DS n°2

MP 2021/2022

DS n°2

Les calculatrices sont interdites

Les applications numériques seront données avec 1 ou 2 chiffres significatifs

Les questions précédées du pictogramme vues en Cours, en TD ou en TP sont comptées double Remarques générales sur la présentation des copies de Concours :

- La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

- Les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.

- Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

- Pour plus de clarté dans la présentation, il est impératif de changer de copie pour chaque problème ou exercice et de numéroter vos copies (1/N, 2/N…)

- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.

- Ne pas utiliser de correcteur.

DS n°2 (4 heures) : Mercredi 6 octobre 2021 page2/11

Problème n°1 : Optique de l’appareil photo

Extrait Concours CCINP MP 2021

La date conventionnelle de l’invention de la photographie a été fixée au 7 janvier 1839, date à laquelle Arago présenta à l’Académie des Sciences l’invention de Daguerre : le daguerréotype. Mais l’histoire de la photographie commence bien avant notamment avec la camera obscura (chambre noire) qui est utilisée dès le XVI^e siècle pour des travaux topographiques. Les historiens de l’art ont également montré qu’elle était utilisée par des peintres, comme Vermeer ou les frères Van Eyck.

Le fonctionnement de cet ancêtre de l’appareil photo repose sur les propriétés des lentilles.

Rappel : l’objet AB et l’image A'B' donnée par la lentille mince de centre O et de foyers principaux F (objet) et F' (image) dans les conditions de Gauss sont liés par les relations :

1 1 1

' '

− + =

OA OA OF

^{FA F A. ' '= −}

(

^OF'

)

²

^{= A B' '}

γ AB

=

^OA' OA

' ' '

=FO=F A FA F O

1 - Objet et image

On modélise un appareil photo (figure 1) par l’association d’une lentille mince (L) de focalef'

= OF'

appelée

"objectif", d’un capteur (C) sur lequel on souhaite récupérer l’image et d’un diaphragme (D) placé devant la lentille.

Figure 1 - Modélisation d’un appareil photo

La distance d entre la lentille (L) et le capteur (C) est réglable, grâce à un mécanisme lié à l’objectif ; elle est comprise entre dmin et dmax

avec d

min

< f’.

À l’aide de cet appareil, on souhaite former sur le capteur l’image d’un arbre de hauteur h situé à une distance L devant l’objectif.

Q1. a) La lentille mince est utilisée dans les " conditions de Gauss ". Préciser en quoi elles consistent.

b) Quelle partie de l’appareil permet d’assurer que ces conditions sont remplies ?

Q2. a) Faire un schéma soigné de la situation en notant AB l’objet et A'B' son image sur le capteur (A est sur l’axe et AB appartient à un plan orthogonal à l’axe). Positionner les foyers principaux et tracer au moins deux rayons lumineux issus de B pour justifier la position de l’image A'B'.

b) Exprimer la taille

A'B'

de l’image de l’arbre sur le capteur en fonction de h, f ' et L. Calculer cette taille avec f '= 50 mm, h = 5 m et L = 20 m.

Q3. a) Quelle est la valeur de d lorsque l’objet est à l’infini ?

b) Montrer qu’il existe une distance limite notée Lmin en dessous de laquelle il ne sera pas possible d’obtenir une image sur le capteur, alors que ce serait toujours possible pour des valeurs supérieures à Lmin.

c) Exprimer Lmin en fonction de f ' et dmax.

d) Calculer Lmin pour f ' = 50 mm et dmax = 55 mm.

2 - Influence de la focale

On souhaite obtenir une image de l’arbre sur le capteur plus grande sans changer de place (donc en gardant la même valeur pour L). On change donc l’objectif et on le remplace par un objectif de focale f

’

1 = 100 mm. La distance d est toujours réglable mais les valeurs dmin et dmax sont différentes des valeurs de Q3.

Q4.a) Quelle sera la taille de l’image de l’arbre sur le capteur ?

b) Si on suppose que le capteur a pour dimensions : 24 mm x 36 mm , sera-t-il possible de voir l’arbre en entier sur la photo obtenue ?

Q5. L’objectif utilisé est appelé " téléobjectif " ou " objectif de longue focale ". Sur un site internet dédié à la photographie, on peut lire que ce genre d’objectif " rapproche les objets ". Commenter cette phrase en indiquant la part de vérité ou d’inexactitude qu’elle contient en utilisant une approximation justifiée.

Cette approximation restera valable pour les questions suivantes.

On souhaite maintenant réaliser un téléobjectif en utilisant deux lentilles : une lentille (L1) convergente et une lentille (L2) divergente, séparées par une distance e. La distance L entre (L1) et l’arbre n’a pas changé.

Q6. La lentille (L1), de focale f

’

1, donne de l’arbre AB une image intermédiaire A1B1 qui joue le rôle d’objet pour la lentille (L2), de focale f

’

2, qui en donne une image finale A'B'.

a) Exprimer la distance

O A

_{2 1} en fonction de f

’

1 et e

b) L’image A'B' doit être réelle. En déduire que la distance e entre les centres des deux lentilles doit être située dans une plage de valeurs bien précise. Exprimer cette condition sur e sous la forme d’une double inégalité sur e, f

’

1 et f

’

2.

c) Vérifier que cette condition est réalisée avec f

’

1=10 cm, f

’

2 =

-

5 cm et e = 8 cm . Q7. Avec les valeurs numériques de Q6c :

a) Calculer la distance d,

b) Calculer la taille de l’image

A'B'

de l’arbre sur le capteur.

On rappelle que l’arbre est à la distance L = 20 m de l’objectif.

c) Indiquer si ce téléobjectif est équivalent à l’objectif de Q4.

3 - Exploitation d’une photo

Les tailles des capteurs dont sont équipés les appareils numériques actuels sont variables, commel’indique le document 1.

Document 1 - Exemples de capteurs d’appareils photo numériques

Source : Wikipedia

DS n°2 (4 heures) : Mercredi 6 octobre 2021 page4/11

La photo ci-dessous a été prise avec un appareil photo numérique de type " Canon G10 ". Les informations relatives à la photo sont consignées dans le document 2.

Il s’agit d’une photo prise dans la baie du Mont Saint-Michel (au point B sur la carte satellite du document 3). La distance BC vaut 1,46 km.

Document 2 - Informations relatives à la prise de vue (Photo Mont Saint-Michel) Sensibilité : 100 ISO

Vitesse : 1/ 250 s Ouverture : f/7,1 Focale : 18 mm

Document 3 - Image satellite de la baie du Mont Saint-Michel

Q8. À partir de la photo obtenue et des documents 1, 2 et 3, déterminer la hauteur du Mont Saint- Michel (flèche comprise) en indiquant les hypothèses posées, la modélisation du problème (par exemple par un schéma légendé) et les calculs effectués.

4 - Comment expliquer les propriétés des lentilles ?

Les propriétés optiques des lentilles viennent de leur forme géométrique.

Pour en proposer une explication, on considère une lentille plan-convexe (figure 2) constituée d’un verre d’indice n. L’indice de l’air ambiant est égal à 1.

La partie sphérique de la lentille est une portion de sphère de centre C et de rayon R = CB. L’épaisseur de la lentille au centre est e = OS.

On considère un rayon incident parallèle à l’axe optique, à une distance h de celui-ci. Ce rayon pénètre dans la lentille en A et est réfracté en B. On note i et r les angles incident et réfracté, comptés par rapport à la normale (CB). Le rayon émergent de la lentille coupe l’axe optique en F'. On note K le projeté orthogonal de B sur l’axe optique.

Q9. a) Écrire la loi de la réfraction en B.

b) Montrer que la distance OF' peut se mettre sous la forme :

[ ] ^Rsin(i)

OF' e R 1 cos(i)

tan(r i)

= − − +

−

Q10. a) La lentille constitue-t-elle un système rigoureusement stigmatique ? On justifiera soigneusement la réponse.

b) Si on considère une lentille mince (e faible devant R) et des rayons paraxiaux, peut-on dire que le système est approximativement stigmatique ? Justifier.

c) Dans le cas de la lentille mince, donner une expression approchée de la distance OF'.

Q11. On suppose que cette lentille possède les propriétés des lentilles minces utilisées dans les conditions de Gauss, que F' est son foyer principal image et O est son centre optique. On considère le rayon qui coïncide avec l’axe et qui n’est donc pas dévié par la lentille.

a) Exprimer le chemin optique (OSF') en fonction de e, n et

R

.

b) En justifiant par un théorème (à citer), quelle relation existe-t-il entre le chemin optique (ABF’) et le chemin optique (OSF') ? On justifiera soigneusement la réponse.

Figure 2 - Lentille plan-convexe

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Problème n°2 : A la recherche des exoplanètes : d’autres planètes habitables ?

(Adapté des épreuves des Concours Centrale-Supélec et CCP TSI 2015) Alors que la Terre est actuellement la seule planète connue pour abriter la vie, les astrophysiciens ont découvert en 2005 une exoplanète bleue, nommée Isis.

On se propose dans ce problème d'analyser une technique de détection d'exoplanètes faisant appel à l'interférométrie puis d'examiner l'atmosphère d'Isis pour déterminer si, du fait de sa couleur bleue, cela en fait une bonne candidate pour abriter la vie.

Dans tout le problème, on considérera la propagation dans l’air que l’on assimilera au vide nair ≈ 1.

L’annexe est à rendre avec votre copie.

I- Observation de l’étoile par le montage des trous d’Young

Comme notre planète, Isis orbite autour d'une étoile.

L'observation du couple étoile - exoplanète est réalisée à une longueur d'onde λ (généralement située dans l'infrarouge).

Dans un premier temps, on considère uniquement l'étoile. On l'assimile à une source ponctuelle monochromatique de longueur d’onde λ sur l’axe horizontal (Oz). La propagation s’effectue à la célérité c.

Perpendiculairement à cet axe, on dispose un écran opaque percé de deux trous d'Young écartés d'une distance L. On note S1 et S2 les centres des deux trous d'Young (voir figure 1 en annexe). L'observation est effectuée sur un écran situé dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f’.

On s'intéresse à l'onde lumineuse s(M, t) en un point M(x, y) de l'écran, résultante de la superposition des ondes provenant de S1 et S2 .

On note A l'amplitude de ces deux ondes et on suppose que leur déphasage à l'origine est nul.

1) Indiquer sur la figure 1 en annexe la marche de deux rayons lumineux issus de la source S située à l’infini sur l’axe optique interférant au point M pour le dispositif des trous d’Young présenté ci-dessus.

2) Rappeler l’expression liant l’onde lumineuse s(M,t) et l’intensité lumineuse I(M) reçue par un capteur optique de temps de réponse τd placé en M. Quel est l’ordre de grandeur du temps de réponse d’un capteur CCD ?

On note I0E l'intensité lumineuse issue du trou S1 ou S2.éclairé par l’étoile.

3) Rappeler les conditions principales pour que le phénomène d'interférences apparaisse. Ces conditions sont-elles réunies ici ?

4) Exprimer l'intensité lumineuse I(M) au point M en fonction de I0E et du déphasage entre les deux chemins optiques.

Une démonstration est attendue. On pourra utiliser les notations complexes.

5) Définir le contraste puis déterminer sa valeur.

6).Calculer la différence de marche δ du rayon 2 par rapport au rayon 1 en fonction de θ puis en fonction de x. On se placera dans l’approximation des petits angles.

En déduire l'expression de l'interfrange i.

7) Quelle est la forme des franges observées ? Sont-elles localisées ? Justifier.

On considère dans un second temps l'étoile et son exoplanète comme deux sources indépendantes ponctuelles monochromatiques de longueur d'onde λ.

8) Pour quelle raison ce dispositif ne permet-il pas de déterminer la présence d'une Exoplanète ?

II- Principe de l’interférométrie annulante

Pour mettre en évidence la présence d'une exoplanète, on utilise deux télescopes. En recombinant les

faisceaux issus des deux télescopes sur une recombinatrice optique située au milieu des deux télescopes, ces faisceaux seront en phase et l'on obtiendra des interférences constructives. Ainsi dans l'interférométrie classique, les signaux des deux télescopes se combinent pour construire une frange centrale d'intensité maximale sur la ligne de visée, c'est-à-dire dans la direction de l'étoile observée. Cependant à l'aide d'un principe ingénieux, l'interféromètre de Bracewell (voir figure 2 ci-dessous), il est possible d'introduire sur le faisceau de l'un des télescopes un déphaseur achromatique de π, de sorte que les interférences deviennent destructives dans la direction de l'étoile. On « éteint » ainsi le flux de l'étoile : c'est ce qu'on appelle l'interférométrie à frange noire ou interférométrie annulante.

On suppose que les rayons lumineux venant de la planète font un angle α par rapport à la direction de l'étoile.

On pose L la distance entre les deux télescopes qu’il est possible de faire varier.

Figure 2 - Principe de fonctionnement de l'interféromètre de Bracewell à deux télescopes

Pour comprendre le principe de fonctionnement de l'interféromètre de Bracewell, on se ramène à l'expérience des trous d'Young en considérant la direction de l'étoile suivant l'axe (Oz) et la direction de la planète inclinée d'un angle α par rapport à la direction de l'étoile.

Un déphaseur est introduit derrière le trous d’Young S1, avant la lentille (cf figure 3 en annexe). Le déphaseur introduit un déphasage de π pour les rayons traversant S1.

On note toujours I0E l’intensité lumineuse issue du trou S1 ou S2 seul éclairé par l’étoile.

On notera I0P l’intensité lumineuse issue du trou S1 ou S2 seul éclairé par l’Exoplanète.

9) On ne considère dans cette question que l’étoile. Comment est modifiée la différence de marche par la présence du déphaseur ? En déduire l’éclairement IE(x). Que constate-t-on si on place un détecteur quasi ponctuel en x = 0 ? Ce résultat dépend-il de L ? Commenter.

10) On s’intéresse dans cette question uniquement au rayonnement issu de l’Exoplanète, situé à une distance angulaire α de l’étoile définie sur la Figure 2. Le dispositif pointe toujours vers couple étoile – exoplanète (cf Figure 3)

On cherche à contraindre le choix de L.

10-a) Indiquer sur la figure 3 en annexe la marche de deux rayons lumineux issus de l’ exoplanète arrivant interférant au point M pour le dispositif des trous d’Young.

On rappelle les rayons lumineux venant de l’exoplanète font un angle α par rapport à la direction de l'étoile.

10-b) Exprimer la différence de marche totale entre les deux rayons issus de l’Exoplanète P interférant en M(x) après être passés par S1 et S2. Là encore, on suppose que les intensités issues des deux télescopes sont égal es et que la vibration lumineuse est déphasée de π lors du passage par S1. On supposera en outre que l’angle α est petit.

En déduire l’éclairement IP(x, α).

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10-c) L’exoplanète P constitue-t-elle une source cohérente avec l’étoile centrale E ? Donner l’expression de l’éclairement total I(x, α) au point M(x).

10-d) On note I(α) l’éclairement total au niveau du centre du détecteur au point d’abscisse x = 0 en considérant l’étoile centrale et l’exoplanète située au point P. Expliciter I(α) et donner l’expression Lα,p des diverses valeurs de L (indicées par l’entier p) qui permettent de rendre cette intensité maximale.

10-e) Commenter l’expression « interférométrie annulante ».et justifier que l'interféromètre de Bracewell permet de mettre en évidence la présence d'une exoplanète.

La reconstruction de l’image entière du disque utilise le principe précédent : un système informatisé pilote l’ensemble des télescopes pour imager les différents points du disque et reconstitue ensuite l’image en couleurs composites, à l’aide de calculs de transformées de Fourier.

PROBLEME N°3 : MESURE DE VITESSE ET DE DISTANCE PAR EFFET DOPPLER

L’effet Doppler est la modification de la fréquence d’une onde lorsque l’émetteur et le récepteur sont en mouvement relatif. Si la distance entre émetteur et récepteur diminue, la fréquence perçue est plus élevée que la fréquence émise par l’émetteur, et inversement.

Cet effet est utilisé dans le cadre de la sécurité routière pour la mesure de la vitesse du véhicule l(détection des excès de vitesse) mais également pour la mesure de position par rapport à un obstacle.

On donne la célérité de la lumière dans l’air assimilé au vide : c = 3,00.10⁸ m.s^-1

1) Mesure de la fréquence Doppler (Extrait Epreuve Concours E3A MP 2018)

On peut montrer qu’une onde radar de fréquence f est réceptionnée par le détecteur après réflexion sur le véhicule avec une fréquence :

1 '

1 +

=

− v f f c

v c Dans cette partie, on prendra f = 1,00 GHz

1-1)Montrer que dans le cas où v << c, la fréquence de l’onde réceptionnée après réflexion sur le véhicule s’exprime de manière approchée : ≈ ^¹+^{2 }

 

r

f f v

c Dans la suite, on notera _D ≈² v

f f

c

1-2)Comparer f et fr pour des valeurs usuelles de v. Que penser d’une mesure directe de fr dans le but d’en déduire fD ?

On niveau de l’antenne du radar, on dispose de deux tensions sinusoïdales correspondant aux ondes électromagnétiques émise et réceptionnée par le radar.

On note :

u1(t)=u1m cos(ω1.t) la tension correspondant à l’onde émise (ω1 = 2π.f).

u2(t)=u2m cos(ω2.t+φ) la tension correspondant à l’onde réfléchie (ω2 = 2π.fr).

On rappelle que :fD = fr - f << fr telle que fD << fr et fD << f

Le schéma de principe de la mesure du décalage en fréquence fD est donné ci-dessous (Figure 1):

Figure 1 – Montage pour la mesure de le fréquence fD

Le multiplieur (X) réalise l’opération : us1(t) = K. u1(t)^×u2(t).

1-3) Linéariser l’expression de us1(t).

1-4) En déduire l’allure du spectre en amplitude de la tension us1(t).

1-5) Quelle doit-être la fonction du quadripôle (P) pour obtenir une tension de sortie sous la forme : us2(t).≈K^’.cos(2πfDt +φ)

1-6) Proposer, en justifiant, une structure électrique pour ce quadripôle ainsi si on veut mesurer des vitesses de l’ordre de 30 m.s⁻¹.

On donne ci-dessous la courbe représentant us1(t)et un zoom sur une petite portion de celle-ci (Figure 2).

Figure 2 – Oscillogramme de la tension us1(t) 1-7) Justifier l’allure de cette courbe.

1-8) Représenter sur votre copie l’allure de la courbe us2(t)en indiquant l’échelle de temps.

1-9) Déterminer la vitesse de la voiture.

2) Radar ULB (Extrait Epreuve Concours CCINP MP 2021)

Le radar utilise en fait la technique ULB (Ultra Large Bande) basée sur l'émission et la réception d'impulsions (ou pulses) de très courte durée (τpulse=1ns) avec une FRP (Fréquence de Répétition des Pulses) fFRP = 500 kHz, le signal émis par le radar de la partie 1 servant de porteuse (f = 1 GHz).

2-1) Exprimer, puis calculer la portée de ce radar, c'est-à-dire la distance maximale à la cible assurant qu'un pulse écho soit reçu avant que le pulse suivant ne soit émis .

La porteuse des pulses échos est comparée à la porteuse des pulses émis afin d'obtenir (par un traitement non détaillé ici) un signal sinusoïdal de fréquence fD (définie à la partie 1). L'estimation de la vitesse du

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véhicule est ensuite réalisée au moyen d'un algorithme FFT ("Fast Fourier Transform") appliqué à un échantillonnage ("sampling") de ce signal sinusoïdal

2-2) La gamme des vitesses mesurables par le radar est [3 m/s ; 60 m/s]. Donner la valeur minimale fsmin de la fréquence d'échantillonnage nécessaire à assurer toute la gamme des vitesses mesurables.

2-3) Avec une fréquence d'échantillonnage fs=2,5 kHz et un nombre N=256 points d'échantillonnage, exprimer puis calculer la résolution δV sur la mesure de la vitesse.

NOM : Prénom

ANNEXE – Problème n°2 (à rendre avec la copie)

Figure 1 : Dispositif des trous d'Young pour une Etoile sur l’axe optique

Figure 3 - Dispositif des trous d'Young pour une Exoplanète vue sous un angle α avec déphaseur

L

O S1 M

S2

z x

y

L Source S

= Etoile située à ∞ sur l’axe optique

θ θθ θ

L

O S1 M

S2

z x

y

θ θ θ θ Source S

= Exoplanète située à

vue sous un angle α Déphaseur

L