HAL Id: inria-00386612
https://hal.inria.fr/inria-00386612
Submitted on 22 May 2009
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Prise en compte des covariables temporelles dans la modélisation des événements récurrents
Génia Babykina, Vincent Couallier, Yves Le Gat
To cite this version:
Génia Babykina, Vincent Couallier, Yves Le Gat. Prise en compte des covariables temporelles dans
la modélisation des événements récurrents. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeaux, 2009,
Bordeaux, France, France. �inria-00386612�
Prise en compte des covariables temporelles dans la mod´ elisation des ´ ev´ enements r´ ecurrents
G´ enia Babykina a,b , Vincent Couallier b , Yves Le Gat a
a Cemagref, UR ”R´ eseaux, ´ epuration et qualit´ e des eaux”. 50 avenue de Verdun 33612 Cestas Cedex
[email protected]
b IMB, UMR 5251. Universit´ e Victor Segalen Bordeaux 2. 146, rue L´ eo-Saignat 33076 Bordeaux Cedex
R´ esum´ e
L’´ etude porte sur la mod´ elisation des ´ ev´ enements r´ ecurrents d’un syst` eme r´ eparable avec maintenances imparfaites, fond´ ee sur la g´ en´ eralisation du mod` ele NHPP. L’effet des main- tenances sur l’intensit´ e est pris en compte par le nombre de d´ efaillances pr´ ec´ edentes.
L’introduction des covariables d´ ependantes du temps dans le mod` ele a ´ et´ e d´ etaill´ ee ainsi que l’algorithme de simulation des donn´ ees. L’application ` a la mod´ elisation des d´ efaillances d’un r´ eseau d’eau est pr´ esent´ ee.
Mots-cl´ es : ´ ev´ enements r´ ecurrents, NHPP, processus de naissance, variables d´ ependantes du temps, d´ efaillances de conduites d’eau.
Abstract
The study aims at modelling recurrent events of a repairable system with imperfect main- tenances based on the generalisation of the NHPP model. The effect of the maintenances on the intensity is taken into account by considering the number of previous failures. The introduction of time-dependent covariates into the model is detailed as well as the algo- rithm of data simulation. The application to failure modelling of the water distribution system is presented.
Key-words: recurrent events, NHPP, birth process, time-dependent covariates, water pipe failures.
1 Introduction
Il est naturel de mod´ eliser les ´ ev´ enements r´ ecurrents d’un syst` eme par le processus de comptage de type NHPP, Processus de Poisson Non-Homog` ene (Andersen et al. (1993)), dont l’intensit´ e s’´ ecrit
( E [dN (t) | H] = E [dN (t)] = λ(t) dt
λ(t) = λ 0 (t)e Z 0 β (Z 0 = Z t )
avec dN (t) : le saut du processus ` a l’instant t, H : l’historique, λ 0 (t) : l’intensit´ e de base, Z : vecteur des covariables, β : vecteur des param` etres ` a estimer.
En fiabilit´ e le NHPP peut ˆ etre utilis´ e dans la mod´ elisation des d´ efaillances d’un syst` eme r´ eparable avec maintenances neutres (ABAO : As Bad As Old ), i.e. apr` es la r´ eparation le syst` eme revient ` a l’´ etat dans lequel il ´ etait juste avant la d´ efaillance. En situation de maintenances imparfaites, chaque d´ efaillance et/ou action de r´ eparation d´ eteriore l’´ etat du syst` eme. Le Gat (2009) propose dans ce cas d’´ elargir le mod` ele de NHPP en y int´ egrant le facteur du nombre des d´ efaillances pr´ ec´ edentes. Le mod` ele ainsi construit est bas´ e sur le processus de naissance (voir Ross (1983)) et son intensit´ e s’´ ecrit
( E [dN (t) | N(t−)] = (1 + αj)λ(t), (α > 0)
λ(t) = δt δ−1 e Z 0 β (1)
avec j : le nombre d’´ ev´ enements pr´ ec´ edents, t : l’ˆ age du syst` eme, Z : vecteur p - dimen- sionnel des covariables fixes dans le temps, θ = {α, δ, β 1 , . . . , β p } : param` etres ` a estimer.
Le mod` ele (1) est un NHPP pour α = 0. On note Λ(t) = R 0 t λ(s) ds = t δ e Z 0 β .
Le Gat (2009) montre que le nombre de d´ efaillances dans une p´ eriode de temps donn´ ee [a, b], conditionnellement au nombre de d´ efaillances pr´ ec´ edentes suit la distribution Bino- miale N´ egative :
[N (b) − N (a) | N(a−) = m] ∼ N B α −1 + m, e α[Λ(b)−Λ(a)]
. (2)
Cela nous permet d’´ ecrire la vraisemblance du processus d´ efini par le syst` eme (1) et d’estimer ses param` etres.
Notre ´ etude s’applique ` a la mod´ elisation du processus des casses de conduites dans un r´ eseau d’eau, dont l’intensit´ e est sujette ` a des fluctuations temporelles qui ne sont pas directement prises en compte par le mod` ele (1), ce qui introduit un biais dans les es- timations. Nous proposons ici de mod´ eliser les fluctuations d’intensit´ e du processus en int´ egrant les variables d´ ependantes du temps dans la partie Z 0 β du mod` ele. Les d´ etails des calculs adapt´ es ` a ce cas sont pr´ esent´ es dans la Section 2. Dans la Section 3 nous d´ ecrivons la m´ ethode de simulation des donn´ ees suivant (1) en pr´ esence des variables temporelles.
2 Int´ egration des variables d´ ependantes du temps
Deux situations sont envisageables :
(a) Variable temporelle constante par morceaux, ce qui se traduit par une ou plusieurs
p´ eriode(s) marqu´ ee(s) dans le processus de d´ efaillances (ex.: une ann´ ee froide, cam-
pagne de recherche de fuites, augmentation de pression dans le r´ eseau, etc.)
(b) Variable temporelle dont l’effet sur le processus est continu (ex.: la temp´ erature moyenne journali` ere, l’humidit´ e, etc.)
2.1 Variable temporelle constante par morceaux
Nous supposons dans ce cas que la p´ eriode d’observation est d´ ecoup´ ee en k sous-intervalles, sur chacun desquels l’effet de la variable temporelle, not´ e ˜ β k , est constant (cf. Figure 1 pour illustration).
a =τ 0 τ 1 τ 2 τ k-2 s τ k-1 τ k = b t
1
β ~ β ~ 2 1
~
−
β k β ~ k
Figure 1: Variable temporelle discr` ete
Le vecteur p-dimensionnel des covariables fixes, Z, pour chaque individu est compl´ et´ e par k variables indicatrices ˜ Z l , telles que :
Z ˜ l (t) =
( 1 si t ∈ [τ l−1 , τ l [ , l = 1, . . . , k 0 sinon
Ainsi, le vecteur de covariables sera ˜ Z l = {Z, 0, . . . , 0
| {z }
(p+1,...,p+(l−1))
, 1, 0, . . . , 0
| {z }
(p+(l+1),...,p+k)
} et le vecteur des coefficients des covariables : ˜ β = {β, β ˜ 1 , . . . , β ˜ k }.
Selon le mod` ele (1), l’´ ecriture de la vraisemblance des ´ ev´ enements survenus aux instants t j dans l’intervalle [a, b] n´ ecessite le calcul des int´ egrales Λ(s), s ∈ {a, b, t j }. La modification de ces calculs en pr´ esence des covariables temporelles est detaill´ ee ci-dessous.
Les covariables ´ etant fixes sur chaque intervalle h τ l−1 , τ l h , nous pouvons calculer l’int´ egrale : Λ l =
Z τ l τ l−1
λ(u) du =
Z τ l τ l−1
δt δ−1 e Z ˜ l 0 β ˜ = τ l δ − τ l−1 δ e Z ˜ l 0 β ˜ . En fixant s ∈ [τ h , τ h+1 ], les Λ(s) dans la vraisemblance sont calcul´ es selon :
Λ(s) =
h−1
X
l=0
τ l+1 δ − τ l δ e Z ˜ l+1 0 β ˜ + s δ − τ h δ e Z ˜ h+1 0 β ˜ (3)
Les inconv´ enients de la m´ ethode pr´ esent´ ee sont les suivants :
- le grand nombre de param` etres suppl´ ementaires ` a estimer β ˜ 1 , . . . , β ˜ k ;
- la n´ ecessit´ e de connaˆıtre ou supposer connus le d´ ebut et la fin de la p´ eriode marqu´ ee, [τ l−1 , τ l [ ;
- la transformation des donn´ ees pour l’estimation est compliqu´ ee.
En revanche, l’´ ecriture explicite des int´ egrales Λ(s) facilite les calculs et accel` ere la proc´ edure d’optimisation de la vraisemblance.
2.2 Variable temporelle continue
Notons X(t) la variable continue qui influence l’intensit´ e du processus tout au long de la p´ eriode d’observation. L’intensit´ e instantan´ ee s’´ ecrit
( E [dN (t) | N (t−)] = (1 + αj)λ(t)
λ(t) = δt δ−1 e Z 0 β+γX(t) (4)
En supposant que la variable X(t) est observ´ ee avec une certaine p´ eriodicit´ e aux instants {τ 1 , . . . , τ i , . . . , τ m }, nous pouvons calculer λ(t) ` a chacun de ces instants. Sur les inter- valles [τ i , τ i+1 [ entre les observations, λ(t) peut ˆ etre approch´ ee par une droite y(t).
L’int´ egrale Λ(s) pour s ∈ [τ h , τ h+1 ], s’´ ecrit Λ(s) = P h−1 i=0 Λ(τ i , τ i+1 ) + Λ(τ h , s) avec Λ(τ i , τ i+1 ) = R τ τ i+1
i y(u) du. Un exemple d’int´ egration approch´ ee pour une covariable tem- porelle p´ eriodique est pr´ esent´ e sur la Figure 2.
Les avantages de la m´ ethode sont les suivants :
- supposer continu l’effet de la variable sur l’intensit´ e est plus r´ ealiste ; - l’approche ne n´ ecessite l’estimation que d’un param` etre suppl´ ementaire, γ.
Les limites de l’approche sont :
- il est n´ ecessaire de supposer que la forme de X(t) est connue ;
- l’int´ egration de λ(t) approch´ ee pour chaque individu ralentit le calcul de la vraisem- blance ` a l’´ etape d’estimation.
0 5 10 15 20 25
0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025
λ(τ1) λ(τ2) λ(τ
m) λ(τ
m-1)
λ( t )
t
) 2 sin(
6 . 0 ) 20 ln(
4 . 0 8 2 .
2 0
. 1 )
( t = t e − + + t
λ
Λ( t )
t
0 5 10 15 20 25
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
∫
∫ ∑ ∫
−=
+
=
=
Λ
+s
s h
i h
i
i
du u du u du u s
τ τ τ
λ λ
λ ( ) ( ) ( )
) (
0 1
0 1
Figure 2: Calcul de Λ(s) avec une variable temporelle continue observ´ ee ponctuellement
3 Simulation des donn´ ees
Les temps des ´ ev´ enements, t j (j ∈ N ), sont simul´ es successivement par la m´ ethode de la transform´ ee inverse. La fonction utilis´ ee est celle de la survie conditionnelle (not´ ee S(.)) du temps (not´ e X j+1 ) entre les d´ efaillances j et j + 1. Cette fonction est la probabilit´ e conditionnelle de ne pas avoir d’´ ev´ enement dans l’intervalle ]t j , t j + x] sachant que j
´ ev´ enements se sont produits sur [0, t j [ (N (t j ) = j ). En utilisant (2) Le Gat (2009) montre que :
S (X j+1 ) = P [X j+1 > x | T j = t j ] = e −(1+αj)[Λ(t j +x)−Λ(t j )]
Avec la m´ ethode de la transform´ ee inverse (voir par exemple Shih et Leems (1993)), nous avons : e −(1+αj)[Λ(t j+1 )−Λ(t j )] = u j+1 ⇒ Λ (t j+1 ) = Λ(t j ) − ln(u 1+αj j+1 ) et t j+1 = Λ −1 (t j+1 ) avec u la r´ ealisation de la variable al´ eatoire uniforme sur [0, 1] (u ∼ U (0,1) ) et t j+1 le temps de (j + 1) ` eme ´ ev´ enement.
Le probl` eme qui se pose dans le cadre des simulations est la n´ ecessit´ e d’identifier l’intervalle de temps, [τ h , τ h+1 [, dans lequel se trouve la prochaine d´ efaillance avant de calculer son temps exact t j+1 . En effet, si t j+1 ∈ [τ h , τ h+1 [, alors Λ (t j+1 ) = Λ(τ h ) + t δ j+1 − τ h δ e Z h+1 0 β et d’apr` es (3) nous avons :
t j+1 =
Λ(t j ) − ln(u 1+αj j+1 ) − Λ(τ h ) e Z h+1 0 β + τ h δ
1/δ
Il est donc n´ ecessaire de connaˆıtre le vecteur des futures covariables, Z h+1 , afin de trouver le temps du futur ´ ev´ enement, t j+1 .
L’algorithme it´ eratif de simulation utilis´ e est le suivant (cf. Figure 3 pour l’illustration et un exemple) :
1. Calculer Λ l = Λ(τ l ), l = 0, . . . , k du d´ ebut et de la fin de chaque sous-intervalle o` u la variable temporelle est constante.
2. j = 0
3. Tirer u j+1 ∼ U (0,1) . Calculer E j+1 = − ln(u (1+αj) j+1 ) et Λ(t j+1 ) = Λ(t j ) + E j+1 (Λ(0) = 0).
4. Identifier la position de Λ(t j+1 ). Si Λ(t j+1 ) ∈ [Λ(τ h ), Λ(τ h+1 )[ alors t j+1 ∈ [τ h , τ h+1 [ et Z h+1 est utilis´ e dans l’inversion de Λ j+1 . Ainsi, le temps t j+1 peut ˆ etre calcul´ e.
5. j = j + 1
6. R´ ep´ eter les ´ etapes de 3 ` a 5 jusqu’` a ce que l’on sorte de la p´ eriode d’observation.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
Λ0 τ0 E1
Λ(t
1)
t
1t
2t
3t
4t Λ( t )
E2E3E4
Λ(t
2) Λ(t
3) Λ(t
4)
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5 Λ6
τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6
0 10 20 30 40 50
1960 1963 1967 1970 1974 1977 1981 1985 1988
