Exercice 1 : Une urne contient 4 boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule dans l'urne puis, sans la remettre, on tire une seconde boule. On note les numéros obtenus.
1. Représenter les tirages possibles par un arbre.
Les issues sont les couples sans répétition d'éléments de {1;2;3;4}.
L'univers est l'ensemble des issues possibles. Comme le montre l'arbre ci-dessus, l'univers contient 12 éléments.
Les événements élémentaires (composés d'une seule issue) sont tous équiprobables. 2. On considère les événements suivants :
I : « Le numéro tiré en premier est impair. » S : « La somme des numéros tirés est 5. » a) Calculer la probabilité des événements I, S et I∩S.
Les issues favorables à l'événement I sont au nombre de 6. p (I)= 6
12= 1 2
4 issues sont favorables à l'événement S : (1;4), (2;3), (3;2) et (4;1). p (S)= 4 12= 1 3 I ∩S=
{
(1; 4), (3; 2)}
p (I ∩S)= 2 12= 1 6b) Calculer deux deux façons différentes la probabilité de l'événement I∪S. p (I ∪S)= p (I)+ p (S)− p (I ∩S) p (I ∪S)=6+4−2 12 = 8 12= 2 3
On pouvait aussi dénombrer les issues favorables à l'événement I ∪S : (1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (3;1), (3;2), (3;4), (4;1). Probabilités - corrigé 2 3 4 4 3 2 1 4 3 4 2 1 2 1 3 1
1er tirage 2e tirage issues (1; 2) (1; 3) (1; 4) (2; 1) (2; 3) (2; 4) (3; 1) (3; 2) (3; 4) (4; 1) (4; 2) (4; 3)
Exercice 2 : Dans une auto-école, il y a deux filières possibles : La conduite accompagnée (CA) et la filière traditionnelle. Cette auto-école fournit les résultats suivants :
▪ 40% des candidats choisissent la filière CA ;
▪ un candidat de la filière CA obtient son permis du premier coup dans 80% des cas ;
▪ un candidat de la filière traditionnelle obtient son permis du premier coup dans 45% des cas.
On interroge au hasard l'un des 1 400 candidats après sa première présentation à l'examen. On considère les événements A : « Le candidat a préparé son examen avec la filière CA. »
S : « Le candidat a obtenu son permis de conduire du premier coup. » 1. Représenter la situation au moyen d'un tableau.
candidats ayant suivi la conduite accompagnée
candidats ayant suivi la
filière traditionnelle TOTAL candidats ayant obtenu le
permis du 1er coup. 448 378 826
candidats n'ayant pas obtenu
le permis du 1er coup. 112 462 574 TOTAL 560 840 1 400 40 100×1 400=560 1 400−560=840 80 100×560=448 560−448=112 45 100×840=378 840−378=462 448+378=826 112+462=574
2. Calculer la probabilité de l'événement « Le candidat a préparé son examen avec la filière CA et il ne l'a pas obtenu du premier coup. »
p (A ∩S)= 112 1 400=
2
25=0,08
3. Calculer la probabilité d'obtenir son permis du premier coup pour un candidat de cette auto-école. p (S)= 826
1 400= 59
100=0,59
4. Le candidat a échoué lors de sa première présentation. Calculer la probabilité qu'il ait préparé l'examen avec la filière CA.
pS(A)=112 574=
8
41≈0,195
Exercice 3 : Dans un groupe de 30 personnes, 12 s'intéressent au tennis, 15 à la lecture et 11 ne s'intéressent ni au tennis ni à la lecture. On choisit une personne au hasard dans le groupe.
On peut faire un tableau, comme pour l'exercice précédent, ou un diagramme de Venn, pour représenter la situation (en noir, les informations de l'énoncé, et en vert les valeurs déduites) :
s'intéressent au tennis ne s'intéressent pas au tennis TOTAL
s'intéressent à la lecture 8 7 15
ne s'intéressent pas à la lecture 4 11 15
TOTAL 12 18 30
Notons T l'événement « La personne choisie s'intéresse au tennis. » et L l'événement « La personne choisie s'intéresse à la lecture.
1. Calculer la probabilité que la personne s'intéresse à au moins une des deux activités. p (T ∪L)= p(T)+ p(L)− p(T ∩L) p (T ∪L)=12+15−8 30 = 19 30
Autre méthode : « La personne s'intéresse à au moins une des dux activités. » est le contraire de « La
personne ne s'intéresse à aucune activité. » : T ∪L=T ∩L p (T ∪L)=1− p(T ∩L)
p (T ∪L)=1−11 30=
19 30
2. Calculer la probabilité que la personne s'intéresse aux deux activités.
Cette probabilité a déjà été calculée dans la première méthode présentée ci-dessus. p (T ∩L)= 8
30= 4 15
Exercice 4 : Un gymnase comporte deux terrains de badminton (T1 et T2) qui ont la même probabilité d'être
occupés. Simon, qui vient souvent jouer, a observé que la probabilité qu'au moins un des terrains soit occupé est 0,78 et que la probabilité qu'au moins un des terrains soit libre est 0,7.
On note T1 l'événement « Le terrain T1 est libre. » et T2 l'événement « Le terrain T2 est libre. » p (T1∪T2)=0,78 et p (T1∪T2)=0,7 .
p (T1)=p(T2)
1. Simon, qui n'a pas envie de se déplacer pour rien, se demande quelle est la probabilité que les deux terrains soient occupés. Combien vaut-elle ?
On cherche p (T1∩T2).
T1∩T2=T1∪T2 : « Aucun terrain n'est libre. » est le contraire de « Au moins un des terrains est libre. » p (T1∩T2)=1− p(T1∪T2)
p (T1∩T2)=0,3
2. Quelle est la probabilité que le terrain T2 soit occupé ?
T1∪T2=T1∩T2 donc p (T1∩T2)=1− p(T1∪T2)=1−0,78=0,22
On peut là aussi faire un tableau à double entrée, dans lequel on note p (T1)=p(T2)=x :
T2 T2 TOTAL
T1 0,22 x−0,22=(1−x )−0,3 x
T1 0,3 1−x
TOTAL x 1−x 1
On obtient l'équation suivante : x−0,22=(1−x )−0,3 ⇔ 2 x=0,92 ⇔ x=0,46 p (T2)=0,46 donc la probabilité que le terrain T2 soit occupé est 0,54. 3. Quelle est la probabilité qu'un des deux terrains soit occupé et l'autre libre ? Complétons le tableau précédent :
T2 T2 TOTAL
T1 0,22 0,24 0,46
T1 0,24 0,3 0,54
TOTAL 0,46 0,54 1
Exercice 5 : Lorsqu'Henri a déplacé sa télévision, il a été obligé de débrancher trois câbles. Les trois câbles sont de couleurs différentes et correspondent chacun à une entrée spécifique. Malheureusement, les prises ont toutes la même forme et Henri ne se rappelle plus dans quelle prise brancher chaque câble.
1. Combien de possibilités différentes existe-t-il pour les branchements ? On pourra représenter la situation par un arbre.
On note 1, 2 et 3 les trois câbles.
L'expérience aléatoire peut être assimilée au tirage successif sans remise de trois éléments de {1;2;3}. Les issues possibles sont les permutations des éléments de cet ensemble.
Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité.
2. Henri dit qu'il a une chance sur trois de réussir le branchement en branchant les fils au hasard. A-t-il raison ?
Il y a 3×2×1=6 issues possibles, une seule d'entre elles correspondant au branchement correct. S'il branche les fils au hasard, Henri a donc 1 chance sur 6 de réussir le branchement.
3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des fils soit à sa place si on branche les fils au hasard ?
Il peut être laborieux de compter toutes les issues favorables à l'événement « Au moins un des fils est à sa place. »
Passer par le contraire, « Aucun des fils n'est à sa place. », est sans doute plus efficace.
prise 1 prise 2 prise 3
Possibilités favorables à l'événement « Aucun des fils n'est à sa place. »
câble qui convient à la
prise 2 câble qui convient à la prise 3 câble qui convient à la prise 1 câble qui convient à la
prise 3
câble qui convient à la prise 1
câble qui convient à la prise 2
Il n'y a que deux issues favorables à l'événement « Aucun des fils n'est à sa place. » La probabilité qu'aucun des cales ne soit à sa place est 1
3 , donc la probabilité qu'au moins un des câbles soit à sa place est 2
3 .
prise 1 prise 2 prise 3
1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3
