Exercices résolus de mathématiques.
TRI 11
EXTRI110-EXTRI119
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Mars 04
EXTRI110 – EPL, UCL, LLN, juillet 2001.
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie : 1) tan A sin
( )
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
2) tan a le même signe que sin cos
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
3) Pour 0 , sin 2 sin 2
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
4) D
A
A A A
A A A
( )
ans un triangle : sin sin
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
5) Dans un triangle : sin sin
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
ABC B C A
ABC A B
+
( ) ( )
( )
1. tan sin
Vrai si 0 ou 3
2 2
2. Toujours vrai 3. Vrai si : 0
3
4. sin sin sin sin
Toujours faux car sin sin 5. sin sin
sin sin
Dans un triangle : sin sin
Donc : sin sin 1 car
A A
A A
A
B C A A A
A A
A B
A B b
B A
a b a
b b
A A
a a
+ −
− =
= =
( sin A 0 ) Vrai si a b
EXTRI111 – Louvain, juillet 2001.
Emilie visite le sud de l’Egypte, et arrive sur un plateau (plan et horizontale) sur lequel s’élèvent trois pyramides à base carrée. Celles-ci sont
homothétiques, de taille différente, mais avec leurs arêtes correspondantes parallèles.
La base de la plus grande pyramide à un côté de longueur L . Emilie l’escalade en suivant l’arête, qui fait un angle avec le sol, et arrive au sommet S. De ce point, elle observe les sommets A et B des deux autres pyramides,
respectivement sous les angles et par rapport au plan horizontal passant par S.
Sachant que l’angle ASB = , que la plus petite pyramide de sommet B, qui est la plus éloignée, a une base dont le côté est L/2, et que la distance BA = SB/2, déterminer la hauteur de ces trois pyramides.
Faites le calcul pour les valeurs suivantes, au cm près : L = 25 cm , = 50° , = 25° , = 5° , = 7°.
Emilie est très curieuse, et s’intéresse beaucoup à la façon dont vous allez aborder ce problème, aussi, expliquez-lui clairement comment vous faites ce calcul : un dessin clair et explicite, avec les notations qui correspondent à vos équations, ainsi que ces équations sur base des symboles correspondants, lui seront précieux pour comprendre comment ensuite vous établissez les valeurs numériques.
z
y
x
O S
Fig 1
L
( )
( )
La hauteur de la pyramide de sommet S est donnée par :
2 2 . 25
14.833 Figure 1 2 tan 2 tan 50
Soit ' la projection de dans le plan horizontal passsant par , et ' la projection de Figure 2
Traitons l
S
h L m
A A S
B B
= = =
a pyramide de sommet . Comme les pyramides sont homothétiques, si la base est deux fois plus petite, la hauteur est aussi deux fois plus petite.
On a : ' =7.4165 or ' .sin
2 '
sin 2
S
B B
s
B
h BB h h m BB SB
h SB BB
= = → =
→ = =
14.833
60.857 sin 2 sin 7
' 14.833
Et ' 60.404
tan 2 tan 2 tan 7
S
m h
SB BB m
= =
= = = =
A’ S A
B ’ B
L L/2
BA = SB/2
Fig 2
z
y
x
S Fig 3
B B’
A A’
( )
Le cas de la pyramide est un peu plus compliqué.
Pour faire simple, définissons un système d'axes, étant l'axe , et l'axe étant dirigé vers le centre de la terre. Figure 3 . Ce faisant on évite
A
SB Ox
Oz
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
les calculs avec des nombres négatifs.
Dans ce système, les coordonnées de et sont :
: '; 0; 60.404; 0; 7.417
2
: ; ; tan ; ; 0.08749
: 60.404; 0; 7.417 et : ; ; 0.08749
S
S B
B A B SB h h h
A x y x y x y x y
SB SA x y x
− = =
+ = +
→ ( )
( )
2
2 2
2 2 2 2 2
Or nous connaissons l'angle 25
60.404 7.417 0.08749
cos . 0.90631
. 60.857 0.08749
Tous calculs faits, on trouve : 0.4682 Les deux solutions sont accept
y ASB
x x y
SB SA
SB SA x y x y
y x
+
= =
+ +
→ = = =
+ + +
=
( )
2 2 2 2 2 2
ables selon que l'on place à droite ou à gauche de l'axe . Retenons la solution positive : 0.4682
60.858
De plus, nous connaissons la distance 30.429
2 2
30.429 60.404 0.8749
A
Ox y x
BA SB m
BA x y x y
=
= = =
→ = = − + + ( + − )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
7.4167
60.404 0.2192 0.08749 1.2192 7.4167 Après simplification, on trouve une équation du second dégré :
1.228532 122.24056 2777.7204 0 64.3835 qui admet pour solutions:
35.1178 On retie
x x x
x x
x x
= − + + −
− + =
=
=
2 2
nt la deuxième solution puisque la pyramide est plus éloignée.
Il nous reste à conclure :
35.1178 0.4682 16.4422 et 0.08749 35.1178 16.4422 3.3925 14.8333 3.3925 11.4408
Conclusions : 14.833
A
S B
B
y z
h m
h m h
= = = + =
→ = − =
= = 7.417 m h
A= 11.4408 m
EXTRI112 – EPL, UCL, LLN, septembre 2001.
Trouver les valeurs de et qui satisfont au système suivant :
4
cot cot 2
et présenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
x y x y
x y
+ =
− =
2
: cot cot 4
cot cot 1
cot 1
cot cot 4 2 cot
4 cot cot cot 1
4
6 12
cot 3 cot 3
5
6 12
x x k
CE y y k
x y
y y
x y y
y y
y x
y y
y x
= −
+
+
= − = − − = +
= =
= = = − =
Résolu le 2 janvier 2004. Modifié le 16 août 2004
EXTRI113 – EPL, UCL, LLN, juillet 2004.
Les angles d’un triangle vérifient la relation suivante
sin cos cos
Démontrer que le triangle est rectangle.
ABC
C = A + B
sin cos cos 2 cos cos
2 2
2 sin cos 2 cos cos
2 2 2 2
sin cos sin cos
2 2 2 2
On peut simplifier par sin , puisque sin C implique 2
2 2
cos cos 2
2 2
C A B A B C
A B A B
C A B
C C C A B
C C C A B
C C
C A B A B A B A
C A B
C A B A
= − − + = −
+ −
= + =
− −
=
= −
=
= − − − = − =
= −
= − + −
B A B B 2
+ = − − = −
Le 24 mars 05
EXTRI114 – EPL, UCL, LLN, septembre 2001.
Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie : 1) cot A cos
( )
( )
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
2) cos 90 sin
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
3 4
3) sin sin 0
7 7
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
4) tan tan tan
Toujours vr A
A A
A B A B
+ = −
+ =
− = −
( ) ( )
2 2ai : O Toujours faux : O Vrai si :
5) cos cos cos sin
Toujours vrai : O Toujours faux : O Vrai si :
A B − A + B = A − B
( )
1. cot cos
Vrai si 0 ou 3
2 2
2. Toujours vrai.
3 4 3 4 3 4 7
3. sin sin 2 sin cos 2 sin cos
7 7 14 14 14 14
2 sin cos 2 cos 0
2 14 14
Toujours faux.
tan tan 4. tan
1 tan tan Donc la relation proposée sera v
A A
A A
A B
A B A B
+ −
+ = =
= =
− = − +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) )
( )
2 2
2 2
2 2
raie si tan tan 1 0 tan tan 0
ou
5. cos cos cos sin
or 2 cos cos cos cos
cos cos 1 cos 2 cos 2
2
1 2 cos 1 1 sin 2
cos sin
Donc, la relation est toujours vraie.
A B A B
A k B k
A B A B A B
x y x y x y
A B A B A B
A B
A B
+ = → =
= =
− + = −
= + + −
− + = + −
= − + −
= −
Résolu 2 janvier 2004. Modifié le 16 août 2004
EXTRI115 – EPL, UCL, LLN, septembre 2001.
Emile Kandid est en voyage en Italie, où il a observé plus d’une tour penchée.
Celle qu’il observe ce jour-là est située sur une esplanade horizontale. Il décide de l’approximer par un segment de droite dont il voudrait déterminer la
longueur L. Pour ce faire, il fait les observations suivantes :
- la tour est penchée exactement vers le Nord, d’un angle = 5° par rapport à la verticale.
- L’ombre au sol à une longueur D = 85 m
- A l’heure de cette observation, les rayons solaires font un angle = 43°
avec le sol, et un angle = 45° vers l’Ouest avec le plan vertical orienté Nord-Sud (*)
Pour aider Emile, expliquez-lui clairement comment vous faites ce calcul : un dessin bien clair et explicite, avec les notations qui correspondent à vos équations, ainsi que ces équations sur base des symboles correspondants, lui seront très précieux pour comprendre comment ensuite vous établissez les valeurs numériques. N’oubliez pas également que des calculs de valeurs intermédiaires peuvent servir à contrôler une valeur finale. Merci pour lui.
(*) Vous savez, aussi bien qu’Emile, qu’un angle entre une droite d et un plan P se mesure toujours dans le plan Q en passant par d et perpendiculaire à P.
Plan
d
A P
P’
n
−
Plan PP'A ⊥ Plan
Fig 1
Rappel 1
La figure 1 montre que si est l'angle entre une droite et un plan est définit dans le plan ' perpendiculaire au plan .
On voit immédiatement qu'alors l'angle entre le vecteur normal
d PP A
n et la droite
est − .
z
y x
(cos A, 0, 0) Fig 2
(0, cos B, 0) (0, 0, cos C)
v
A B
C
Rappel 2
La figure 2 définit pour un vecteur unitaire les angles avec , et , avec
les axes. Il est immédiat que les composantes du vecteur sont les cosinus des angles.
Ce sont les cosinus directeur
v A B C
( )
2 2 2 2
s du vecteur. De plus, on a la relation :
cos cos cos 1 1
v = A + B + C =
z
y
x
L
O A
P
Fig 3
Ouest d
100.7° 45°
47°
ud
( ) ( )
La figure 3 définit le système de coordonnées.
Considérons le rayon de soleil qui passe par le sommet de la tour.
Les coordonnées de sont : sin 5, 0, cos 5 0.08716 , 0, 9962 Ce rayon peut être représent
A
A L L = L L
( )
( )
e par une droite .
Nous pouvons facilement trouver les cosinus directeurs de .
Angle avec l'axe au plan : 90 43 47 cos 47 0.682
Angle avec l'axe au plan : 45 cos 45 0.7071
Angle avec l'ax
d
d
Oz Oxy
Oy Oxz
− ⊥ − = → =
− ⊥ → =
−
( )
2 2 2e
De 1 cos 1 0.682 0.7071 0.03489
cos 0.18678 79.235 ou 100.76
On retient 100.76 , car l'Egypte étant dans l'hémisphère Nord, l'ombre est au-dessus de l'axe des .
La figure 3 montre le vec Ox
A
A A A
A
y
→ = − − =
→ = → = =
=
( )
( ) ( ) ( )
teur directeur : 0.18678; 0.70711; 0.682 de la droite .
0.08716 0.18676 2
L'équation de la droite est donc : 0.70711 3
0.9962 0.682 4
Le point de percée de dans le plan est donné
u
dd
x L k
d y k
z L k
d Oxy
−
= −
= +
= +
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
par 0
4 : 0 0.9962 0.682 1.4607
2 0.35996 et 3 1.03288
: (0.35996 , 1.03288 , 0)
Il reste à déterminer en exprimant que la distance est de 85 m.
0.35996 1.03288 85 77.71
On calcul au
z
L k k
x L y L
P L L
L PO
L L m
=
→ = + → = −
→ = = −
→ −
→ + = → =
( )
ssi : P : 27.973, 80.265, 0 −
EXTRI116 – FACSA, ULiège, Liège, juillet 2002.
( )( )( )
Vérifier les identités suivantes :
a) 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 2 1 2 cos 4 1 1 cos 2 sin 2
b) tan
1 cos 2 sin 2
a a a a
a a
a a a
+ − − = +
− +
+ + =
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
) 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 2 1 4 cos 1 2 cos 2 1
2 cos 2 1 1 2 cos 2 1
2 cos 2 1 2 cos 2 1 4 cos 1
) CE : 1) cos 0 à cause de tan 90 180 2) 1 cos 2 sin 2 0
or 1 cos 2 sin 2 cos sin cos sin 2 sin cos
2 c
a a a a
a a
a a
a a a
b a a a k
a a
a a a a a a a a
+ − −
= − −
= + − −
= + − = −
→ +
+ +
+ + = + + − +
= ( )
( )
( )
2 2 2 2
os sin cos
sin cos 135 180
Donc puisque l'on a déjà traité le dénominateur,regardons le numérateur
1 cos 2 sin 2 cos sin cos sin 2 sin cos
2 sin sin cos Finalement:
1 cos 2 sin 2 1 cos 2
a a a
a a a k
a a a a a a a a
a a a
a a
a
+
− +
− + = + − − +
= +
− +
+
( )
( )
2 sin sin cos sin 2 2 cos sin cos tan
a a a
a a a a a
= + =
+ +
EXTRI117 – FACSA, ULiège, Liège, juillet 2002.
a) Déterminer les solutions et satisfaisant au système d’équations suivant :
cos sin cos
cos sin sin
P Q A B
Q P B
+ = +
− =
où A, B, P et Q sont des constantes connues.
b) Donner les conditions sur A, B, P et Q pour assurer l’existence de ces solutions.
( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
Elevons au carré et additionnons les équations :
cos sin cos
cos sin sin
cos sin 2 cos sin cos 2 cos
cos sin 2 cos sin sin
cos sin sin cos
P Q A B
Q P B
P Q PQ A B AB
Q P a PQ B
P a Q
+ = +
− =
+ + = + +
→
+ − =
→ + + ( + ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
cos sin 2 cos
cos 2
arccos 2
2
On déduit les conditions sur , , et
1 cos 1 1 1
2 0
0
4 Calculons sin 1 cos
A B AB
P Q A B AB
P Q A B AB k
A B P Q P Q A B
A B P Q A B
AB A
B
A
= + + +
+ − −
→ =
+ − −
→ = +
− → − + − − → − + +
= − = ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
4 4
B P Q A B
A B
A P Q P Q A B
− + − +
+ − + + −
=
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
Remplaçons dans le sytème
cos sin
2 cos sin 4
4
On obtient deux équations en , qui se résolvent de façon classique
Posons sin cos
P Q A B
P Q A B
AB
A P Q P Q A B
Q P B
A B
P K Q K K P Q
+ = + + − −
+ − + + −
− =
= = → = +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
tan sin
2
cos 1
4 tan
4
arctan arctan
4 Avec comme
P Q
P Q A B
A P Q
P Q A B
A P Q
P Q A B
A P Q P Q A B
P Q A B P
Q k
A P Q P Q A B
=
+ = + + −
+
→
+ + −
+ = −
+
+ + −
→ + =
+ − + + −
+ + −
→ = + − + + − − +
2 2
conditions : A 0 et P + Q 0
Modifié le 29 juin 2009 (Carmelo DI NOLFO)
EXTRI118 – FACSA, ULiège, Liège, juillet 2002.
La figure ci-dessous représente un pentagone régulier, son cercle circonscrit et ses diagonales. En utilisant uniquement la formule de calcul de l’aire d’un cercle ou d’un de ses secteurs ainsi que les formules relatives aux triangles, calculer le rapport entre l’aire hachurée de la figure et l’aire de sa partie blanche.
36
36 36 36
72 72
A 54
C
D
E F
a b 72
54 G
2
Il est facile de déterminer les angles des différents triangles.
La longueur du côté du pentagone est : 2 cos 54 Et l'aire du triangle est : sin 72
2 Dans le triangle , on a détermin
ACE
a ACE a R
ACE S R
AFE
→ =
=
2
2 2
2 2
2
e tan 36
2 cos 36 1 sin 36 tan 36 sin 36
2 2
On constate en regardant la figure que dans le la zone non-hachurée vaut:
2 sin 72 tan 36 sin 36
2 2
On multiplie par 5 pou
FGE
ACE FDE ACE FGE
b FE a R
S b R
ACE
R R
S S S S
= = =
→ = =
− = − = −
2
2 2
