Annexes
Annexe A Oscillateur de Ven der Pol A.1 Histoire
L'oscillateur de Ven de Pol a été imaginé par le physicien néerlandais Balthasar van der Pol en électrotechnique, a découvert un mode
d'oscillation stable, appelé cycle limite , dans des circuits électroniques employant des tubes à vide
.
A.2 Présentation mathématique de modèle Ven der Pol :
L'oscillateur de Ven der Pol est un système dynamique à temps continu à un degré de liberté, est décrit par une coordonnée x(t) vérifiant une
équation différentielle faisant intervenir deux paramètres :
une pulsation propre- w0
un coefficient de non linéarité - ε
A.2.1 Oscillateur libre
L'oscillateur différentielle de l'oscillateur libre s'écrit :
d2x(t)
dt2 −ε w0
(
1−x2(t))
dx(t)dt +w02x(t) )
A.1 (
Lorsque ε ≠0 , ce système dissipatif possède une dynamique régulière caractérisée par un attracteur en forme de cycle limite, représenté sur la
forme sur la Fig.A.1 (ou' on a pose w0=1
(
A.2.2 Oscillateur forcé
Lorsque cet oscillateur est excité par u terme harmonique à pulsation w son équation différentielle devient
:
dx2(t)
dt2 −ε w0
(
1−x2(t))
dx(t)dt +w02x(t)=w02Xcos(wt) )
A.2 (
L'équation de Ven der Pol a trouvé de nombreuses applications dans les sciences physiques et biologique
.
59
Annexes
5.2-3- 2- 5.1- 1- 5.0- 0 5.0 1 5.1 2 5.2
2- 1- 0 1 2 3
1 = 0w\ ,noitauqE loP red nav fo noituloS
(1)x
(2)x
Fig.A.1- Cycle limite de Ven der Pol .
L'oscillateur de Ven der Pol est un modèle très populaire car en fonction des paramètres choisis il peut présenté des comportements dynamiques différents. Ainsi il présente une structure complexe de synchronisation quand il est forcé par des signaux périodiques, quasi-périodique, et il est
présente des scénarios de transition vers des régimes chaotiques .
60
