Interpolation Chapitre4

Chapitre 4

Interpolation

4.1 Polynôme d'interpolation de Lagrange

Exercice 4.1.2

Soient n P N ^˚ et n ` 1 couples de R ² , px _i , y _i q iPv0,nw , tels que les x _i sont distincts deux à deux. On note Q. 1 1. Soit i P v0, nw. Montrer qu'il existe un unique polynôme L i de degré n vériant

L i px j q “ δ ij , @j P v0, nw. (4.1) 2. Montrer que les pL i q iPv0,nw forment une base de R n rX s (espace vectoriel des polynômes à

coecients réels de degré inférieur ou égal à n ).

On déni le polynôme P _n par

P _n pxq “

n

ÿ

i“0

y _i L _i pxq. (4.2)

Q. 2 Montrer que polynôme P n est l'unique polynôme de degré au plus n vériant P n px i q “ y i ,

@i P v1, nw.

Denition 4.1

Soient n P N ^˚ et px i , y i q iPv0,nw avec px i , y i q P R ² et les x i distincts deux à deux. Le polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux n ` 1 points px i , y i q iPv0,nw , noté P n , est donné par

P n pxq “

n

ÿ

i“0

y i L i pxq, @x P R (4.3)

avec

L _i pxq “

n

ź

j“0 j‰i

x ´ x _j x i ´ x j

, @i P v0, nw, @x P R . (4.4)

Théorème 4.2

Le polynôme d'interpolation de Lagrange, P n , associé aux n ` 1 points px i , y i q iPv0,nw , est l'unique polynôme de degré au plus n, vériant

P n px i q “ y i , @i P v0, nw. (4.5)

1

2 CHAPITRE 4. INTERPOLATION

Exercice 4.1.3

Ecrire la fonction Lagrange permettant de calculer P n (polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux n ` 1 points px i , y i q iPv0,nw ) au point t P R .

4.1.2 Erreur de l'interpolation

Soit une fonction f : ra, bs ÝÑ R . On suppose que les y i sont donnés par

y _i “ f px _i q, @i P v0, nw. (4.6)

On cherche à évaluer l'erreur E _n ptq “ f pxq ´ P n ptq, @t P ra, bs.

Exercice 4.1.4

Soit f P C <sup>n`1</sup> pra; bs; R q. Soient n P N <sup>˚</sup> et n ` 1 couples de R ² , px _i , y _i q iPv0,nw , tels que les x _i sont distincts deux à deux et y i “ f px i q.

On note par P n le polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux points px i , y i q iPv0,nw et π n le polynôme de degré n ` 1 déni par

π _n pxq “

n

ź

i“0

px ´ x _i q. (4.7)

Q. 1 Montrer que, @x P ra; bs, il existe ξ _x appartenant au plus petit intervalle fermé contenant x, x ₀ , . . . , x _n tel que

f pxq ´ P n pxq “ π n pxq

pn ` 1q! f <sup>pn`1q</sup> pξ x q. (4.8)

Indication : Etudier les zéros de la fonction F ptq “ f ptq ´ P n ptq ´ f pxq ´ P n pxq π n pxq π n ptq.

Théorème 4.3

Soient n P N ^˚ et x ₀ , ¨ ¨ ¨ , x _n n ` 1 points distincts de l'intervalle ra, bs. Soient f P C <sup>n`1</sup> pra; bs; R q et P _n le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré n passant par px _i , f px _i qq, @i P v0, nw. Alors,

@x P ra, bs, Dξ x P pminpx i , xq, maxpx i , xqq,

f pxq ´ P _n pxq “ f <sup>pn`1q</sup> pξ x q pn ` 1q!

n

ź

i“0

px ´ x _i q (4.9)

4.1.3 Points de Chebyshev

Trouver p¯ x _i q ⁿ _i“0 , x ¯ _i P ra, bs, distincts deux à deux, tels que max

tPra,bs n

ź

i“0

|t ´ x ¯ i | ď max

tPra,bs n

ź

i“0

|t ´ x i |, @px i q ⁿ _i“0 , x i P ra, bs, distincts 2 à 2 (4.10) On a alors le résultat suivant

Théorème 4.4

Les points réalisant (4.10) sont les points de Chebyshev donnés par

¯

x i “ a ` b

2 ` b ´ a

2 cosp p2i ` 1qπ

2n ` 2 q, @i P v0, nw. (4.11)

4.2. POLYNÔME D'INTERPOLATION DE LAGRANGE-HERMITE 3

4.1.4 Stabilité

On note Λ n “ max

xPra,bs n

ÿ

i“0

|L i pxq|, dites Constante de Lebesgue.

Proposition 4.5

Soient n P N ^˚ et x 0 , ¨ ¨ ¨ , x n des points distincts de ra, bs. L'application L n : C ⁰ pra, bs; R q ÝÑ R n rXs qui a toute fonction f P C ⁰ pra, bs; R q donne le polynôme d'interpolation de Lagrange P n associés aux couples de px i , f px i qq iPv0,nw est bien dénie et linéaire. De plus on a

}L n }

“ sup

fPC

pra,bs; Rq f‰0

}L n pf q} ₈

}f } ₈ “ Λ n . (4.12)

Théorème 4.6

Pour toute fonction f P C ⁰ pra, bs; R q, on a

}f ´ L _n pf q} ₈ ď p1 ` Λ _n q inf

QPR

rXs

}f ´ Q} ₈ (4.13)

4.2 Polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite

Exercice 4.2.1

Soient px i , y i , z i q iPv0,nw n ` 1 triplets de R <sup>3</sup> , où les x i sont des points distincts deux à deux de l'intervalle ra, bs. Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite, noté H <sub>n</sub> , associé aux n ` 1 triplets px _i , y _i , z _i q iPv0,nw , est déni par

H _n px _i q “ y _i et H ¹ _n px _i q “ z _i , @i P v0, nw (4.14) Q. 1 Quel est a priori le degré de H _n ?

On déni le polynôme P n par

P n pxq “

n

ÿ

i“0

y i A i pxq `

n

ÿ

i“0

z i B i pxq (4.15)

avec, pour i P v0, nw, A i et B i polynômes de degré au plus 2n ` 1 indépendants des valeurs y i et z i . Q. 2 1. Déterminer des conditions susantes sur A i et B i pour que P n ” H n .

2. En déduire les expressions de A i et B i en fonction de L i et de L ¹ _i px i q où L i pxq “

n

ź

j“0 j‰i

x ´ x j

x _i ´ x _j .

Q. 3 Démontrer qu'il existe un unique polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite de degré au

plus 2n ` 1 déni par (4.14).

4 CHAPITRE 4. INTERPOLATION

Denition 4.7

Soient n P N ^˚ et px i , y i , z i q iPv0,nw n `1 triplets de R <sup>3</sup> , où les x i sont des points distincts deux à deux de l'intervalle ra, bs. Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite, noté H n , associé aux n ` 1 triplets px i , y i , z i q _iPv0,nw , est déni par

H n pxq “

n

ÿ

i“0

y i A i pxq `

n

ÿ

i“0

z i B i pxq (4.16)

avec

A i pxq “ p1 ´ 2L ¹ _i px i qpx ´ x i qqL ² _i pxq et B i pxq “ px ´ x i qL ² _i pxq (4.17) où

L i pxq “

n

ź

j“0 j‰i

x ´ x j

x _i ´ x _j .

Théorème 4.8

Le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite, H _n , associé aux n`1 triplets px <sub>i</sub> , y <sub>i</sub> , z <sub>i</sub> q iPv0,nw , est l'unique polynôme de degré au plus 2n ` 1, vériant

H _n px _i q “ y _i et H ¹ _n px _i q “ z _i , @i P v0, nw (4.18)

Exercice 4.2.2

Soit f P C ^2n`2 pra, bs; R q. On suppose de plus que, @i P v0, nw, x _i P ra, bs, y _i “ f px _i q et z _i “ f ¹ px _i q.

On note

π ² _n pxq “

n

ź

i“0

px ´ x i q ²

et H n le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite associé aux triplets px i , f px i q, f ¹ px i qq _iPv0,nw . Q. 1 Montrer que

|fpxq ´ H _n pxq| ď

› ›f ^p2n`2q ›

› 8

p2n ` 2q! π ² _n pxq. (4.19)

Indications : Etudier les zéros de la fonction F pyq “ f pyq ´ H n pyq ´ f pxq ´ H n pxq

π _n ² pxq π _n ² pyq et appliquer le théorème de Rolle.

Théorème 4.9

Soient n P N ^˚ et x ₀ , ¨ ¨ ¨ , x _n , n `1 points distincts de l'intervalle ra, bs. Soient f P C <sup>2n`2</sup> pra; bs; R q et H n le polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite associé aux n`1 triplets px i , f px i q, f ¹ px i qq iPv0,nw . On a alors @x P ra, bs, Dξ x P pminpx i , xq, maxpx i , xqq, tels que

f pxq ´ H _n pxq “ f <sup>p2n`2q</sup> pξ x q p2n ` 2q!

n

ź

i“0

px ´ x _i q ² (4.20)

Exercice 4.2.3

Ecrire une fonction algorithmique Hermite permettant de calculer H n (polynôme d'interpolation

de Lagrange-Hermite associé aux n ` 1 triplets px i , y i , z i q _iPv0,nw ) en t P R .