Epreuve 2

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 2

^{M : Zribi}

4 ^èmeEco Révision

2008/2009 Exercice 1

Le tableau suivant donne la moyenne mensuelle du cours du blé à Chicago exprimé en cents/boisseau de janvier à décembre 2007.

Rang x_i du mois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Moyenne mensuelle du cours y_i

(cents/boisseau)

466,1 464,7 459,5 471,2 486 573,5 613,3 691,8 863 853,7 791,7 916,7

1. a) Représenter le nuage de points associé à la série 

x yi^; i

 dans le repère orthogonal ci-dessous

(unités graphiques : 1 cm pour un mois en abscisse et 1 cm pour 100 cents en ordonnée).

300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

b) Donner l’équation de la droite D d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les résultats donnés à 10

⁻³

près. Tracer la droite D dans le repère précédent.

2. La forme du nuage de points permet d’envisager un ajustement exponentiel. On pose

z_i 

ln

y_i

. a) Compléter le tableau suivant (les valeurs de z

i

seront arrondies à 10

⁻³

.)

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

yi 466,1 464,7 459,5 471,2 486 573,5 613,3 691,8 863 853,7 791,7 916,7

i ln i

z  y 6,144 6,141 6,13

b) L’équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés est

0, 0725 5,951

z x

.

En déduire l’expression de y en fonction de x de la forme

ya

e

^bx

avec a arrondi au centième.

3. La moyenne du cours du blé pour le mois de février 2008 était de 1059 cents/boisseau.

Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ?

(2)

4

^ème

Eco Mr Zribi

2008/2009 Exercice 2

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.

Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une seule réponse est acceptée.

1. On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.

La probabilité d’obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est

•

¹

6

•

¹

3

•

¹

2

2. Soient A et B deux évènements tels que p(A) = 0,2, p(B) = 0,3 et ^p



^A^^B



^^0,1^{; alors}

•

^p



^A^^B



^^{0, 4}

^•

^p



^A^^B



^^0,5

^•

^p



^A^^B



^^0,6

3. Soient A et B deux évènements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :

•

^p



^A^^B



^⁰

^•

pA

 

B pB

 

A

•

^p



^A^^B



^^p^(A)^^p^(B)

4. Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et a (où a est un réel).

On sait que 1 (2) 2

p  , 1

(3) 3

p  et 1

( ) 6 p a  .

On sait de plus que l’espérance mathématique associée est nulle. On a alors

•

a = − 12

•

a = 6

•

a = − 5

Exercice 3

Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits :

− une formule A qui donne droit à deux heures de communication mensuelle ;

− une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles.

On admet que d’une année sur l’autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que :

− 20% des clients ayant choisi la formule B changent de formule ;

− 30% des clients ayant choisi la formule A changent de formule.

En 2008, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.

1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.

2. Pour un entier naturel n donné, on note Pn



an bn



avec a_nb_n 1, la matrice ligne décrivant l’état probabiliste lors de l’année 2008 + n. L’état probabiliste initial est donc P0 



0,8 0, 2



a. Calculer la probabilité qu’un client soit abonné à la formule A en 2009.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, a_n_₁0,5a_n0, 2. 3. On pose pour tout entier n, u_n a_n0, 4.

a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,5.

b. Exprimer un en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : an ^{0, 4} 



^{1 0,5}ⁿ



c. Déduire de ce qui précède, la limite de la suite (an). Donner une interprétation concrète de ce résultat.

d. À partir de quelle année, la probabilité qu’un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,401 ?

(3)

4

^ème

Eco Mr Zribi

2008/2009 Exercice 4

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

PARTIE A

La courbe  ci-dessous représente dans un repère orthonormé, une fonction F définie et dérivable sur . On note F’ la fonction dérivée de F.

La courbe  passe par les points A



^^2;0



^,^B

 

^4;6 ^{et C.}

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe  en + ∞.

La courbe  admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point C d’abscisse 2 et la tangente au point d’abscisse 4 passe par le point D

 

^{8;4 .}

A

C

D B

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1. Déterminer une équation de la droite (BD).

2. À partir du graphique et des renseignements fournis : a. Déterminer la limite de la fonction F en + ∞.

b. Dresser le tableau de signes de F’.

b. Déterminer F'(2)etF'(4). c. Déterminer ⁴

 

2F' x dx



 ^.

(4)

4

^ème

Eco Mr Zribi

2008/2009

PARTIE B

On considère trois fonctions f1, f2 et f3 définies sur par :

 

²

1

3

8 2

f x  x  x ; 2

 

2

2 1

8 4 6

x x

f x

x  

 et

   

¹ ⁴

3

2 e

4

x

f x x

 

 1. Étudier le signe de f1 sur et calculer ⁴ 1

 

2f x dx



 ^.

2. Soit g la fonction définie sur par ^{g x}^{( )}^^ln



^x²^⁸



^.

a. Calculer '( )g x . En déduire une primitive F2 de la fonction f2. b. Calculer ⁴ 2

 

2f x dx



 ^.

3. a.

Étudier le signe de f3 sur .

b. Une primitive de la fonction f3 est la fonction F3 définie sur par 3

   

e¹ ⁴

x

F x  ax b ^ où a et b sont deux réels. Montrer que

   

¹ ⁴

3

4 e

' 4

x

ax a b F x

   

 puis, déterminer a et b.

c. Calculer ⁴ 3

 

2f x dx



 ^.