TS – Sp

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TS – Spécialité math – DM7 (/13)

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une

population d’animaux. Pour tout entier naturel n, on note j

le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et a

le nombre d’animaux adultes après n années

d’observation.

Il y a au début de la première année de l’étude, /t{200;300;400;500} animaux jeunes et /t{400;500;600;700} animaux adultes. Ainsi j

= #1 et a

= #2.

On admet que pour tout entier naturel n on a :

/se{§[j_{n+1}]§ = 0,125§[j_{n}]§

+ 0,525§[a_{n}]§

; §[a_{n+1}]§

= 0,625§[j_{n}]§ + 0,625§[a_{n}]§

}

On introduit les matrices suivantes :

A = /mat{0,125;0,525;;0,625;0,625} et, pour tout entier naturel n, U

= /mat{§[j_{n}]§ ;;§[a_{n}]§ }

1.a.

Montrer en utilisant les opérations sur les matrices que, pour tout entier

naturel n , U

= A ×U

.

b.

Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an

d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut à chaque itération).

c.

Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U

en fonction de A, n et de U

. Justifier la réponse à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

2. On introduit les matrices suivantes Q = /mat{7;3;;-5;5} et D = /mat{-0,25;0;;0;1}.

On donne Q

= /mat{0,1;-0,06;;0,1;0,14}.

a.

Montrer que Q × Q

= Q

× Q = I

(I

étant la matrice identité d'ordre 2).

b.

Montrer que Q × D × Q

= A.

c.

Montrez, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, qu'alors A

= Q × D

× Q

. d.

Pour tout entier naturel n non nul, déterminer D

en fonction de n. Là encore, on utilisera un raisonnement par récurrence...

3. a.

En déduire que :

A

= /mat{§[0,3+0,7 times (-0,25)^n]§ ;§[0,42–0,42 times (-0,25)^n]§ ;;§[0,5 – 0,5 times (- 0,25)^n]§ ;§[0,7+0,3 times (-0,25)^n]§}

b.

En déduire les expressions de j

et a

en fonction de n et déterminer les

limites de ces deux suites.

c.

Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

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