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Recalage stochastique robuste d’un modèle d’aube de turbine composite à matrice céramique

Paul Lepine

To cite this version:

Paul Lepine. Recalage stochastique robuste d’un modèle d’aube de turbine composite à matrice céramique. Génie mécanique [physics.class-ph]. Université Bourgogne Franche-Comté, 2017. Français.

�NNT : 2017UBFCD051�. �tel-01862730�

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

n

Recalage stochastique robuste d’un modèle d’aube de turbine composite à matrice céramique

P ^AUL L ^ÉPINE

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

Thèse présentée par

Paul LÉPINE

R ECALAGE STOCHASTIQUE ROBUSTE

Soutenue le 29 septembre 2017 devant le jury composé de

Directeurs Président

Examinateurs

Professeur des Universités Associé, LMT Cachan Professeur Associé, École Des Arts Et Métiers Paristech Professeur des Universités, École Centrale Paris

Ingénieur, Safran Aircraft Engines, Moissy-Cramayel Ingénieur, Safran Ceramics, Le Haillan

Chargé de Recherche CNRS, FEMTO-ST Etienne BALMÈS

Guillaume PUEL Bernard TROCLET

Marie-Océane PARENT Cécile CHEVALIER Sco� COGAN Rapporteurs

s c i e n c e s p o u r l ' i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

COMPOSITE À MATRICE CÉRAMIQUE DʹUN MODÈLE DʹAUBE DE TURBINE

é c o l e d o c t o r a l e s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

pour obtenir le

GRADE DE DOCTEUR

DE L

'

F

-C

Remerciements

Cette thèse a pu voir le jour et aboutir grâce au concours de personnes aux- quelles je souhaite exprimer ma profonde reconnaissance. En premier lieu, je remercie Étienne Balmès et Guillaume Puel qui ont accepté de rapporter mes travaux. J’ai été très honoré que Bernard Troclet accepte la présidence du jury. J’ai particulièrement apprécié les échanges constructifs lors de la soutenance.

Je tiens à remercier vivement Florent Bouillon et Cécile Chevalier de Safran Ceramics pour nos riches échanges autour des matériaux composites pendant ces trois années. À Safran Aircraft Engines, je remercie sincèrement Juan Antonio Ruiz- Sabariego et Bruno Mahieux qui m’ont fait confiance sur ce projet. Je souhaite remercier les encadrantes successives Safran : Marie-Charline Charbonnier, Marie- Océane Parent et Caroline Vincent. Plus particulièrement, je tiens à saluer Marie- Océane pour sa direction et son soutien moral lors des moments difficiles. Merci également à toute l’équipe des méthodes : Antoine, Francis, Didier, Jonathan, Aude, Fabien...

J’adresse mes remerciements à mes directeurs de thèse Scott Cogan et Emmanuel Foltête. Scott pour le partage de son expertise, sa pédagogie et son humanité. Emma- nuel pour son pragmatisme et sa capacité à fédérer autour de solutions pertinentes.

Je souhaite également saluer Jean-Louis Raynaud pour le montage des essais mécaniques et Fabrice Richard pour nos discussions autour de la résolution de pro- blèmes inverses. Je tiens également à remercier les différents services avec lesquels j’ai interagi notamment : Christine, Delphine et Isabelle du service administratif, Betty, Jean-Louis et Vincent de l’atelier mécanique et l’ensemble du service informatique.

Je remercie aussi tous les collègues doctorants pour les échanges techniques et les moments chaleureux partagés :

— Les très anciens : Xavier, Agathe, Jean, Youssef et Flaviano...

— Les anciens : Fabien, Gaël, Paul, Julien, Pauline, Dimitri...

— Ma promotion : Kévin, Diala, Alexandre, Ali...

— Les futurs docteurs : Romain, Justine, Olivier, Abou, Vahan, Dario, Fabrice...

Sans oublier les non-permanents : Édouard, Roméo et Sifeng. Mes pensées vont également aux stagiaires : Maxime, Marie, Nerea et Victor. Je salue également les membres du département Temps-Fréquence pour leur bonne humeur et la formation LaTeX accélérée !

Je voudrais terminer ces remerciements avec une pensée aux membres de ma famille. Votre présence lors de la soutenance m’a fait chaud au cœur ! Un dernier merci à Lucie pour sa patience et sa distribution quotidienne de réconfort.

Table des matières

Liste des notations et abréviations xi

1 Introduction générale 1

1.1 Contexte industriel . . . 1

1.2 Introduction aux turboréacteurs . . . 1

1.2.1 Principe de fonctionnement . . . 1

1.2.2 Matériaux des turboréacteurs . . . 3

1.2.3 Aubes de turbines . . . 4

1.2.4 Comportement modal et sources d’excitation . . . 5

1.3 Composites à matrice céramique . . . 6

1.3.1 Introduction . . . 6

1.3.2 Fabrication et mise en forme des aubes composites . . . 7

1.3.3 Propriétés mécaniques des CMC . . . 8

1.3.4 Sources d’incertitudes . . . 10

1.4 Objectif général et plan du mémoire . . . 11

1.4.1 Motivation . . . 11

1.4.2 Objectifs . . . 12

1.4.3 Plan du mémoire . . . 13

2 Mécanique et incertain 15 2.1 Introduction . . . 16

2.2 Comprendre l’incertain . . . 16

2.2.1 Incertain et réalité . . . 16

2.2.2 Types d’incertitudes . . . 17

2.2.3 Sources d’incertitudes . . . 18

2.2.4 Fiabilité et robustesse . . . 19

2.2.5 Prise de décision . . . 21

TABLE DES MATIÈRES

2.3 Quantification des incertitudes . . . 22

2.3.1 Méthodes paramétriques probabilistes . . . 23

2.3.2 Méthodes paramétriques non-probabilistes . . . 25

2.4 Conception et incertain . . . 26

2.4.1 Cycle de conception . . . 26

2.4.2 Philosophie de la V&V . . . 27

2.4.3 Vérification de modèle . . . 28

2.4.4 Validation de modèle . . . 30

2.4.5 Révision du modèle . . . 33

2.5 Conclusions . . . 33

3 Calibrage stochastique de modèle dynamique 35 3.1 Introduction . . . 36

3.1.1 Vibration des systèmes discrets . . . 36

3.1.2 Attentes et objectifs . . . 39

3.1.3 Formulation d’un problème en présence d’incertitudes . . . 40

3.2 Introduction au recalage de modèle . . . 41

3.2.1 Formalisme du recalage de modèle . . . 41

3.2.2 Motivation à la prise en compte des incertitudes . . . 42

3.2.3 État des approches existantes . . . 43

3.3 Recalage en présence d’incertitudes . . . 47

3.3.1 Métriques de performance pour le recalage . . . 47

3.3.2 Recalage déterministe . . . 49

3.3.3 Recalage par ajustement de la matrice de covariance . . . 49

3.3.4 Recalage par algorithme de Metropolis-Hasting . . . 50

3.3.5 Application académique . . . 53

3.4 Calibrage déterministe robuste . . . 57

3.4.1 Motivation . . . 57

3.4.2 Analyse de robustesse info-gap . . . 58

3.4.3 Calibrage de modèle en présence de méconnaissances . . . 61

3.4.4 Proposition d’une méthodologie d’ajustement robuste . . . 64

3.4.5 Illustration déterministe-robuste . . . 66

3.5 Conclusion . . . 70

4 Développement d’indicateurs de présence de compensations 73 4.1 Introduction . . . 74

TABLE DES MATIÈRES

4.1.1 Difficultés liées à la résolution de problèmes inverses . . . 74

4.1.2 Cartographie de performance . . . 76

4.2 Indicateurs de présence de compensations . . . 77

4.2.1 Indicateur : dispersion des performances optimales . . . 77

4.2.2 Indicateur : enveloppes acceptables . . . 78

4.2.3 Indicateur : perte de performance . . . 79

4.3 Étude de l’influence de l’encastrement sur les réponses modales . . . . 80

4.3.1 Motivation . . . 80

4.3.2 Encastrement et liaisons boulonnées . . . 81

4.3.3 Campagne d’essais . . . 84

4.3.4 Comparaison calculs-essais . . . 89

4.4 Application des outils développés . . . 98

4.4.1 Cartographies de performance . . . 98

4.4.2 Indicateurs de compensations . . . 103

4.4.3 Discussion . . . 106

4.5 Conclusion . . . 106

5 Calibrage et calcul de défaillance d’une aube de turbine CMC 109 5.1 Introduction . . . 110

5.2 Présentation du modèle . . . 110

5.2.1 Campagne expérimentale . . . 110

5.2.2 Modèle Éléments Finis . . . 112

5.2.3 Comparaison calcul-essai . . . 113

5.3 Calibrage stochastique-robuste . . . 114

5.3.1 Analyses de sensibilité . . . 115

5.3.2 Calibrage déterministe en présence de compensations . . . 117

5.3.3 Calibrage stochastique en présence de compensations . . . 121

5.3.4 Bilan . . . 127

5.4 Conception robuste d’aubages . . . 127

5.4.1 Introduction à la conception en environnement moteur . . . . 127

5.4.2 Conception mécanique en environnement moteur . . . 129

5.4.3 Modèle numérique encastré-libre . . . 132

5.4.4 Étude de scénarios . . . 135

5.5 Conclusion . . . 137

Conclusions générales et perspectives 139

TABLE DES MATIÈRES

A Résultats plaque CMC 143

Bibliographie 158

Listes des figures 162

Listes des tables 163

Liste des notations et abréviations

Notations

La liste des notations et abréviations présentée ici n’est pas exhaustive et ne présente que les notations et abréviations les plus couramment utilisées. Pour les notations, on utilisera les conventions suivantes :

— les matrices sont notées en majuscule et en gras ;

— les vecteurs sont notés en minuscule et en gras ;

— les scalaires sont notés en minuscule.

M Matrice de masse K Matrice de raideur

f_i Fréquence propre du mode i

ωb Vitesse de rotation du corps basse pression ω_h Vitesse de rotation du corps haute pression E_i Module de Young dans la direction i

G_ij Module de cisaillement dans le plan (i, j) ν_ij Coefficient de Poisson dans le plan (i, j) ρ Densité

α Horizon d’incertitude

TABLE DES MATIÈRES

Abréviations

CAO Conception assistée par ordinateur CMC Composite à matrice céramique CMO Composite à matrice organique EF Éléments finis

MAC Modal Assurance Criterion V&V Vérification et Validation

Marques de produit logiciel

ABAQUS Solveur généraliste de problèmes EF Édité par Dassault Systèmes

CATIA Logiciel de conception assistée par ordinateur Édité par Dassault Systèmes

MATLAB Langage de programmation Édité par The MathWorks

NASTRAN Solveur généraliste de problèmes EF Édité par MSC.Software

PATRAN Logiciel de conception assistée par ordinateur Édité par MSC.Software

AESOP Plate-forme d’analyse de modèle EF, développée au FEMTO-ST MODAN Logiciel d’identification modale, développé au FEMTO-ST SIMBAD Plate-forme d’analyse de modèle EF, développée au FEMTO-ST

1

Introduction générale

1.1 Contexte industriel

Ces travaux de recherche s’inscrivent dans le cadre d’une collaboration entre le Département Méthodes et Outils de Développement de Safran Aircraft Engines (Vil- laroche), Safran Ceramics (Bordeaux) et le Département Mécanique Appliquée de l’institut FEMTO-ST (Besançon). Ce projet a été financé par une bourse CIFRE émise par l’ANRT. Dans cette partie nous aborderons le fonctionnement des turbo- réacteurs et les contraintes qui en découlent. La problématique, relative aux maté- riaux composites céramique tissés, formulée par Safran sera décrite dans la section suivante. Finalement, on annoncera les objectifs et le plan général de ce mémoire.

1.2 Introduction aux turboréacteurs

1.2.1 Principe de fonctionnement

Le premier vol commercial employant un turboréacteur eu lieu en 1952. Plus performants et plus économes que les moteurs à cylindres en étoile, les turboréacteurs permettent de propulser les avions à des vitesses transsoniques (entre match 0.8 et mach 1). Le fonctionnement des turboréacteurs repose sur le principe d’action- réaction. Une masse d’air est accélérée dans une cavité pour créer une force de poussée qui, par réaction, va propulser l’avion. Ainsi, le flux d’air capté par le moteur subi trois étapes : Compression - Combustion - Détente.

Concrètement, le flux d’air traverse d’abord un compresseur où sa pression et sa température sont accrues jusqu’à atteindre la chambre de combustion. L’air com- primé y est alors mélangé à du carburant, du kérosène. Le produit obtenu est alors enflammé. Les gaz produits dans cette phase de combustion sont alors détendus dans une turbine. Elle récupère une partie de l’énergie cinétique du flux pour entrainer le

Introduction générale

compresseur par l’intermédiaire de l’arbre central. Les gaz sont enfin éjectés à l’ar- rière du moteur pour produire la poussée. La force de poussée obtenue est le produit du débit massique des gaz et de la différence des vitesses d’entrée et de sortie.

Rotor basse pression Rotor haute pression FLUX SECONDAIRE

FLUX PRIMAIRE

FLUX SECONDAIRE Soufflante

Compresseur basse pression

Compresseur haute pression

Turbine haute pression

Turbine basse pression

Tuyère

Chambre de combustion Nacelle

Entrée d’air

Figure 1.1 – Coupe schématique d’un turboréacteurdouble corps / double flux Les premiers turboréacteurs étaient constitués d’un seul rotor et d’un seul flux d’air. Les progrès technologiques ont conduits au développement des moteurs double flux double corps (Fig. 1.1). Le rotor est désormais séparé en deux entités indépen- dantes entraînées à des vitesses de rotation différentes : le module basse pression et le module haute pression. En effet, les vitesses de rotation optimales diffèrent entre la soufflante (vitesse basse) et la turbine (vitesse élevée).

De même, le flux d’air a été scindé en deux : flux primaire et flux secondaire. Les deux flux traversent désormais la soufflante. Puis, l’un est conduit vers la chambre de combustion alimentant en énergie le réacteur tandis que l’autre s’écoule en dérivation.

Dans cette configuration, on admet plus d’air qu’il n’est nécessaire au moteur pour entrainer les turbines.

Le LEAP est la dernière génération de turboréacteurs conçu par CFM Interna- tional, joint-venture du groupe Safran et de General Electric (Fig. 1.2). De nom- breuses innovations technologiques le distingue de la précédente version, le CFM56 [SAFRAN 10]. L’amélioration des performances, augmentation du taux de dilution et taux de compression, a été rendue possible par une meilleure maîtrise de la concep- tion 3D. Le poids du moteur a été réduit par l’introduction de matériaux avancés tels que les composites à matrice organique (CMO).

1.2 Introduction aux turboréacteurs

Figure 1.2 – Moteur LEAP : turboréacteur civil de dernière génération

1.2.2 Matériaux des turboréacteurs

Concevoir un turboréacteur nécessite de faire un compromis entre performance, résistance mécanique et masse de la structure. La température n’est pas homogène dans un turboréacteur (Fig. 1.3). Elle est basse à l’entrée du moteur (soufflante) puis augmente progressivement dans les compresseurs. Elle atteint son maximum après la chambre de combustion puis diminue jusqu’à la tuyère.

Compresseur BP Fan

Compresseur HP

Turbine HP

Turbine BP Chambre de combustion

50°C 200°C 650°C 1700°C 650°C

Figure 1.3 – Coupe thermique du turbofan CFM56 série 7

Dans les parties froides, les matériaux légers sont privilégiés tels que le titane ou bien des composites à matrice organique (CMO). Ces derniers sont constitués de fils noyées dans une matrice, le plus souvent, de type résine polymère. Dans les parties moyennement chaudes, on choisit des matériaux à base d’acier et de titane. Les parties encore plus chaudes nécessitent des matériaux techniques. Les plus utilisés sont des alliages métalliques à base de nickel et de cobalt. Bien que réfractaires, ces matériaux nécessitent des barrières thermiques supplémentaires pour assurer leur

Introduction générale

tenue mécanique. Une alternative consiste à employer des matériaux composites à matrice céramique (CMC). En effet, les composites possèdent une très bonne tenue aux hautes températures mais une faible résistance mécanique. L’emploi de renforts permet de combler cette faiblesse et permet leur introduction dans la conception de pièces industrielles.

1.2.3 Aubes de turbines

Nous nous intéressons maintenant à l’étage de la turbine basse-pression. Sa fonc- tion est d’entrainer la rotation du compresseur basse-pression et de la soufflante.

Chaque étage de turbine est constitué d’un aubage fixe, un distributeur, suivi d’un aubage mobile. Contrairement au compresseur, les distributeurs (redresseurs dans le compresseur) accélèrent l’écoulement d’air tandis que les aubages mobiles le ralen- tissent. Les distributeurs sont des aubages fixes organisés en secteurs. Les aubages mobiles sont insérées dans une roue aubagée, elles permettent de récupérer l’énergie nécéssaire pour entrainer le compresseur en amont. En fin de turbine, l’air est plus détendu qu’au début en contre-partie de l’énergie qu’il aura communiquée.

Talon

Pale

Raccord

Plate-forme

Portée Pied

Figure1.4 – Éléments d’une aube de turbine basse pression

Les éléments importants d’une aube de turbine basse pression sont illustrés figure 1.4. La forme du talon permet le soutien mutuel des aubes mobiles. La pale est la zone utile permettant de capter l’énergie du flux aérodynamique. Une pale plus fine permet de meilleurs rendement mais dégrade la tenue mécanique. La plate-forme limite l’infiltration d’air hors de la veine. La forme du pied de l’aube correspond à la roue aubagée dans laquelle elle s’insert. Les portées de l’aube sont les zones de contact de l’aube avec ce disque.

Comme expliqué précédemment, les turbines sont soumises à un environnement thermique plus sévère que les compresseurs. Les aubes de turbine sont classiquement conçues en superalliage et fabriquées par fonderie à la cire perdue. Malgré leur bonne

1.2 Introduction aux turboréacteurs résistance thermique, il est nécessaire de les refroidir pour éviter une dégradation par fluage. Par conséquent, ces aubes sont creuses afin de les refroidir par un flux d’air, relativement plus frais (environ 500°C). Des perforations sont également creusées de sorte que de l’air frais s’échappe en surface de l’aube. Un film protecteur est ainsi créé autour de la pale, évitant ainsi le contact direct avec le flux chaud. Les nouvelles aubes de turbines composites à matrice céramique ont la même structure que les aubes métalliques. Cependant, elles ne nécessitent pas de barrières thermiques grâce à leur excellente tenue aux hautes température. On notera également la présence d’un insert destiné à épaissir le pied d’aube.

1.2.4 Comportement modal et sources d’excitation

Tout système mécanique est susceptible de vibrer lorsqu’il est excité par une source extérieure. Une résonance mécanique est la tendance d’un système à répondre avec une grande amplitude lorsque la fréquence de ses oscillations correspond aux fré- quences propres du système. Ces fréquences propres, ou naturelles, sont les fréquences auxquelles la pièce mécanique est la plus sensible. L’apparition de ces fréquences dé- pend, entre autres, de la géométrie et des propriétés matériau de la structure. Ainsi, lorsqu’une pièce est sollicitée à une fréquence proche d’une de ses fréquences natu- relles, les réponses produites sont très élevées ce qui peut conduire à terme à la ruine du composant.

De multiples phénomènes vibratoires susceptibles de perturber les aubages se produisent dans l’enceinte d’un moteur d’avion. On distingue les sollicitations aé- roélastiques des sollicitations mécaniques. Les sollicitations mécaniques se réfèrent principalement aux effets de balourd, efforts d’inertie engendrés par la rotation de masses excentrées et non équilibrées. Le contact rotor-stator est un autre type de sollicitation mécanique.

Les excitations aéroélastiques se divisent en deux catégories : phénomènes syn- chrones et asynchrones. Les phénomènes synchrones sont provoqués par les variations des caractéristiques de l’écoulement fluide. En effet, les aubages subissent la pression exercée par le flux, lui-même perturbé par les obstacles amonts et avals. L’excitation liée à ces sillages est proportionnelle à la vitesse de rotation du moteur multipliée par le nombre d’obstacle. Les phénomènes asynchrones concernent les efforts engendrés par la vibration des aubes. Le flottement est un phénomène asynchrone apparaissant au voisinage d’une fréquence propre de la roue aubagée.

Dans les deux cas, ce type de phénomène est difficile à mesurer en fonctionne- ment, que cela soit la forme de la sollicitation ou son amplitude. Par conséquent, il est délicat de reproduire expérimentalement ou numériquement ces conditions.

Dès lors, comment concevoir des pièces industrielles de façon fiable avec peu ou pas d’information ?

De ce fait, les aubes doivent être dimensionnées afin de respecter des critères de fonctionnement précis. Dans cette étude, nous traiterons principalement des effets des sollicitations aéroélastiques synchrones. Les problématiques liées aux sollicitations

Introduction générale

mécaniques et aux phénomènes aéroélastiques asynchrones ne seront pas abordées.

L’objectif général est d’éviter les croisement entre les modes de résonance des aubages et les différentes sources d’excitations. Nous considérons la situation fréquentielle des aubes permettant de prédire les possibles résonances induites par les excitations moteur. Il est, ainsi, nécessaire de revoir la conception d’une aube si les fréquences naturelles de l’aube ne sont pas suffisamment écartées des plages critiques. On évite de cette façon, la sollicitation des aubes sur certaines fréquences naturelles par les excitations du moteur.

1.3 Composites à matrice céramique

1.3.1 Introduction

Les Composites à Matrice Céramique (CMC) ont suscité un intérêt important en Europe dans les années 1980. Ces matériaux avancés, également appelés composites thermostructuraux, promettaient une bonne tenue mécanique à haute température pour une densité modérée. Bien que la recherche ait bien progressée sur l’étude de leur comportement, de nombreux développements restent à réaliser en vue d’une plus grande intégration dans les structures industrielles. En effet, les applications potentielles sont nombreuses. Par exemple, les CMC conviendraient à l’industrie nucléaire de part sa résistance aux radiations [Jones 08]. Dans les réacteurs à fission, il est possible de les utiliser comme gaine de combustible [Cabrero 10]. De même, il est envisagé de les employer comme matériau structurel dans les réacteurs à fusion.

(a) Volet du moteur M88 (b) Plug ARCOCE

Figure 1.5 – Exemples de pièces CMC pour l’aéronautique (Photos Safran) En France, Safran Ceramics est un acteur de premier plan concernant l’intro- duction de ces matériaux dans les appareils aéronautiques et spatiaux [Bathias 13].

Les CMC développés ont d’abord été destinés au domaine spatial (tuyère des lan- ceurs d’Ariane) et à l’aéronautique militaire (volets du moteur M88). Des efforts

1.3 Composites à matrice céramique supplémentaires ont permis leur application dans le secteur civil au travers le pro- jet ARCOCE pour le moteur civil CFM56 (Fig. 1.5). Sous son impulsion, de nom- breuses thèses portant sur l’étude des composites continuent d’être émises. Elles couvrent un vaste panel de composantes scientifiques : endommagement [Marcin 10], durée de vie [Rakotoarisoa 14], contact [Leroux 13], fabrication [Taillet 14], mise en forme [Mathieu 14]. Poursuivre l’introduction de ces matériaux dans les structures aéronautiques civiles contribuera à l’allègement des moteurs tout en réduisant leur consommation et leur pollution.

Dans ce contexte, une nouvelle génération d’aubes en matériau composite tissé à matrice céramique a été produite par Safran Ceramics. Ces nouveaux matériaux constituent, ainsi, un bon substitut aux super alliages communément utilisés dans les parties chaudes d’un turboréacteur. Des aubes de turbine basse pression en CMC sont destinées à équiper les futurs turboréacteurs.

1.3.2 Fabrication et mise en forme des aubes composites

Les composites sont, par définition, un assemblage de deux matériaux proposant des fonctionnalités complémentaires. Les composites les plus courant sont constitués d’une matrice et d’un renfort. La matrice permet de lier le renfort tout en répartissant les contraintes. Le renfort, lui, assure la tenue mécanique dans la pièce. Les renforts peuvent prendre la forme de particules, fibres courtes, trichites ou fibres continues.

Les trois premiers types de renforts ne permettent pas d’obtenir des composites dont les propriétés mécaniques sont significativement supérieures à celles des céramiques.

Ainsi, les composites thermostructuraux les plus intéressants pour l’industrie sont ceux renforcés par des fibres continues rassemblées en fils tissés.

Ces fils, ou torons, peuvent être ordonnés de différentes façons : nappes unidirec- tionnelles, nappes tissées ou structures multidirectionnelles. La configuration la plus connue est le stratifié, obtenu par la superposition de plusieurs couches, appelées plis, de renforts imprégnés de résines. Les structures stratifiées réalisées sont constituées d’empilements de nappes uni-directionnelles ou bi-directionnelles. L’inconvénient de ce type de composite est sa faible tolérance aux forces de cisaillement, conduisant à la décohésion entre plis par délaminage. Cet endommagement est critique pour les composites stratifiés et entraîne rapidement la ruine du matériau.

Pour augmenter la résistance au délaminage, une solution consiste à adopter une structure tissée 3D. Le composite tissé tridimensionnel consiste en l’entrelacement de trois réseaux de fils. Les deux premiers réseaux sont tissés perpendiculairement dans le même plan. Le troisième réseau, hors-plan, permet de lier plusieurs plis ainsi constitués (Fig. 1.6).

Les aubes étudiées sont fabriquées en composites SiC/Si-B-C. Ils sont constitués de renforts en carbure de silicium densifiés par une matrice de carbure de silicium multi-séquencée (Fig. 1.7). La première étape de fabrication a consisté à tisser les fils dans un plan à l’aide d’un métier. Le réseau hors-plan cousu par piquage avec des aiguilles. Tous ces fils sont préalablement recouverts d’une couche de pyrocarbone

Introduction générale

Fil de chaîne Fil de trame Fil interlock

Trame / 90°

Chaîne / 0°

Hors-plan

Figure 1.6 – Schéma d’interprétation d’un composite tissé tridimensionnel [Rudov-Clark 08]

protectrice. Ce traitement permet de dévier les fissures provenant de la matrice afin de protéger les fibres de la rupture.

10 µm

Si-B-C SiC Fibre

Matrice multicouche

Interface

Figure 1.7 – Micrographie de composite SiC/Si-B-C à renfort continu tissé [Carrère 03]

Les nappes sont ensuite pliées et découpées de sorte à obtenir la préforme d’une aube (Fig. 1.8). Enfin, la matrice est obtenue par infiltration chimique en phase vapeur (CVI). Au fil des recherches, ce composant est devenu de plus en plus com- plexe : initialement monocouche, il est maintenant multicouche et même autocicatri- sant [Cheng 01]. Ce procédé consiste à créer un dépôt solide en utilisant les réactions chimiques d’un gaz porté à haute température. Le gaz pénètre alors par diffusion dans les aspérités de la pièces jusqu’au cœur de la préforme.

1.3.3 Propriétés mécaniques des CMC

Lorsque l’on étudie les matériaux métalliques, il est nécessaire de se pencher sur la cristallographie de la microstructure des alliages. Ces analyses permettent de prédire

1.3 Composites à matrice céramique

Figure 1.8 – Pliage d’une nappe 2D à une préforme d’aube 3D [SNECMA 11]

le comportement macroscopique des pièces métalliques qui sont relativement homo- gènes. L’étude des composites nécessite l’introduction d’une échelle intermédiaire. En effet, le choix de la configuration des fibres influe très fortement sur les performances d’un système composite. Ainsi, il existe trois échelles d’analyses (Fig. 1.9) :

1. Échelle microscopique :on distingue les fibres, constituantes microscopiques des fils, la matrice et les interfaces.

2. Échelle mésoscopique : c’est l’échelle du motif de tissage. Les fibres sont considérée comme homogènes.

3. Échelle macroscopique :il s’agit de l’échelle de la structure, on ne distingue plus les fibres de la matrice et le matériau est considéré homogène.

(a) Micro (µm)

⇒

(b) Méso (mm)

⇒

(c) Macro (cm) Figure 1.9 – Illustration des trois échelles d’un composite tissé [Carrère 03, Naouar 15]

Dans notre étude, les matériaux seront analysés à l’échelle macroscopique, leur comportement sera donc considéré comme homogène. Nous supposons, de plus, que leurs comportements sont élastiques linéaires. Nous pouvons alors utiliser la loi de Hooke reliant les contraintes σ et les déformations ε :

σ =Kε, (1.1)

Introduction générale

avecK la matrice de rigidité, elle est symétrique et possède 36 coefficients dont 21 sont indépendants. Elle peut s’écrire sous la forme inverseK =S⁻¹,S est appelée matrice de souplesse. Un composite tissé 3D est assimilé à un matériau orthotrope, il possède en effet trois plans de symétries perpendiculaire deux à deux. Le nombre de coefficients indépendants de K devient 9 :

K =













k₁₁ k₁₂ k₁₃ 0 0 0 k₁₂ k₂₂ k₂₃ 0 0 0 k₁₃ k₂₃ k₃₃ 0 0 0

0 0 0 k₄₄ 0 0

0 0 0 0 k₅₅ 0

0 0 0 0 0 k₆₆













. (1.2)

Par commodité, l’ingénieur emploie les modules de YoungE_i dans la direction i, les modules de cisaillement G_ij et les coefficients de Poisson ν_ij dans le plan (i, j).

La matrice de souplesse devient :

S =

















1 E1

−ν12

E2

−ν13

E3 0 0 0

−ν₁₂ E2

1 E2

−ν₂₃

E3 0 0 0

−ν13

E3

−ν23

E3

1

E3 0 0 0

0 0 0 _G¹

12 0 0

0 0 0 0 _G¹

13 0

0 0 0 0 0 _G¹

23

















, (1.3)

avec le module longitudinal E₁, le module transverse E₂ et le module hors-plan E3. Les modules de cisaillements associés sont G12, G13 et G23 et les coefficients de Poisson ν₁₂, ν₁₃ et ν₂₃. Les modules E_i et G_ij sont communément déterminés par des essais de traction uniaxiale ou de cisaillement. Il est également possible de les calculer à partir d’analyses modales en employant des approches inverses .

1.3.4 Sources d’incertitudes

De nombreuses dispersions ont été observées lors des campagnes d’essais expéri- mentaux sur échantillons CMC [Ruaud 12]. Une première source d’incertitudes ex- pliquant ces écarts est l’étape de fabrication. En effet, certains échantillons de même conception présentaient de fortes différences. Par exemple, le moulage de l’aube gé- nère des contraintes dans la texture. Lors de la phase de pyrolyse la raideur de la résine chute ce qui provoque la relaxation de ces contraintes. Il s’ensuit des déforma- tions géométriques non souhaitées car difficilement contrôlables. La déformation la plus importante est l’ouverture de la pale (Fig. 1.10a). L’échasse n’est pas usinée au cours de la fabrication de l’aube. Ainsi, pendant l’étape CVI, la matrice ne s’infiltre pas comme dans le reste de la structure. D’une façon plus générale, le gaz pénètre plus difficilement dans les zones épaisses. Ce qui conduit à des sous-densifications au cœur de la pièce et des propriétés mécaniques non-homogènes. Des déliaisons locales insert-texture apparaissent également en sommet d’insert.

1.4 Objectif général et plan du mémoire

(a) Ouverture de la pale (b) Planéité des portées : intra- dos

Figure1.10 – Illustration de différentes sources d’incertitudes [Ruaud 12]

Une deuxième source d’incertitudes réside dans les conditions expérimentales d’es- sais. Lors d’essais encastrés, les aubes sont fixés au niveau des deux portées en pied.

Le contact devrait être parfait : plan-plan. En réalité, la surface des CMC tissés est très rugueuse et non-homogène (Fig. 1.10b). Les portées intrados et extrados ne sont pas nécessairement symétriques ce qui conduit à un encastrement partiel.

Usuellement, les essais permettent d’identifier les paramètres régissant le compor- tement des systèmes étudiés. Ces paramètres sont injectés dans les codes numériques afin de concevoir des pièces mécaniques et prédire leurs comportements. Dès lors, il est critique de quantifier les incertitudes citées précédemment. Sinon, les calculs nu- mériques pourraient mener à des prédictions non-fiables car basées sur des modèles erronés.

1.4 Objectif général et plan du mémoire

1.4.1 Motivation

Les turboréacteurs sont des structures complexes et critiques soumises à de nom- breuses contraintes. Les parties chaudes de ces moteurs nécessitent de confectionner des pièces en matériaux réfractaires. Les composites à matrice céramique sont des matériaux innovants répondant de façon pertinente à ces contraintes thermiques. Les derniers développements de Safran ont permis leur mise en forme pour leur introduc- tion dans des structures aéronautiques. Cependant, le degré de maturation de cette technologie reste moindre comparé aux alliages métalliques. Les procédés de fabrica- tion et de mise en forme des prototypes sont sujets à la dispersion ce qui perturbe le comportement des pièces produites.

Afin de perfectionner la compréhension de ces matériaux, des échantillons CMC ont été soumis à nombreuses analyses expérimentales. Ces analyses étaient de diffé- rents types telles que des mesures statiques (essais de traction, torsion, fatigue, etc.) et des mesures dynamiques. À partir de modèles numériques, statique et dynamique, et des données expérimentales, la valeur des paramètres influents du système ont pu être quantifiées. Cette identification a été réalisée en employant des méthodes de

Introduction générale

recalage déterministe. Les paramètres nominaux du modèle ont été ajustés à partir d’un unique essai de référence. Cependant, les approches statiques et dynamiques ont mené à des valeurs de paramètres divergentes alors qu’elles auraient dû tendre vers la même solution. Pourtant, les modèles numériques étaient représentatifs de la physique observée et les résultats d’essais ont été correctement obtenus (pas de fausse manipulation, ni biais avéré). De plus, les opérations de recalage, pris indivi- duellement, ont convergé vers la référence expérimentale de façon satisfaisante.

La mise en place d’essais dans des conditions expérimentales proches de l’en- vironnement moteur est coûteuse et délicate. De même, analyser la variabilité des réponses du système nécessite, en principe, de multiplier le nombre d’échantillons à mesurer. La plupart des tests sont donc unitaires et effectués dans des conditions aisément accessibles en laboratoire. Les preneurs de décision cherchent donc à savoir si les pièces conçues répondent aux exigences de fiabilité bien que non éprouvées en fonctionnement et pour une population limitée.

Ces observations ont conduit à l’émergence de deux axes de problématique : 1. Comment lever l’incohérence entre deux recalages, a priori justes, mettant en

jeu des comportements physiques différents ?

2. Est-il possible de prédire le comportement d’une structure dans des conditions non-testées ? Si oui, avec quel degré de confiance ?

1.4.2 Objectifs

Les travaux présentés dans ce mémoire ont pour but de fournir des éléments de réponses aux deux problématiques soulevées. D’une façon générale, notre objectif est de proposer des outils d’aide à la décision capables d’intégrer les incertitudes.

Plus spécifiquement, nous nous intéressons aux approches permettant d’identifier les paramètres statistiques d’un modèle à partir d’une population d’essais. Cette étude s’inscrit dans la continuité de la thèse de Guillaume Ham qui avait localisé les erreurs sur aubes composites à matrice organique [Ham 13].

L’objectif scientifique est d’effectuer une analyse critique de la façon dont les méthodes de recalage sont employées. De nombreux obstacles sont susceptibles de perturber ces approches et devront être identifiés. Des outils de diagnostic seront donc développés afin de détecter de tels effets. Les méthodes existantes de recalage robuste, approches permettant la détermination de paramètres en présences de mé- connaissances, sont basées sur des algorithmes heuristiques. Ce type de résolution est lourd numériquement ce qui limite leur application aux structures industrielles complexes. Par conséquent, une nouvelle approche de recalage robuste sera proposée.

L’objectif industrielest de développer une méthode de validation des modèles de prédiction du comportement vibratoire d’aubes composites à matrice céramique. Le modèle numérique devrait représenter de façon pertinente les incertitudes aléatoires et épistémiques rencontrées lors des campagnes expérimentales. La crédibilité du modèle dépendra alors de la qualité des paramètres identifiés par recalage. En plus

1.4 Objectif général et plan du mémoire des outils standards de la validation de modèle, notre démarche inclura l’approche de recalage robuste et les outils de diagnostic développés dans ces travaux.

1.4.3 Plan du mémoire

Pour répondre à ces objectifs, nous avons reconsidéré notre problème en suivant la méthode deVérification et Validation (V&V) [ASME 06]. Cette approche a pour but de crédibiliser les prédictions des modèles numériques au regard des données issues des essais expérimentaux et des modèles analytiques. Les analyses de sensibilités et les méthodes de recalage sont des rouages essentiels de cette méthode.

Le chapitre 2 est un état de l’art visant à relier le cadre de la physique mé- canique à celui des incertitudes. On dénombrera les multiples formes que peuvent prendre les incertitudes. Les différentes approches de modélisation de l’incertain se- ront présentées. Puis, la méthodologie de Vérification et Validation sera détaillée en tant processus permettant de qualifier la prédictibilité d’un modèle.

Le chapitre 3 porte sur le recalage stochastique de modèle. Ces méthodes ont pour objectif la détermination des paramètres d’un modèle par analyse inverse. Le caractère stochastique de ces approches permet de calculer la dispersion des dits paramètres. On présentera ensuite la démarche de robustesse info-gap répondant au besoin de prendre en compte les méconnaissances. Couplée aux méthodes précé- dentes, ce cadre nous mène à la formulation d’une approche de recalage stochastique robuste.

Lechapitre 4est consacré aux outils de diagnostic pour le recalage de modèle. Le recalage est une approche inverse menant potentiellement à des solutions non-uniques et instables. Ces indicateurs ont pour but de qualifier si les recalages effectués sont corrects pour les bonnes raisons. La pertinence de ces outils est illustrée sur un modèle éléments finis comparé à des essais modaux.

Le chapitre 5 expose les résultats obtenus sur la structure industrielle : l’aube de turbine basse pression CMC. La campagne d’essais menée sur les aubes par vi- bromètrie laser 3D sera détaillée. Les mesures expérimentales combinées au modèle éléments finis nous mènerons à la quantification stochastique des paramètres. Enfin, une ouverture à la conception robuste sera présentée.

Introduction générale

2

Éléments contextuels et bibliographiques de la validation de modèle en présence d’incertitudes

Sommaire

2.1 Introduction . . . 16 2.2 Comprendre l’incertain . . . 16 2.2.1 Incertain et réalité . . . 16 2.2.2 Types d’incertitudes . . . 17 2.2.3 Sources d’incertitudes . . . 18 2.2.4 Fiabilité et robustesse . . . 19 2.2.5 Prise de décision . . . 21 2.3 Quantification des incertitudes . . . 22 2.3.1 Méthodes paramétriques probabilistes . . . 23 2.3.2 Méthodes paramétriques non-probabilistes . . . 25 2.4 Conception et incertain . . . 26 2.4.1 Cycle de conception . . . 26 2.4.2 Philosophie de la V&V . . . 27 2.4.3 Vérification de modèle . . . 28 2.4.4 Validation de modèle . . . 30 2.4.5 Révision du modèle . . . 33 2.5 Conclusions . . . 33

Ce chapitre présente les éléments contextuels et bibliographiques auxquels se rapportent ces travaux de recherche. On commencera par donner des clés permettant de se représenter les incertitudes présentes en mécanique. Dans un deuxième temps, la méthode de Vérification et Validation sera décrite en tant que cadre de conception de pièces industrielles.

Mécanique et incertain

2.1 Introduction

Dans l’Introduction Générale, les aubes de turbine CMC ont été présentées comme objets d’études de cette thèse. L’objectif de ce chapitre est de définir le cadre scientifique permettant d’analyser ces structures et leurs variabilités. La relation entre mécanique et incertitudes sera introduite par une synthèse sur la façon dont l’aléa s’est manifesté dans l’histoire des sciences. L’incertitude peut prendre de nombreuses formes et on distinguera l’incertain aléatoire de l’incertain épistémique.

L’intégration des variabilités dans les modèles numériques nous conduit à définir deux qualificatifs : la fiabilité et la robustesse. La fiabilité est la capacité d’un modèle à produire les résultats attendus tandis que la robustesse est relative à la résilience du même modèle aux incertitudes.

Les méthodes de quantification d’incertitudes ont pour but de modéliser les in- certitudes par des modèles mathématiques. Sélectionner le modèle le plus pertinent, probabiliste ou non, n’est pas aisé. Cela nécessite, à la fois, une bonne compréhension du système étudié et une expertise sur les lacunes de nos connaissances.

Malgré ces outils, les conclusions issues de différentes analyses expérimentales ou numériques peuvent apparaitre comme contradictoire. La méthode de Vérification et Validation est une démarche menant à l’amélioration de la cohérence entre des résultats divergents. Le recalage de modèle étudié dans ces travaux constitue l’une des étapes de cette approche.

2.2 Comprendre l’incertain

2.2.1 Incertain et réalité

Le Robert définit la science comme laconnaissance exacte, universelle et vérifiable exprimée par des lois. Il y a donc un paradoxe apparent à vouloir relier un domaine scientifique, la mécanique, avec l’incertitude. Une fois établit le fait scientifique, il n’y plus de place pour l’incertitude. De nombreux penseurs et savants, tels que Sénèque, Laplace et Einstein, avaient une vision déterministe de la réalité nous entourant.

Selon eux, il suffit de connaître toutes les composantes d’un système à un instant pour en déduire son évolution future. Dans ce cadre, l’incertain serait limité aux domaines qui n’ont pas été totalement explorés et compris par l’Homme. Avec l’avancée des connaissances scientifiques, l’incertain devrait se réduire avec le temps.

Pourtant, le développement de la théorie quantique, en 1930, à mis à mal le paradigme déterministe. Le principe d’incertitudes de Heisenberg explique qu’il est impossible de connaître, à la fois, la vitesse et la position d’une particule. On a d’abord cru que ces incertitudes étaient limitées aux phénomènes ayant lieu à une échelle microscopique. En réalité, elles interviennent également sur à l’échelle macro- scopique. En 1961, le météorologue Lorenz s’est aperçu qu’un changement minime

2.2 Comprendre l’incertain des conditions initiales dans ces modèles atmosphériques provoquait des écarts consi- dérables dans les résultats. Cette forte sensibilité aux conditions initiales se retrouve dans de nombreux domaines : mouvement des planètes, évolution des marchés bour- siers, écoulement de l’air sur un avion, etc. Le chaos affecte les solutions de tout système différentiel non-linéaire [Nunez 13].

Heureusement, un autre groupe de chercheurs se sont attardés à distinguer l’ordre dans le désordre, le certain dans l’incertain. Au XVII^esiècle, Blaise Pascal est le pre- mier scientifique moderne à avoir décrit méthodiquement l’incertain par ce qu’il a nommé Géométrie du hasard. Il a jeté les bases de la théorie des jeux, inventions humaines dotées de règles et d’un ensemble d’évènements dont on peut aisément identifier l’espace de probabilité. La généralisation de ces concepts, par Kolmogorov, à des ensembles abstraits, a conduit la théorie des probabilités à être mathématique- ment parfaitement établie.

Cependant, telle une mise en abîme, l’incertitude de la réalité est elle-même incer- taine. La théorie des probabilités ne suffit pas à apporter tous les outils nécessaires à la mécanique, où le manque d’information est limitant. Hormis pour la théorie des jeux ou des exemples académiques, il n’est pas possible de décrire parfaitement les lois de probabilités sous-jacentes.

2.2.2 Types d’incertitudes

Plusieurs types d’incertitudes peuvent influencer les modèles numériques et les résultats expérimentaux [Kennedy 01]. L’incertain aléatoire se réfère aux variations inhérentes du système modélisé [Higdon 08]. Ces erreurs ne peuvent être réduites, même avec des moyens d’analyse plus performants car elles sont intrinsèques de la physique. On peut citer comme sources d’incertain aléatoire :

— Erreurs d’observations : les mesures sont contaminées par du bruit. Les er- reurs qui en découlent sont habituellement considérées comme indépendantes du temps, suivant une distribution normale avec une moyenne centrée sur zéro.

— Incertitudes paramétriques : deux échantillons conçus de la même façon et avec des matériaux identiques diffèrent. En effet, la plupart des paramètres (géométrie, modules, état de surface, etc.) sont sujets à la variabilité du procédé de fabrication. Même en présence d’un procédé parfaitement maîtrisé, les pièces mécaniques resteraient sensibles à la dispersion. Par exemple, la localisation aléatoire de défauts influe sur la durabilité des matériaux [Lemaitre 88].

— Variabilité résiduelle : deux mesures prises à deux instants donnés diffèrent, erreurs d’observations et incertitudes paramétriques mises à parts.

L’incertain épistémique est lié à notre connaissance limitée du système étudié.

Par définition, elles peuvent être réduites lorsque plus d’efforts sont apportés à la compréhension de la physique mise en jeu. En pratique, cela nécessite d’effectuer des campagnes d’essais complémentaires ou, si les données sont suffisantes, d’améliorer

Mécanique et incertain

la capacité prédictive du modèle. Ces erreurs peuvent apparaître à chaque niveau de conception du modèle [Draper 95] :

— Lacunes du modèle : aucun modèle n’est la représentation exacte de la physique sous-jacente. L’erreur de modélisation dépend de la qualité du modèle à repro- duire fidèlement le système réel. Hypothèses, lois de comportement, conditions limites et propriétés des matériaux sont autant de paramètres pouvant être mal estimés et conduire à des résultats biaisés.

— Erreurs numériques : issues des approximations numériques. Par exemple, les calculs Éléments Finis sont une discrétisation d’équations différentielles par- tielles. L’utilisation d’outils d’analyse numérique peuvent également introduire des incertitudes. Par exemple, un calcul Monte-Carlo nécessite un nombre élevé de tirages afin d’assurer la convergence du résultat.

— Erreurs humaines : des résultats, issus d’essais ou de calculs numériques, peuvent être faussés suite à une erreur de manipulation. Ces erreurs sont considérées comme épistémiques car elles peuvent être limitées par des vérifications. Dans le cadre numérique, la Qualité Logicielle s’attache à étudier les sources de ces erreurs et leurs conséquences [Walia 09].

Il nous faut également citer les incertitudes sémantiques issues de l’ambiguïté du langage [Lemaire 14]. Un projet ou un retour d’expériences peuvent être mal inter- prétés à cause l’imprécision des termes techniques qui diffèrent d’une communauté à l’autre. Pour éviter cela, l’industrie aéronautique a, par exemple, développé le lan- gage simplifiéSimplified Technical English afin de limiter les effets de ces incertitudes lors des maintenances d’appareils [ASD 17].

Lors de l’analyse d’un système, il n’est pas toujours trivial de différencier les erreurs épistémiques des erreurs aléatoires. En effet, les dispersions observées sont généralement issues de la combinaison des deux types. La distinction entre incertains aléatoire et épistémique est néanmoins importante car les réponses à apporter diffé- rent. Si une incertitude épistémique est détectée alors une décision pertinente serait de la réduire en récoltant de l’information. Les incertitudes aléatoires ne peuvent être réduites mais il reste possible de limiter leurs effets, par exemple, en modifiant la conception de structure.

2.2.3 Sources d’incertitudes

Comme discuté précédemment, les incertitudes surviennent lors des campagnes expérimentales et des calculs numériques. En mécanique des structures, il est courant de scinder les incertitudes en trois, d’après leurs sources [Oberkampf 10] :

1. Incertitudes sur les paramètres 2. Incertitudes de modélisation 3. Incertitudes expérimentales

2.2 Comprendre l’incertain O’Hagan et Kennedy proposent une relation permettant de relier l’espace qui sépare les sorties y d’un modèle numérique G aux observations du monde réél z_i [Kennedy 01]. Dans le cadre de la calibration de modèle, nous faisons la distinction entre les paramètres d’entrée à calibrer θ et ceux qu’il faut laisser inchangés x_i. Ainsi, le lien entre les observationsz_i, le véritable processus physiqueζ et les sorties du modèle numérique peut s’écrire :

z_i =ζ(x_i) +e_i =ρy(x_i,θ) +δ(x_i) +e_i, (2.1) avece_i les erreurs d’observation lors de la i-ème observation, ρ est un paramètre de régression inconnu et δ la fonction rendant compte de l’inexactitude du modèle numérique. Ce dernier terme est indépendant de la sortie numériquey.

L’équation 2.1 implique que le processus physique véritable est relié au paramètre de régression ρ, à la fonction prédictive numérique y et aux erreurs numériques associéesδ :

ζ(xi) =ρy(xi,θ) +δ(xi), (2.2) avecy et δ indépendants.

2.2.4 Fiabilité et robustesse

Supposons que nous disposions d’un modèle capable de simuler les réponses d’un système physique. Les réponses du modèle sont calculées à partir deys, fonction des paramètres du modèlexetθ. Malgré toutes les précautions prises lors du développe- ment numérique, les résultats obtenus différeront des données expérimentales. Il est donc naturel de chercher le meilleur jeu de paramètresθ de façon à diminuer l’écart entre les essais et les résultats du calcul numérique. En d’autres mots, le modèle devrait être optimisé de telle sorte que le modèle numérique soit plus fidèle, plus prédictif, vis-à-vis des essais expérimentaux. Le jeu de paramètres θ˜_f ainsi obtenu est qualifié d’optimal car il assure que la fiabilité du modèle a atteint son maximum.

Nous définissons la fiabilité ainsi :

La fiabilité est la capacité d’un appareil, d’un dispositif, d’un produit à accomplir sa fonction dans les conditions requises d’utilisation et pendant une durée déterminée [Lemaire 14].

Considérons désormais que le jeu de paramètresθne soit pas connu avec précision.

Est-il toujours justifié de rechercher les paramètres optimaux ? En effet, il est possible qu’au voisinage de θ˜_f les qualités prédictives de y_s se dégradent fortement. Une approche alternative est de rechercher les paramètres robustesθ˜r plutôt qu’optimaux.

Le sens du terme robuste peut être trompeur car il est employé de plusieurs façons dans de nombreuses disciplines. Il provient du latinrobustus qui signifie la force

Mécanique et incertain

1. Fort et résistance de par sa solide constitution.

- infatigable, costaud, solide 2. Avoir une foi robuste.

- ferme, inébranlable, vigoureux

Dans notre étude, robuste doit être compris comme inébranlable, que l’on ne peut pas abattre. Dans le domaine de l’ingénierie, on peut la définir par :

Une conception robuste est une conception qui détermine les para- mètres nominaux d’un produit ou d’un système tels que ses performances soient suffisamment insensibles à tout évènement incertain qu’ils pour- ront rencontrer tout au long de leur cycle de vie [Lemaire 14].

En clair, la robustesse a trait à la stabilité de la performance en ingénierie. Dans cette étude, la robustesse sera abordée au travers le cadre de la théorie info-gap. La définition retenue est la suivante :

Un système est robuste s’il est capable de supporter une quantité d’in- certitudes donnée tout en produisant un niveau de performance acceptable [Ben-Haim 06].

Les incertitudes sont, ici, modélisées de façon non-probabiliste. Les paramètres robustes θ˜_r à déterminer assurent que le modèle demeure fidèle même en présence de perturbations. Avec cette approche, évaluer la robustesse d’un modèle revient à quantifier la quantité maximum d’incertitudes acceptables pour le modèle tout en garantissant une fiabilité minimale.

Ainsi, bien qu’il semble naturel de chercher à obtenir des modèles les plus fiables possibles, il est également pertinent de chercher des modèles robustes, particuliè- rement en présence de paramètres mal connus. Malheureusement, il est impossible d’optimiser simultanément la fidélité d’un modèle et sa robustesse [Ben-Haim 12].

Le choix du jeu de paramètre devrait donc découler d’un compromis entre fidélité et robustesse.

La figure 2.1 représente la courbe y_s en fonction des paramètres de conceptionθ pour illustrer ce compromis. L’utilisateur cherche à reproduire les résultats d’essais ym à partir de la fonction prédictive ys. La courbe ys intersecte la droiteym au point donné par le jeu de paramètres θ˜_f. En ce point, que l’on peut qualifier d’optimal, le modèle est totalement fiable (R_f = 0). Le jeu de paramètre robuste θ˜_r renvoie, lui, une erreur plus importante (Rr Rf).

Nous considérons désormais que θ est mal estimé et que l’erreur du modèle ne doive pas excéder le seuilRc. Dans le cas optimal, il suffit queθ subisse une variation de αˆ_f pour que l’erreur du modèle dépasse le seuil critique R_c. Au contraire, les paramètres robustes assurent que l’erreur du modèle reste inférieur à R_c dans une zone de variation bien plus étendue (αˆr αˆf).

Dans un autre cas, il aurait été possible que la courbey_s prenne plusieurs fois la valeur y_m pour plusieurs jeux de paramètresθ. Pour chacun de ces points optimaux-

2.2 Comprendre l’incertain fidèles, il aurait été possible de calculer leurs robustesses associées. Nous soulignons également que αˆ_r dépend toujours du seuil de tolérance R_c.

y_m+R_c

y_m−R_c y_s

˜ θ

θ_r θ˜_f

solutions acceptables R_f = 0

R_r

˜

α_r α˜_f y_m

Figure 2.1 – Illustration notionnelle du compromis entre fidélité et robustesse

2.2.5 Prise de décision

Dans l’industrie, les décideurs doivent trancher et répondre à des problèmes tech- niques bien que la réalité physique ne soit que partiellement connue. Trois faisceaux permettent d’éclairer ce jugement : l’exploration expérimentale, les modélisations numériques et les avis d’experts. Les informations obtenues peuvent se conforter mutuellement ou se compléter.

Leprototypageet lescampagnes d’essaissont utilisés pour améliorer notre connais- sance des phénomènes physiques. Les données obtenues sont employées comme réfé- rences bien qu’elles ne soient pas exemptes d’erreurs de biais et de variabilités. La contrepartie est le coût matériel et temporel à la mise en place de ces campagnes et à l’interprétation des résultats.

Lessimulations numériques permettent de reproduire les phénomènes physiques d’intérêt. Des conditions normalement impossibles à obtenir en laboratoire peuvent être explorées. Les progrès du développement matériel informatique ont considéra- blement réduit les temps de calcul. Cependant, les temps de résolution demeurent élevés lorsque la discrétisation, spatiale ou temporelle, du modèle est fine. Établir un modèle numérique crédible suppose d’avoir à disposition le détail de toutes les informations de conception et de correctement les implémenter.

L’avis de l’expert est un jugement délivré par un individu connaissant et maî- trisant la physique d’intérêt. Les connaissances des experts sont généralement plus accessibles que les deux pôles précédents. Bien que les experts soient sélectionnés pour leurs compétences, leurs positions peuvent être subjectives [Sandel 10].

Mécanique et incertain

Variable d'intérêt

Probabilité

Réalité Expérience Expert Modèle

Variable d'intérêt

Probabilité

Après V&V

Réalité Expérience Expert Modèle Avant V&V

Figure2.2 – Illustration notionnelle des sources conflictuelles

Dans les faits, pour un problème complexe donné, les différentes sources de preuves ne se recoupent généralement pas. Ainsi, il se révèle souvent délicat de sta- tuer sur un problème en présence de sources confuses et contradictoires. L’approche V&V est une méthode permettant d’augmenter la cohérence des données en amélio- rant les résultats issus des campagnes d’essais et des simulations numériques (Fig.

2.2). Cette démarche sera détaillée dans la section 2.4.

2.3 Quantification des incertitudes

Comme nous l’avons dit dans la partie précédente, les structures mécaniques sont sensibles aux incertitudes. Nous souhaiterions donc quantifier la sensibilité d’un système vis-à-vis des incertitudes des paramètres d’entrée. Le but de ces études est de déterminer la dispersion du comportement d’un système d’après les incertitudes des paramètres le régissant. La quantification des incertitudes regroupe l’ensemble des méthodes permettant de caractériser quantitativement les incertitudes d’un modèle.

Cette démarche se déroule en trois étapes : modélisation des incertitudes aléatoires et épistémiques, propagation de ces incertitudes au travers le modèle puis quantification des dispersions observées sur les sorties.

Nous disposons d’un opérateurG, un ensemble de loi de comportements capables de prédire un comportement physique à partir de données d’entrées x_i :

G(x_i) =y_i. (2.3)

Ce système peut être abordé de façon directe, les sorties y sont déterminées à partir des paramètresx_i et de l’opérateur G. Les incertitudes attribuées xsont ainsi propagées aux sorties qui peuvent être alors quantifiées à l’aide d’outils statistiques.

Le premier intérêt est de pouvoir classifier les paramètres suivant leurs influences sur la dispersion en sortie. Ces développements sont possibles au travers les mé-

2.3 Quantification des incertitudes thodes d’analyse de la variance (ANOVA) [Fisher 35]. En pratique, l’influence des paramètres est souvent qualifiée par les indices de Sobol’ [Sobol’ 01].

Ensuite, en présence d’un critère de défaillance, il est possible de calculer la probabilité de défaillance associée. Les paramètres dont les incertitudes mènent à des comportements critiques devraient être l’objet de toutes les attentions. S’il n’est pas possible de les réduire par des investigations supplémentaires il sera alors nécessaire de les contrôler minutieusement lors de la fabrication et de l’assemblage de la pièce.

Réciproquement, l’approcheinverse consiste à quantifier les variations des entrées à partir des sorties. Elle est pertinente lorsque les paramètres influents du modèle ne sont pas directement accessibles. Pour cela, il est nécessaire d’employer des algo- rithmes de recalage stochastique capables de prendre en compte les incertitudes de sortie pour déterminer la dispersion d’entrée [Beck 13].

De la même façon que les incertitudes peuvent prendre de nombreuses formes, les approches disponibles pour les modéliser sont variées. En effet, chacun propose une façon particulière de modéliser l’incertain. L’utilisateur avisé choisira la méthode la plus pertinente d’après le type d’incertitude rencontré, aléatoire ou épistémique, et le degré d’information disponible. Nous scindons les méthodes entre les approches probabilistes et non-probabilistes.

2.3.1 Méthodes paramétriques probabilistes

La façon la plus courante de représenter les incertitudes est d’utiliser des fonctions de densité de probabilité. Soit I, un intervalle de R et f une fonction définie sur I. On dit que f est une densité de probabilité si :

1. f est continue et positive surI, 2. R

If(x)dx= 1.

Si la variable aléatoire X suit la loi à densité f alors la probabilité d’occurrence deX dans l’intervalle réel [a;b] est :

P (X ∈[a;b]) = Z b

a

f(x)dx, (2.4)

avec a < b. La fonction la plus employée est la loi de distribution normale. La probabilité que la variable aléatoire X, suivant une loi normale, prenne la valeur x est défini par la densité de probabilité :

p(x) = 1

√2πσ² exp

−(x−µ)² 2σ²

, (2.5)

avec µla moyenne et σ l’écart-type de la variableX. Leur emploi suppose donc que nous disposons assez d’informations, vis-à-vis des données étudiées, pour choisir la forme de distribution la plus adéquate et la paramétrer de façon crédible.

Mécanique et incertain

2.3.1.1 Les méthodes d’échantillonnage

La méthode d’échantillonnage la plus répandue est l’approche de Monte-Carlo consistant à tirer des paramètres d’entrée à partir d’une loi de distribution. Simuler une distribution expérimentale crédible suppose que les incertitudes liées au système ont été correctement identifiées au préalable. Chacun de ces échantillons est soumis au modèle Gafin d’approximer la distribution des sorties (Fig. 2.3).

Tirages

x₁ x₂

y₁ y₂

Entrées Sorties

Figure 2.3 – Schéma d’interprétation de la quantification d’incertitudes par échantillon- nage

Le nombre important de tirages nécessaires pour assurer la convergence du calcul est un facteur limitant. Cela est d’autant plus vrai lors de l’analyse de modèles éléments finis comprenant plusieurs variables d’intérêt. Plusieurs approches existent pour fluidifier ce calcul. Pour améliorer la vitesse de convergence, on pourra employer d’autres façon de procéder à l’échantillonnage tel l’Hypercube Latin [Olsson 02]. En substance, l’espace d’échantillonnage des paramètres est rationalisé afin d’éviter les tirages dans des domaines déjà fortement couverts.

Lorsque les réponses du système sont continues et peu perturbées dans l’espace d’analyse, il est possible d’utiliser des méta-modèles [Simpson 01]. Cette approche consiste à approximer les réponses du système par une fonction analytique à par- tir de résultats préliminaires. Une fois constituée, les réponses du système seront approximées par cette fonction plutôt que par calcul éléments finis.

2.3.1.2 Les méthodes d’analyse de fiabilité

Les méthodes d’analyse de fiabilité ont pour but de calculer la probabilité de défaillance d’une structure mécanique. Un critère de défaillance est défini afin de statuer sur l’état du système au regard des incertitudes. On définit xle vecteur des paramètres d’entrée etX les incertitudes associées. Ainsi, deux domaines émergent :

— D_f = {x:g(x)≤0} est le domaine de défaillance dans l’espace des para- mètres ;

— D_s ={x:g(x)>0}est le domaine dans lequel aucune défaillance ne survient.