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Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à l'indstrie porcine

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Academic year: 2021

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HAL Id: tel-01885186

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01885186

Submitted on 1 Oct 2018

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Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à l’indstrie porcine

Emilie Joannopoulos

To cite this version:

Emilie Joannopoulos. Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à

l’indstrie porcine. Optimisation et contrôle [math.OC]. INSA de Rennes, 2018. Français. �NNT :

2018ISAR0006�. �tel-01885186�

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THESE INSA Rennes

sous le sceau de l’Université Bretagne Loire pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L’INSA RENNES Spécialité : Mathématiques et leurs Interactions

présentée par

Emilie Joannopoulos

ECOLE DOCTORALE : MATHSTIC LABORATOIRE : IRMAR

Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à l’industrie porcine

Thèse soutenue le 27.04.2018 devant le jury composé de : Abdel Lisser

Professeur des Universités, Université Paris-Sud / Président Charles Audet

Professeur, Ecole Polytechnique de Montréal (Canada) / Rapporteur François Clautiaux

Professeur des Universités, Université de Bordeaux / Rapporteur Paul Armand

Professeur des Universités, Université de Limoges / Examinateur Amélie Lambert

Maître de Conférences, Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris / Examinatrice

François Dubeau

Professeur, Université de Sherbrooke (Canada) / Co-directeur de thèse Jean-Pierre Dussault

Professeur, Université de Sherbrooke (Canada) / Co-encadrant de thèse Mounir Haddou

Professeur des Universités, INSA de Rennes / Co-directeur de thèse

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Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à l’industrie

porcine

Emilie Joannopoulos

En partenariat avec

Document protégé par les droits d ’auteur

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✷✳✶✳✷ ■♥st❛♥❝❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

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❍✳✶✳✷ ❋✐❝❤✐❡r ❝♦♠♠❛♥❞❡s ✿ ❞♠❢✳r✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✺

❍✳✷ ▼ét❤♦❞❡ p❍❋ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✻

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❍✳✷✳✷ ❋✐❝❤✐❡r ❝♦♠♠❛♥❞❡s ✿ ❤❢♣✳r✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✻

❇■❇▲■❖●❘❆P❍■❊ ✶✾✵

①✐✐✐

(18)

▲■❙❚❊ ❉❊❙ ❚❆❇▲❊❆❯❳

✶ ❉✐èt❡ ❛♥♥✉❡❧❧❡ à ❝♦ût ♠✐♥✐♠❛❧ ❡♥ ❛♦ût ✶✾✸✾✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✶ ▲✐st❡✱ ♣r✐① ❡t ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❛♥s ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✉t✐❧✐sés

❧♦rs ❞❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✶✳✷ ❈♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ M C✲p❍❋✲❊▲✱ ♣♦✉r p❂✶ à p❂✹✱

❛✈❡❝ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✱ ❛♣♣❧✐q✉é❡ ❛✉① ❞♦♥✲

♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ✷✵✶✻✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✷✳✶ ❈♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❞❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ s♦❧✈❡✉rs ❣❧♦❜❛✉① ✭❈♦✉❡♥♥❡✱ ❇❆❘❖◆✮

❛✈❡❝ ✉♥ s♦❧✈❡✉r ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭■♣♦♣t✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸

✸✳✶ ❱❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣é♥❛❧✐sé ❡t ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✱ ❞✐st❛♥❝❡ à ❧❛

s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ x ipopt ❡t ❞✐st❛♥❝❡ à ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧

✭ d(x , S) = k max(0, ˜ g(x, y, z) k✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✸✳✷ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ s♦❧✈❡✉r ■♣♦♣t✮ ❡t ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❞✐s❝rét✐sé

✭s♦❧✈❡✉r ❈P▲❊❳✮ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ t❡♠♣s ❈P❯ ✭❡♥ s❡❝♦♥❞❡✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶

✸✳✸ ❘és✉♠é ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts rés✉❧t❛ts ❞❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺

✹✳✶ ❘és✉♠é ❞❡s ♣♦✐♥ts ♣rés❡♥tés ❞❛♥s ❧❡s ✜❣✉r❡s ✹✳✸ ❡t ✹✳✹✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✷

✹✳✷ ❈♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐①✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺

①✐✈

(19)

✹✳✸ ❈♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❡♥ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t ❧❛ s♦✲

❧✉t✐♦♥ r♦❜✉st❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✽

✹✳✹ ❘és✉❧t❛ts ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❜✐♥✐✈❡❛✉① ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❧❡ ♣❧✉s ❡t

❧❡ ♠♦✐♥s ❢❛✈♦r❛❜❧❡ à ❧❛ ♠✐s❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵

✺✳✶ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡✱ P ❡①❝rété ❡t ◆ ❡①❝rété ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ❛✈❡❝ ❧❡s

♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t ▼❈✲■❋✲❊▲ ❛✈❡❝ ▼❈✲✸P❋✲❊❋✳ ✳ ✶✶✽

✺✳✷ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡✱ P ❡①❝rété ❡t ◆ ❡①❝rété ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ❛✈❡❝ ❧❡s

♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✻ ❡t ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t ▼❈✲■❋✲❊▲ ❛✈❡❝ ▼❈✲✸P❋✲❊❋✳ ✳ ✶✶✾

①✈

(20)

▲■❙❚❊ ❉❊❙ ❋■●❯❘❊❙

✶ ❘é♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡ ♠♦♥❞❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶

✶✳✶ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣♦✐❞s ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥ ❝♦♥s✐❞éré✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✷ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ♥❡tt❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✸ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ ❞✐✛ér❡♥ts ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✹ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és ♥♦♥ ❡ss❡♥t✐❡❧s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

✶✳✺ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥s♦♠♠❛t✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❛✉t♦r✐sé❡ ♣♦✉r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥ ❝♦♥s✐✲

❞éré✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

✶✳✻ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✼ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✶✳✽ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✶✳✾ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

✷✳✶ ●r❛♣❤❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻

✷✳✷ ●r❛♣❤❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡

❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✸✳✶ ❘❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✐q✉❡ ❞❡ ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ♣♦✉r ✉♥ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳ ✻✻

①✈✐

(21)

✸✳✷ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B = { (x, y, z) ∈ [0, 5] 3 | xy + z > 4 }✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶

✸✳✸ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❞❡ s❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ B M ✳ ✽✷

✸✳✹ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❞❡ s♦♥ ❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ B T ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✸✳✺ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❧❡s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳

B T ❡t ▼❝❈♦r♠✐❝❦ B M ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹

✸✳✻ ❊①❡♠♣❧❡ t❡❧ q✉❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❡st ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡

❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺

✹✳✶ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✶▼❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳ ✾✽

✹✳✷ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✶▼❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻ ✾✾

✹✳✸ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✸❍❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳✶✵✶

✹✳✹ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✸❍❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻ ✶✵✸

✹✳✺ ❘é♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡s ❝♦ûts ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✻

✺✳✶ ❋♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞✬✉♥❡ ♣♦r❝❤❡r✐❡ ❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ ♣ré❝✐s✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸

✺✳✷ ◗✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t ✐♥❣éré q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ♣♦r❝ ♥ ✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳ ✶✶✺

✺✳✸ P♦✐❞s ✈✐❢ ❤❡❜❞♦♠❛❞❛✐r❡ ❞✉ ♣♦r❝ ♥ ✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✺

✺✳✹ ◗✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t ✐♥❣éré q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ♣♦r❝ ♥ ✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❧✐ssé❡s✮✳ ✶✶✺

✺✳✺ ◗✉❛♥t✐té ❞❡ ♣r♦té✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦r♣s ❞✉ ♣♦r❝ ♥ ✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✺

✺✳✻ ✶ ❡r ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✺✳✼ ✷ ♥❞ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✺✳✽ ✸ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✺✳✾ ✹ ❡t ✺ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉①✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

①✈✐✐

(22)

▲■❙❚❊ ❉❊❙ ❆❇❘➱❱■❆❚■❖◆❙

P P❤♦s♣❤♦r❡

◆ ❆③♦t❡

▼❈ ▼♦♥♦❝r✐tèr❡

❚❈ ❚r✐❝r✐tèr❡s

pP❋ ▼ét❤♦❞❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à p ♣❤❛s❡s ✭p ♣❤❛s❡ ❢❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮

■❋ ▼ét❤♦❞❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡ ✭✐❞❡❛❧ ❢❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮

✶▼❋ ▼ét❤♦❞❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♣ré♠é❧❛♥❣❡s ✭❞❛✐❧② ♠✐①❡❞ ❢❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮

p❍❋ ▼ét❤♦❞❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ à p ♣❤❛s❡s ✭❤②❜r✐❞ ❢❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠ ✇✐t❤ p ♣❤❛s❡s✮

❊❋ ❊♥❡r❣✐❡ ✜①❡

❊▲ ❊♥❡r❣✐❡ ❧✐❜r❡

▼■▲P ▼✐①❡❞ ■♥t❡❣❡r ▲✐♥❡❛r Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ✭♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♠✐①t❡ ❡♥ ♥♦♠❜r❡ ❡♥t✐❡r✮

❙❉P ❙❡♠✐✲❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡

①✈✐✐✐

(23)

◆❖❚❆❚■❖◆

◆♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ✐❝✐ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s q✉✐ s❡r♦♥t ✉t✐❧✐sés t♦✉t ❛✉ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✳

◗✉❛tr❡ ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞✬✐♥❞✐❝❡s s♦♥t ✉t✐❧✐sés ✿

• I ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✉t✐❧✐sés ♣♦✉r ❧❛ ré❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ✭♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ✿

❜❧é✱ ♦r❣❡✱ t♦✉rt❡❛✉① ✳✳✳✮ ❞♦♥t ❧❡s é❧é♠❡♥ts s♦♥t ♥♦tés i ✱ ❡t ❞♦♥t ❧❛ ❝❛r❞✐♥❛❧✐té ❡st | I |✱

• J ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❥♦✉rs ♦✉ ♣❤❛s❡s r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❞❡s ♣♦r❝s

❞♦♥t ❧❡s é❧é♠❡♥ts s♦♥t ♥♦tés j✱ ❡t ❞♦♥t ❧❛ ❝❛r❞✐♥❛❧✐té ❡st | J | ✱

• N ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts ✭♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ✿ ❧②s✐♥❡✱ ❝❛❧❝✐✉♠✱ ♣❤♦s♣❤♦r❡✳✳✳✮ ❞♦♥t ❧❡s é❧é♠❡♥ts s♦♥t ♥♦tés n✱ ❡t ❞♦♥t ❧❛ ❝❛r❞✐♥❛❧✐té ❡st | N | ✱

• A ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts✱ ♦✉ ♠é❧❛♥❣❡s✱ ✉t✐❧✐sés ❧♦rs ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ❞❡ ❝❛r❞✐✲

♥❛❧✐té | A | ✳

➚ ♣❛rt✐r ❞❡ ❝❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s✱ ❞é✜♥✐ss♦♥s ❧❡s ❞♦♥♥é❡s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

• m E ❡st ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | I | ✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t m Ei

r❡♣rés❡♥t❡ ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❞❡ ❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i ✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I ✱

• M N ❡st ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✭♠❛tr✐❝❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ | I | × | N | ✮ ✱ ❞♦♥t

❧✬é❧é♠❡♥t m ni r❡♣rés❡♥t❡ ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❞❡ ❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i✱ ♣♦✉r t♦✉t n ∈ N

❡t ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I ✳ ▲❡ ✈❡❝t❡✉r ❧✐❣♥❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❞❡ ❝❤❛q✉❡

✐♥❣ré❞✐❡♥t s❡r❛ ♥♦té m n· ✱

• e ❡st ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | J |✮✱

❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t e j r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❛✉ ❥♦✉r j ✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J✱

①✐①

(24)

• B ❡st ❧✬❛♣♣♦rt ♠❛①✐♠✉♠ ❛✉t♦r✐sé ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡

✭♠❛tr✐❝❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ | N | × | J | ✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t b nj r❡♣rés❡♥t❡ ❧✬❛♣♣♦rt ♠❛①✐♠❛❧ ❛✉t♦r✐sé

❞✉ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❛✉ ❥♦✉r j ✱ ♣♦✉r t♦✉t n ∈ N ❡t ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

• B ❡st ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ✭♠❛tr✐❝❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡

| N | × | J | ✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t b nj r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❞✉ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❛✉ ❥♦✉r j✱ ♣♦✉r t♦✉t n ∈ N ❡t ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

• W max ❡st ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | J | ✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t w max j r❡♣rés❡♥t❡

❧❛ q✉❛♥t✐té ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥ts q✉❡ ❧❡ ♣♦r❝ ♣❡✉t ✐♥❣ér❡r ❛✉ ❥♦✉r j ✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

• x max ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | I | ✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t x max i r❡♣rés❡♥t❡

❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❡ ❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i ❞❛♥s ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s✱

• c ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ♣r✐① ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | I |✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t c i r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ♣r✐① ❞❡

❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I✱

• R P ❡st ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ r❡t❡♥✉❡ ♣❛r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | J |✮✱ ❞♦♥t

❧✬é❧é♠❡♥t R P j r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ P r❡t❡♥✉❡ ❛✉ ❥♦✉r j✱

• R N ❡st ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✬❛③♦t❡ r❡t❡♥✉❡ ♣❛r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ | J |✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t R N j r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ P r❡t❡♥✉❡ ❛✉ ❥♦✉r j ✳

▲❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s s♦♥t ✐♥tr♦❞✉✐t❡s ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

• X ❡st ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts✱ ♦✉ ❞✐èt❡✱ ❞❡ t❛✐❧❧❡ | I |×| A | ✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t x ia r❡♣rés❡♥t❡

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▲✬❛❧✐♠❡♥t a s❡r❛ ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❝♦❧♦♥♥❡✱ ♥♦té x ·a

• Q ❡st ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡s q✉❛♥t✐tés ❞✬❛❧✐♠❡♥ts✱ ❞❡ t❛✐❧❧❡ | J | × | A | ✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t q ja r❡♣ré✲

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❚♦✉t ❛✉ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❡ ❞♦❝✉♠❡♥t✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ét✉❞✐❡r ❞✐✛ér❡♥t❡s t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣❤❛s❡✳ ❯♥❡ ♣❤❛s❡ ❡st ✉♥ ✐♥t❡r✈❛❧❧❡

❞❡ t❡♠♣s ❞✉r❛♥t ❧❡q✉❡❧ ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① s♦♥t ♥♦✉rr✐s ❛✈❡❝ ✉♥ ♠ê♠❡ ♠é❧❛♥❣❡✳

①①

(25)

◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❞é✜♥✐r ✉♥❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♣♦✉r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦❞è❧❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s

♣rés❡♥t❡r✳ ❈❡❧❧❡✲❝✐ s❡r❛ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ XX − Y Y Y − ZZ ✱ ♦ù

• XX r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬♦❜❥❡❝t✐❢s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❡t ♣r❡♥❞r❛ ❧❛ ✈❛❧❡✉r M C s✐ ❧❡ ♠♦❞è❧❡

❝♦♥s✐❞éré ❡st ♠♦♥♦❝r✐tèr❡✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉✬✐❧ ♥❡ ♠✐♥✐♠✐s❡ q✉❡ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱

♦✉ T C s✬✐❧ ❡st tr✐❝r✐tèr❡✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ♠✐♥✐♠✐s❛♥t ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡t ❧❡s r❡❥❡ts

❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡ ❀

• Y Y Y r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡t ♣❡✉t ♣r❡♥❞r❡ ❧❡s ✈❛❧❡✉rs s✉✐✈❛♥t❡s ✿

✖ p P❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à p ♣❤❛s❡s ✭ p P❤❛s❡s ❋❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮✱

✖ ✶▼❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡ ✭✶ ♣❤❛s❡ ▼✐①❡❞ ❋❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮✱

✖ p▼❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛✈❡❝ ♣ré♠é❧❛♥❣❡s à p ♣❤❛s❡s ✭p ♣❤❛s❡s ▼✐①❡❞ ❋❡❡❞✐♥❣

s②st❡♠✮✱

✖ p❍❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ à p ♣❤❛s❡s ✭❍②❜r✐❞ ❋❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠ ✇✐t❤ p

♣❤❛s❡s✮✱

✖ ■❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡ ✭■❞❡❛❧ ❋❡❡❞✐♥❣✮ ❀

• ZZ r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❡t ♣r❡♥❞r❛ ❧❛ ✈❛❧❡✉r EF s✐ ❧❛

❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡st ✜①❡ ❡t EL s✐ ❧❛ ❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡st ❧✐❜r❡✳

①①✐

(26)

■◆❉❊❳ ❉❊❙ ▼❖❉➮▲❊❙

▲❡ ♠♦❞è❧❡ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧

 

 

 

  min X

P

j∈J

c t (q j1 x ·1 + q j2 x ·2 + q j3 x ·3 )

s✳à q j1 x ·1 ∈ S j , j ∈ J 1 , q j2 x ·2 ∈ S j , j ∈ J 2 , q j3 x ·3 ∈ S j , j ∈ J 3 ,

✭▼❈✲✸P❋✲❊❋✮

❛✈❡❝

S j =

 

 

 

 

 

 

 

 

y a = q ja x ·a

b nj 6 m n· y a 6 b nj , ∀ n ∈ N, m E y a = e j ,

P

a∈A

q ja 6 W j max ,

q ja > 0, ∀ a ∈ A,

0 6 x ia 6 x max i , ∀ a ∈ A, ∀ i ∈ I, P

i∈I

x ia = 1, ∀ a ∈ A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 .

①①✐✐

(27)

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ✐❞é❛❧

( min

X

P

a∈A

P

j∈J

q ja (c t x ·j )

s✳à q ja x ·a ∈ S j , ∀ j ∈ J, ✭▼❈✲■❋✲❊▲✮

❛✈❡❝

S j =

 

 

 

 

 

 

 

 

y a = q ja x ·a

b nj 6 m n· y a 6 b nj , ∀ n ∈ N, m E y a = e j ,

P

a∈A

q ja 6 W j max ,

q ja > 0, ∀ a ∈ A,

0 6 x ia 6 x max i , ∀ a ∈ A, ∀ i ∈ I, P

i∈I

x ia = 1, ∀ a ∈ A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 .

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s

( min

X,Q

P

j∈J

c t (q j1 x ·1 + q j2 x ·2 )

s✳à (q j1 x ·1 + q j2 x ·2 ) ∈ S j , ∀ j ∈ J, ✭▼❈✲✶▼❋✲❊▲✮

❛✈❡❝

S j =

 

 

 

 

 

 

 

 

y = q j1 x ·1 + q j2 x ·2

b nj 6 m n· y 6 b nj , ∀ n ∈ N, m E y = e j ,

q j1 + q j2 6 W j max ,

q ja > 0, ∀ a ∈ { 1, 2 } ,

0 6 x ia 6 x max i , ∀ a ∈ { 1, 2 } , ∀ i ∈ I, P

i∈I

x ia = 1, ∀ a ∈ { 1, 2 } .

 

 

 

 

 

 

 

  .

①①✐✐✐

(28)

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ❤②❜r✐❞❡

 

 

 

 

 

 

 

  min X,Q

P

j∈J

P

a∈{1,...,p}

q ja c t x ·a

s✳à P

a∈{1,...,p}

q ja x ·a ∈ S j , ∀ j ∈ J,

q j1 = 0, ∀ j 6∈ J 1 ,

q jk = 0, ∀ j 6∈ J k−1 ∪ J k , ∀ k ∈ { 2, ..., p } ,

q j,p+1 = 0, ∀ j 6∈ J p ,

✭ M C ✲ p ❍❋✲❊▲✮

❛✈❡❝

S j =

 

 

 

 

 

 

 

 

y = X

a∈{1,...,p}

q ja c t x ·a

b nj 6 m n· y 6 b nj , ∀ n ∈ N, m E y = e j ,

P

a∈{1,...,p}

q ja 6 W j max ,

q ja > 0, ∀ a ∈ { 1, ..., p } ,

0 6 x ia 6 x max i , ∀ a ∈ { 1, ..., p } , ∀ i ∈ I, P

i∈I

x ia = 1, ∀ a ∈ { 1, ..., p } .

 

 

 

 

 

 

 

 

 .

①①✐✈

(29)

■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆

❈❤❛q✉❡ ❛♥♥é❡✱ ❝❡ s♦♥t ♣❧✉s ❞❡ ✶✵✾ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ t♦♥♥❡s ❞❡ ✈✐❛♥❞❡ ❞❡ ♣♦r❝ q✉✐ s♦♥t ❝♦♥s♦♠♠é❡s

❞❛♥s ❧❡ ♠♦♥❞❡✳

❊♥ ❋r❛♥❝❡ ❝♦♠♠❡ ❛✉ ❈❛♥❛❞❛✱ ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡ ❡st ✉♥❡ ❛❝t✐✈✐té é❝♦♥♦♠✐q✉❡ ✐♠♣♦rt❛♥t❡

♣✉✐sq✉❡ ❝❡s ❞❡✉① ♣❛②s s♦♥t ♣❛r♠✐ ❧❡s ✶✵ ♣❧✉s ❣r♦s ♣r♦❞✉❝t❡✉rs ❞❡ ♣♦r❝s✳ ❈❡tt❡ ❛❝t✐✈✐té r❡♣rés❡♥t❡ ✉♥❡ ♣❛rt ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❛❣r✐❝♦❧❡ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ♣❛②s ❛✈❡❝ ✺✪ ❡t ✶✵✪

r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳

❋✐❣✉r❡ ✶ ✕ ❘é♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡ ♠♦♥❞❡✳

❊♥ ❋r❛♥❝❡✱ ♦♥ é❧è✈❡ ❡t ❛❜❛t ✷✹ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ ♣♦r❝s ❛♥♥✉❡❧❧❡♠❡♥t✱ ❝❡ q✉✐ ❡♥ ❢❛✐t ❧❡ tr♦✐s✐è♠❡

♣r♦❞✉❝t❡✉r ❡✉r♦♣é❡♥✱ ❞❡rr✐èr❡ ❧✬❆❧❧❡♠❛❣♥❡ ❡t ❧✬❊s♣❛❣♥❡✱ ❡t ❧❡ ❤✉✐t✐è♠❡ ♣r♦❞✉❝t❡✉r ♠♦♥❞✐❛❧✳

▲❛ ❇r❡t❛❣♥❡ ❡st ❧❛ ré❣✐♦♥ ♣r♦❞✉✐s❛♥t ❧❡ ♣❧✉s ❞❡ ♣♦r❝s ❡♥ ❋r❛♥❝❡ ❛✈❡❝ ♣rès ❞❡ ✻✵✪ ❞✉ ❝❤❡♣t❡❧

❢r❛♥ç❛✐s✳

❊♥ ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥✱ ❧❡ ❈❛♥❛❞❛ ♣r♦❞✉✐t ❡♥✈✐r♦♥ ✷✶ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ ♣♦r❝s ❛♥♥✉❡❧❧❡♠❡♥t ❡t ❡st ❧❡

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