HAL Id: jpa-00233145
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Submitted on 1 Jan 1933
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Sur l’interaction entre neutrons et protons
J. Solomon
To cite this version:
J. Solomon. Sur l’interaction entre neutrons et protons. J. Phys. Radium, 1933, 4 (4), pp.210-220.
�10.1051/jphysrad:0193300404021000�. �jpa-00233145�
SUR L’INTERACTION ENTRE NEUTRONS ET PROTONS Par J. SOLOMON.
Sommaire. 2014 Le présent travail commence par une étude oritique des différents
modèles qui ont été proposés pour rendre compte de l’interaction proton-neutron. L’assi- milation du neutron à un dipôle conduit à une intéressante comparaison entre les résultats de la théorie classique et de la théorie quantique. Ces différents modèles conduisent à des dimensions assez différentes pour le neutron. On a donc cherché à obtenir des résultats sur la section efficace des chocs proton-ueutron qui soient indépendants de la
forme particulière donnée à la loi d’interaction entre les deux particules. En supposant
que la liaison du proton et du neutron dans l’isotope de masse 2 de l’hydrogène est de
même nature que les forces entrant en jeu dans les chocs neutron-proton, il est possible
d’établir une relation entre la section efficace des chocs en question et le défaut de masse
de H2. Cette relation est en bon accord avec l’expérience. On en tire diverses conséquences
sur la forme et les propriétés du neutron.
1. - La prévision théorique d’une des grandeurs relatives au neutron qui soient le plus accessible à l’expérimentation, la section efficace relative aux chocs neutron-proton
fait t’objet du présent travail. Déjà un certain nombre de travaux se sont occupés de cette question : ils partent d’une forme simple de loi d’interaction entre les deux particules, la
forme de la loi n’étant fixée que par des analogies physiques qui sont forcément assez
lointaines.
2. - Avant de discuter les résultats en question, il nous sera commode d’introduire
u-ft système particulier d’unités qui se montre bien adapté à l’étude des phénomène
nucléaires. Soient m et Jlles masses de l’électron et du proton, e la charge électronique,
c la vitesse de la lumière, /e la constante de Plaiick, ti celle-ci divisée par 21t; nous pren- drons pour unités de longueur et d’énergie
Les mesures des grandeurs rapportées à ce système d’unités seront affectées d’un indice
zéro. Dans ce système (tout comme dans celui de Hartree pour l’échelle atomique), la charge électronique a pour mesure 1, il en est de même de ~z; la vitesse de la lumière a
pour mesure 137. Enfin les mesures du rayon de l’orbite fondamentale de l’hydrogène a,
du rayon classique de l’électron d, des longueurs d’onde de Compton relatives à l’électron et au proton 2 x 1 et 2 7: S
sont données par
3. - La loi d’interaction
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193300404021000
a été particulièrement étudiée (1), l’ désignant la distance des deux particules, ,, une lon-
gueur que l’on cherchera à déterminer par comparaison avec l’expérience. Soit
la longueur d’onde, v étant la vitesse relative des deux particules. Dans ces conditions, le
rayon efficace de choc est
soit avec nos unités
Il dépend donc sensiblement de la vitesse. Voici pour différentes valeurs de v la valeur qu’il est nécessaire de donner à po pour retrouver la valeur expérimentale (2)
Pour les vitesses assez faibles
1 -2013 ), p0 devient à peu près constant (po 1,2)
mais l’application de la méthode de Born peut paraître alors problématique. Nous revien-
drons là-dessus un peu plus loin. En tout cas il est intéressant de remarquer que toutes les valeurs trouvées pour po (qui marque pour ainsi dire les dimensions du neutron) sont
considérablement plus grandes que le rayon d’action 0’0.
En prenant (j) la loi
par analogie avec l’interaction d’un atome d’hydrogène et d’un proton, on trouve
soit, °0 # 0,3
résultat sensiblement inférieur à (5).
4. - Une autre loi d’action possible (~) est donnée par
Oïl assimile donc le neutron à un dipôle tournant de moment e p. Le nombre de parti-
cules diffusées dans l’angle (fi, 0, -~- d 6) est donné par
(1) H.-S.-W. MASSEY, Vature 129 (1932), 469 et 691. ~ J L. C. 7?., 194(1932., 1909 et Etat actuel de la theorie du neutrun, Paris (1932).
L. MEITNER et K. PmLipp, Aaiurwiss 20 (1932), 92 . (1)>) H.S...B. MASSEY, Soc. A i38 (1932), ..6th.
(4) loc. Ctt,
On en déduit immédiatement que le rayon d’action correspondant aux chocs de direc-
tion comprise dans le quadrant
(~, T.:)
est donné parLe tableau correspondant à (5) se forme aisément
Les dimensions du neutron sont donc ici très sensiblement inférieures à celles obte-
nues dans notre premier exemple. Rappelons que
La comparaison de (9) et (10) plaide peu en faveur de l’origine dipôlaire de l’interac-
tion proton-neutron. Ici d’ailleurs la question de la convergence de la méthode n’entre pas
en question. C’est qu’en effet le critérium de convergence est
soit avec nos unités
condition qui est toujours satisfaite.
Les différentes hypothèses possibles sur l’interaction des deux particules fournissent donc des renseignements assez peu concordants sur la structure du neutron. Nous avons
cherché au contraire à obtenir le résultat le plus général possible, en faisant appel au
minimum d’hypothèses possible sur la loi d’interaction en question.
5. - Auparavant nous allons revenir sur certaines conséquences de la loi d’interac- tion (6) car il y a là un intéressant exemple des analogies et des différences que présentent
entre elles la théorie classique et la mécanique quantique.
Soit de façon générale M la masse du neutron, ti la masse de l’autre particule. Nous
étudions le passage des neutrons à travers la matière, la loi d’interaction étant (6), le
nombre de particules de masse p. étant 1V par centimètre cube. L’énergie transférée au
cours d’un choc sous l’angle 0 a pour expression
En tenant compte de (7) et intégrant sur 0, on obtient la perte d’énergie cinétique par unité de longueur
Si l’on fait successivement dans cette formule ~ -= m, ~ = M, on voit immédiatement que dans le second cas la perte d’énergie a lieu bien plus rapidement (dans le rapport de
m 4à m). C’est là un cas particulier d’un résultat général qui a été in (tiqué pour la première
fois par Bohr (1).
Voyons maintenant le résultat correspondant dans la théorie classique. La force qui
o c2
s’exerce entre les deux particules est
p e2,
la durée du choc est de l’ordre de grandeur der
par suite la quantilé de inouvement tiansféiée est
par suite la quantité de mouvement transférée est
et l’énergie perdue au cours d’un choc
Par intégration sur r on obtient
î-0 désignant la distance minima entre les deux particules.
Par analogie avec la déduction classique (2) de la formule de Bohr, on est amené à
prendre pour limite inférieure de r la distance ro telle que
Ceci donne pour (13)
La masse a donc disparu de la formule finale, en contradiction complète avec la
formule quantique (12). (De 12 ) ( façon plus p
précise, 20132013 varie
p x comme 1 à 2 quand 1 on remplacepu par m puis par JI).
Ce paradoxe apparent s’explique de la façon suivante. Pour que nous ayons le droit,
dans le présent problème, d’appliquer la théorie classique, il faut que les « dimensions du
problème » soient grandes vis-à-vis de la longueur d’onde (2), donc
soit encore
soit encore
(1) N. BOHR, Conféi-eïiee de Pâques 1932 à Copenhague. Je tiens à cette occasion à exprimer au Profes-
seur N. Bohr ma très vive reconnaissance pour les conseils qu’il m’a donnés sur ce sujet.
(2) N. Bous, Mag. (1913), 10 30 (§915), 581.
pour les chocs avec les protons et
pour les chocs avec les électrons. Il suffit de comparer ces résultats avec (11) pour voir que dans le domaine classique, la méthode que nous avons utilisée pour arriver à (i2) n’est pas valable (ceci s’explique de façon générale par l’intervention de h au dénominateur dans
(11). Le fait que dans le domaine quantique on ait
, . ,
1
b ... ,. ,, .. ,
nous incite à remplacer r0 par - pour limite inférieure d’intégration sur 1.. On obtient
- (J. v
ainsi
soit, à une constante numérique sans signification près, un résultat identique à (12). Dans la’théorie du passage des particules électrisées à travers la matière telle qu’elle a été déduite
de la mécanique classique par Bohr, on est conduit (’) à introduire des modifications analo- gues pour tenir compte de l’existence du quantum d’action, mais par suite de la forme de la loi de Coulomb, les modifications en question portent sur l’argument d’un logarithme
et n’ont pas l’importance qu’elles présentent ici.
6. - Revenons à la théorie générale des chocs. Dans ce qui suit, nous rapporterons les
deux particules à un système de coordonnées lié à leur centre de gravité. Soit
M’ -111/~, ~’’ == E/2 la masse et l’énergie réduites. L’équation de Schrôdinger relative au problème s’écrit
(r) représente l’énergie d’interaction des deux particules. Dans ces conditions (1), le
nombre de protons émis dans l’unité d’angle solide dans la direction 0 a pour expression
Dans la formule précédente, les sont les phases des différentes ondes sphériques diffusées, les Pl (cos 0) sont les polynômes de Legendre.
, .d’] t.t bt. , 1.
Lorsqu’on peut considérer le terme
li2
fi2 2 comme petit, on obtient, en négligeantson carré
1
J i
(x) étant la fonction de Bessel d’ordre 1-)- 1.
..
(t) Cf. BETHE, der. Phys. 5 (1930), 325.
(2) FAXEN et ,~. Physik, 45 (1921), 307; N. F. MOTr, Proc. Roy. Soc. A 118 (t928), 544, Proc.
Phil. Soc. 25 (i929), 304.
Quand tous les sont petits devant l’unité, on peut développer les exponentielles en série, se limiter aux deux premiers termes du développement et l’on obtient alors la
première approxinîatioîi de la méthode de Born. Dans ce cas,
avec
7. - Supposant une équation d’ondes telle que (18) comme valable avec la même énergie d’interaction pour rendre compte aussi bien des chocs proton-neutron que de l’existence de l’isotope de masse 2 de l’hydrogène (liaison neutron-proton) nous allons
établir une relation entre le défaut de masse de l’isotope en question et le rayon d’action des chocs neutron-proton. Nous reviendrons plus loin sur l’hypothèse précédente.
Dans le système du centre de gravité, les niveaux d’énergie du proton lié au neutron
sont définis par l’équation d’ondes
soit dans notre système d’unités
Posons
(23) devien t
(c’est l’équation qui intervient dans la méthode d’approximation de Brillouin- BBTentzel).
Développons maintenant ? et v en série de Fourier dans un cube centré sur l’origine et ayant pour arête la longueur unité
(25) s’écrit alors
Multiplions par 6- 2,.i (nxo + myo et intégrons sur le cube unité,
étant l’habituel symbole de lVeierstrass. En particulier, pour
Si nous nous restreignons maintenant au niveau fondamental, comme il est bien connu, la fonction ~ sera réelle. D’autre part elle présentera la symétrie sphérique. Il en sera
donc de même pour v, d’où les relations
ce qui permet d’écrire (26) de la façon suivante :
Le premier terme (27) est positif, par suite ~
,
inégalilé fondamentale qui nous donnera une limite supérieure pour le rayon d’action du neutron.
8. - Remarquons que l’expression explicite de ccooQ n’est autre que
On peut en effet étendre l’intégration jusqu’â l’infini, ; étant sûrement négligeable en
dehors du cube unité.
Comparons maintenant (2i) et (29). Si
la grandeur est certainement inférieure à 1 et positive, de sorte que
La condition (30) est d’ailleurs remplie de façon satisfaisante dans les cas qui se présentent
dans 1ft pratique. Dans le cas le plus défavorable
sin -
1 pour r = 10-12 cm, il suffitque v :::-=- 2. 10° cm. sec -’ .
9.
que v CID.
L’inégalité (31) n’est pas suffisante pour le but qui nous occupe, car nous ne savons pas si l’on peut se contenter de la première approximation de Barn. De (19) d’autre part,
on tire par intégration sur 0, en tenant compte des relations d’orthogonalité des polynômes
de Legendre, pour la section efffcace -,zcrl:
alors que, nous l’avons vu, pour la première approximation de Born, on a
Comme on a toujours sin2 2 L 1’/¡, on en déduit
et finalement
ou encore
qui est la relation recherchée.
9. - Avant de passer à sa discussion, remarquons que la relation (3f) nous permet de voir si nous nous trouvons dans les limites de l’approximation de Born pour les vitesses obtenus expérimentalement. Pour 7 ~= 8.10-13 cm, v = 3.101 cm, la relation (32)
devient en effet
Il s’ensuit que la première approximation de Born doit être à peu près valable dans le domaine de vitesses considéré ou tout au moins peut-on dire que cü ne doit pas être très
v 1
différent de po pour v = 3. I03 cm ; il en est naturellement autrement.
e - l10
D’autre part il semble que, au moins pour les neutrons très rapides, la distribution
angulaire des protons diffusés soit uniforme (’). Ceci tend à faire penser que aoû, et 2«co ne
sont pas extrêmement différents.
10. - Comme nous l’avons déjà indirlué, la valeur considérée pour Q correspond à
la liaison d’un proton et d’un neutron, soit à la formation de l’isotope de masse 2 de
l’hydrogène. D’après Bainbridge (1), la masse de ce dernier (dans le système de masse O16 - lii) est
la masse du proton isolé étant 1,00778 (ceci correspond à une énergie de liaison proton- neutron (3) de 9,5.106 volts).
L’énergie (37) correspond d’une part à l’énergie de liaison proprement dite E = 2Q d’autre part à l’énergie du neutron, exprimé par son défaut de masse D :
Par suite (35) s’écrit
Ceci nous donne une limite supérieure pour Expérimentalement on a trouvé
.d’où
Par suite la masse du neutron est comprise entre les limites et
(1) M. DE BROGL1E et L. LEppiNCE-RiNGUET. C. R., i94 (1932), 16’.6. Pour la question de la convergence de la méthode de Born, cf. également J. SOLOMON, C. R., 196 (1933) 607.
l’2) K.-T. BAINBRIDGF,. Phys. Rev., 41 (1932) 396. Voir aussi J.-D. HARDY, E.-F. BARDER et D.-M DFNriisoN,
Phys. Rev., 42 (’932), 2 i v.
(3) En admettant la valeur (42) pour masse du neutron.
En fait, ceci est bien en accord avec les résultats expérimentaux. Si réciproquement d’ailleurs, on prend pour masse du neutron la masse qu’obtient Chadwick (1), à partir du
bilan d’énergie pour la désintégration du noyau de Bore
ceci donne pour cro la limitation soit encore
En résumé, nous pouvons dire que les hypothèses dont nous sommes partis ne sont pas en désaccord avec l’expérience.
11. - Il n’est pas sans intérêt de chercher à se rendre compte de l’ordre de grandeurs du terme
Par définition,
Soient po et k les longueurs des vecteurs zo) et (r, s, t) , i, leur angle. Donc
Nous cherchons ici simplement à nous rendre compte des dimensions de l’intervalle dans
lequel ~ est sensiblement différent de zéro. s Pour cela. nous remplacerons ~ par une
exponentielle et poserons
’
~ marque les dimensions du domaine en question, le cc rayon » du neutron. Du reste, x et a,
ne sont pas indépendants, mais la relation de normalisation impose la condition
Dans ces conditions, on trouve aisément que K est très approximativement égal à
Posons encore 60 = 0,3 et 1,006t pour la masse du neutron, on tire de (27)
soit
~o est donc du même ordre de grandeur que ao, quoique sensiblement plus grand. SL
l’on tient compte de l’incertitude liée à l’hypothèse (44), ceci peut être considéré comme
très satisfaisant.
(1) J. CHADWICK, Proc. Soc A 136 (1932), 692. Le dernier chiffre semble assez douteux. (Note ajoutée
à la correction). Voir aussi I. CuRiE et F. JBLIOT, J. Phys., 4 (1933), 21. Rappelons que les cliiffres indiqués ce,
rapportent à Ola = 16. ,
12. - Il nous reste à discuter les hypothèses qui sont à la base des calculs qui précèrlent. Celles-ci consistent à admettre que la mécanique quantique est applicable au problème considéré, tant dans le cas des chocs neutron-proton que dans le problème de
l’existence de l’isotope II2. On admet ensuite que l’interaction est de même nature dans les deux cas envisagés.
Que la mécanique quantique soit applicable à la dynamique des chocs neutron-
proton, c’est ce qui est rendu très vraisemblable par le fait expérimental que les principes
de conservation d’énergie et de quantité de mouvement se trouvent vérifiés au cours de
ces chocs (les preuves expérimentales de l’existence du neutron reposent au reste direc- tement sur cette hypothèse) On pourra donc toujours représenter la théorie des chocs en question par une équation due Schrôdinger du type (18), ~’ (r) étant une fonction pouvant
varier suivant les conditions de l’expérience (angle d’observation, vitesse des particules).
Il semble d’autre part que les interactions de type magnétique ne jouent pas de rôle
important dans la théorie de ces chocs. comme nous l’avons vu au paragraphe 4. Il est
donc naturel d’admettre que V’ ne dépend que de ~’.
L’application de la mécanique quantique au problème de l’existence de l’isotope H2
est bien plus aléatoire. On peut trouver un argument en faveur de cette hypothèse dans
le succès de la théorie de Gamow dans les questions de désintégration radioactive et de diffusion anormale des particules rL. La méthode employée consiste en effet exactement
.à admettre que les protons à l’intérieur du noyau obéissent aux lois de la mécanique quantique, on peut alors représenter le comportement d’un proton par une équation de type (18). V (r) étant le champ self-consistent du système nucléaire. Ceci toutefois n’est pas absolument convainquant, il est en effet possible que la méthode en question soit .applicable aux problèmes relatifs aux noyaux complexes et ne le soit pas au cas beaucoup plus simple de HI. Il est d’autre part possible que des mécanismes tout à fait différents (1)
rendent compte de l’existence de H2.
Si toutefois on admet la possibilité de cette application, il faut avouer qu’il n’est
nullement nécessaire que la fonction d’interaction du problème relatif à H2 et celle relative
aux chocs neutron-proton soient identiques. C’est cette hypothèse qui est évidemment la moins certaine de toutes celles que nous avons utilisées. On peut toutefois considérer que c’est l’hypothèse la plus simple et que jusqu’à plus ample informé il peut être
commode de la considérer comme réalisée dans la nature. Remarquons que la théorie récemment présentée par Heisenberg (1) où l’échange des deux protons est à l’origine de
l’interaction entre neutron et proton, le neutron étant considéré comme résultant de la combinaison d’un proton et d’un électron, entre bien dans le schéma général considéré.
On indique parfois (à) comme preuve de la possibilité d’application de la mécanique quantique au problème de 1 existence de l’isotope H2 ou de la particule a le fait que leur défaut de masse est en accord qualificatif avec l’énergie que les relations d’incertitude de
Heisenberg font correspondre à leur extension spatiale. Si l’on remarque que dans le cas
présent la notion d’extension spatiale est un concept qui n’est rien moins que défini, et qu’il faut y substituer la notion expérimentale de rayon de choc vis-à-vis d’autres
particules, on peut considérer les développements qui précèdent comme précisant l’idée
à laquelle nous venons de faire allusion.
Il faut enfin espérer que les progrès expérimentaux prochains permettront une étude plus détaillée de la question sur la base que nous venons de développer en nous four-
nissant des renseignements plus complets sur la variation du rayon d’action du neutron en
fonction de la vitesse des protons incidents.
(1) 11T DELBRÛCK, Alature, 130 (1932), 626, 660.
(2) W. HEISENBBRG, Z. Physik, 77 (4432), 1; 78 (932), ~156; 80(1933), 587.
(3) N. BoHR, Convegno di Fisica nucleare (1932), p. 128.
Note ajoutée à la correction. - Après l’envoi du présent travail, j’ai pris connais-
sance d’un intéressant article de E. Wigner (1) dont certains points de vue se rapprochent
assez de ceux qui sont exposés ici. Wigner part d’une fonction d’interaction arbitraire V (1)
où v et p sont des constantes à déterminer empiriquement. Il calcule la première valeur
propre de F énergie du problème quantique relatif à V (r) et en l’égalant à l’énergie de
liaison de H2, il obtient une relation entre v et p, soit avec nos notations
D’ailleurs il montre que la forme de cette relation est relativement indépendante du
choix de V (r) (le type exponentiel étant cependant conservé).
Le but de Wigner est de déduire des hypothèses qui précèdent une explication et un
calcul du très grand défaut de masse de la particule a vis-à-vis de celui de Hz (le rapport
entre les deux énergies de liaison n’est pas moins de 17). Malheureusement la formation des fonctions d’onde pour le problème relatif à l’hélium à partir des fonctions d’onde relatives
. e2
à H2 n’est pas dépourvu d’un certain arbitraire. Wigner part de la valeur p
=0,38.20132013;,
1Uo c-soit po = 0,04 et est conduit dans ces conditions à admettre que si la largeur du champ est
aussi petite, les forces d’attraction entre neutron et proton donnent lieu à un défaut de masser trop élevé pour He, de sorte qu’une répulsion entre les différents neutrons est nécessaire pour retomber sur la valeur correcte.
Si l’on admet les hypothèses qui sont à la base de notre travail, on est conduit de suite à supposer que po ne peut être sensiblement inférieur à 0"0; si donc dans (b) nous portons Eo = 30, ;~o = 0,3, on obtient deux valeurs possibles pour 58 ou 9. En tout cas il semble
possible alors d’expliquer l’importance du défaut de masse de He sans recourir à des hypo-
thèses supplémentaires sur la nature de l’interaction entre neutrons, restant en accord par cela avec la théorie de Heisenberg sur la constitution des noyaux.
Il est intéressant enfin de noter l’analogie entre la relation (b) et la relation (2i) (dans laquelle on aura tenu compte de (45)).
(1) E. WIGriER, Phys. Rev., 43 (i933), 252.
