MESURES ET CALCULS DES DÉFORMATIONS NUCLÉAIRES

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Submitted on 1 Jan 1975

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MESURES ET CALCULS DES DÉFORMATIONS NUCLÉAIRES

Ph. Quentin

To cite this version:

Ph. Quentin. MESURES ET CALCULS DES DÉFORMATIONS NUCLÉAIRES. Journal de Physique Colloques, 1975, 36 (C5), pp.C5-29-C5-41. �10.1051/jphyscol:1975505�. �jpa-00216358�

MESURES ET CALCULS DES DÉFORMATIONS NUCLÉAIRES

Ph. QUENTIN (*)

The Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, DK-2100 Copenhagen 0 , Denmark

Résumé. — Les sources principales d'informations expérimentales concernant les propriétés de déformation d'équilibre sont rapidement passées en revue. Différentes méthodes et approximations permettant leur calcul systématique sont ensuite discutées et comparées. Une courte discussion de quelques questions ouvertes est enfin ébauchée.

1. Introduction. — De diverses manières, l'exis- tence de noyaux déformés possédant une déformation permanente a été solidement établie. L'une des preuves les plus marquantes a été la mise en évidence de spectres rotationnels (*) dans les noyaux, attestant donc l'existence d'une anisotropie spatiale (pour une large discussion de ce problème, cf. réf. [1], Chap. 4).

L'existence d'états d'équilibre nucléaire déformés est due aux effets de couches. En effet dans le cadre d'une description semi-classique des propriétés moyen- nes des noyaux (modèle de la goutte liquide [3] ou modèle statistique [4]) la symétrie sphérique corres- pond toujours à un minimum de l'énergie en fonction de la déformation. Les succès de la description des noyaux en termes de modèle en couches [5] ont entraîné la prise en considération de nombres magiques de protons ou de neutrons. Pour de tels nombres magi- ques, correspondant à une faible densité de niveaux au voisinage de la surface de Fermi, les effets de couches sont liants. Aussi ces derniers, s'ajoutant à l'énergie moyenne de goutte liquide, stabilisent les noyaux correspondants dans une forme sphérique.

En revanche au fur et à mesure que l'on s'éloigne de ces nombres magiques, la densité de niveaux, pour le spectre sphérique, augmente au voisinage de la surface de Fermi, produisant un effet de couches anti-liant. C'est ainsi que le minimum de l'énergie du noyau en fonction de la déformation se déplace vers des déformations non nulles où la densité du spectre de particules individuelles présente à nouveau un minimum.

Supposons, ce qui est pour l'essentiel vérifié expé- rimentalement, que le noyau possède à l'équilibre la symétrie axiale et la symétrie de réflexion par rapport à un plan équatorial (perpendiculaire à l'axe de symétrie). Alors le moment multipolaire de la distribu- tion de matière, d'ordre le plus faible, sera le moment quadrupolaire Q. En fonction du nombre de parti- cules, variant entre deux nombres magiques consécu- tifs (c'est-à-dire à l'intérieur d'une couche), la valeur absolue de Q partant de zéro en début de couche aug- mente jusqu'à un maximum en milieu de couche et décroît vers zéro en fin de couche. Pour la symétrie axiale considérée, le signe du moment quadrupolaire indique si le noyau est de forme allongée (signe + ) ou de forme aplatie (signe — ). Lés données expéri- mentales montrent d'une façon systématique (cepen- dant non encore complètement élucidée théorique- ment, [1]) que les noyaux dans leur état d'équilibre sont le plus souvent de forme allongée sauf en fin de couches.

Le moment multipolaire d'ordre suivant (hexadéca- polaire) possède un maximum vers le premier quart de la couche et un minimum vers les trois quarts de la couche. Dans le cadre d'un modèle simple pour les fonctions d'ondes de particule individuelle et pour des noyaux à déformation allongée, on a pu expliquer qualitativement ce comportement [6, 7].

La paramétrisation la plus usitée des déformations se fait en termes d'une densité de matière à bord abrupt (nous reviendrons plus loin sur les questions que pose un traitement plus approprié de la surface nucléaire) :

Dans l'éq. (1), p⁰ est une constante, Y^st(x) est la fonction de Heavyside. De plus, pour les symétries (*) Adresse permanente : Division de Physique Théorique, IPN,

Orsay, France.

0) Une telle structure rotationnelle du spectre d'un système quantique avait déjà été rencontrée depuis de longues années, dans l'étude de l'absorption dans l'infra-rouge lointain, par des molécules diatomiques [2].

Abstract. — Main sources of experimental data pertaining to equilibrium deformation properties are shortly reviewed. Different approximations and methods relevant to their systematical calcula- tions are discussed and compared. Finally, a rapid survey of some open problems is undertaken.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1975505

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considérées plus haut, le rayon de la surface est défini en termes de paramètres de déformation Qi par :

où R,(PJ est une fonction des paramètres de défor- mation telle que le volume -de la distribution soit conservé quelle que soit la déformation, c'est-à-dire telle que

r + i

Nous donnerons maintenant les ordres de gran- deurs des paramètres pz ^et fi4 obtenus dans diverses régions de noyaux. Dans la couche s-d, la valeur maximale de pz est de l'ordre de 0,45, alors qu'elle avoisine 0,30 dans la région des terres rares et 0,25 dans la région des actinides. Ces chiffres vérifient grossièrement l',estimation d'une variation en ( A étant le nombre de nucléons) déduite dans la référence [l], de considérations simples sur les effets de couches. Quelles que soient les régions considérées les valeurs des paramètres Q4 oscillent (suivant la position dans la couche, cf. supra) entre

-

-

Nous passerons rapidement en revue au chapitre 2 les principales sources expérimentales de données sur les déformations nucléaires. On peut cependant les classer d'ores et'déjà en deux groupes :

i) Des mesures directes des moments multipolaires (quadrupolaires pour ce qui nous intéresse) électriques de la distribution nucléaire de charge pour un niveau donné.

ii) Des estimations indirectes des paramètres de déformation provenant de données variées.

On notera la distinction entre les cas i) et ii) qui vient de ce qu'en ii) on est amené à formuler des hypothèses simplificatrices concernant les fonctions d'onde décrivant les niveaux considérés. Dans prati- quement tous les cas le modèle sous-jacent est le modèle unifié de Bohr et Mottelson [8]. On y définit m état intrwlsèque lié à la distribution de matière associée au noyau. A cet état intrinsèque, correspond un potentiel moyen d'interaction entre les nucléons, qui est déformé. Ce potentiel est obtenu dans le cadre d'une approximation de type Hartree-Fock ou de l'un de ses substituts (emploi de potentiels à un corps phénoménologiques tel le potentiel de Nilsson [9], emploi de la méthode de Strutinsky [IO], ...). Sans entiër dans une description détaillée des nombreuses approches théoriques employées (étude que nous effectuerons au Chap. 3) on peut signaler ici que les' études systématiques, c'est-à-dire étendues à toute la table des noyaux, n'ont pu s'attaquer à ce jour, qu'à la description des états intrinsèques. Une description plus directe des fonctions d'onde des niveaux nucléaires

n'a été effectuée que dans le cas de noyaux légers (calculs dits de modèle des couches, calculs avec projection de l'état intrinsèque sur des états ayant un bon moment angulaire total) ou au prix d'appro- ximations diverses dont la validité n'est pas entière- ment confirmée.

2. Données expérimentales disponibles. - La pre- mière source de données expérimentales sur les déformations nucléaires d'équilibre que nous étudie- rons ici consiste en la mesure d'un moment multi- polaire électrique (de multipolarité il) d'un état de spin J donné

où q, est l'opérateur multipolaire électrique corres- pondant. Pour mesurer ces moments on cherchera à évaluer l'énergie d'interaction (ou une fréquence qui lui est associée) du niveau nucléaire considéré avec un champ électromagnétique. Une méthode large- ment employée consiste à étudier les corrélations angulaires perturbées qui donnent une information sur l'énergie de couplage du niveau intermédiaire avec le champ électromagnétique du site d'implan- tation de l'isotope considéré. L'énergie d'interaction par exemple au deuxième ordre (') de la série de Taylor du potentiel autour de 1'9rigine s'écrit :

où E est le champ électrique, avec

P

Dans le cas d'un système de charge à symétrie axiale, l'éq. (5) devient avec les notations usuelles

On voit donc que les mesures décrites précédemment ne permettront d'avoir accès au moment quadrupo- laire du niveau considéré, que dans la mesure où l'on connaît le gradient de champ dans le site. C'est pour- quoi on doit dans certains cas pour obtenir des données plus sûres, effectuer l'implantation des élémen. étu- diés dans des sites différents. Il est clair que des mesures relatives de deux moments nucléaires (dans le même site) sont libres de cette critique.

Ainsi que nous l'avons rappelé au chapitre 1, ces expériences correspondent bien à des mesures directes des déformations. Cependant en vue de l'interpréta- tion de leurs résultats et aux fins de comparaison avec les autres données dont nous parlerons plus l.oin, on déduit souvent de tels moments mesurés, des moments intrinsèques dans le cadre du modèle unifré [8].

(') Nous nous restreignons ici au moment quadrupolaire A titre d'illustration.

Ce dernier relie, par exemple, le moment quadru- Il résulte donc des formules (12)-(16) que polaire Q d'un état de moment angulaire J et de pro-

jection K, au moment quadrupolaire intrinsèque Qint

par : Q = (17)

c'est-à-dire dans le cas d'un état 2+ appartenant à la bande fondamentale (K = 0) d'un noyau pair-pair

Qi, = - 3,5 Q (9)

Contrairement aux mesures du type précédent qui sont assez rares et limitées (quant aux niveaux étudiés), il existe un nombre considérable de mesures de proba- bilités de transition électromagnétique. L'amplitude de transition pour l'émission ou l'absorption d'un photon est proportionnelle à l'élément de matrice de l'opérateur multipolaire entre états final et initial.

L'opérateur multipolaire pour une transition électrique est défini par

La probabilité de transition sommée sur tous les sous- états magnétiques du photon et de l'état final nucléaire est donnée pour un photon de moment fiq par (cf.

par exemple réf. [Il]) :

x B(EL ; Il ⁺ 12) . (1 1) La probabilité réduite B(En ; 1, + 12) est définie par

où ( 1 II ^&(E,) II ^{J )} désigne l'élément de matrice réduit :

avec

jnt =

(3)

Dans ce qui suit nous définirons les moments quadru- polaires et hexadécapolaires intrinsèques Q et h par

Les probabilités de transition réduites précédentes B(EA) se mesurent par les taux d'excitation coulom- bienne ou par le temps de vie de désexcitation dans la bande fondamentale. Les choses se compliquent en pratique, car l'excitation du O+ vers un état I+ peut se faire en plusieurs étapes. En effet si la transition O' ^-t 2+, par exemple, est essentiellement du type E2, l'excitation O+ -, 4+ se fait en concurrence par une double transition E2 (qui est le mode le plus impor- tant) et une transition E4. En vue d'extraire l'informa- tion sur la transition E4, il faut une mesure de très haute précision. On alors effectuer l'analyse suivante [12] : dans le cadre d'une approche semi- classique [13] on étudie le comportement en fonction de l'élément de matrice réduit ( O 11 ^A(E4) 11 ⁴ ), du rapport des sections efficaces d'excitation 0' + 4' obtenues en la présence ou l'absence d'une excita- tion E4. La zone expérimentale où se situe le rapport mesuré détermine la région des valeurs possibles de l'élément de matrice réduit.

Ces méthodes ont été améliorées par i'introduction de corrections quantiques au traitement semi-clas- sique [14] qui influent de façon très importante sur les déformations hexadécapolaires extraites (par exem- ple, 30 % de variation sur B4 dans les noyaux lS2Sm et 154Sm 1151). On a même réussi récemment à effeo tuer un calcul complètement quantique (résolution des équations couplées) [16].

Depuis quelques années on a beaucoup développé une autre catégorie d'expériences. Il s'agit de réactions par projectiles chargés au-dessus de la barrière cou- Iombienne et de telle sorte que la description de la diffusion à l'aide d'un potentiel optique soit suffi- samment bonne. Les premiers projectiles utilisés furent des particules a 1171. On possède maintenant des données obtenues par réaction avec de nombreux autres projectiles. Les paramètres du modèle optique (autres que ceux de déformation) ayant été obtenus pour un noyau sphérique voisin, on ajuste la défor- mation du potentiel pour obtenir la meilleure repro- duction des sections efficaces différentielles (d'exci- tation vers les niveaux 2+, 4+, 6' ...) ou dans le cas de diffusions de projectiles polarisés [18] la reproduc- tion du pouvoir. d'analyse. On peut remarquer tout d'abord que c'est la déformation du potentiel optique et non directement celle du noyau qui est déterminée.

D'autre part, la résolution des équations couplées se fait en supposant que les fonctions d'ondes dans la bande se déduisent l'une de l'autre par le modèle rotationnel. Enfin la comparaison avec les données précédentes (moments multipolaires et probabilités de transition) est délicate car ainsi qu'il sera discuté

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plus loin, elle est dépendante de la forme analytique postulée pour la densité.

Les données spectroscopiques obtenues pour les noyaux impairs constituent à elles seules une source très riche d'informations sur les 'propriétés de défor- mation. De telles informations sont obtenues soit par des études de décroissance radio-active, soit par réactions de transfert de quelques particules, soit, depuis peu, par réactions (ion lourd, xn) pour obtenir des éléments très déficients en neutrons. Les quantités à considérer en l'occurrence sont les probabilités de transition électrique, ainsi que nous l'avons vu plus haut, mais également tous les autres éléments de matrice possibles (moments magnétiques, constantes de découplage, . . .). En effet ceci permet en faisant une approximation à une quasi-particule (par exemple) de relier l'état observé à une déformation précise, dans le cadre du modèle retenu pour les fonctions d'onde individuelles. C'est ainsi ,que de la séquence des niveaux expérimentaux, une fois extraits les effets de couplage de la quasi-particule impaire avec la rotation ou la vibration du cœur, on peut obtenir le spectre de quasi-particules individuelles. On peut alors remonter au spectre Hartree-Fock et déduire de l'ordre de ces niveaux une zone de déformation pro- bable par comparaison avec des calculs du spectre de tels niveaux en fonction de la déformation. Un tel programme a été réalisé dans les régions des terres rares [19] et des actinides [20].

Très récemment il a été suggéré 1211 puis confirmé dans de nombreux noyaux [22] que la mise en évidence d'éléments de matrice élevés du couplage de Coriolis, pour certains états individuels déformés (ceux ayant une forte composante sur l'état sphérique de moment angulaire j élevé dont ils proviennent), pouvait fournir une signature très claire du signe de la déformation.

Les travaux actuels tant théoriques qu'expérimentaux dans ce domaine sont très nombreux, nous en discu- terons quelques exemples au chapitre 4.

Une autre approche des déformations est obtenue par l'analyse des sections efficaces différentielles de diffusion d'électrons sur des noyaux déformés. La densité est paramétrisée par une fonction de type Woods-Saxon (généralisation de l'éq. (1))

où R(?) est donné par l'éq. (2). Dans le cas du noyau 15'Sm [23] on a cherché en principe à déterminer 5 paramètres : la diffusivité a de la surface nucléaire (19), un paramètre ro de rayon (facteur d'échelle dans l'éq. (2)), et les paramètres de défor- mation p,, p,, Bs. En fait on impose trois contraintes : sur le rayon mesuré avec des atomes p-mésiques [24], sur le B(E2; O + + 2+) fixé à la valeur obtenue par excitation coulombienne [25l et sur la valeur de p,

obtenue par diffusion a-a' [17]. Les deux paramè- tres restants sont alors fixés par un ajustement des sections efficaces différentielles calculées à l'approxi- mation D.W.B.A.

Des analyses analogues ont été faites à partir des spectres de rayons X obtenus avec des atomes p-mési- ques [26]. C'est-à-dire qu'on se k e un modèle de densité (19) et on ajuste ensuite les paramètres du modèle en vue de reproduire les données expérimen- tales disponibles, imposant un certain nombre de contraintes liées à la prise en considération de résultats expérimentaux indépendants.

Pour terminer cette revue des approches expéri- mentales du problème considéré, nous voudrions insister sur l'intérêt des études systématiques de cer- taines propriétés des noyaux. L'étude de la variation de ces quantités avec par exemple le nombre de neu- trons (à nombre de protons fixé) a permis, et même très récemment, de mettre en évidence l'existence ou les limites d'une région de déformation. Prenons pour exemple la variation du spectre à basse énergie des noyaux pairs-pairs pour la série des isotopes connus du cérium (2 = 58). Pour ies isotopes lourds (N

-

-

-

-

Si certaines données expérimentales donnent accès directement aux moments multipolaires, d'autres, ainsi que nous l'avons vu, ne fournissent que des

paramètres de déformation de certaines densités ou de certains potentiels. Pour comparer entre elles les données provenant de ces diverses sources, il faut donc étudier l'influence de certaines hypothèses, sous- jacentes au modèle retenu, sur les quantités considé- rées. Tout d'abord. les moments multipolaires Q, dépendent du paramètre de rayon ro de la densité, comme

AQ, -=A-. Ar0

Q, ^{'-0 (20)}

Cet arbitraire peut être levé si on choisit un para- mè-tre ro qiii permet de reproduire les rayons effecti- vement observés. En fait il faut tenir compte de ce que la variation des rayons expérimentaux est quelque peu différente de la loi de goutte liquide en A I l 3 .

Quel est maintenant l'effet de la difïusivité de la surface sur les moments multipolaires ?

Owen et Satchler [33], et récemment Brack et al. [34] ont comparé les moments multipolaires (Q, h) obtenus avec les densités à bord diffus (19) et avec les densités à bords abrupts (1). Pour cette comparaison, on ajuste les paramètres de ces deux densités de telle sorte qu'elles aient le même rayon quadratique moyen. Pour un choix identique des paramètres p,, p,, . .. les deux densités considérées auront des moments quadrupolaires (resp. hexadéca- polaires) différant de 4 % (resp. 20 %) pour les fonda- mentaux de noyaux dans la région des terres rares ou des actinides [34]. Les désaccords s'accroissent quand la masse diminue ou quand la multipolarité augmente [33].

Mais on peut obtenir une surface diffuse de bien d'autres manières. Par exemple, considérons la den- sité à bord diffus obtenue par convolution d'une densité à bord abrupt avec un facteur de forme monopolaire. Les résultats de l'appendice A

- éq. (A. 9) - montrent que les deux densités convo- luées et non convoluées ont les mêmes moments multipolaires.

En conséquence l'effet dont il est question semble dépendre de façon très importante de la manière dont on définit la diffusivité de la surface pour des noyaux déformés : paramètre de diffusivité constant sur le rayon vecteur (19); paramètre de dausivité proportionnel au module du rayon vecteur (dans certaines autres densités de Saxon-Wood défor- mées [19]), etc ... Peut-être serait-il plus physique de considérer un paramètre de dausivité constant sur la normale ? En tous les cas, devant de telles incer- titudes, une attitude raisonnable consiste à ne consi- dérer que l'hypothèse la plus simple : c'est-à-dire une densité à bords abrupts.

nalisation dans un espace restreint de déterminants de Slater (construits sur des états individuels sphé- riques) d'un hamiltonien microscopique effectif (c'est- à-dire tenant compte de la restriction de l'espace modèle dans lequel les calculs sont effectués). En pratique ils conduisent à des tailles énormes pour' les matrices à diagonaliser et n'ont été en conséquence effectué que pour des noyaux légers. Ils produisent une information complète, car ils fournissent les fonc- tions d'onde de l'état fondamental et des états excités.

Les travaux de ce type sont fort nombreux, nous nous bornerons à citer 4 exemple typique de tels calculs pour les noyaux de la couche s-d, présenté dans la référence [35].

Les calculs Hartree-Fock effectués avec des inter- actions effectives phénoménologiques sont limités à la description d'états intrinsèques et à des fonctions d'onde qui sont de purs déterminants de Slater. En revanche ils ont pu être effectués sur toute la table des noyaux [36]. Les fonctions d'onde individuelles sont déterminées par minimisation de l'énergie totale.

Pour ce faire dans le cas de noyaux déformés, on diagonalisera l'hamiltonien à un corps de Hartree- Fock sur une base d'états à une particule. Dans la plupart des cas la base choisie est une base d'oscilla- teur harmonique déformé à symétrie axiale. La taille de cette base doit être suffisante pour assurer l'indé- pendance des résultats par rapport au choix des paramètres de la base ; par exemple pour les noyaux de la région des terres rares on doit utiliser une base contenant environ onze couches majeures d'oscilla- teur [37].

Les corrélations d'appariement jouent en fait un grand rôle dans la détermination adéquate des pro- priétés de déformation. Aussi doit-on prendre comme fonction d'onde d'essai non plus un déterminant de Slater mais une fonction d'onde de type BCS. A cette approximation, on peut modifier très simplement l'approche variationnelle de façon à inclure l'effet des

~robabilités d'occupation d'appariement sur le champ

~ a G r e e - ~ o c k [38]. Depuis longtemps pour des noyaux légers [39] et depuis peu pour des noyaux lourds par exemple dans la région des terres rares [40]) on a effectué des calculs incluant de façon self-consistante les effets d'appariement, c'est-à-dire à l'approxima- tion de Hartree-Fock-Bogolyubov. Dans ces calculs comme dans ceux effectués à l'approximation de BCS, il demeure une difficulté liée au fait que la conserva- tion du nombre de particules n'y est assurée qu'en valeur moyenne. Une description précise des fonc-, tions d'onde d'un noyau donné peut nécessiter I'em- ploi de fonctions d'onde de BCS ou de Hartree-Fock- Bogolyubov projetées sur des états de bon nombre de particules.

3. Approches théoriques. - Nous allons main- Un raccourci phénoménologique simplificateur tenant discuter rapidement quelques approches théo- consiste à postuler la forme analytique du potentiel riques concernant les fonctions d'onde du noyau Hartree-Fock déformé. Cela a été fait de façon déformé. Nous mentionnerons tout d'abord les cal- exhaustive dans le cadre du modèle de Nilsson pl.

culs de modèle des couches. Ils consistent en la diago- A l'inverse des calculs Hartree-Fock, une telle

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approche nécessite le calcul de toute une courbe ou une surface d'énergie de déformation en vue de déter- miner la déformation d'équilibre. Mottelson et Nilsson [41] ont effectué de tels calculs, dans l'hypo- thèse où l'énergie totale est assimilée à la somme des énergies des états individuels inclus dans le détermi- nant de S1ater:'Bes et Szymanski [42] ont amélioré cette approche par la prise en compte additionnelle d'effets d'appariement et de Coulomb. Strutinsky enfin [IO] a proposé une approximation de l'énergie totale de Hartree-Fock qui s'est avérée d'un usage assez simple. Cette méthode repose sur ce qu'on appelle le théorème d'énergie de Strutinsky qui permet d'écrire l'énergie de Hartree-Fock comme

l'énergie obtenue dans ie modèle de la goutte liquide.

Enfin il a suggéré que les termes d'ordre supérieur SU, étaient négligeables. L'ensemble de ces hypothèses a été récemment vérifié [43].

Partant d'une solution Hartree-Fock p, on a calculé

p, et p ^{et donc Ë} et SU,. Connaissant l'énergie Hartree-Fock E(p) on a pu déterminer SU2 par dB&

rence grâce à l'é-q. (21). Cette quantité fluctue -faible- ment

-

l'exemple de la Fig. 2).

E(p) = Ë

+

où : _O

/-.- --.

p est la matrice densité correspondant à la solu- ⁰

tion Hartree-Fock. ^-2

E 'est une énergie ne dépendant que de matrices densités moyennées ou statistiques (par exemple de

la densité P déduite de p que nous définirons plus CMeVl

loin). ~ o o d s -Saxon

SU, est la correction de couches au premier ordre en p - P.

SU2 est la somme des termes de correction de

couches d'ordre 2 ou plus en p - p. _{- 5 -}

Partant de la matrice densité p, on définit par une -20 O 20 40 [bl

méthode ou une autre (par exemple la moyenne en ( 3 2

énergie due Strutinsb [Io]) des probabilités ~ ' O C C U - FIG. 1. - Energies de correction de couches au premier ordre *El

pation moyennées des états Hartree- FOC^ 1. On et d'ordres supérieurs 6E,, exprimées en MeV dans le noyau 16*Yb

définira la matrice densité par ses éléments de matrice (noter la différence des échelles entre les deux parties de la figure).

sur une base a, p, ... comme Les calcub ont été effectués avec i'interaction de Skyrme S III et l'interaction effective de Negele dans sa version approchée due à

- Negele et Vautherin (notée DME) [87]. La variation de ces énergies

Pas =

c

où les quantités ci,, cns, --. Sont les composantes de couches 6El obtenue dans des calculs à la Strutinsky utilisant un

l'état 1 sur les états de base. puits phénoménologique de Saxon-Wood [IO]. Ces derniers calculs ont été effectués avec un jeu standard de paramètres (sans aucune

A partir de jj on définira l'hamiltonien h (d'énergies renormalisation ad hoc).

propres Ê) par

h = T + t r V P (23) -

Il existe différentes versions équivalentes (au pre- (V étant l'interaction effective nucléon-nucléon sup- mier ordre du développement (21)). On a récemment posée ici à deux corps pour simplifier). proposé [44] d'évaluer une matrice densité moyen- Le déterminant de 'Slater correspondant au rem- née 7, self-consistante (c'est-à-dire solution d'une plissage des énergies Ê les plus basses sera défini par équation de type Hartree-Fock pour l'hamiltonien sa matrice densité p dont la moyens sera notée 6. considéré). On définit alors h", E , p' comme précédem- Avec ces notations l'énergie moyenne E est définie par : ment h, 2, p^ mais en remplaçant partout p par p.

L'éq. (21) devient alors : Ë = t r $ & - Strjjvji (24)

ECp) = ECp") + ^SU;

+

et la correction de couches SU; par (26)

avec

S U , = t r @ - ? ) h . (25) SU; = t r ( p ' - p ) & . (27) La partie potentielle de h correspond à un potentiel On a pu montrer qu'une telle écriture du théorème Hartree-Fock moyenné. Strutinsky a proposé de d'énergie de Strutinsky conduisait à une minimisation l'identifier au potentiel moyen phénoménologique considérable des termes SUS. En effet à -partir de (tel celui de Nilsson). De plus il a remplacé E par noyaux aussi légers que 1 6 0 jusqu'aux noyaux de la

1 -

-20 0 2 0 40 (b)

Q2

FIG. 2. - Energies de déformation (en MeV) du noyau I6'Yb, calculées avec l'interaction de Skyrrne S III. L'énergie de Hartree- cock EH, est trouvée être en très bon accord avec son approximation E + 6E(Ei), consistant à négliger la contribution GUS-dans la formule- (26) du texte. Les énergies de goutte liquide E et E(P) (notée E sur la figure) sont également portées. En fonction de la déformation, elles ont un comportement analogue à celui des

énergies données par le modèle de la goutte liquide.

région des actinides, et ce à toutes déformations (cf. l'exemple de la Fig. 2), on a trouvé que la quantité 6U4 fluctuait entre O et 600 keV seulement. Ceci démontre parfaitement quelle précision de principe la méthode de Strutinsky peut atteindre.

Nous allons revenir maintenant sur la définition des matrices densités moyennées considérées plus haut.

La méthode la plus largement employée est la méthode de la moyenne sur les énergies individuelles due à Strutinsky [IO].

Elle présente l'inconvénient de nécessiter l'usage d'une contribution des états individuels situés dans le continuum. Pour des noyaux très stables par émission de particules, cette contribution est faible (la largeur y de la fonction de lissage étant de l'ordre de l'énergie de séparation). Il n'en est plus de même pour des noyaux tels que les isotopes lourds du sodium [45].

Cependant dans les régions où la méthode de moyenne sur les énergies est praticable on a pu récemment montrer qu'elle était équivalente à d'autres méthodes : extrapolation à température nulle du comportement asymptotique (à haute excitation) d'un système de particules sans interaction [46], approximation semi- classique de la fonction de partition conduisant à une densité moyennée de niveaux individuels [47], et très récemment méthode de moyenne sur le nombre de nucléons due à Strutinsky et IvanjUk [48]. Les deux dernières approches sont libres de tout problème concernant la contribution des états dans le conti- nuum (3).

Avant d'aborder la présentation des résultats obtenus, nous allons discuter rapidement certaines limitations des calculs Hartree-Fock et de ceux uti- lisant la méthode de Strutinsky.

(3) Il faut cependant pour être complet signaler que certains auteurs [49], [50] ont proposé diverses modifications pour améliorer sur ce point la méthode de la moyenne sur les énergies individuelles.

Elles sont probablement peu maniables en vue d'une utilisation pratique.

1) Dans tous ces calculs, les fonctions d'onde obte- nues ne tiennent pas compte de l'existence d'un fac- teur de forme du nucléon. Supposons que ce facteur de forme f soit monopolaire. On définit alors une distribution de charge pc par exemple, en convoluant ce facteur de forme avec la distribution des protons ponctuels pP comme

Vautherin [38] a montré que pc et pP avaient les mêmes moments quadrupolaires. Dans l'appendice A, cette démonstration est généralisée à tous les multi- pôles (éq. (A.9)).

2) En général, un déterminant de Slater n'est pas un état propre des carrés du moment cinétique angu- laire et du moment cinétique linéaire. En conséquence, les fonctions d'onde obtenues contiendront des compo- santes spurieuses dues aux mouvements de rotation et de translation du centre de masse. La projection de ces fonctions d'onde sur des états de bons moments cinétiques est une opération difficile dans la pratique.

On sait de plus [SI] que dans le cas des translations, elle ne conduit pas à la bonne inertie. Pour que cela soit le cas, il faudrait effectuer une double projeo tion [51]. Il est clair que le mouvement de rotation influe (4) sur la déformation d'équilibre (effets d'al- longement centrifuge, instabilités à très haut spin évoquées au Chap. 4, etc...). A l'approximation d'oscillateur harmonique, on peut aisément évaluer la correction du moment quadrupolaire (par exemple) liée au mouvement du ,centre de masse (en fm2) :

où q est le rapport des fréquences d'oscillateur o,/cu,.

Il est aisé de voir que même pour des noyaux aussi déformés et aussi légers que le noyau 20Ne, cette correction est tout à fait négligeable en comparaison avec les incertitudes expérimentales et théoriques.

3) Les calculs considérés sont plus ,ou moins res- treints à un certain sous-espace des déformations pos- sibles. Tout d'abord pour simplifier les calculs (spé- cialement les calculs Hartree-Fock) on fait le choix d'imposer certaines symétries. Dans le cas de calculs à la Strutinsky on lève généralement ces contraintes (concernant par exemple les symétries axiale et de réflexion droite-gauche par rapport à un plan équa- torial) mais on doit imposer une certaine paramétri- sation a priori du comportement du potentiel moyen en fonction de la déformation.

4) Certains états nucléaires ne peuvent être vala- blement décrits par un seul déterminant de Slater, mais plutôt par une combinaison plus ou moins

(4) Il est à ce propos important d'insister sur le fait que si l'on calcule la valeur moyenne de l'opérateur J2 pour des états intrin- sèques dans la région des terres rares, on trouve qu'elle correspond à des moments de l'ordre au moins de la dizaine d'unités fi.

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cohérente (états vibrationnels) de tels déterminants de Slater. Cela aura pour conséquence d'invalider dans certains cas les conclusions tirées de la lecture de courbes d'énergie de déformation statique, en vue de déterminer les déformations d'équilibre. Un exemple typique est fourni par une courbe présentant deux minima qui correspondent à des déformations différentes mais à des énergies et de$ fonctions d'onde pas trop différentes. Dans ce cas l'état physique réel pourrait être une superposition des deux solutions statiques et la valeur moyenne de la déformation serait intermédiaire entre les deux déformations d'équilibre statique.

5) Nous avons déjà évoqué la non-conservation du nombre de particules dans les calculs incluant les effets d'appariement. A cette difficulté s'en ajoutent quelques autres (sauf dans le cas de calculs de Hartree- Fock-Bogolyubov). Tout d'abord on fait le plus souvent l'approximation suivante pour l'élément de matrice de pairing :

où G est une constante et  l'état  transformé par renversement du sens du temps.

On détermine G de telle sorte qu'il reproduise le gap d'appariement expérimental de l'état fonda- mental ou bien la valeur moyenne de la différence pair-impair des^ énergies de liaison [IO]. Il est cepen- dant nécessaire de supposer a priori une variation donnée pour G en fonction de la déformation (par exemple G constant). Le choix de telles approximations peut être dans certains noyaux d'une importance capitale pour les déformations d'équilibre calculées ainsi que nous le préciserons au chapitre 4.

6 ) Un problème commun aux calculs Hartree Fock et aux calculs à la Strutinsky, est la détermina- tion des paramètres de l'interaction effective phéno- ménologique pour les uns, et des paramètres du poten- tiel moyen et du modèle de la goutte liquide pour les autres. Dans le cas des calculs Hartree-Fock, on doit déterminer une fois pour toutes un petit nombre de paramètres (six pour l'interaction de Skyrme [38], [52]) valables pour tous les noyaux, à l'inverse de ceux des potentiels moyens phénoménologiques qui varient suivant les noyaux ou les régions de noyaux.

Aussi est-il juste de considérer que les calculs Hartree- Fock fournissent des extrapolations relativement plus sûres des propriétés de déformation dans les régions où il y a peu ou pas de données expérimentales exis- tantes.

7) Il existe certaines difficultés spécifiques aux calculs utilisant la méthode de Strutinsky. Nous avons mentionné ceux reliés à l'emploi d'états individuels dans le continuum ; leur résolution définitive semble prochaine [48]. Mais l'absence de self-consistance sou- lève le problème de la relation entre les paramètres définissant la déformation de la goutte liquide et du potentiel employés. On peut définir cette relation de

plusieurs façons, ce qui conduit à une incertitude de quelques % dans les paramètres de déformation d'équi- libre [36]. En outre, si le potentiel moyen purement nucléaire des protons et des neutrons est supposé être le même, l'introduction ( 5 ) non self-consistante du potentiel de Coulomb à un corps aura pour effet d'augmenter le rayon de la distribution des protons.

Ceci est en général remédié par l'emploi de constantes d'oscillateur harmonique différentes pour les protons et les neutrons (a est choisi

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Ceci n'influe évidemment sur les valeurs de 13,,

que dans le cas où on calcule les moments QA à partir des fonctions d'ondes et non comme cela est fait généralement à partir du potentiel déformé lui- même (à quelques exceptions près [34]).

Les calculs utilisant la méthode de Strutinslq ont été essentiellement effectués avec des potentiels de Saxon-Woods [IO], [53], d'oscillateur harmonique modifié [54], de Yukawa convolué [55] et d'oscilla- teur à deux centres [56-571. Les calculs Hartree-Fock ont été très nombreux pour les noyaux légers [58].

Pour des noyaux moyens et lourds et à part quelques calculs de Hartree-Fock-Bogolyubov pour des iso- topes du samarium [40], les seuls calculs Hartree- Fock effectués à notre. connaissance l'ont été avec l'interaction de Skyrme, principalement avec l'inter- action appelée S III [59].

Puisqu'il est hors de question de passer en revue région par région les résultats des différents calculs, nous nous attacherons ici à comparer (entre eux et avec les données expérimentales) ceux obtenus dans la région des actinides. Il s'agira des calculs à la Stru- tinsky des références [34], [53] et [60] ainsi que des calculs Hartree-Fock de la référence [61]. Sur les tableaux 1 et II les différentes valeurs calculées des moments Q et h de la distribution de charge sont comparées aux valeurs expérimentales [62-631. On voit que pour la plupart des calculs, les moments Q sont reproduits à

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-

( 5 ) Dans les calculs utilisant le modèle de Nilsson [54], il n'y a

pas de potentiel à un corps d'origine coulombienne. L'effet de ce potentiel est simulé par le changement du paramètre K du terme en lZ quand on passe des protons aux neutrons.