I − Rappels sur la multiplication

CALCUL LITTÉRAL

Chapitre

11

I − Rappels sur la multiplication

on n’écrit pas ces trois étapes (on les fait dans sa tête).

on écrit toutes les multiplications

on change l’ordre des facteurs pour mettre les nombres devant

on calcule la multiplication on écrit le résultat sans la multiplication

8^x ×5 = 8×^x ×5

= 8| {z }×5×^x

= 40 ×^x

= 40^x

Méthode (CALCULER8^x ×5)

EXERCICE 1 (SUR CE TD) :Calcule :

4^x ×9 =... 11^x ×7 =... 2×8^x =... 6×5^x =...

10×6^x =... 7^x ×2 =... 8×^x =... ^x ×12 =...

on n’écrit pas ces trois étapes.

on écrit toutes les multiplications.

on change l’ordre des facteurs pour mettre les nombres devant.

on calcule les multiplications.

on écrit le résultat sans la multiplication.

7^x ×5^x = 7×^x ×5×^x

= 7| {z }×5×^x| {z }×^x

= 35 × ^x2

= 35^x2

Méthode (CALCULER7^x ×5^x)

EXERCICE 2 (SUR CE TD) :Calcule :

4^x ×2^x =... 11^x ×7^x =... 3^x ×8^x =... 6^x ×5^x =...

10^x ×9^x =... 7^x ×2^x =... 12^x ×^x =... ^x ×21^x =...

EXERCICE 3 (SUR CE TD) :Calcule : 6^x ×5 =. . . . 3^a ×8^a =. . . .

×2 =. . . .

5^x ×12^x =. . . . 3×24^y =. . . . 4^f ×6 =. . . .

9^x ×4 =. . . . 4^z ×13^z =. . . . 2^b ×^b ×3 =. . . .

On veut développer l’expressionA= 5(8^x + 2):

on écrit la multiplication et les flèches de développements chaque flèche correspond à une multiplication qu’on écrit on calcule chaque multiplication

A = 5(8^x + 2) A = 5×(8^x + 2) A = 5| {z } + 5×8^x | {z }×2 A = 40^x + 10.

Méthode (DÉVELOPPERa(bx +c))

EXERCICE 4 (SUR CE TD) :Complète les exemples suivants : Développement deB= 6(4^x + 3):

B = 6(4^x + 3) B = 6. . . .(4^x + 3) B = 6×. . . .+ 6×. . . . B = . . . .+. . . .

Développement deC = 5^x(2^x + 7):

C = 5^x(2^x + 7)

C = 5^x. . . .(2^x + 7)

C = 5^x ×2^x +. . . .×. . . . C = . . . .+. . . .

EXERCICE 5 (SUR CE TD) :Développe et réduis :

A= 7(2^x + 3) B= 8(6 + 3^x) C = 9^x(2^x + 7) D = 2^x(9 + 3^x)

On veut développerB= 4(8^x −3):

on écrit la multiplication et les flèches de développements chaque flèche correspond à une multiplication qu’on écrit on calcule chaque multiplication

B = 4(8^x −3) B = 4×(8^x −3) B = 4| {z }×8^x−4| {z }×3 B = 32^x − 12.

Méthode (DÉVELOPPERa(bx − c))

EXERCICE 6 (SUR CE TD) : Complète les développements suivants : Développement deB= 2(4^x −3):

B = 2(4^x −3)

B = 2. . . .(4^x −. . . .) B = 2×. . . .−2×3 B = . . . .−. . . .

Développement deC = 3^x(5^x −7):

C = 3^x(5^x −7)

C = 3^x. . . .(5^x −. . . .) C = 3^x ×5^x −. . . .×. . . . C = . . . .−. . . .

EXERCICE 7 (SUR CE TD) :Développe et réduis :

A= 4^x (2^x −7) B= 8^x(2−5^x) C = 6^x(2^x −4) D = 2^x(9−2^x)

EXERCICE 8 (DANS TON CAHIER) :Développe et réduis : A= 4(4^a + 5)

B= 6(7−^b)

C = 5(4²−1) D =^d2(3 + 7^d)

E = 9^e(^e + 6) F =^f2(2−^f)

II − Factoriser une expression

Les tables de multiplications permettent de décomposer les nombres sous forme de produit de nombres entiers Rappel 3

Exemples :

⋆ Une décomposition de 21 : 21 = 7×3,

⋆ Une décomposition de 40 : 40 = 8×5, mais il en existe d’autres!

⋆ Une décomposition de 2 : 2 = 1×2.

EXERCICE 9 (SUR CE TD) :Pour chaque nombre, trouve une décomposition en multiplication de nombres entiers, en évitantsi possibled’utiliser le nombre1:

a)4 =. . . .×. . . . b)20 =. . . .×. . . . c)50 =. . . .×. . . . d)5 =. . . .×. . . . e)8 =. . . .×. . . . f)9 =. . . .×. . . . g)1 =. . . .×. . . . h)28 =. . . .×. . . .

On veut factoriser :A= 15^x + 10

On fait apparaître des multiplications en décomposant les nombres.

On souligne ce qui est en commun dans chaque produit.

On écrit le facteur commun devant et ce qui reste entre parenthèses.

On simplifie l’écriture.

A = 15^x + 10

A = 3×5×^x + 2×5 A = 3×5×^x + 2×5 A = 5×(3×^x + 2) A = 5 (3^x + 2)

Méthode (FACTORISER PAR UN NOMBRE CONNU)

On veut factoriser :B=^x2−2^x

On fait apparaître des multiplications en décomposant.

On souligne ce qui est en commun dans chaque produit.

On écrit le facteur commun devant et ce qui reste entre parenthèses.

On simplifie l’écriture.

B = ^x2−2^x B = ^x ×^x −2×^x B = ^x×^x −2×^x B = ^x×(^x −2) B = ^x(^x −2)

Méthode (FACTORISER PAR UN NOMBRE INCONNU)

EXERCICE 10 (SUR CE TD) :Complète les exemples suivants : Factoriser8^x2−12:

8^x2−12 = 4×. . . .×. . . .−4×. . . .

= 4×(. . . .×. . . .−. . . .)

= . . . .(. . . .−. . . .)

Factoriser6 + 9^x2:

6 + 9^x2 = . . . .×. . . .+. . . .×. . . .×. . . .

= . . . .×(. . . .+. . . .×. . . .)

= . . . .(. . . .+. . . .)

EXERCICE 11 (DANS TON CAHIER) :Factorise les expressions suivantes :

A= 7^x + 14

B =^a2+ 5^a C = 6^x + 11^xy

D = 15^y + 10

E =^x2−9^x

F = 21^a −35

G = 2−16^x

H = 8^x + 12^y I = 49^a −56^b J = 9^t + 9

III − Réduction

ACTIVITÉ 1 (SUR CE TD) : 1. Complète :

8 filles + 5 garçons + 3 filles + 4 garçons = ...filles + ...garçons 11 filles + 8 garçons + 2 filles + 12 garçons = ...filles + ...garçons 2. En observant les égalités de la question 1, complète :

8^x + 5^y + 3^x + 4^y =...^x + ...^y 11^x + 8^y + 2^x + 12^y =...^x + ...^y 3. Complète :

4♥+ 7△+ 5 + 2♥+ 9△+ 8 =...♥+ ...△+ ...

3♥+ 11△+ 12 + 4♥+ 7△+ 9 =...♥+ ...△+ ...

4. En observant les égalités de la question 3, complète :

4^x2+ 7^x + 5 + 2^x2+ 9^x + 8 =...^x2+ ...^x + ...

3^x2+ 11^x + 12 + 4^x2+ 7^x + 9 =...^x2+ ...^x + ...

Réduire une expression littérale, c’est regrouper ensemble les termes d’une « même famille ». On procède en deux étapes :

1. On regroupe les termes d’une « même famille », 2. On calcule ensemble les termes dans chaque famille.

Règle 1

Exemple(1):Question :réduis l’expressionA= 7^x2+ 3^x + 1 + 5^x2+ 8^x + 14. Réponse :

A = 7^x2+ 3^x + 1 + 5^x2+ 8^x + 14

= 7|^x2{z+ 5^x2}

12^x2

+ 3| {z }^x + 8^x

11^x

+ 1 + 14| {z }

15

A = 12^x2+ 11^x + 15

EXERCICE 12 (SUR CE TD) :Complète les réductions suivantes : B = 7^x + 6 + 9^x + 3

B = 7^x +. . . .+ 6 +. . . B = 16^x +. . . .

C = 10 + 13 + 2 + 2 C = 10 +. . . .+. . . .+ 2 C =. . . .+. . . .

D= 4^x2+ 2 + 5^x + 13^x2+^x + 9 D= 4^x2+. . . .+ 5^x +. . .+ 2 +. . . D= 17^x2+. . . .+. . . .

EXERCICE 13 (DANS TON CAHIER) :Réduis les expressions suivantes :

E = 5^x + 10 + 8^x + 11 F = 5^x2+ 12 + 3^x2+ 2 G= 7^g + 8 + 4^g + 1

H = 4^x2+ 8^x + 6 + 7^x2+ 5^x + 3 I= 9^x2+ 5^x + 11 + 3^x2+ 2^x J =^x2+ 6^x + 4 + 11^x2+ 10^x + 9

Exemple(2):Question :réduis l’expressionA= 7^x2−3^x + 1−5^x2−8^x −14. Réponse :

A = 7^x2−3^x + 1−5^x2−8^x −14

A = 7^x2+ (−3)^x + 1 + (−5)^x2+ (−8)^x + (−14) ←−on fait apparaître les additions A = 7^x2+ (−5)^x2

| {z }

2^x2

+ (−3)^x + (−8)^x

| {z }

(−11)^x

+ 1 + (−14)

| {z }

(−13)

←−on regroupe les termes de même famille

A = 2^x2+ (−11)^x + (−13) ←−on calcule le coefficient de chaque terme A = 2^x2−11^x −13 ←−on écrit l’expression avec des soustractions (si besoin)

EXERCICE 14 (SUR CE TD) :Complète les réductions suivantes :

B= 16^x −3−10^x + 9

B= 16^x + (−3) +. . . .+. . . B= 16^x +. . . .+ (−3) +. . . B= 6^x +. . . .

C = 9−6−2 −7

C = 9+ (−6) +. . . .+. . . . C = 9+. . . .+ (−6) +. . . . C =. . . .+. . . .

D= 11^x2+ 3^x −4−2^x2+ 5−8^x D= 11^x2+3^x+(−4)+. . . .+. . .+. . . . D= 11^x2+. . . .+3^x+. . . .+(−4)+. . . D=. . . .+. . . .+. . . .

EXERCICE 15 (SUR CE TD) :Réduis les expressions suivantes : A= 4^x + 3 + 5^x + 11

. . . . . . . . . . . . B = 16^x + 7−9^x . . . . . . . . . . . .

C = 5^z+ 4,5 +^z−0,5 . . . . . . . . . . . . D = 15^t2−4^t2 . . . . . . . . . . . .

E = 12^e −4 + 9 . . . . . . . . . . . . F = 12^x + 8^x2−10^x . . . . . . . . . . . .

G =−5^x2−1−2^x2+8 . . . . . . . . . . . . H = 2^h + 7^h −5^h . . . . . . . . . . . . EXERCICE 16 (DANS TON CAHIER) :Réduis les expressions suivantes :

I= 15ⁱ + 10^j −8ⁱ + 11^j J= 7^x −5^y + 12^x −3^y K =−7^k + 2ℓ+^k −ℓ

L= 14ℓ²+ 3ℓ+ 6−7ℓ²−5ℓ−3 M = 9^x2−5^x −11−3^x2−7 N= 4ⁿ²−6ⁿ + 4−11ⁿ²+ 3ⁿ+ 9 O= 5^e2+ 11^e −2 + 8^e2−6^e P =^p2−6^p −4 + 5^p −3^p2+ 10 Q=−5^q2−8^q −4 + 2^q2−5^q+ 1

FEUILLE DE RÉVISIONS N˚11

Calcule les fractions suivantes, et donne le résultat sous forme irréductible : 1

2+3 5

13 14−5

7 4 + 5

12 9× 2 5

16 9 × 3

11 5×2

3−1 3

5 6+ 7

12

× 3 5

7 4−3

4×3

2 2− 1 3

8 11×7 Exercice①(dans ton cahier)

Jimmy a mangé1

4d’un gâteau. Elise a mangé trois huitièmes du même gâteau.

1. Quelle part du gâteau ont-ils mangée à deux?

2. Quelle part du gâteau reste-t-il?

Exercice②(dans ton cahier)

Calcule :

1. A=^x2+ 4^x −10pour^x = 6: 2. B= 5^x2−3^x + 11pour^x = 4: 3. C =−7^x2+ 12pour^x = 3: Exercice③(sur ce TD)

Développe les expressions suivantes :

A= 3(^x + 2) B= 7(^x −6) C = 5(3^x −8) D = 6(2^x + 9) E =^x (11 + 4^x) F = 2^x(5−4^x) Exercice④(sur ce TD)

Factorise les expressions suivantes :

A= 7 + 21^x B = 8^y + 12 C = 49^a −56 D = 25^x + 15

E = 4^x + 4 F =^x2+ 13^x G= 7−7^t H = 3−18^y

Exercice⑤(dans ton cahier)

Réduis les expressions suivantes :

A= 5^x + 4^x B= 5^ab −9^ab + 3 C = 5^x2+ 12−6^x2 D= 3 + 4^t −12^t −7^t −3 Exercice⑥(sur ce TD)

1. Lis les coordonnées des pointsA,B,C ,DetE.

2. Ajoute les points suivants dans le repère ci-contre : F(0; 0)

G(3; 1) H(−2; 2)

I(8;−3) J(−3,−2)

×

× ×

×

× A

B ^C

D

E 2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4 0

Exercice⑦(dans ton cahier et sur ce TD)

Bruno a mangé un quart d’un quatre-quarts à midi et le quart du reste à quatre heures. Quelle fraction du gâteau reste-t-il pour le dîner?

Exercice⑧(dans ton cahier)

En dessous de chacune des quadrilatères suivants, indique sa nature :

a)

P O

I N

/ /

//

//

/ /

. . . . b)

C A

R E

/ / //

/ / //

. . . . c)

U L

A M

/ /

//

///

///

. . . . Exercice⑨(sur ce TD)

Le réservoir d’eau distillée ci-contre a la forme d’un parallélépipède rectangle.

ℓ

h

p

ℓ= 30 cm;^p= 15 cm;^h = 20 cm

1. Calcule, en cm³, le volume totalV₁de ce réservoir.

2. Sur ce réservoir est indiqué : « volume maximum de remplissage : 9 du volume total du réservoir ». 10

Calcule le volume maximum conseilléV_mde remplissage.

Exercice⑩(dans ton cahier)

x + 1

x

4

3^x + 1 A

/

/ ^x /

2^x + 3 3

B

Youcef affirme que ces deux figures ont le même périmètre. A-t-il raison? Justifie.

Exercice¹¹ (dans ton cahier)