Mise en contexte

(1)

Détermination des propriétés effectives des matériaux composites par la méthode des éléments finis

Barello, Romina B.

MTH 6301, 14 décembre 2007

(2)

Plan de la Présentation

❖Mise en contexte

❖Simulations par ordinateur

❖Planification des simulations

❖Exemple d’analyse

1. Mise en contexte

2. Simulations par ordinateur 3. Planification des simulations 4. Exemple d’analyse

(3)

Mise en contexte

❖Mise en contexte

⇒ Matériau composite : matériau hétérogène constitué par plusieurs phases.

⇒ Techniques d’homogénéisation : prédiction des propriétés effectives d’un matériau hétérogène en connaissant de

l’information reliée à la microstructure.

● Analytiques

● Numériques (Simulations par éléments finis)

(4)

Mise en contexte (suite)

❖Mise en contexte

On s’intéresse à la microstructure.

Renforts sphériques distribués aléatoirement dans l’espace

FIG. 1: Microstructure périodique d’un composite à renforts discontinus.

(5)

Mise en contexte (suite)

❖Mise en contexte

Facteurs d’entrée :

● Nombre des sphères

● Quantité des simulations (avec différentes distributions aléatoires des sphères pour une même fraction

volumique des renforts et nombre des sphères)

● Contraste entre les propriétés des renforts et la matrice.

⇒ Fraction volumique des renforts, Type de sollicitation, Maillage : Sont-ils des facteurs ?

Variables de réponse :

● DETERMINER : Contraintes ou déformations

● MINIMISER : Variabilité entre les mesures obtenues pour les différentes distributions aléatoires (" quantité des

simulations ")

(6)

Simulations par ordinateur

❖Mise en contexte

Les expériences sont déterministes : deux simulations avec deux jeux de variables d’entrée identiques donnent la même réponse.

⇒ Randomisation ? Répétitions ? Approche ⇒ Space Filling Designs Objectifs :

1. La distance entre les points de design doit être maximisé afin de prévenir points coïncidents.

2. L’éloignement des points soit uniforme.

(7)

Simulations par ordinateur (suite)

❖Mise en contexte

Logiciel utilisé ⇒ JMP 4 méthodes :

● Sphere Packing

● Latin Hypercube ⇒ méthode utilisée

● Uniform

● Minimum Potential

(8)

Planification des simulations

❖Mise en contexte

(9)

Planification des simulations (suite)

❖Mise en contexte

Valeurs de variables (codées)

Diagnostic

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Planification des simulations (suite)

❖Mise en contexte

Valeurs de variables. Exemple : fraction volumique 10%

⇒ Nombre de sphères : 5 - 8 - 11 - 14 - 17 - 20

⇒ Quantité de simulations : 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10

⇒ Rapport de propriétés : 10 - 28 - 46 - 64 - 82 - 100

Connaissance du processus (Ref. Kanit et al. International Journal of Solids and Structures 40 (2003), 3647 -3679)

Nombre de sphères ր Biais ց Quantité de simulations ր Biais ց Rapport de propriétésր Biais ր

Quantité finale d’essais : 45 * 3 (fractions volumiques) * 2 (type d’essais) = 270

(11)

Planification des simulations (suite)

❖Mise en contexte

Design final

(12)

Exemple d’analyse

❖Mise en contexte

Approche par Krigeage :

Dans cette approche la réponse déterministe du simulateur est considérée comme la réalisation de la fonction aléatoire suivante :

Y (x) = X(x)β + Γ(x) (1) Γ(x) est un processus gaussien avec une fonction de

covariance donnée par :

cov(Γ(x), Γ(w)) = σ²R(x, w) (2) où σ² est la variance et R(x, w) est la fonction de corrélation :

R(x, w) = exp −θ X

k

(xk − wk)²

!

(3)

(13)

Exemple d’analyse (suite)

❖Mise en contexte

(14)

Exemple d’analyse (suite)

❖Mise en contexte

Désirabilité

(15)

Exemple d’analyse (suite)

❖Mise en contexte

(16)

❖Mise en contexte

Merci de votre attention.

Questions ?

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❖Mise en contexte

Exemple de surface avec plusieurs extrema