88 ,

−90 , −92 , −94 , −96 , −98 ,−100 ,−102 ,−104 ,−106 ,−108 ,−109 ,−111 ,−112 ,−114 ,−115 ,−117 ,

−118 ,−119 ,−120 ,−121 ,−122 ,−123 ,−124 ,−124 ,−125 ,−126 ,−126 ,−127 ,−127 ,−127 ,−127 ,−127 };

/∗

s i n e Look−Up T a b le : An LUT f o r t h e s i n e f u n c t i o n c r e a t e d w i t h t h e f o l l o w i n g program :

#d e f i n e N 256

v o i d main ( i n t a r g c , c h a r∗ a r g v [ ] ) {

p r i n t f ( ” c o n s t l o n g sinLUT[%d ] =\n{\n ” ,N/ 2 ) ; f o r ( l o n g i =0; i<N/ 2 ; i ++)

{

p r i n t f (”%+4d ” , ( i n t ) ( 1 2 8∗s i n ( 2∗M PI∗i /N) ) ) ;

i f ( i<(N/2−1) ) p r i n t f ( ” , ” ) ;

i f ( ( i +1)%16 == 0 ) p r i n t f ( ”\n ” ) ; }

p r i n t f ( ”};\n ” ) ; }

∗/

c o n s t s h o r t sinLUT [ N DIV 2 ] = {

+0 , +3 , +6 , +9 , +12 , +15 , +18 , +21 , +24 , +28 , +31 , +34 , +37 , +40 , +43 , +46 , +48 , +51 , +54 , +57 , +60 , +63 , +65 , +68 , +71 , +73 , +76 , +78 , +81 , +83 , +85 , +88 , +90 , +92 , +94 , +96 , +98 ,+100 ,+102 ,+104 ,+106 ,+108 ,+109 ,+111 ,+112 ,+114 ,+115 ,+117 , +118 ,+119 ,+120 ,+121 ,+122 ,+123 ,+124 ,+124 ,+125 ,+126 ,+126 ,+127 ,+127 ,+127 ,+127 ,+127 , +128 ,+127 ,+127 ,+127 ,+127 ,+127 ,+126 ,+126 ,+125 ,+124 ,+124 ,+123 ,+122 ,+121 ,+120 ,+119 , +118 ,+117 ,+115 ,+114 ,+112 ,+111 ,+109 ,+108 ,+106 ,+104 ,+102 ,+100 , +98 , +96 , +94 , +92 , +90 , +88 , +85 , +83 , +81 , +78 , +76 , +73 , +71 , +68 , +65 , +63 , +60 , +57 , +54 , +51 , +48 , +46 , +43 , +40 , +37 , +34 , +31 , +28 , +24 , +21 , +18 , +15 , +12 , +9 , +6 , +3 };

#e n d i f

Listing 2 – Tableaux associ´ es ` a la FFT : noter la g´ en´ eration automatique de code pour les tables contenant les valeurs de cosinus et sinus

v o i d i n i t r s 1 9 6 0 0 ( ){

UCTL1=SWRST; // SetupUART1 : mov . b #SWRST,&UCTL1 UCTL1|=CHAR; // b i s . b #CHAR,&UCTL1

UTCTL1=SSEL0 ; // mov . b #SSEL0,&UTCTL1 UBR01=0x03 ; // mov . b #0x03 ,&UBR01 UBR11=0x00 ; // mov . b #0x00 ,&UBR11 UMCTL1=0x4A ; // mov . b #0x4A,&UMCTL1 UCTL1&=˜SWRST; // b i c . b #SWRST,&UCTL1 ME2|=UTXE1+URXE1 ; // b i s . b #UTXE1+URXE1,&ME2 }

v o i d s n d r s 1 ( u n s i g n e d c h a r c a r a )

{w h i l e ( ( IFG2 & UTXIFG1) ==0) ; // j z r s t x 1 TXBUF1=c a r a ;

}

v o i d s t r r s 1 ( u n s i g n e d c h a r∗ c a r a ) {i n t k =0;

do {s n d r s 1 ( c a r a [ k ] ) ; k++;} w h i l e ( c a r a [ k ] ! = 0 ) ; }

v o i d init PORT ( v o i d ){ P1SEL = 0 x00 ; P1DIR = 0xFF ; P1OUT = 0 x00 ;

(10)

P3SEL=0xFE ; // ; P3 . 6 , 7 = USART s e l e c t P3DIR=0x5B ; // ; P3 . 6 = o u t p u t d i r e c t i o n P3OUT=0x01 ; // ; P3 . 6 = o u t p u t v a l }

v o i d init ADC ( v o i d ){

ADC12CTL0=SHT0 6+REFON+ADC12ON ; // V REF=1.5 V ADC12CTL1=SHP ;

ADC12MCTL0=INCH 0+SREF 1 ; // p . 1 7−1 1 : s i n g l e c o n v e r s i o n ADC12CTL0|=ENC;

}

u n s i g n e d s h o r t mesure ( )

{ADC12CTL0|=ADC12SC ; // s t a r t c o n v e r s i o n do {} w h i l e ( ( ADC12CTL1 & 1 ) ! = 0 ) ;

r e t u r n (ADC12MEM0) ; }

v o i d init TIMER ( v o i d ){

BCSCTL1 = 0 x87 ; // XT2 OFF

BCSCTL2 = SELM1 + SELS ; // LFXT2 : u s e HF q u a r t z (XT2) i f a v a i l a b l e

WDTCTL = WDTPW + WDTHOLD; // Stop WDT

TACTL=TASSEL0 + TACLR;

TACCTL0|=CCIE ; // CCR0 i n t e r r u p t e n a b l e d TACCR0=2;

TACTL|= MC 0 ; }

i n t e r r u p t (TIMERA0 VECTOR ) wakeup Vector TIMERA0 ( v o i d ) { }

Listing 3 – Quelques fonctions pour la communication et initialisation du MSP430

Lors du traitement de N donn´ ees r´ eelles, nous exploitons des tableaux de N ´ el´ ements r´ eels et N ´ el´ ements imaginaires (2N cases m´ emoire) pour n’exploiter ` a la fin que N/2 ´ el´ ements de la transform´ ee de Fourier X

n

puisque X

_N−n

= X

_n^∗

. Il est possible d’optimiser l’occupation m´ emoire en pla¸ cant la moiti´ e des donn´ ees initiales dans le tableau de la partie imaginaire des donn´ es en entr´ ee : alors l’int´ egralit´ e de la transform´ ee de Fourier est exploit´ ee, et les relations de sym´ etrie entre transform´ ee de donn´ ees purement r´ eelles (X

N−n

= X

_n^∗

) et purement imaginaires (X

N−n

= −X

_n^∗

) permettent d’identifier quelle partie de la transform´ ee de Fourier vient de quelle donn´ ee initiale.

Pour s’en convaincre, sous GNU/Octave :

c l e a r c l o s e

x=s i n ( 2∗p i∗[ 0 : 0 . 0 1 : 1 0 . 2 3 ]∗3 )+i∗0 ; f 1= f f t ( x ( 1 : 5 1 2 ) ) ; % 512 c o m p l e x e s f 2= f f t ( x ( 5 1 3 : 1 0 2 4 ) ) ; % 512 c o m p l e x e s xx=x ( 1 : 5 1 2 )+i∗x ( 5 1 3 : 1 0 2 4 ) ; % 256 v a l s f f = f f t ( xx ) ; % 256 c o m p l e x e s r e 1 ( 1 )=r e a l ( f f ( 1 ) ) ;

r e 2 ( 1 )=imag ( f f ( 1 ) ) ; f o r j j =1:255

r e 1 ( j j +1)=r e a l ( 0 . 5∗( f f ( j j +1)+ f f (512−j j +1) ) ) ; im1 ( j j +1)=imag ( 0 . 5∗( f f ( j j +1)−f f (512−j j +1) ) ) ; r e 2 ( j j +1)=imag ( 0 . 5∗( f f ( j j +1)+ f f (512−j j +1) ) ) ; im2 ( j j +1)=−r e a l ( 0 . 5∗( f f ( j j +1)−f f (512−j j +1) ) ) ; end

p l o t ( r e a l ( f 1 ( 1 : 2 5 6 )−r e 1 ) ) h o l d on

p l o t ( imag ( f 1 ( 1 : 2 5 6 ) )−im1 , ’ g ’ ) p l o t ( r e a l ( f 2 ( 1 : 2 5 6 ) )−r e 2 , ’ r ’ ) p l o t ( imag ( f 2 ( 1 : 2 5 6 ) )−im2 , ’ m’ )

Listing 4 – Comparaison entre le r´ esultat d’une FFT sur N points, et le r´ esultat du calcul exploitant les parties r´ eelles et imaginaires d’un tableau de N/2 points.

R´ ef´ erences

[1] A.V. Oppenheim & R.W. Schafer,Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall (1989)

[2] W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, & W.T. Vertterling,Numerical recipies in Pascal, Cambridge University Press (1994), ou sur le webhttp://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey FFT algorithm