a rendre au plus tard le 16 avril 2020

Universit´ e PAUL SABATIER 2019-2020

M1 ESR - Devoir maison

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a rendre au plus tard le 16 avril 2020

Exercice 1 Soit f : [0, +∞[× R

→ R

un champs de vecteurs continu. On suppose qu’il existe une fonction continue strictement croissante ω : R

→ R

, telle que ω(0) = 0 et

ε→0

lim

ε>0

Z

ε

ds

ω(s) = +∞,

et telle que

∀z

, z

∈ R

, ∀t ∈ [0, +∞[, kf (t, z

) − f(t, z

)k ≤ ω(kz

− z

k).

Le but de cet exercice est de montrer que, sous cette hypoth` ese plus faible que celle vue en cours, le probl` eme de Cauchy

( x

= f (t, x),

x(0) = x

. (P )

admet au plus une solution maximale sur [0, +∞[

On se donne (I

, x

) et (I

, x

) deux solutions maximales de (P ). Soit T > 0 tel que [0, T [⊂ I

∩ I

. 1. On pose h(t) = sup

kx

(t) − x

(t)k pour t ∈ [0, T [. Montrer que pour tout s ∈ [0, T [,

kx

(s) − x

(s)k ≤ Z

0

ω(h(u)) du.

2. En d´ eduire que pour tout t ∈ [0, T [,

h(t) ≤ Z

0

ω(h(u)) du.

3. On pose H(t) = R

0

ω(h(s)) ds. Justifier que H est d´ erivable, croissante et que H

(t) ≤ ω(H(t)).

En d´ eduire que pour tout t et tout ε > 0 on a

H

(t)

ω(H(t) + ε) ≤ 1.

4. Montrer que pour tout t ∈ [0, T [ et tout ε > 0 on a Z

ε

ds ω(s) ≤ t.

5. En d´ eduire que H est nulle sur [0, T [. Conclure.

Exercice 2 Le but de cet exercice est d’utiliser les outils vus en cours pour ´ etudier l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles non-lin´ eaire suivante

( ∂

ρ + ∂

(ρ

) = 0, ∀t ∈ [0, +∞[, ∀x ∈ R,

ρ(0, x) = ρ

(x), ∀x ∈ R . (?)

On suppose que la donn´ ee initiale ρ

est de classe C

et born´ ee.

1. Dans cette premi` ere question, on suppose qu’il existe une solution ρ : (t, x) ∈ [0, +∞[× R → R au probl` eme (?) , de classe C

.

(a) Montrer que ρ v´ erifie le probl` eme de transport lin´ eaire suivant

( ∂

ρ + v(t, x)∂

ρ = 0, ∀t ∈ [0, +∞[, ∀x ∈ R ,

ρ(0, x) = ρ

(x), ∀x ∈ R, (??)

o` u v est d´ efini par

v(t, x) := 2ρ(t, x).

(b) D´ efinir les courbes caract´ eristiques t 7→ X(t, 0, x

) associ´ ees ` a v. Pourquoi sont-elles bien d´ efinies sur [0, +∞[ ?

(c) Montrer que

v(t, X(t, 0, x

)) = 2ρ

(x

), ∀t ∈ [0, +∞[, ∀x

∈ R . (d) En d´ eduire que

ρ(t, x

+ 2ρ

(x

)t) = ρ

(x

), ∀t ∈ [0, +∞[, ∀x

∈ R . (E) Dans les deux questions suivantes, on va exploiter la formule (E).

On rappelle que cette formule a ´ et´ e ´ etablie en supposant que la solution r´ eguli` ere ρ existe !

2. On suppose dans cette question que ρ

est une fonction strictement croissante.

(a) Pour tout t ∈ [0, +∞[, on note

ψ

: x

∈ R 7→ x

+ 2ρ

(x

)t ∈ R . Montrer que ψ

est une bijection strictement croissante de R dans R .

(b) i. Pour tout t ∈ [0, +∞[ et tout x ∈ R , montrer qu’il existe un unique φ(t, x) ∈ R v´ erifiant φ(t, x) + 2ρ

(φ(t, x))t = x,

et que l’application φ est continue sur [0, +∞[× R .

ii. On fixe t ∈ [0, +∞[. Montrer que x ∈ R 7→ φ(t, x) est d´ erivable et v´ erifie

∂

φ(t, x) = 1

1 + 2tρ

(φ(t, x)) .

iii. On fixe x ∈ R . Montrer que t ∈ [0, +∞[7→ φ(t, x) est d´ erivable et v´ erifie

∂

φ(t, x) = −2ρ

(φ(t, x)) 1 + 2tρ

(φ(t, x)) .

iv. Montrer que φ est de classe C

sur [0, +∞[× R.

(c) D´ emontrer que la fonction d´ efinie par

ρ(t, x) := ρ

(φ(t, x)), ∀t ∈ [0, +∞[, ∀x ∈ R ,

est une solution de classe C

au probl` eme (?). En existe-t-il une autre ?

3. On suppose maintenant que ρ

est strictement d´ ecroissante et on consid` ere ` a nouveau la fonction ψ

introduite dans la question 2.(a)

(a) Soient x

< x

. Montrer qu’il existe T > 0 tel que

ψ

(x

) = ψ

(x

).

(b) En utilisant (E), ´ etablir une contradiction.

(c) Que d´ eduit-on de cette analyse ?