Weak convergence of the integrated number of level crossings to the local time for Wiener processes

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Submitted on 10 Jan 2019

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Weak convergence of the integrated number of level crossings to the local time for Wiener processes

Corinne Berzin-Joseph, José R. León

To cite this version:

Corinne Berzin-Joseph, José R. León. Weak convergence of the integrated number of level cross- ings to the local time for Wiener processes. Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 1994, 319, pp.1311-1316. �hal-00319481�

Source gallica.bnf.fr / Archives de l'Académie des sciences

Comptes rendus de

l'Académie des sciences.

Série 1, Mathématique

Académie des sciences (France). Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série 1, Mathématique. 1984-2001.

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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319, _{Serie I,} p. 1311-1316, ^{1994 1311}

StatistiqueASfaft'srfc.s'

Weak convergence of the integrated number ^{of level}

crossings to the local time for Wiener _processes

Corinne BERZIN-JOSEPH and Jose R. LEON

Abstract - ^{Let {Xt, t e [0, 1]} be a} Wiener process ^defined on (fi, A, P) with covariancefunction

r ^{(t, s)} = E ^{(Xt Xs)} = ^inf

^{s}. We define} the regularized process Xf =

*Xt, with

_a kernel that approaches Dirac's delta function. We study the convergence of

when _{e goes} to zero, with Nx (x) the number of crossings for Xs _{at level x} in ^[0,

and Lx ^(x)

the local time of X in x on ^[0, lj.

Convergencefaible du nombre de franchissements integre vers ^le temps ^local _pour un processus de Wiener

Resume - ^{Soit {Xt, t 6 [0, 1]} un} processus de Wiener defini sur (fi, ^A, P) dont la covariance r

verifie r ^{(t, s)} = E ^{(Xt Xs)} = ^{inf {t, s}.} Nous definissonsle processus regularise Xf =

^{* Xt, ou}

(pe

est un noyau qui approxime la fonction delta de Dirac. Nous etudions la convergencede

quand _e tend vers zero, N (x) designant le nombre de franchissements par ^{Xs du niveau} x sur

[0,

et Lx ^{x) le temps local de X _{en x sur} ^[0,

Version frangaise abregee

—

Recemment M. Wschebor _{[6] a} montre que, pour presque- tout w, les accroissements du processus de Wiener, comme fonction du temps, convergent _au sens de la convergence des moments, _vers une distribution ^gaussienne standard. Ce resultat peut etre ^generalise _a la convergence de

/oo / ^{(x) Lx (x) dx} _ou / est une fonction suffisamment reguliere.

Nous nous interessons -oo a la convergence en ^loi de la difference convenablement normalisee entre ces deux variables i.e. Zs (f).

Nous montrons que Ze (f) converge en ^loi, quand _e tend vers zero, vers a j f ^{(Xs) dWs}

Jo ou W. _est un mouvement brownien independant ^de Xe-

Les auteurs ^dans un ^{autre article [1] ont} considere le meme ^problerne pour ^des processus gaussiens stationnaires dont la covariance est de ^la forme

r ^(t) ₌ ¹

L (t)

t ^\2a _ou ⁰ _< a ^{< 1.}

Le _processus d'Orstein-Ulhenbeck _est un cas particulier (a = ^{1/2) et les} resultats obtenus sont ^similaires _{a ceux} obtenus pour le processus de Wiener.

HYPOTHESES ET NOTATIONS

(HI) Sur le processus X _: ^{Xt, t G [0, 1]} est un processus de Wiener de covariance

r(t, ^s) ₌ E(XtXs) ₌ inf {t, s}. Dans _ce qui suit, nous supposerons X ^(t) defini pour tout

t G R, en defmissant X ^(t) = ^{0 quand} t ^{g R+.}

Note presentee par Jean-Pierre

0764-4442/94/03191311 ^$ 2.00 © Academie des Sciences

1312 C. Berzin-Joseph and J. R. Leon

(H2) Sur le noyau ip : ^tp est pair, _ip > 0, supp ip Q

1, 1], _ip est C 1, / r+l

(i) dt = ^1.

Nous definissons ip = ^{ip * ip.}

(H3) 5M?' /« fonction f _: f G C2 et /" _est bornee.

CO

Nous definissons

g(x) = ^{^Jit/2}

^x

1 = y^ _{a2n H2n (x), ou {.ff„.}

n = ^{0} sont les}

polynomes d'Hermite, orthogonaux par rapport n=l a la mesure standard ^gaussienne et dont ^le coefficient dominant est _{egal a} ^1.

ou

Ent{;z}, z ^G R, designe la partie entiere ^de z.

Remarque. - ^{Le processus Yf est reduit sur {t > s}.}

THEOREME. - ^{Sous les hypotheses (HI),} (H2) et (H3) _{nous avons :}

Ze (f) converge en loi vers Y lorsque e tend vers zero, Y _G I? (f2) et la loi conditionnelle de

(Y/Xs, 0 ^ _s ^ ¹⁾ _{est celle} ^d'une loi normale centree dont la variance _est aleatoire et ^{egale d}

et (Z\ (u), Z2 (u)) est un vecteur gaussien centre ^de matrice de covariance

Remarque.

—

On peut encore dire que ^la variable aleatoire Y _est l'integrale stochastique de / ^(Xs) par rapport ^au mouvement brownien W, limite de Sf =

1. RESULT.

THEOREM. - ^{Under hypothesis (HI), (H2) and (H3) we have:}

Ze (f) converges weakly when e tends to zero towards a r.v. Y _G ^{L2 (Q)} and the conditional distribution (Y/Xs, 0 ^ _s ^ ¹⁾ is Gaussian _{with zero} mean and random variance equal _to

and (Z\ (u), ^Z2 (u)) _is a two-dimensional Gaussian vector with zero mean and covariance

matrix

Weak convergence of the integrated number of level crossings... ¹³¹³ Remark. - ^{One could say} that the limit random variable Y is the stochastic integral of f (Xs) with respect to the Brownian Motion W limit of S* =

2. PROOFS. - ^{As in [1]} start with the decomposition of ^Z£ (/):

Spliting the integrals in ^[0, Me] _and [Me, 1], M _> 0 will be chosen "large enough" (we shall not give here an explicitely lower bound for M), _{we get}

The proof proceeds _as follows: we can prove that ii, ^I2 and ^T2 _converge to _zero in I? (fi)

when _e goes to zero; hence the important term in the development of Ze (f) is Ii ^and

we can ^show that E ^{[T 2]} _{converges to} ^{cr 2} _OQ.

Then we prove that (X*, ^S%) converge weakly for the finite-dimensional distributions to (Xu o-Wt). Furthermore the _vectors (Xtl, Xt2, ..., ^{Xtm) and (Wtl, Wt2,} ..., ^Wtm)

are independent for all £i, t2, .

^tm belonging to ^{[0, 1] and} m ^{G N*.}

Remark. - ^{Contrary to [1] we} have been able to ^show the tightness in the convergence of SI (and therefore the independence of Xt and Wt as processes).

To finish the proof _{we are} interestedwith the convergence of T\. A construction such _as the stochastic integral's allows to conclude ^i.e. we consider a ^discrete version of Ti defining

and

We know from above that ^Z™ (/)

Zn (/), weakly _as e goes to zero. On the other hand, we can prove that ^|| Zn (f)

—

Zn+P (f) ||2 ->0asn goes to infinity, for every p > ^0.

This implies that there exists a r.v. Y _G ^L2 (ft) _{such that:} Zn (f) _{-» Y in} ^L2 (Q) when n goes to infinity; furthermore, we can caracterizethis variable using the ^asymptotic independence between X and W:

To conclude _to the convergence of Ti, _{we prove that}

In what follows we shall only sketch the proof concerning the remark, i.e. we shall

prove the weak convergencefor the finite-dimensional distributions of ££ to Xt.

1314 C. Berzin-Joseph and J. R. Leon For this we need the preliminary result

LEMMA. - ^{For all 0 ^ s £ 1, p G N and e > 0,}

E[g2p(Yss)]^Cte.

Let ^{[tx, t2]} and ^{[t3, t4]} be two ^intervals in ^{[0, 1]} such that t2 < ^{i3 i.e. ts}

^t2 = d^.2e

for _e small enough, then: ^S%

5f and S^

^S% are independent. Therefore if _we show that || St+2e

—

S^

0 and Sf

—

S*

crT^ (i

—

s) weakly, when _e goes to _zero, the result follows.

The first result is a consequence of the lemma and Jensen's inequality.

For the second statement we shall first assume that s > ⁰ _{and then s} > Me for _e small enough.

where

and

Using the lemma _we get ^{J5[i3f)S] 2} = 0(e).

In what _{follows we} use Bernstein's ^method to ^show the asymptotic normality in the same form _as for mixing random variables. This is possible because Z% are 1-dependent.

Define ^I (e) = ^{Ent{(iV (e)}

l)/(p(e)+q(e))} withp(£) a.ndq(e) _two integer functions that will be choosen later and that tend to infinity when _e goes to _zero ^[3].

Random variables _Uj are independent because the ^Zf. are 1-dependent.

On the other hand using Lfndeberg's method _{we compute} for h _G Cf _{(space of functions}

three times differentiable such that h, h', h" and hi" are bounded)

Weak convergence of the integrated number of level crossings... 1315

i

where Y is Gaussian with ^o2 (t

—

s) variance and zero mean, u = \^ _{Uj, v = £~1^2/,} ^k

j=i kei

i

y = ^{YJ % where yj} are independent zero mean Gaussian ^variables with the same variance as Uj and independent from _Uj.

We bound every term separately.

Forh.-h ^< Wh'WcoiE^2)]1/ 2.

Using the 1-dependentproperty and the stationarity of ^Z% _{we get:}

On the one hand, card(I) ^ ^l(e)q(e) _{and on} the other hand using the lemma, it's

easy to show that E ^{[Z% (e)]} £ ^{Ctee 2.} Thus ii goes to zero under the first condition

q (e)/p (e)

₀ when e goes to zero.

For ^I2. - ^{In the} same fashion using that card (H) ^ ^{Gtep (e) for} _{e < e0,} we obtain the result under the second condition ep ^(e)

⁰ when e goes to zero.

For ^I3. - ^{Using a result of [3], we show that}

To prove the tightness of Sf we need a moment inequality that implies E ^(u\) ^

Cte ^{e2 p2 (E)} which thanks to the ^second condition yields the result.

For ^I4. - ^{This term is a Gaussian one and} we only have ^to work with the convergence of the variance i.e. to show that var ^(y)

var ^{(Y) when} e goes to _zero.

Since Z\ is stationary, one ^has:

But

and in the same way

1316 C. Berzin-Joseph and J. R. Leon Hence:

Since el(e)p(e)

(t

—

s)/2 when e goes to zero

Remark.

—

For s = ^0, we consider

The second term tends weakly to aW ^(t

^a) and the first one can be bounded in L2(Q.) by:

Letting e and then a ^{go to zero} the result follows.

Note remise le

septembre 1994, acceptee le 20 septembre ^1994.

REFERENCES

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J. R.

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C. B. J.

Universite Paris-Sud, Laboratoire de Statistique Appliquee, Centre d'Orsay, Bat. n° 425, 91405 Orsay Cedex, France;

J. R. L.

Facultad de Ciencias, UniversidadCentral de Venezuela,

AP: 47197, Los Chaguaramos, Caracas 1041-A, Venezuela.