Corrig&eacute du TP 6

ECE2 TP n ^◦ 6 : Fonction ` a deux variables

Exercice 1. Tracer une nappe

1. ´Ecrire des commandes permettant de tracer la nappe repr´esentant la fonctionF d´efinie par

∀(x, y)∈R², F(x, y) = 3 4+1

2 x²+ 4xy+y²

+x²y².

On fera varier (x, y) dans [−1,1]×[−1,1].

function[z]=F(x,y), z=3/4+1/2*(x^2+4*x*y+y^2) + x^2 * y^2, endfunction;

x=linspace(-1,1,101);y=x; fplot3d(x,y,F);

2. ´Ecrire des commandes permettant de tracer la nappe repr´esentant la fonctionGd´efinie par

∀(x, y)∈R², G(x, y) =x² 1 +y³ +y².

On fera varier (x, y) dans [−1,1]×[−2,2], puis dans

−1 2,1

2

×

−1 2,1

2

.

function[z]=G(x,y), z=x^2*(1+y^3) + y^2, endfunction;

x=linspace(-1,1,101);y=linspace(-2,2,101); fplot3d(x,y,G);

Exercice 2. Lignes de niveau

Scilab dispose d’une fonction appel´ee contour permettant de tracer des lignes de niveau d’une fonction de deux variables. Soit la fonctionf d´efinie par

∀(x, y)∈[−2,2]², f(x, y) =x³−4xy².

1. ´Ecrire des commandes permettant de tracer la nappe repr´esentant la fonctionf sur [−2,2]×[−2,2] en utilisant la fonctionfplot3d.

function[z]=f(x,y), z=x^3-4*x*y^2, endfunction;

x=linspace(-2,2,101);y=x;fplot3d(x,y,f)

2. (a) ´Ecrire des commandes permettant de visualiser 20 lignes de niveau def sur un autre graphique `a l’aide de la fonctioncontour(x,y,f,20) (20 d´esigne ici le nombre de lignes de niveau).

function[z]=f(x,y), z=x^3-4*x*y^2, endfunction;

x=linspace(-2,2,101);y=x;contour(x,y,f,20)

(b) ´Ecrire des commandes permettant de visualiser les lignes de niveau −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 def `a l’aide de la fonctioncontour(x,y,f,[-3:3])(l’intervalle d’entiers [−3 : 3] d´esigne les lignes de niveau `a tracer).

function[z]=f(x,y), z=x^3-4*x*y^2, endfunction;

x=linspace(-2,2,101);y=x;contour(x,y,f,[-3:3])

Exercice 3. Repr´esentation du gradient

Scilabdispose d’une fonction appel´eexarrowspermettant de tracer le vecteur−−→

ABde point de d´epart (x_A, y_A) et de point d’arriv´ee (x_B, y_B) :

xarrows([xA;xB],[yA;yB]) On reprend la fonctionf d´efinie par

∀(x, y)∈[−2,2]², f(x, y) =x³−4xy².

1. (a) Calculer sur votre feuille le vecteur ∇(f)(1,1). Quel est l’extr´emit´e du vecteur ayant pour d’origine (1,1) et

´

etant ´egal `a ¹₈ ∇(f)(1,1) ?

En fait, on essaie ici de prendre des vecteurs de longueur 1 pour avoir une repr´esentation graphique correcte.

On a pour ¹₈∇(f)(1,1)

−¹₈

−1

(b) Faire de mˆeme pour ¹₃ ∇(f)(1,0) d’origine (1,0) et ¹₈ ∇(f)(−1,1) d’origine (−1,1).

On a pour ¹₃∇(f)(1,0)

1 0

On a pour ¹₈∇(f)(−1,1)

−¹₈ 1

2. Reprenez le programme fait `a l’exercice pr´ec´edent permettant de tracer les lignes de niveaux entre−3 et 3 de f. (a) Sur quelles lignes de niveau def se situent les points (1,1), (1,0) et (−1,1) ?

Les points (1,1), (1,0) et (−1,1) se situent respectivement sur les lignes de niveau−3, 1 et 3.

(b) Tracer les lignes de niveau−3, 1 et 3 def, ainsi que les vecteurs trouv´es `a la question 1. Que remarque-t-on ?

function[z]=f(x,y), z=x^3-4*x*y^2, endfunction;

x=linspace(-2,2,101);y=x;contour(x,y,f,[-3:3]);

xarrows([1;1-1/8],[1;0]);

xarrows([1;2],[0;0]);

xarrows([-1;-1-1/8],[1;2]);

Le gradient en un point est orthogonal `a la ligne de niveau passant par ce point et en direction des valeurs croissantes def.

Exercice 4. Extrema d’une fonction

Scilab dispose d’une fonction appel´ee contour permettant de tracer des lignes de niveau d’une fonction de deux variables. Soit la fonctionf d´efinie par

∀(x, y)∈]−2,2[², f(x, y) =x²−x³+y².

1. ´Ecrire des commandes permettant de tracer la nappe repr´esentant la fonctionf sur ]−2,2[×]−2,2[ en utilisant la fonctionfplot3d.

function[z]=f(x,y), z=x^2-x^3+y^2, endfunction;

x=linspace(-2,2,101);y=x;fplot3d(x,y,f)

2. Conjecturer l’existence d’extrema locaux et/ou globaux def. Voyez-vous sur la courbe un point critique ? Est-ce un extremum local ?

On peut s’attendre `a un minimum en (0,0).

3. ´Ecrire des commandes permettant de visualiser des lignes de niveau de f pour des niveaux entre 0 et 2 avec un pas de 0.05.

function[z]=f(x,y), z=x^2-x^3+y^2, endfunction;

x=linspace(-2,2,101);y=x;contour(x,y,f,[0:0.05:2])

4. Justifier quef est de classeC², calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres et secondes def. f est une fonction polynomiale deR²dansR,f est donc de classeC²surR².

∂1(f)(x, y) = 2x−3x² et ∂2(f)(x, y) = 2y.

∂_1,1² (f)(x, y) = 2−6x, ∂_2,1² (f)(x, y) =∂_1,2² (f)(x, y) = 0 et ∂_1,2² (x, y) = 2.

5. D´eterminer les points critiques de f. Est-ce coh´erent avec l’´etude graphique ? Les points critiques sont (0,0) et (2/3,0).

• La hessienne de (0,0) a pour valeur propre 2, c’est donc un minimum local. Ce n’est cependant pas un minimum global puisque f(0,0) = 0>−4 =f(2,0).

• La hessienne de (2/3,0) a pour valeur propre−2 et 2, c’est donc un point selle.