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Math I Analyse
Epreuve final de contrôle continue, 19 janvier 2010 Durée 2 heures.
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Il est inutile de recopier les énoncés. Toutes réponse doit être justifiée. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la correction.
Question de cours (6 points)
1. Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass.
2. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires 3. Enoncer le théorème des accroissements finis
Exercice (10 points) On considère les fonctions (polynômiales).
𝑔0: ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝑔0(𝑥) = 1 et
𝑔𝑛: ℝ → ℝ 𝑥 ↦ 𝑔𝑛(𝑥) = ∑𝑥𝑘
𝑘!
𝑛
𝑘=0
= 1 + 𝑥 + ⋯ +𝑥𝑛 𝑛!
Pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ∗. On définit aussi les fonctions 𝑓𝑛 pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑒𝑥− 𝑔𝑛(𝑥), quel que soit 𝑥 ∈ ℝ (où 𝑒𝑥 désigne l’image de 𝑥 par la fonction exponentielle).
1.
(a) Montrer que la fonction
ℝ∗ → ℝ 𝑥 ↦𝑓0(𝑥)
𝑥 a une limite en zéro que l’on déterminera.
(b) Montrer que 𝑓1 est dérivable et que 𝑓1′= 𝑓0.
(c) Déduire de ce qui précède et de la règle de l’Hospital (rappelée plus bas), que lim𝑥→0
𝑥≠0
𝑓1(𝑥) 𝑥2 = 1
2 2. Soit 𝑛 ∈ ℕ∗.
(a) Montrer que 𝑓𝑛 est dérivable et que 𝑓𝑛′= 𝑓𝑛−1.
(b) Montrer par récurrence que, pour tout entier 𝑝 ∈ [1, 𝑛], 𝑓𝑛 est 𝑝 fois dérivable et que sa dérivée 𝑝-ième est 𝑓𝑛(𝑝)= 𝑓𝑛−𝑝.
(c) Déduire de ce qui précède, en appliquant 𝑛 fois la règle de l’Hospital, que lim𝑥→0
𝑥≠0
𝑓𝑛(𝑥)
𝑥𝑛+1 = 1 (𝑛 + 1)!
Règle de l’Hospital : si 𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions continues sur un intervalle 𝐼, dérivables sur 𝐼 ∖ {𝑎}, telles que 𝑢(𝑎) = 𝑣(𝑎) = 0 et 𝑣′ ne s’annule pas sur 𝐼 ∖ {𝑎}, si la fonction 𝑢𝑣′′ a une limite finie 𝑙 en 𝑎, alors la fonction 𝑢𝑣 a aussi pour limite 𝑙 au point 𝑎.
Exercice (6 points). On considère la fonction
𝑓: ℝ+∗→ ℝ
𝑡 ↦ 𝑓(𝑡) = 𝑒− 1𝑡2
1. Montrer que 𝑓 est dérivable et solution d’une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre.
2 2. Montrer que 𝑓 admet une limite 𝑙 ∈ ℝ en 0.
3. Etudier la continuité de la fonction
𝑔: ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝑔(𝑥) = {𝑓(|𝑥|) si 𝑥 ≠ 0 𝑙 si 𝑥 = 0 4. Etudier la dérivabilité de 𝑔, dresser son tableau de variation et tracer son graphe.
Problème (18 points)
1. Soit une fonction 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝑎, 𝑏], avec 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏. On suppose qu’il existe un réel 𝑘 ∈ ]0,1[ tel que, quels que soient 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏],
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|
(a) Montrer que 𝑓 est continue.
(b) Etant donné 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏], on définit la suite (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ par la formule de récurrence 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛)
i. Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, |𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛| ≤ 𝑘|𝑥𝑛− 𝑥𝑛−1|.
ii. En déduire que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, |𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛| ≤ 𝑘𝑛|𝑥1 − 𝑥0|, puis en utilisant l’inégalité triangulaire) que pour tout 𝑚 ∈ ℕ∗,
|𝑥𝑛+𝑚− 𝑥𝑛| ≤ 𝑘𝑛
1 − 𝑘|𝑥1− 𝑥0|
iii. Montrer en utilisant le critère de Cauchy que la suite (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ est convergente.
(c) Montrer que la limite 𝑙 de la suite obtenue à la question précédente vérifie 𝑓(𝑙) = 𝑙, et qu’il n’y a pas d’autre élément de [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑥) = 𝑥.
2. Dans cette question, 𝑓 est une fonction de classe 𝒞1 (C’est-à-dire dérivable et de dérivée continue) de ℝ dans ℝ. On suppose qu’il existe 𝑙 ∈ ℝ tel que 𝑓(𝑙) = 𝑙 et |𝑓′(𝑙)| < 1. On note 𝛿 = 1 − |𝑓′(𝑙)|.
(a) Montrer qu’il existe 𝜂 > 0 tel que, pour tout 𝑥 ∈ [𝑙 − 𝜂, 𝑙 + 𝜂], |𝑓′(𝑥)| ≤ 1 −𝛿2.
(b) On note 𝑘 = 1 −𝛿2. Montrer en utilisant le théorème des accroissement finis que, quels que soient 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑙 − 𝜂, 𝑙 + 𝜂], |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|.
(c) Montrer que 𝑓([𝑙 − 𝜂, 𝑙 + 𝜂]) ⊂ [𝑙 − 𝜂, 𝑙 + 𝜂].
(d) En appliquant le résultat de la question 1), montrer que, quel que soit 𝑥0 ∈ [𝑙 − 𝜂, 𝑙 + 𝜂], la suite (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ définie par la formule de récurrence 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛) converge vers 𝑙.
(e) On suppose dans cette question que 𝑓′(𝑙) > 0. Montrer qu’il existe 𝜂′∈ ]0, 𝜂] tel que pour tout 𝑥 ∈ [𝑙 − 𝜂′, 𝑙 + 𝜂′], 𝑓′(𝑥) > 0. Montrer, en utilisant à nouveau le théorème des accroissements finis que quel que soit 𝑥0 ∈ [𝑙 − 𝜂′, 𝑙 + 𝜂′], la suite (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ∗ définie par la formule de récurrence 𝑥𝑛+1= 𝑓(𝑥𝑛) est monotone (croissante si 𝑥0 < 𝑙 et décroissante si 𝑥0 > 𝑙).
