Etude unidimensionnelle d'une cellule hybride pour absorption et isolation simultanées

(1)

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Submitted on 24 Nov 2010

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Etude unidimensionnelle d’une cellule hybride pour absorption et isolation simultanées

Manuel Melon, Philippe Herzog, Azzedine Sitel, Marie-Annick Galland

To cite this version:

Manuel Melon, Philippe Herzog, Azzedine Sitel, Marie-Annick Galland. Etude unidimensionnelle

d’une cellule hybride pour absorption et isolation simultanées. 10ème Congrès Français d’Acoustique,

Apr 2010, Lyon, France. �hal-00539677�

(2)

Etude unidimensionnelle d’une cellule hybride pour absorption et isolation simultan´ees

Manuel Melon

¹

, Philippe Herzog

²

, Azzedine Sitel

³

, Marie-Annick Galland

⁴

1CNAM, 292 rue Saint Martin, F-75141 Paris cedex 3, manuel.melon@cnam.fr

2LMA-CNRS, 31 chemin Joseph Aiguier, F-13402 Marseille cedex, herzog@lma.cnrs-mrs.fr

3CSTB, 24 Rue Joseph Fourier, F-38400 Saint Martin d’H`eres, azzedine.sitel@cstb.fr

4LMFA, ´Ecole Centrale de Lyon, F-69134 ´Ecully cedex, marie-annick.galland@ec-lyon.fr

Les mat´ eriaux absorbants hybrides actifs/passifs permettent d’obtenir de bonnes performances d’absorp- tion sur une large plage fr´ equentielle. L’´ etape suivante consiste ` a r´ ealiser des mat´ eriaux assurant ` a la fois une bonne absorption et un bon isolement acoustique. Ces mat´ eriaux trouveraient des applications po- tentielles dans les domaines du bˆ atiment ou encore de l’industrie du transport. Dans ce but, un prototype hybride actif/passif compos´ e d’un haut-parleur de faible ´ epaisseur (2,6 cm) plac´ e ` a l’arri` ere d’une couche poreuse a ´ et´ e ´ etudi´ e. Ce syst` eme est test´ e en incidence normale dans un tube de 7 cm de diam` etre. Dans un premier temps, la matrice de diﬀusion du haut-parleur seul, ins´ er´ e dans le tube, est calcul´ ee analyti- quement. Puis, des mesures de cette mˆ eme matrice sont r´ ealis´ ees. Les r´ esultats montrent un bon accord avec les valeurs th´ eoriques. Le mod` ele du haut-parleur ´ etant alors valid´ e tant en absorption qu’en trans- mission, des simulations du syst` eme complet (avec la couche poreuse) sont alors eﬀectu´ ees. Le mod` ele choisi pour la couche poreuse est celui de Jonhson-Allard d´ evelopp´ e pour les mat´ eriaux ` a structure rigide.

Puis, des mesures du syst` eme complet sont r´ ealis´ ees dans un tube avec ou sans haut-parleur en fonction- nement. Finalement, des simulations du contrˆ ole obtenu par un syst` eme hybride double sont conduites aﬁn d’aider ` a la conception de cellules hybrides 3D.

1 Introduction

Les mat´ eriaux de construction poss` edent g´ en´ eralement de mauvaises propri´ et´ es d’absorption et d’isolement aux tr` es basses fr´ equences. Ainsi, la qua- lit´ e sonore du champ ´ emis par une source acoustique est fortement d´ egrad´ ee par les r´ eﬂexions sur les parois du local. De mˆ eme, les locaux attenants poss` edent un niveau de bruit de fond accru lorsque la source est en fonctionnement. Une des solutions permettant d’´ eviter l’utilisation de fortes ´ epaisseurs de mat´ eriaux absorbants consiste ` a r´ ealiser des syst` emes hybrides o` u les hautes fr´ equences sont trait´ ees classiquement et les basses fr´ equences par un syst` eme actif [1]. Le projet PARABAS a pour but d’´ etudier la faisabilit´ e de cellules hybrides ` a contrˆ ole local permettant d’obtenir simultan´ ement de bonnes performances en absorption et en isolement. L’´ etude unidimensionnelle pr´ esent´ ee ici s’inscrit dans le cadre de ce projet. Son principal int´ erˆ et est la possibilit´ e d’obtenir des formules analytiques simples permettant de d´ egager les grandes tendances conduisant ` a la conception de prototypes qui pour- ront ˆ etre test´ es exp´ erimentalement ou par m´ ethodes num´ eriques. En eﬀet, la lourdeur des calculs par

´ el´ ements ﬁnis sur un syst` eme 3D complexe ne permet pas d’obtenir de tels renseignements rapidement. Par contre, une fois les principes g´ en´ eraux de conception des cellules obtenus, l’approche num´ erique 3D permet de mieux rendre compte du comportement ﬁnal d’un prototype.

Dans ce document, le formalisme des matrices de diﬀusion est employ´ e pour mod´ eliser le comportement de sous-syst` emes passifs ou actifs simples. Les ma- trices obtenues sont ensuite utilis´ ees pour pr´ edire le comportement de syst` emes hybrides plus complexes.

Dans une premi` ere partie, un syst` eme simple compos´ e d’un haut-parleur et d’un couche poreuse s´ epar´ es par une lame d’air est mod´ elis´ e. Les pr´ edictions obtenues sont alors valid´ ees par des r´ esultats exp´ erimentaux.

Enﬁn, le fonctionnement d’une cellule hybrides ` a deux actuateurs est simul´ e aﬁn d’obtenir des pistes pour la conception de prototypes 3D.

2 Syst` eme hybride simple

2.1 Mod´ elisation

Un syst` eme hybride simple (figure 1) est r´ ealis´ e ` a l’aide d’un haut-parleur Aura de diam` etre deux pouces s´ epar´ e d’un mat´ eriau fibreux de 2 cm d’´ epaisseur par une lame d’air de 3,7 cm. Les matrices de diffusion des diff´ erents sous-syst` emes sont d´ efinies comme suit :

p

⁻1

p

⁺2

=

D

11

D

12

D

21

D

22

p

⁺1

p

⁻2

+

p

⁻

p

⁺

, (1) p

⁻2

p

⁺3

=

D

^a11

D

^a12

D

^a21

D

^a22

p

⁺2

p

⁻3

, (2) p

⁻3

p

⁺4

=

D

^p11

D

^p12

D

^p21

D

^p22

p

⁺3

p

⁻4

, (3)

(3)

Figure 1 – Vue en coupe du syst` eme hybride simple.

o` u D

, D

^a

et D

^p

sont les matrices de transferts, res- pectivement, du haut-parleur, de la lame d’air et de la couche poreuse tandis que p

⁻

et p

⁺

sont les pressions g´ en´ er´ ees par le haut-parleur.

La mod´ elisation du haut-parleur Aura s’eﬀectue

`

a l’aide des ´ equations de couplage de la conversion

´ electrodynamique. Les r´ etr´ ecissements et ´ elargissements de section ` a l’arri` ere du haut-parleur sont pris en compte par les ´ equations de conservation du d´ ebit et de la pres- sion. L’expression des ´ el´ ements de D

est donn´ ee dans [2]. On y trouve ´ egalement une comparaison entre les valeurs th´ eoriques et exp´ erimentales des diﬀ´ erents coef- ﬁcients de D

et des pressions g´ en´ er´ ees montrant un tr` es bon accord.

La lame d’air d’´ epaisseur l

a

est mod´ elis´ ee par la matrice suivante :

D

^a

=

0 e

^−jkl^a

e

^−jkl^a

0 , (4)

tandis que la couche poreuse d’´ epaisseur l

p

est mod´ elis´ ee par :

D

^p11

= D

^p22

=

j sin k

m

l

p

z

m

φ − φ z

_m

2 cos k

m

l

p

+ j sin k

m

l

p

z

m

φ + φ z

_m

D

^p12

= D

^p21

= 2 2 cos k

m

l

p

+ j sin k

m

l

p

z

m

φ + φ z

_m

,

(5) o` u k

m

et z

m

sont respectivement le nombre d’onde et l’imp´ edance caract´ eristique r´ eduite du mat´ eriau po- reux ` a structure rigide, tandis que φ est la porosit´ e du mat´ eriau ﬁbreux. Les expressions de k

m

et de z

m

peuvent ˆ etre obtenues ` a l’aide la th´ eorie de Johnson- Allard [3].

2.2 Mesure

La mesure des matrices de diﬀusion a ´ et´ e eﬀectu´ ee sur un banc 1D adapt´ e des travaux de M. ˚ Abom [4]

(ﬁgure 2). Le diam` etre int´ erieur du tube mesure 7 cm. Pour les ´ el´ ements passifs, deux s´ eries de mesures (sur les huit microphones) sont r´ ealis´ ees sous deux conditions diﬀ´ erentes (haut-parleurs aux extr´ emit´ es en fonctionnement altern´ es). Pour les ´ el´ ements actifs, une troisi` eme s´ erie de mesures vient compl´ eter les deux premi` eres (´ el´ ement actif sous tension et haut-parleurs aux extr´ emit´ es ´ eteints).

500 1000 1500 2000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fréquence (Hz)

Coefficients de réflexion et transmission

Figure 3 – Coefficients de r´ eflexion et de transmission de deux couches de mat´ eriau fibreux. Mat´ eriau seul, noir : transmission, violet : r´ eflexion. 2 couches entre

de plaques perfor´ ees, bleu : transmission, cyan : r´ eﬂexion. 2 couches et 3 plaques perfor´ ees, rouge :

transmission, vert : r´ eﬂexion.

Une couche de mat´ eriau poreux simple a tout d’abord ´ et´ e caract´ eris´ ee sur le banc de mesure 1D.

L’´ echantillon mesur´ e est constitu´ e de deux disques de mat´ eriau fibreux (m´ elange de fibres dont certaines sont issues du recyclage) de 10 mm d’´ epaisseur. Les coeffi- cients de transmission (noir) et de r´ eflexion (violet) sont repr´ esent´ es sur la figure 3. On remarque que ces coef- ficients sont a peu pr` es constants sur la bande 50-2000 Hz. Cependant, une r´ esonance gˆ enante est observ´ ee au- tour de 200 Hz. Afin de limiter les mouvements de le la structure du poreux, les deux couches fibreuses sont plac´ ees entre deux plaques de tˆ ole perfor´ ee que l’on peut observer sur la figure 4. Les r´ esultats (courbes bleue et cyan) fournis sur la figure 3 montrent que la r´ esonance est l´ eg` erement att´ enu´ ee et d´ ecal´ ee vers 550 Hz (raidis- sement de la structure). L’att´ enuation obtenue n’´ etant pas satisfaisante, une troisi` eme plaque de tˆ ole perfor´ ee est ajout´ ee entre les deux couches fibreuses. Cette fois- ci la r´ esonance est largement att´ enu´ ee (courbes rouge et verte). Apparaissent toutefois quelques oscillations dues

`

a la plus grande complexit´ e du syst` eme ainsi qu’une chute des coefficients de transmission et d’absorption au dessous de 400 Hz. Ces premiers r´ esultats montrent que la structure du mat´ eriau choisi ne reste pas rigide, son comportement ne pourra donc pas ˆ etre pr´ edit correcte- ment par un mod` ele de type “fluide ´ equivalent”. Nous utiliserons donc les valeurs mesur´ ees de la matrice de diffusion de la couche poreuse pour pr´ edire le compor- tement de la cellule hybride.

Une cellule hybride est r´ ealis´ ee conform´ ement au sch´ ema repr´ esent´ e sur la figure 1. Dans la configura- tion ´ etudi´ ee, une couche d’air de 3,7 cm d’´ epaisseur est d´ elimit´ ee par le haut-parleur Aura et un mat´ eriau ab- sorbant constitu´ e de deux couches de fibreux et de trois grilles.

2.2.1 Comportement passif

La cellule hybride est tout d’abord caract´ eris´ ee de

fa¸con passive avec le haut-parleur en court circuit

(condition tr` es proche de celle observ´ ee sur un ampli-

ﬁcateur audio classique). Les r´ esultats sont pr´ esent´ es

(4)

Figure 4 – Gauche : Couche de poreux dans son porte

´

echantillon. Droite : grille limitant les vibrations du squelette du poreux.

sur la figure 5. Une mod´ elisation de la cellule hy- bride a ´ egalement ´ et´ e effectu´ ee ` a partir des expressions th´ eoriques gouvernant les comportement de la couche d’air et du haut-parleur. La matrice de diffusion globale est calcul´ ee de la fa¸con suivante : les matrices de diffu- sion des sous-´ el´ ements sont transform´ ees en matrices de transfert, puis, leur produit est calcul´ e, enfin la matrice de transfert globale est transform´ ee en matrice de diffu- sion. L’accord th´ eorie-mod´ elisation est satisfaisant. On remarque toutefois que les coefficients de transmission sont mieux mod´ elis´ es que les coefficients de r´ eflexions.

Ce comportement avait d´ ej` a ´ et´ e observ´ e pour le haut- parleur seul [2].

2.2.2 Comportement actif

Les pressions rayonn´ ees de part et d’autre de la cel- lule hybride par le haut-parleur Aura ont ´ egalement ´ et´ e mesur´ ees et compar´ ees aux pr´ edictions th´ eoriques (tou- jours avec la matrice de diﬀusion exp´ erimentale pour la couche poreuse). Pour obtenir les expressions des pres- sions ´ emises par la cellule hybride, on utilise les matrices de diﬀusion D

, D

^a

et D

^p

en conditions an´ echo¨ıques ( p

⁺1

= p

⁻4

= 0) :

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

p

⁻1

= D

12

p

⁻2

+ p

⁻_l

p

⁺2

= D

22

p

⁻2

+ p

⁺_l

p

⁻2

= e

^−jkl^a

p

⁻3

p

⁺3

= e

^−jkl^a

p

⁺2

p

⁻3

= D

^p11

p

⁺3

p

⁺4

= D

^p21

p

⁺3

. (6)

200 400 600 800 1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fréquence (Hz)

Matrice de diffusion

Figure 5 – Matrice de diﬀusion de la cellule hybride en circuit ouvert. D

¹¹

: rouge, D

²²

: bleu, D

¹²

: cyan et

D

21

: noir. Mesure : pointill´ es, ”mod´ elisation” : trait plein.

En r´ esolvant le syst` eme d’´ equations (6), on obtient les expressions des pressions p

⁻_c

et p

⁺_c

g´ en´ er´ ees par la cellule hybride :

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

p

⁻_c

= p

⁻1

= p

⁻

+ D

12

D

^p11

e

²^jkl^a

− D

22

D

11^p

p

⁺

p

⁺_c

= p

⁺4

= D

21^p

e

^jkl^a

e

²^jkl^a

− D

22

D

^p11

p

⁺

. (7)

La ﬁgure 6 repr´ esente une comparaison des pressions (“th´ eoriques” et mesur´ ees) rayonn´ ees par la cellule hy- bride pour une tension d’alimentation de 1 V. L’accord th´ eorie exp´ erience est correct, les ´ ecarts les plus impor- tants ´ etant observ´ es autour de la fr´ equence de r´ esonance de l’´ equipage mobile.

3 Simulations de contrˆ ole

Des simulations de contrˆ ole pour un syst` eme hy- bride simple tel que celui repr´ esent´ e sur la ﬁgure 1 ont montr´ e que lorsque l’absorption est maximale l’isole- ment est d´ egrad´ e et inversement [2]. Toutefois, dans des conditions d’absorption parfaite, la pression acoustique transmise ` a l’arri` ere de la cellule n’est jamais sup´ erieure

`

a celle qu’il y aurait en l’absence de cellule. Ce r´ esultat

nous invite ` a traiter simultan´ ement la transmission et

l’absorption en utilisant une cellule hybride poss´ edant

deux actuateurs. Cette cellule est repr´ esent´ ee sur la

ﬁgure 7. Dans la conﬁguration test´ ee, les ´ epaisseurs des

(5)

200 400 600 800 1000 0

10 20 30 40

Frequency (Hz)

Radiated pressures (Pa)

Figure 6 – Pressions rayonn´ ees par la cellule hybride pour une tension de 1 V. p

⁺_c

: rouge, p

⁻_c

: bleu.

Mesure : pointill´ es, ”mod´ elisation” : trait plein.

Figure 7 – Vue en coupe du syst` eme hybride double.

deux lames d’air et de la couche poreuse sont ´ egales ` a 2 cm. Les deux haut-parleurs, dispos´ es tˆ ete-bˆ eche, sont de type Aura 2 pouces. Le diam` etre du tube de test mesure 7 cm. La couche poreuse est simul´ ee ` a l’aide d’un mod` ele “ﬂuide ´ equivalent” de Johnson-Allard dont les param` etres d’entr´ ee sont donn´ es dans la table 1.

La r´ esistance au passage de l’air σ a ´ et´ e choisie aﬁn d’obtenir un produit σl

_p

ρ

0

c. Rappelons que cette condition permet d’obtenir, en basse fr´ equence, une absorption optimale pour une annulation de pression ` a l’arri` ere de la couche poreuse.

Des simulations de contrˆ ole pour la cellule hybride double sont r´ ealis´ ees. Les calculs sont r´ ealis´ ees en com- binant les matrices ´ el´ ementaires D

, D

^a

et D

^p

. Deux microphones d’erreur omnidirectionnels sont plac´ es en x

¹

et x

⁵¹

. Les r´ esultats obtenus sont pr´ esent´ es sur la ﬁgure 8. Lorsque le contrˆ ole fonctionne, l’absorp- tion et l’isolement sont optimaux. On notera toutefois une l´ eg` ere chute de l’absorption ` a partir de 500 Hz due au d´ ephasage entre les ondes aller et retour dans la couche poreuse. On notera ´ egalement que les ten-

1. En condition non anécho¨ıques à gauche, le microphone en x1devrait être cardio¨ıde.

σ Φ α

_∞

Λ Λ

20660 N.m

⁻⁴

.s 0 . 99 1 , 01 45 μ m 138 μ m Table 1 – Param` etres de la couche poreuse

200 400 600 800 1000 1200

0 0.05 0.1

Fréquence (Hz)

Coef. de transmission

200 400 600 800 1000 1200

0 0.5 1

Fréquence (Hz)

Coef. d’absorption

Figure 8 – Coeﬃcient d’absorption (sans contrˆ ole : noir, avec contrˆ ole bleu) et module du coeﬃcient de transmission (sans contrˆ ole : rouge, avec contrˆ ole cyan)

de la cellule hybride double.

sions de commande des haut-parleurs, inf´ erieures ` a 25 mV pour une pression incidente de 1 Pa, sont com- patibles avec les valeurs que peut supporter un haut- parleur ´ electrodynamique classique. Soulignons toute- fois que des valeurs aussi faibles d´ ecoulent du fait que l’´ etude est r´ ealis´ ee en guide unidimensionnel.

Le contrˆ ole simultan´ e de la transmission et de l’ab- sorption ´ etant donc possible, int´ eressons nous mainte- nant aux pressions g´ en´ er´ ees par les haut-parleurs de contrˆ ole. Celles-ci sont repr´ esent´ ees sur la ﬁgure 9.

Les courbes noires repr´ esentent les pressions g´ en´ er´ ees par les deux haut-parleurs Aura. On remarque qu’en basses fr´ equences, les deux sources de contrˆ ole doivent g´ en´ erer des pressions plus ´ elev´ ees que la pression inci- dente (1 Pa), jusqu’` a 2,3 Pa pour le haut-parleur de droite et jusqu’` a 1,4 Pa pour le haut-parleur de gauche.

Une solution pour limiter la contribution demand´ ee aux sources secondaires serait d’utiliser des sources direc- tives. Ainsi, des haut-parleurs parfaitement cardio¨ıdes (courbes rouges) permettraient de limiter fortement la pression g´ en´ er´ ee par le haut-parleur de gauche. Toute- fois, de telles sources ne sont pas facilement r´ ealisables en pratique. Observons alors, sur les courbes bleues, le gain sur les pressions rayonn´ ees pour un haut-parleur plus r´ ealiste dont le rayonnement arri` ere serait moiti´ e de celui avant. La gain reste signiﬁcatif malgr´ e un d´ es´ equilibre avant-arri` ere assez modeste.

4 Conclusion

Le travail pr´ esent´ e dans cet article a permis, dans

un premier temps, de montrer qu’il est possible de

mod´ eliser analytiquement le comportement d’une cel-

lule hybride simple en conﬁguration unidimensionnelle,

et ce avec une pr´ ecision acceptable. Toutefois, le mou-

vement d’ensemble de la couche poreuse utilis´ ee ici a

dˆ u ˆ etre limit´ e par des grilles. N´ eanmoins, les vibrations

de structure n’ont pas compl` etement disparu interdi-

sant alors la mod´ elisation de la couche poreuse par une

th´ eorie de type ﬂuide ´ equivalent. Un formalisme de Biot

devrait pouvoir pr´ edire correctement le comportement

du sandwich couches poreuses/grilles. Cependant, nous

(6)

200 400 600 800 1000 0

1 2

Fréquence (Hz)

Pression (Pa)

200 400 600 800 1000 1200

0

Fréquence (Hz)

Pression (Pa)

Figure 9 – Modules des pressions rayonn´ ees par les faces avant des haut-parleurs de contrˆ ole (haut-parleur

de gauche : haut et haut-parleur de droite : bas).

Courbes noires : Aura non modiﬁ´ e, courbes rouges : haut-parleur cardio¨ıde et courbes bleues : haut-parleur

hypocardio¨ıde.

avons choisi pour des raisons pratiques d’utiliser la me- sure de la matrice de diﬀusion de ce sous-syst` eme pour mod´ eliser les cellules hybrides.

La connaissance des matrices de diﬀusions de chaque sous-syst` eme nous a permis de mod´ eliser le contrˆ ole qui serait obtenu par une cellule hybride double. Il a ´ et´ e montr´ e que la r´ ealisation d’une cellule 1D ` a deux ac- tuateurs contrˆ olant ` a la fois la r´ eﬂexion et la trans- mission des ondes acoustiques est th´ eoriquement pos- sible. Des pistes concernant le choix de transducteurs ont ´ egalement ´ et´ e envisag´ ees. Ainsi, des haut-parleurs hypocardio¨ıdes pourraient ˆ etre utilis´ es pour limiter les pressions g´ en´ er´ ees par les sources secondaires.

Bien entendu, ces conclusions ont ´ et´ e ´ etablies en inci- dence normale et pour des ondes planes. Elles devront ˆ etre v´ eriﬁ´ ees en trois dimensions pour des champs acous- tiques plus complexes. L’´ etude tridimensionnelle devra

´ egalement tenir compte de la complexit´ e du champ proche rayonn´ e par les haut-parleurs. Pour cela, une

´ etude par ´ el´ ements ﬁnis de fronti` ere pourrait veriﬁer les conclusions esquiss´ ees par ce travail.

Remerciements

Ce travail a ´ et´ e soutenu par l’Agence Nationale de la Recherche par l’interm´ ediaire du projet PARABAS (ANR-06-BLAN-0081). Les auteurs remercient G´ erard Dejardin pour la r´ ealisation des pi` eces m´ ecaniques du banc de mesure une dimension du CNAM.

R´ef´ erences

[1] Furstoss M., Thenail D., Galland M.-A., ”Surface impedance control for sound absorption : direct and hybrid passive/active strategies”, J. Sound Vib.