Corrigé exercice de proba du sujet Inde 2000
1. L’expérience aléatoire consiste à choisir une clef parmi 5. L’univers comporte donc5 issues possibles.
L’événement étudié est un ensemble constitué de 2 éléments (les deux clefs défectueuses).
On a donc p(D1) = 2 5 .
2. Le choix de la deuxième clef est effectué au hasard parmi les quatre restantes puisqu’il n’y a pas remise (pas complètement idiot le prof). L’univers coporte donc 4 éléments. La première clef ayant été défectueuse, il ne reste plus qu’une clef défectueuse parmi les quatre. Ainsi pD1(D2) = 1
4 . Ensuite, p(D1∩D2) = pD1(D2) ⇒ p(D1∩D2) = 2
5 ×1
4 donc p(D1∩D2) = 1 10 .
Il a donc une chance sur 10 de "tomber" directement sur les deux mauvaises clefs.
3. L’événement étudié peut s’écrire D1∩D2∩D3.
FOn peut raisonner de la manière suivante : la première clef est chosie parmi 5 et il en a trois bonnes, la secone parmi quatre et il a 2 bonnes, enfin la troisième parmi 3 et il y a 2 mauvaises. L’univers comporte alors 5×4×3 issues et l’événement 3×2×2 éléments. La proilité recherchée est donc p¡
D1∩D2∩D3
¢= 12 60 donc p¡
D1∩D2∩D3¢
= 1 5 .
FMais on peut aussi écrireD1∩D2∩D3=¡
D1∩D2¢
∩D3. Or p¡
D1∩D2
¢=pD
1
¡D2
¢×p¡ D1
¢puis p¡¡
D1∩D2
¢∩D3
¢=pD
1∩D2(D3)×p¡
D1∩D2
¢ Avec p¡
D1¢
= 1−p(D1) = 3
5 puispD
1
¡D2¢
= 2
4 puisqu’il reste deux bonnes clefs sur quatre.
Ainsi p¡
D1∩D2¢
=pD
1
¡D2¢
×p¡ D1¢
⇒p¡
D1∩D2¢
= 3 10 Enfin pD
1∩D2(D3) =2
3 pusiqu’il reste deux mauvaises clefs sur 3.
D’oùp¡¡
D1∩D2
¢∩D3
¢=pD
1∩D2(D3)×p¡
D1∩D2
¢⇒p¡
D1∩D2∩D3
¢= 2 3×3
10 donc p¡
D1∩D2∩D3
¢= 1 5 . FOn peut aussi raisonner avec un arbre.
1
4. On peut faire l’arbre suivant :
D1 3/5
1/3 D3 1/2
D2
2/3 D3 1/2 D4 1/2 D4 1
D5 D1
2/5
1/4 D2 3/4 D2 2/3
D3 1/3 D3 1/2
D4 D4
1/2 1
D5
1/2 D2 2/3 D3
D3 1/3
1/2 D4
D4
1/2 1
D5 D4
1
D5 1
On retrouve l erésultat précédent : p¡
D1∩D2∩D3¢
= 3 5 ×1
2 ×1 3 4.1. p(2; 4) =p¡
D1∩D2∩D3∩D4¢
= 3 5× 1
2×2 3 ×1
2 donc p¡
D1∩D2∩D3∩D4¢
= 1 10 . 4.2. p(4; 5) =p¡
D1∩D2∩D3∩D4∩D5¢
= 3 5 ×1
2 ×1
3 ×1×1 donc p¡
D1∩D2∩D3∩D4∩D5¢
= 1 10
2
