Exercice2(6pts) Exercice1(6pts) Devoir de Synthèse №1 L. Regueb Classe : 4 M

L. Regueb Classe : 4 ^ème M

Prof : Salhi Noureddine Devoir de Synthèse №1 Le:05/12/2015 D:3h

Exercice1(6pts)

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte .Indiquer avec justification la bonne réponse .

Soit dans le plan orienté un carré ABCD de centre O tel que !"# $

' ( ≡ , "& $

,2./ et I le milieu de ,"#/ . Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct 3", "# $

, "& $

4.

1) L’isométrie qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : ;

= −;̅ + 1 + A est une : a) translation b) symétrie axiale c) symétrie glissante

2) La transformation complexe associée au déplacement D tel que DEF) = # GH DE") = F est : a) ;

= A; −

E1 + A) b) ;

= −A; +

E1 + A) c) ;

= A; +

E1 + A) 3) L’isométrie ; L = M

∘ M

∘ R

U(

est une :

a) rotation b) translation c) symétrie glissante 4) L’isométrie ; ℎ = H

∘ M

est égale à :

a) H

∘ M

b) H

∘ M

c) M

Exercice2(6pts)

Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct EF, Z$

, [%) . 1) Résoudre dans ℂ l’équation E^): ;

− E3 + A); + 2E1 + A) = 0 .

2) Soit l’équation E^

): ;

− E3 + A)G

; + 2E1 + A)G

= 0 ; b ∈ d0 ,

e .

a) Montrer que z est une solution de E^

) si et seulement si 3;G

4 est une solution de E^) . b) Résoudre dans ℂ , l’équation E^

) .

3) On considère les points A , B et C d’affixes respectives g = 2G

, h = E1 + A)G

GH i = AG

. a) Donner la forme exponentielle de b et c .

b) Montrer que EF") ⊥ EFk) GH E#F) ⊥ E#") .

c) Construire les points A , B et C pour une valeur de b choisie arbitrairement dans e0 ,

d . 4)a) Montrer que pour tout b ∈ d0 ,

e ; OABC est un trapèze .

b) Vérifier que pour tout b ∈ d0 ,

e ; l’aire de ce trapèze est constante .

Exercice3(8pts)

Soit la fonction f définie sur /1 , 2/ mgn ∶ DEp) =

.

On désigne par EC) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé EF , s% , t%) .

1)a) Etudier la dérivabilité de f à gauche de 2 et interpréter graphiquement le résultat obtenu . b) Montrer que f est dérivable sur /1 , 2, et prouver que pour tout p ∈ /1 , 2, ; D

Ep) < 0 . 2)a) Dresser le tableau de variation de f .

b) Montrer que f réalise une bijection de /1 , 2/ sur un intervalle J que l’on précisera .

c) On désigne par EC’) la courbe représentative de D

, tracer dans le meme repère les courbes EC) et EC’) et préciser les branches infinies .

3)a) Montrer que pour tout p ∈ x ; D

Ep) = 1 +

.

b) Montrer que l’équation : DEp) = p admet dans /1 , 2/ une unique solution z . 4) Soit la suite EZ

) définie par : Z

= 1 et Z

= D

EZ

) pour tout } ∈ ℕ . a) Montrer que pour tout } ∈ ℕ ; 1 ≤ Z

≤ 2 .

b) Montrer que pour tout p ∈ ,1 , 2/ ; |ED

)

Ep)| ≤

. c) Montrer que pour tout } ∈ ℕ ; |Z

− z| ≤

|Z

− z| .

d) En déduire que la suite EZ

) est convergente et déterminer sa limite .