Théorie quantique de l'interaction plasma-rayonnement (II)

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Submitted on 1 Jan 1969

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Théorie quantique de l’interaction plasma-rayonnement (II)

J. Peyraud

To cite this version:

J. Peyraud. Théorie quantique de l’interaction plasma-rayonnement (II). Journal de Physique, 1969,

30 (5-6), pp.461-476. �10.1051/jphys:01969003005-6046100�. �jpa-00206806�

THÉORIE QUANTIQUE

DE L’INTERACTION PLASMA-RAYONNEMENT

(II)

Par

J. PEYRAUD,

Laboratoire de Physique ^des Plasmas, ^{Faculté des} Sciences, 91-Orsay

(Laboratoire

^{associé au} C.N.R.S.).

(Reçu

le 5 aout

1968.)

Résumé. 2014 On

applique

les méthodes décrites dans les

paragraphes précédents (1)

^au

calcul des processus

d’émission-absorption

pour ^les rayonnements ^{cohérents et} incohérents.

Abstract. ²⁰¹⁴ We

apply

^the results and methods described in the

previous

^sections

(1)

to the détermination of the

emission-absorption

processes ^{in a}

plasma ;

^both for incoherent and coherent radiation.

VI.

TTUDE

DES PROCESSUS NON

CONSERVATIFS (2)

Dans ce

chapitre,

^nous 6tudions deux processus ^non conservatifs.

Le

premier

^{est ce} que ^nous

appelons

^{la « diffusion}

double »

(D.D.) ;

^c’est 1’6tude du _processus suivant : 1 electron + ¹

(ou 2) photon (s)

-, 1 electron + ²

(ou 1) photon(s)

on sait en effet _que 1’6mission

spontan6e (E.S.)

^d’un

photon

par ^un electron ^est

impossible (cela

^{se vérifiera}

sur les

calculs),

^{si sa vitesse est} inférieure à 1

(h = c =1 ) .

Le deuxi6me _processus est le

bremsstrahlung (B.).

Nous verrons comment la m6thode des cumulants permet ^de

d6gager

^{le sens}

original

^des

approximations

faites _pour le calcul de ces processus.

VI. .1. Gdndralitds. ^- Le

principe

^{de tous} les calculs

est

toujours

d’admettre que les coefficients dont le

vecteur d’onde total

(somme

^{des vecteurs associ6s aux}

ondes 616mentaires des

op6rateurs qui

^y

figurent)

^est

nul ont un

temps

^de relaxation

long

^{devant les autres}

coefficients du meme

type.

Cette convention

appliquée

^a

1’6quation (71) donne,

au

premier

^{ordre en}

elm

^{pour un}

plasma homogène,

sans

champ

^{coherent :}

On en deduit le coefficient d’ « emission

spontanee » :

Cette

equation

^{a la structure d’une}

equation

^de

Boltzmann ^et le _noyau

qui

^{lui est associ6 est nul a}

1’equilibre thermodynamique,

^{mais il est visible} que le facteur de conservation de

1’energie 8

interdit la transition

qui

^{lui est associ6e.}

On retrouve ici _que 1’6mission

spontan6e

^{d’un seul}

photon

par ^un electron est

impossible,

^{a cause des}

lois de conservation

(pour

le voir de maniere

6vidente,

il suffit de considerer le

repere

^{associ6 a}

l’électron).

Rien

n’empeche

d’associer a l’E.S. la section efficace fictive associ6e

Pour obtenir un r6sultat

significatif,

^{il faut faire}

intervenir des collisions

multiples.

^{Nous 6tudierons}

successivement 1’6mission double

(action

^{non lin6aire}

d’un

photon

^{sur un electron} pour obtenir deux

photons

et

inversement)

^{et le}

bremsstrahlung (collision

^elec-

tron-photon-ion).

V I . 2.

Étude

de la diffusion double. ^{- VI. 2 .1. LA} D.D. ET LE PRINCIPE DE CORRESPONDANCE. ^- LeS deux

types

de reaction

qui

contribuent a la variation de _nx

sont :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003005-6046100

Soient

pa

^et

pp

^les

probabilités

^de reaction attach6es a

chaque

processus.

Les taux de

d6peuplement de nÀ

^{sont :}

Les facteurs

(1

⁺

nx,) ; (1

⁺

nx..)

^sont introduits _par le fait _que les

photons

^{sont des}

^bosons;

^{on doit en}

effet compter ^{tous les 6tats finaux comme} ayant ^un

poids statistique 6gal

^{a leur}

population apres

^{la reaction.}

Les reactions sont r6versibles et le taux de _repeu-

plement

par ^ces processus ^{sera :}

Soit,

pour le taux

global

de variation de _{nx :}

Les facteurs

p..

^et

p

contiennent chacun un facteur de conservation de

1’energie;

^{ce sont :}

Il est facile de constater que

chaque

noyau ^est nul a

l’équilibre thermodynamique. Supposons,

^{a cet}

effet, que l’on ait :

La nullite du _noyau

s’écrit,

^{en tenant} compte ^des relations de conservation de

1’6nergie :

Ce _que l’on 6crit encore :

Cette relation est

vraie, quels

que soient

X, X’, X",

^et

cela

impose

que

chaque

^{terme soit constant et}

egal à 1, c’ est-à-dire :

L’étude

microscopique

^{de ces} processus a 1’aide des

equations

d’evolution va

permettre

la determination

precise

des coefficients

px

^et

pp.

VI.2.2. CALCUL DES PROCESSUS DE DIFFUSION DOU- BLE. ^- Avant

d’entreprendre

^les

calculs,

^nous rappe- lons que, selon ^nos conventions de sommation ^et notations

du §

^{1.2 :}

- Un indice X

repr6sente

1’ensemble du scalaire X

(d6fini

par

(65)),

^{des vecteurs + À et ’V I.. et de la}

polarisation

u;

- Un indice X+

repr6sente

1’ensemble du scalaire ^-

X,

des vecteurs ^- X et vx ^et de la

polarisation

u.

La convention de sommation sur X ^et X+ est

repre-

sent6e _par le

symbole .

x

Les calculs sont faits en

n6gligeant

la densite double

et on ne tient pas

compte

^{des termes}

d’6change.

^Leur

introduction est sans difficult6 et on

indique

^{a la fin}

du calcul ce que devient le r6sultat ^en

presence

^de

ces termes.

La diffusion double s’obtient ^en conservant dans le terme en

e2/m

^de

1’6quation (71)

les cumulants

en

B((k, P); XlX2X3)’

^{Ces termes} fournissent la contribution :

La contribution de ces termes est donn6e _{par :}

En I’absence de rayonnement ^coherent

« bx > = 0),

les cumulants

B((k, p); X, ’A’, A")

^{obéissent à la re-}

lation :

Afin d’éviter d’inutiles

longueurs,

^{il est bon de}

remarquer

qu’il apparaitra,

^{au cours du}

calcul,

^dans

tous les termes le facteur :

qui

^interdit que, dans la collection des indices

X, X’, X",

deux indices

puissent

^etre

adjoints

^{l’un a l’autre.}

Dans le _cas,

qui

^{est le}

notre,

^d’un

systeme homogène,

cela entraine que les cumulants form6s avec deux

indices

quelconques pris parmi X, X’,

^{X" sont}

nuls,

de sorte que l’on peut écrire la relation

(121)

^sous

la forme

6quivalente :

L’équation

d’evolution de

s’écrit au moyen des

equations

d’evolution de

f(k, p)

et de

bx.

Les termes en

abxlot

^{amènent a} utiliser la rela- tion

(57).

Conformément a nos

hypotheses,

^on suppose le

système

^{assez dilu6} pour

pouvoir negliger

^{la densite}

double et ne conserver que le terme lin6aire

en f.

De

meme,

^on

n6glige

l’interaction coulombienne dans

1’6quation

d’evolution

de f

^{et on obtient :}

La

prise

de cumulants sur cette

equation

^{se fait en}

retenant les termes tels _{que :}

On voit alors

apparaitre

^deux types ^de cumulants

autres que les cumulants du

type :

(il

convient de noter que

(1 ⁺ nx+)

⁼

nx), qui

^{sont :}

Ces cumulants

s’expriment

^a 1’aide des relations

(71)

et

(87)

^dans

lesquelles

^on

n6glige alat,

^{et ou on ne}

retient _que les termes d’ordre le

plus

^bas.

Compte

^{tenu de la}

presence

future du facteur A

(relation (122))

^et de l’absence de rayonnement ^cohe- rent, ^ces

equations

s’6crivent :

Les relations

(124)

^a

(127) permettent

de calculer le coefficient

B ( (-

^{X - X’ -}

X", p) ; X, À’, A") .

On constate fort heureusement

qu’il

^se

produit

de nombreux groupements ^de termes et on obtient :

avec :

Dans

1’6quation (120),

^on v6rifie imm6diatement _que le facteur A ne

permet

la sommation _que

sur les

couples

d’indices :

Les indices X" et X’ ont un role tout a fait

sym6trique

^{et il} suffit de

compter

deux fois l’une des deux derni6res combinaisons.

On obtient alors de maniere

simple :

Les formules

(130), (131), (132)

reconstituent natu-

rellement la relation

(116) qui

^{avait ete obtenue} par le

principe

^de

correspondance (il

suffit de faire deux

changements

de variable 6vidents sur

p).

Les

quantités ([)À(À’+, X"+) ...

s’obtiennent a

partir

de la relation

(129)

^{en utilisant nos} conventions de sommation

rappel6es

^{au d6but de ce}

paragraphe.

^Si

l’on retient les termes

d’6change,

il faut faire le

changement (3) :

VI. 2. 3. CAS D’UN MELANGE DE RAYONNEMENTS COHE-

RENT ET INCOHERENT. ^- On montre que les résultats

precedents

subsistent a condition de _{poser :}

La diffusion double coh6rente s’obtient a 1’aide des relations

(131)

^et

(132)

^en

supprimant

^{les 1 des}

termes en 1 + _nx; ¹ + _nx,; ¹ +

nÀ". Ce

^{cas redonne}

les résultats

classiques [1].

On montre que si

f (0, p)

^{est une} fonction d6crois-

sante

de p ,

^le

rayonnement

^{coherent est}

toujours

absorb6.

VI. .2.4.

EVOLUTION

DE

f(0, p)

^{PAR LE PROCESSUS}

DE D.D. ^- Le terme

[af(O, p)/8t]D.D.

s’obtient imm6- diatement en

remplaqant

^{la sommation sur} p par ^une sommation sur X.

VI.2.5. EVOLUTION

DU RAYONNEMENT EN PRESENCE D’UNE SEULE

(ESPECE DE) PARTICULE(S).

^{- 11}

n’y

^a pas de

bremsstrahlung,

^{mais le processus de D.D. assure}

que le

rayonnement

^a

1’equilibre

^{sera celui de}

^Planck,

ce

qui

^{ne serait} pas le ^{cas en} la seule

presence

^de

la D.C. On est, ^de

plus,

^certain que le

rayonnement

coherent ne sera pas

present

^a

1’equilibre.

VI.2.6. CAS D’UN RAYONNEMENT CONCENTRE ^SUR

UN SEUL MODE. ^- Soit

Xo

^{le mode}

unique

du rayonne- ment, la contribution des ^{termes a}

et P

^{s’obtient en}

posant : ^:

(3) Cf. §

^{V .1.1} pour ^les

particules

^{douées de}

spin.

ce

qui

^{donne :}

Le

processus P

^est

identiquement

^{nul :}

1>À(Ào, Àt)

^est

nul,

^{et de}

plus

le facteur de conservation ^n’est pas assure

(il repr6sente

le processus

impossible) :

1 electron + ²

photons Xo

^{? 1 electron + 1}

photon Xo.

La contribution oc caractérise le processus : 1 electron + ²

photons Ào

^{? 1}

photon X

+ 1 electron.

Dans le cadre non

relativiste,

^on

peut

^en

premiere approximation

^{écrire :}

et la contribution (x

prend

^{la forme :}

Le facteur de conservation

exprime,

^en

premiere approximation,

^la condition :

ce

qui

permet de donner

l’expression approch6e

simple :

Cette relation donne en

polarisation

^{et intensite}

de la valeur du terme de diffusion. Celui-ci est maxi-

mum dans la direction de

polarisation

^du rayonnement incident.

VI.3.

Rtude

du

bremsstrahlung.

^{- Pour cette}

6tude,

^{il faut}

g6n6raliser

^les

equations pr6c6dentes

aux fluides a

plusieurs composantes.

^Cette

g6n6rali-

sation est 6vidente et nous ne r6crirons pas les

6qua-

tions

correspondantes;

^nous supposerons ^cette ecriture

acquise.

Chappell [3]

^a

presente

^une derivation

quantique

et

globale

^du

bremsstrahlung.

^Notre

point

^{de vue sera}

une

analyse plus

^fine d6crivant 1’evolution des _rayon-

nements coh6rents et incoh6rents.

Nous chercherons a

d6gager

^{les notions}

physiques

fondamentales et nous ne donnerons _que les details fondamentaux des calculs

mathématiques,

^d’autant

plus qu’ils

^sont

tres

voisins de ceux

exposes

par

Chappell.

Le

bremsstrahlung

^{est defini} par les

equations :

Les indices _oc,

P ...

^{servent a}

rep6rer 1’esp6ce

^des

particules qui

y ^sont afferentes.

Dans ce

premier ^calcul,

^on suppose

qu’il n’y

^{a pas}

de rayonnement ^coherent.

On n’6crit _pas les termes

d’echange;

leur introduc-

tion, qui

^est sans aucune

difficult6,

^{ne fait}

qu’allon-

ger les 6critures. Avec des notations

evidentes,

^on

ecrit :

Si l’on fait

1’hypothese

^d’un

syst6me

strictement

homog6ne,

^{il est} facile de montrer, ^en 1’absence de

rayonnement coh6rent,

que ^tous les cumulants de la

relation

(137)

^{sont nuls ou}

n’apportent

^{aucune contri-}

bution,

^{sauf le}

premier,

^et

qu’il

^reste

l’égalité :

Nous sommes donc ramen6s a rechercher 1’evolution de :

Dans ce cas, la relation

(57) prend

^{la forme :}

Les

equations

d’evolution de

f(k, p)

^{et de}

bÀ jointes

a

1’equation (139) permettent

^{d’6crire :}

Pour

prendre

^la

decomposition

^en cumulants de cette

equation,

^{il faut commencer} par

sym6triser

^les

opérateurs f

suivant la m6thode

expos6e au §

^{III .3.1.}

L’équation sym6tris6e

^{s’6crit :}

Dans la

prise

^de

cumulants,

^on

n6glige

^les cumulants d’ordre

superieur

^{et on n’écrit pas les termes}

d’échange qui allongent

^les 6critures. Comme nous sommes dans le cas strictement

homog6ne,

^{on ne retient}

que les cumulants

homog6nes (nombre

^{d’onde total}

nul).

a)

Contribution des

coefficients

^{A et A’. -} On obtient les contributions :

Il y ^a d’autres

contributions;

^nous 6crivons seulement celles

qui pourront

amener une

expression significative :

Les contributions du type

A4cx, A5cx

peuvent ^{donner des termes}

significatifs

^{dans le cas :}

dus au fait _que les coefficients B

qui

y

figurent comportent

^{des termes}

imaginaires (cf. § V.1).

^{Dans tous}

les cas, ^ces contributions sont

proportionnelles

^{a e3.}

b)

Contribution des

coefficients

^{B et B’. -} Les seules contributions intéressantes s’6crivent :

c)

Contribution du

coefficient

^{C. - Les cas k = 0 et k" = 0 sont}

exclus;

^{il reste :}

Nous avons

d6jh

^{calcule tous les cumulants}

figurant

^{dans ces}

expressions,

^a

l’exception

^de

frxf3.

^Ce

dernier cumulant s’évalue

rapidement

^a l’aide de

1’equation

d’6volution de

frxf3 :

(on

^a

n6glig6

la densite

triple,

conformément a

l’hypothèse d6jh

faite dans les

equations (142)).

Le cas k ⁼ 0 est exclu et le terme

(B) apporte

^une contribution d’ordre

superieur

^{en e} que

nous

n6gligeons.

Tous les calculs

effectués,

^{il reste :}

A cette

equation, nous joindrons

^donc

(cf. § V. 2. 2) :

On

rappelle

que dans

1’equation (152)

on a convenu

que :

et que dans cette

equation

il faut laisser le fac-

teur ic

qui

peut

apporter

^une contribution

(pour :

VI.3.1. TERMES ORDINAIRES DU BREMSSTRAH- LUNG

(4).

^{- Les} résultats de

Chappell [3] (et

^de

Mangeney [4]

^a la limite

classique)

s’obtiennent en

retenant les contributions :

Ala (et A1f3

obtenue par le

changement a - p, eq. ( 142 .1 ) ) ;

As« (et A6f3

^{obtenue par le}

changement

^{lJ.. -+}

p, eq. (142.6))

et en y

exprimant

^les cumulants B et

f

^{au moyen}

des relations :

-

(151)

pour

B((- À, Prx) À),

-

(150)

^dans

laquelle

^{on ne retient que le terme}

en

Vaf3

^{pour les} coefficients

f«p.

Ces résultats sont

classiques;

^comme leur 6criture ^est tres

longue,

^{nous ne} les 6crivons _pas.

On

rappelle

que le

bremsstrahlung

^{ordinaire est}

form6 de deux types ^{de termes :}

- le

bremsstrahlung

^normal

(5)

conformément au

principe

^de

correspondance;

- le

bremsstrahlung

anormal dont la source est la difference de

temperature

^{entre les} fonctions de distribution

ionique

^et

6lectronique.

VI .3.2. TERMES EXTRAORDINAIRES DU BREMSSTRAH- LUNG

(B.E.).

^{- Ces termes}

comprennent

^deux groupes :

a)

^{Les termes}

qui

contiennent un facteur vI.. vI.’ : contributions des termes

A5a, A4,x3 A6. (6q. (142.4),

(142.5)

^et

(142.6));

b)

La contribution des termes

A2rx, A3« (6q. (142.2.3))

et la contribution

A1rx ( 142 .1 )

introduite par le

terme de

l’équation (150) qui

^n’a pas ete

compte

dans

le §

^{IV . 3 .1.}

Nos calculs commenceront par ^cette derniere contribution.

VI.3.2

oc)

Contribution introduite par

A2ex, A3«

^et

A6ex.

- Apres

^{un calcul assez}

long

que ^{nous ne}

reproduisons

pas, ^{ces termes} am6nent une contribution ^exactement nulle

(les

contributions amen6es _par

Alex, A2ex,

^...,

s’annulent

^{deux a}

deux).

VI . 3 . 2

P)

Contribution des termes

qui

contiennent _{v x.} v)..,.

- Ces contributions sont de deux types :

a)

Celles introduites _par le facteur :

b)

Celles introduites _par les facteurs :

Dans les deux _cas, il est utile de faire le

changement

)...’ --> xl+.

Ce

changement simplifie

^{le calcul}

(sans

^en

changer

en

quoi

que ^ce soit le

sens)

^{et il} permet d’uniformiser les facteurs de conservation du moment.

a)

ContributionJ introduites

par

^le

facteur

Le calcul est

long,

^{lourd et} fastidieux. Il faut

signaler

que, ^{au cours} de ce

calcul,

nous sommes amenes à calculer :

Cette

expression

^a pour valeur :

Comme

va, 12

⁼

21t1 VÀ’,

^{il est}

intéressant,

pour obtenir des formules

plus familières,

de transformer

cette

expression

^en fonction du

potentiel

coulombien :

Tous les calculs

effectu6s,

^on trouve,

apr6s quelques changements

de variable

simples :

(4)

^Par ordinaires ^on

d6signe

^{les termes}

deja

^{etudies et biens connus. On} reserve le nom d’extraordinaires

aux termes introduits par 1’etude

syst6matique

^{de tous} les cumulants.

(5)

^{La forme}

explicite

^{en sera donnee au § VI.5.3, relation}

^(178).

avec

(6) :

Si l’on retient les termes

d’6change,

^il faut faire le

changement (7) :

La formule

(156) repr6sente

^une correction a la section efficace associ6e au

bremsstrahlung

^ordinaire

classique.

b)

Contribution introduite

par

^les

facteurs B((-

^{X -}

À’, PoJ ; ^À, X’).

^{- La} contribution de ces termes sera not6e : D.B.

(diffusion bremsstrahlung)

pour des raisons

qui apparaitront

par la suite.

Les calculs sont

longs

^et inintéressants. Le r6sultat s’écrit :

avec pour

KlJ.[3À :

L’introduction des ^termes

d’échange

^{amène au}

changement

^defini par la relation

(93).

(6)

^{Dans la relation}

(156),

les vecteurs _VÀ ont ete

remplac6s

par les vecteurs unitaires EÀ

(cf.

§

I . 2).

(1)

^Cf. § ^{V .1.1} pour les

particules

^{douées de}

spin.

VI.3.3. CAS DU MELANGE DE RAYONNEMENTS COHE-

RENTS ET INCOHERENTS. ^- Il faut

distinguer

^{le cas des}

deux types

precedents

de processus :

a)

^{Les termes a structure}

classique;

b)

^{Les termes diffusifs.}

a)

^{Cas des termes}

classiques.

^{- Ils ont tous la struc-}

ture

(8) :

Des calculs

analogues

^aux

precedents permettent

d’écrire les relations fondamentales :

La relation

(159)

demeure valable a condition de conserver la relation

(95)

pour la definition

de nx.

Ceci permet ^{de tracer} le tableau _pour un

systeme microscopiquement homogène :

et de remarquer, ^une fois de

plus,

que le rayonnement coherent ^est absorbe des _{que les} fonctions de distri- bution des

particules

^sont décroissantes.

On note en

particulier

que 1’6mission bremsstrah-

lung

^{est un}

phenomene

purement incoherent _pour un

plasma completement homogene.

Un

point

^tres

remarquable

des calculs est que, ^en

m6canique quantique,

^le

bremsstrahlung

^{se calcule en}

faisant

I’hypoth6se

de l’uniformit6

microscopique (c’est-a-dire

que le milieu est un « fluide

»). Jamais,

contrairement aux calculs

classiques,

^{on ne fait}

appel

a la notion de

trajectoire

^{ou de structure finie des}

particules.

^C’est

pourquoi

^la

m6canique quantique

est tres bien

adaptee

^a 1’etude de ce

phénomène.

b)

^{Cas des termes}

diffusifs.

^{- La}

généralisation

^est

identique

^{a celle}

du §

V .1. Elle aboutit aux memes conclusions

(introduction

des facteurs

lxx,,

^cf.

(92)).

VI.3.4.

REMARQUES. - a)

^{Les termes extraordi-}

naires du

bremsstrahlung

^{se divisent en deux}

types :

- Le

premier type

^{est du}

type

^du

bremsstrahlung

normal

(§

^{VI. 3.2}

P).

Il constitue une correction

en

general petite

^au

bremsstrahlung normal;

- Le second

type (relation (158))

^{est tout a fait}

diff6rent. C’est un terme

analogue

^a la diffusion

Compton

^et

qui

^se superpose ^a elle.

L’ordre de

grandeur

^{de ces termes} peut ^faire que cette diffusion devienne

sup6rieure

^a la diffusion

Compton (le parametre

dimensionnel

fondamental,

par

rapport

^a la diffusion

Compton

^est

NX3/V , X

^6tant

la

longueur d’onde)

^aux hautes densit6s et

temp6ra-

tures, ^ou dans les cas tres

anisotropes.

(8)

Les valeurs de E X B. ^et A X B. sont determinees par les

paragraphes precedents

^{et la relation}

(178),

§ ^VI.5.3.

b)

^{On vient de} voir que 1’6mission

bremsstrahlung

était incoh6rente. Cela ne

pr6juge

^{en rien du reste des}

emissions du

plasma,

^{dans les cas}

inhomogenes.

Les calculs

classiques

^{a 1’aide des}

equations

^de

Maxwell du bruit d’un

plasma

^{demeurent en effet}

absolument

inchang6s,

^tant que les correlations sont

faibles,

^{comme le montre}

le §

III.2.1. Aux mouve- ments «

macroscopiques »

^du

plasma (caractérisés

par des

composantes f(k, p)

des fonctions de

Wigner

^avec

k # 0) correspond

^un rayonnement

coherent,

^et

inversement.

On note en

particulier

que le « bruit » d’un

plasma

est coherent et

caractéristique

^{de son 6tat de non-}

6quilibre.

Ces notions seront

pr6cis6es

^{dans le} para-

graphe

^suivant.

VI.4.

Remarques gdndrales

^de

thermodynamique

du

rayonnement.

^- VI.4.1. TRAVAIL ET ENERGIE

RAYONNANTE. ^- On sait tres bien _que

1’6nergie

^du

rayonnement thermique pris

^a

1’equilibre thermody- namique

^est

6quivalente

^a

l’énergie thermique.

En

particulier,

^{on ne} peut extraire de travail avec une seule source : une antenne

plong6e

^{dans du}

rayonnement

thermique

^ne

reçoit

^aucun

signal.

Pour 6claircir ce

point,

consid6rons une antenne tres froide

plong6e

^{dans un} rayonnement

donne ;

^et

consid6rons les deux cas suivants :

a)

^Le rayonnement ^{est cohérent. - A} I’aide d’un 616ment

non lin6aire

approprie (cristal d6tecteur),

^{on recueil-}

lera un courant redress6

capable

de fournir du travail.

En

supposant

^1’antenne

parfaitement conductrice,

celle-ci ne s’6chauffe _pas et

n’6change

^{aucune chaleur}

avec le milieu

ext6rieur,

^{et on va} transformer le _rayon-

nement coherent en travail sans aucune contrainte.

b)

^Le rayonnement ^est incohérent. ^- On ne

peut

^utiliser 1’616ment non lin6aire

precedent.

^La seule chose _que

peut

faire 1’action du

champ

incoherent est chauffer par effet

Joule l’imp6dance

^dans

laquelle

^1’antenne

d6bite,

^{et de} mettre cette

impedance

^en

6quilibre

^de

temperature

^{avec le} rayonnement incoherent

incident;

1’antenne émettra alors autant

qu’elle reçoit

^{et on ne}

recueillera aucun travail.

Consid6rons comme autre

exemple

^un

plasma plus

ou moins turbulent. I1 6met un bruit de

fond, qui,

recueilli a 1’aide d’une antenne, peut ^{etre redress6 et} transform6 ^en

travail;

tandis que la

partie

incoh6rente du

bremsstrahlung

^ne pourra etre observ6e a 1’aide de

ce

dispositif (antenne

⁺

d6tecteur),

il faudra _{pour la}

mettre en evidence utiliser un

systeme

^thermo-

6lectrique.

Ceci

n’empeche

en aucune

façon

^de faire ensuite

une th6orie

statistique

^{du bruit de} fond. Cela devient n6cessaire si l’on ^ne sait

plus

reconnaitre le caractere d’incoh6rence ou de coherence a 1’aide des _moyens

particuliers

^{que l’on met en oeuvre. Dans une telle}

th6orie,

^le

champ

^coherent

apparait,

^{sous certains}

aspects,

^{comme tres}

proche

^du

champ

incoherent

(9).

Dans une certaine _mesure, ce m6moire fournit le cadre exact d’une 6ventuelle th6orie

statistique

^du

rayonnement

^{en en} fixant les limites.

A

partir

^de

maintenant,

^nous consid6rons _{que rayon-}

nement coherent et travail sont

equivalents ;

^ou

plus pr6cis6ment

que le rayonnement cohérent constitue de

l’ÉNERGlE

LIBRE.

VI .4.2.

QUELQUES CONSP-QUENCES.

^{- On}

comprend pourquoi

les detections des rayonnements

thermiques

et

radioélectriques

^sont differents. L’un est en

quelque

sorte

assujetti

^au theoremede

Carnot,

^{l’autre ne}

l’est pas.

On

comprend 6galement pourquoi

^{on a trouve} que le

rayonnement

coherent avait

toujours

^{tendance à}

disparaitre

^{du moment que} les fonctions de distribution satisfaisaient a des conditions de

regularite (c’est-a-dire qu’il n’y

ait pas la

possibilite

que naissent des courants

-

6lectriques

^-

macroscopiques).

Il est normal de ^constater

qu’il

n’en serait _pas de meme pour des distributions hors

d’équilibre (a

^deux

temperatures

par

exemple).

^{On retrouve ici un fait}

d6jh

^connu lors des 6tudes d’instabilités dans les

plasmas.

^{Dans ces cas hors}

d’6quilibre,

le bremsstrah-

lung peut

^{etre un} processus

d’amplification (aussi

^bien

pour le

rayonnement

^coherent que pour le rayonne- ment

incoherent).

On peut, par

exemple, imaginer

^{pour le rayonne-}

ment des instabilités du type

faisceau-plasma,

^sans

qu’il

y ait de correlation avec un mouvement macro-

scopique

^des

particules.

^{Il n’est} pas

impensable

que de telles situations existent en

astrophysique;

^{elles ont,}

par

ailleurs,

^de

grandes analogies

^avec les effets ^maser

ou laser.

(9)

^{Dans un article} ult6rieur, ^nous

analyserons plus

en detail

analogies

^et differences.

Il faut enfin remarquer que ^ce formalisme elimine certaines difficultes des theories

classiques

lors de la

description

de 1’evolution vers

1’equilibre thermody- namique ; ceci,

^en conservant une

description

^{de la}

radiation coh6rente tres

proche

^{de la}

description classique.

En ce

qui

^concerne 1’evolution vers

1’equilibre thermodynamique,

^{on doit noter} que ^toutes les _compo-

santes du type

f(k, p) disparaissent,

^sauf pour k ⁼ 0.

A

1’equilibre,

^le

systeme

^est

parfaitement homog6ne,

et ceci a toutes les ichelles.

En

pratique,

^{on est}

plus

^{ou moins}

proche

^de

1’6qui-

libre et il existe des fluctuations

macroscopiques f(k, p), qui correspondent

^aux

inhomogénéités

du milieu. 11

est tres utile de connaitre la contribution de ces fluc-

tuations, ceci,

parce que ^{ce sont} elles

(dues

pour le

bremsstrahlung

^au rayon fini des

particules) qui,

^en

th6orie

classique,

fournissent la contribution au fac-

teur d’6mission.

VI. 5.

Étude

des contributions des fluctuations de la fonction de

Wigner.

^{- VI.5.1.}

REMARQUES

^PRÉLI-

MINAIRES. ^- On

d6signa

par B.F. la contribution de

ces fluctuations. B.F.C.

repr6sente

la contribution coh6rente et B.F.I. la contribution incoh6rente. Il est

facile de montrer que :

a)

^Les fluctuations

(existantes

^a

priori

^{dans le}

plasma)

n’int6ressent _pas le coefficient

d’absorption (qui s’exprime

^a I’aide des

parties isotropes) ;

b )

^Les fluctuations contribuent de maniere

oppos6e

aux rayonnements ^{coh6rents et} incoh6rents :

Cette contribution est naturellement un terme

d’emission.

VI.5.2. CALCUL DE L’EMISSION COHÉRENTE DUE AUX FLUCTUATIONS. ^- Cette emission est donn6e _{par :} :

Dans cette

relation,

^{on a}

pose :

et ot

= p

^{veut dire}

qu’il

^faut

ajouter

^{tous les termes}

obtenus a 1’aide des diverses combinaisons

possibles

de oc et

P,

c’est-a-dire _aa,

ap, P(x, Pp.

On calcule seulement la contribution ^au bremsstrah- On calcule seulement la contribution ^au bremsstrah-

lung ordinaire,

et, de ^ce

fait,

^{on n’6crit} que les ^termes strictement

indispensables

^{au calcul. On}

remplace,

dans ces

equations incompletes,

^le

signe =

par +-->;

on ecrit alors :

Le second membre de

l’équation (166) (coeffi-

cients

A, B, C)

^{s’6value a} l’aide d’une

hypothese

^de

Bogoliubov

^{sur les} temps de relaxation

(il

^faut

prendre

soin de calculer la d6riv6e des

expressions completes

pour

manipuler

^{des termes}

homogenes) .

^{On ne retient}

que les termes contribuant au facteur d’émission

(termes qui

^ne contiennent

plus Bx).

Les

equations

^{obtenues sous} leur forme

g6n6rale

sont tres

compliqu6es.

^{On les}

simplifie

^{en ne retenant}

que les termes

imaginaires

^amenes par le facteur :

Cette

hypothese

^se

justifiera plus tard,

^elle permet de _supposer que :

Les

equations précédentes

conduisent au coefficient d’6mission

microscopique general

^{et exact.} Son 6criture

est

longue

^et

compliqu6e.

Dans presque ^tous les _cas, seule sa valeur moyenne

nous int6resse. On note :

Le calcul de

E XB.F.C.

^{nous conduit a} introduire des valeurs _moyennes de

produits

^de fonctions de

Wigner.

On fait les

hypotheses (simplificatrices,

mais pas fonda- mentalement

indispensables)

suivantes :

1)

^Les

particules

^{de type different ne sont pas}

correlees;

2)

^Le

système

^est

macroscopiquement (1°) homog6ne.

Ces

hypotheses

^ont pour corollaires les

equations

suivantes :

En

particulier,

^on pose :

3)

^{Dans les}

decompositions

^en

cumulants,

^{on ne}

retient _que les cumulants a deux indices

(du

type

f (k, p))

^{et on}

n6glige

^{les termes}

d’6changes.

Les coefficients

A, B,

^{C am6nent deux} types ^de contribution

qui

^{sont :}

(1°)

^La

prise

^{de la valeur moyenne} fait passer ^des

grandeurs

^{dites «}

microscopiques

^{» aux}

grandeurs

dites ^«

macroscopiques

^».

dans

lequel

^{on fait les}

changements :

Le coefficient d’6mission

Ex .,.C.

^{est donne par les}

relations

(165), (171)

^et

(172) jointes

^{a :}

La relation

(173) peut

^etre consideree comme une

version

quantique

des résultats de

Dupree [5].

^Elle

exprime

^la contribution des fluctuations de densite à 1’6mission du

plasma,

^sans

pr6ciser l’origine

^{de ces}

fluctuations.

Compte

^{tenu de ces}

résultats,

le tableau

(162) prend

la forme suivante pour ^un

plasma microscopiquement inhomog6ne :

Comme on l’a

d6jA signalé,

^la

puissance

^totale

6mise ou absorb6e _{n’est pas} altérée.

VI. 5.3. APPLICATION AU CALCUL DE L’EMISSION

BREMSSTRAHLUNG. ^- La relation

(173)

^{doit etre}

capable

^de

donner,

^a la limite

classique,

^{l’émission}

bremsstrahlung

^{si on 6crit} que les fluctuations sont dues au caract6re discret des

particules.

^{Pour ce}

faire,

on pose :

Dans un milieu

macroscopiquement homog6ne, l’op6ration

^{de moyenne ne} laisse subsister _que les

termes

homog6nes

^{et :}

Le report ^{de cette} relation dans

(171)

^et

(172)

^ne

laisse subsister _{que :}

De sorte que :

Il est instructif de _comparer cette

expression (11)

^à

1’expression classique

^du

bremsstrahlung qui

^{est :}

On constate que les facteurs d’6mission sont iden-

tiques,

^{sauf en ce}

qui

^{concerne les} translations A la limite

classique,

^{les deux}

termes sont

identiques.

L’explication

^{de ceci est}

simple :

1’ecriture

(175)

est contraire au

principe

d’incertitude et on doit s’attendre sur p ^a une erreur telle _{que :}

(ll)

On constate que les termes

negliges,

pour

pouvoir

utiliser

(167), correspondent

^au

bremsstrahlung

anormal, et sont done en

general

^faibles

[4].

On en deduit imm6diatement _que pa ^et

pp

^doivent

etre entach6s d’erreurs

qui

^sont

respectivement

^de

l’ordre de k + ^{X et k.} Ce r6sultat est

parfaitement

en accord avec les calculs

precedents.

La

description

^{suivante est}

plus imag6e :

^{a la}

limite

classique

^{on ne}

distingue

pas les ^termes de sortie des termes d’entree

(puisque

^les

6changes d’6nergie

^sont infiniment

petits),

^{c’est en}

quelque

sorte ce que fait la relation

(177).

L’analyse

^du

rayonnement

^d’un

plasma

permet donc de determiner sa structure

quantique (particules

ou ondes de

matiere) .

A

1’equilibre thermodynamique,

seul subsiste le

rayonnement

incoherent. C’est lui _que l’on

appelle

commun6ment rayonnement

thermique.

La th6orie

classique

^est

incapable

de d6crire ce

phénomène,

^{meme sous sa forme}

semi-classique (rela-

tion

(177)),

^car les relations

(175)

^sont fausses du fait que ^toutes les

composantes f (X, p) ; X #

^{0 sont amor-}

ties et

disparaissent (cf. (70)).

On note a ce

sujet

que les

composantes

correspon- dant a des valeurs 6lev6es de X

(faibles longueurs d’onde)

^{sont amorties}

plus

^vite que les autres et on

comprend pourquoi

l’émission basse

frequence

^est

plus

coh6rente en

general

que 1’6mission haute

frequence.

La th6orie

classique

decrit 1’evolution vers un

6qui-

libre

imparfait,

ou le théorème de Carnot _{n’est pas} vrai a toutes les échelles

(le

^fait que l’on

sache,

^en

th6orie,

transformer le rayonnement ^{coherent en tra-} vail est contraire au

principe

^de

Carnot).

^{Au meme}

titre _que le

rayonnement coherent,

les fluctuations de la fonction de

Wigner

constituent de

I’RNERGIE

LIBRE.

La th6orie

quantique

^{61imine ces} difficultés et, ^à

1’equilibre,

^il

n’y

^a

plus

^aucune

6nergie libre,

^{et ceci}

quel

que soit le

degr6

de finesse des observations faites

sur le

syst6me.

^{C’est cette absence}

d’energie

^libre

_qui

caractérise

l’équilibre thermodynamique.

Dans un travail

ult6rieur,

^nous

analyserons

^d’une

maniere

plus complete

les conditions dans

lesquelles

on peut considerer _que

l’équilibre

^{est atteint.}

Conclusion. ^- La m6thode des cumulants nous a

permis :

- D’introduire le

champ électromagnétique

^vectoriel

dans la th6orie

quantique

de l’interaction

plasma-

rayonnement ;

-

D’explorer

^{de maniere} exhaustive tous les termes

contribuant a

chaque

processus

particulier

^6tudi6.

Des termes nouveaux sont ainsi mis en

6vidence, sp6cialement

^{dans le cas du}

bremsstrahlung.

Cette m6thode est tres bien

adaptee

^{a tous les}

probl6mes

faisant intervenir une

statistique

^{sur le}

rayonnement, ^{et nous}

1’appliquerons

ultérieurement a 1’etude des

ph6nom6nes

^comme le bruit de

fond,

^le

fondement des

equations

de transfert du rayonnement,

1’elargissement

Stark des raies

spectroscopiques.

Il est un domaine

particulier

^{ou les m6thodes}

expos6es

^{ici nous semblent} d’un intérêt ^tout

parti-

culier : ce sont les aspects ^{lies a la}

thermodynamique

et a 1’evolution vers

1’equilibre

^du

systeme.

^{Ces pro-}

blemes

qui

^{ont ete}

cotoyes

^{ici seront} examines ult6- rieurement.

Remerciements. ^- L’auteur remercie le _pro- fesseur

J.

^Yvon pour ^ses

pr6cieux

^conseils.

BIBLIOGRAPHIC

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