Étude de $L(s, \chi )/\pi ^s$ pour des fonctions $L$ relatives à $\mathbb {F}_q((T^{-1}))$ et associées à des caractères de degré $1$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

ILLES

D

AMAMME

Étude de L(s, χ)/π

s

pour des fonctions L relatives à

F

q

((T

−1

)) et associées à des caractères de degré 1

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{2 (1999),}

p. 369-385

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Etude de

_{L(s, ~)/03C0s}

_pour

des fonctions

L

relatives

à

Fq((T-1))

et

associées

à

des

caractères

de

_degré

1

par GILLES DAMAMME

RÉSUMÉ. Carlitz a défini _pour les _corps de fonctions

_l’analogue

du réel 03C0 et Goss

_l’analogue

des fonctions L de Dirichlet. Nous prouvons dans un cas

particulier qu’il

existe des valeurs entières s et des _{caractères ~} pour

lesquels

L(s,~)/03C08

peut être

_rationnel,

algébrique

ou bien transcendant.

ABSTRACT. For functions

_fields,

Carlitz defined an

_analogue

of

the real 03C0 and Goss defined the

_analogue

of Dirichlet L-functions.

We _prove in a

_particular

case that there exist

_integer

values s

and

_{characters ~}

such that

_L(s,~)/03C08

is

_rational,

_algebraic

or

transcendent.

1. INTRODUCTION

Soit _q =

pn

(p premier)

et

IEQ

un _corps fini.

On pose :

est le

_complété

de _{k pour} la valeur absolue à

_l’infini).

Soit C le

_complété

d’une clôture

_algébrique

de

_{koo .}

Soit X

On pose :

X sera dit unitaire si

_{sgn X}

= 1.

On pose

aussi,

pour k &#x3E; 1 :

On vérifie que

[k]

est le

produit

des

polynômes

unitaires irréductibles

dont le

_degré

divise k et _que

_Lk

est le _ppcm des

_polynômes

unitaires de

degré

k. La fonction zêta de Carlitz est définie de la

_façon

suivante : pour

3 e N*,

- -- - -

-., - _

E’

_signifie

_que la somme est restreinte aux

polynômes

unitaires.

Définissons enfin 7r _{par :}

On _{sait que} 7r est transcendant sur

Q([W])

et _{aussi que pour} les valeurs

s divisibles _par

(q- 1), ~(s~~~r’

est rationnel et _{que par}

_conséquent

₍₍₈₎

est

transcendant dans ce cas. De

plus,

on a montré que pour les valeurs 8 non

divisibles _par

_{(q - 1), ((8)}

et

_((8)/1r8

sont transcendants

_{([Y], (D.H~).}

Dans le cas

_réel,

Euler a

_prouvé

_que

((2n)/7r2n

est

_rationnel,

mais on

ignore

en

_général

la nature de

_~(2n

+

₁₎

et de

_Ç(2rc

+

l)/7r~~.

De même

pour les fonctions L de

Dirichlet,

on sait démontrer dans certains cas liés à la

parité

de s _que

_L(s,

_X)/1r8

est rationnel ou

algébrique,

mais

quand

il n’existe

pas de formule reliant

L(x, X)

et

ir,

on

_ignore

la nature de

_L(8,

_X)/7r8.

_Aussi,

on

_peut

naturellement se _{poser la}

question

suivante : pour les fonctions L

prolongeant

la fonction zêta de

_Carlitz,

a-t-on certains cas _pour

lesquels

L(s, X)/7r8

est rationnel ?

_{algébrique ?}

transcendant ?

En

_1983,

D. Goss a défini des fonctions L sur des _corps de fonctions

correspondant

au

_prolongement

ci-dessus dans le cas

_particulier

où A =

Fq[T] ([GI).

Je redonne cette définition ci-dessous

_(dans

ce cas

particulier)

et _prouve dans les

_paragraphes

suivants

_qu’il

existe des valeurs de s et des

caractères X

pour

lesquels

L(s,

est rationnel ou

algébrique,

mais aussi

d’autres cas où

_{L(s, X)/7r8}

est transcendant.

2. CARACTÈRES ET FONCTIONS L RELATIFS AU MODULE DE CARLITZ

Soit G un _groupe abélien fini. On

appelle

caractère X

à valeurs dans C

tout

_{homomorphisme}

de G vers

(C*, .) :

Exemple.

..,

est le caractère

_principal

de G.

Définition. Soit M E

_{Z, unitaire,}

sans facteur

_carré,

et de

_degré

m. Un

caractère

est

_appelé

caractère modulo M. Un tel caractère sera dit de

_degré

m.

On

_{prolonge X}

à tout élément N de Z en

_{posant :}

(N désignant

la classe de N modulo

_M).

Propriétés. Soit X

un caractère modulo M. On a :

Définition.

_{Soit X}

un caractère modulo M. On _{pose :}

r

(2::’

signifiant

que la somme est restreinte aux

polynômes

unitaires).

Propriétés.

(i)

L(s,

X) ~

où P est l’ensemble des

_polynômes

irréductibles unitaires de Z.

(ii)

Si X

est un caractère

_principal

modulo

_M,

on a :

Corollaire. Si _x est un caractère

principal

modnlo

M,

L(s, X)

est

trans-cendant sur

Q.

On _suppose désormais et

_jusqu’à

la

_fin,

que M est un

_polynôme

unitaire

3. CARACTÈRES DE DEGRÉ 1

Propriétés.

Soit M = T - a

(a

E

_Fq).

Alors tout caractère modulo M est de la forme :

Démonstration. Comme M est de

_degré

_1,

_{(Z/(M)*, .)}

est

_isomorphe

à

(1F~ , . )

et comme :

- - - - ~

.

- 1 1

on

_peut

identifier N et

_N(a).

Il reste à déterminer les

homomorphismes

de

_{(~ , .).}

Comme

_{(~, .)}

est

_cyclique,

ils sont de la forme :

_N(a)

-

_N(a)r.

0 Notation. On notera désormais _xr le caractère :

Nous allons maintenant donner un

exemple

fondamental;

_{pour xi,} on

peut

donner deux

_expressions

de

Ces deux relations seront démontrées dans la _preuve du théorème 1. Dans les

_prochains

_paragraphes,

nous allons

_{généraliser}

le

_type

de

re-lations obtenues ci-dessus et en déduire des résultats

_{d’algébricité}

et de

transcendance; quand

on calculera

L(1, xs )

on obtiendra une relation du

type

(1),

et pour

L(s,

Xs)

une relation du

_type

(2).

4. ALGÉBRICITÉ DE

Posons :

e

est bien défini et on a alors le :

Théorème 1. Soit s e N* :

Corollaire 1.

Remarque.

Si on considère _que les nombres s divisibles _par

_{q - 1 jouent}

le

rôle de nombres

_pairs,

_L(s,Xs)/7rs

est rationnel dans ce _cas, de

_plus

comme

dans le cas

_réel,

il existe aussi des

_{caractères X}

_pour

_lesquels

L(s,

est

algébrique

si s est

_{’’impair’’.}

Preuve du Théorème 1. On a :

avec :

Mais en faisant la division de N _par

M,

N

_peut

s’écrire :

avec : d’où : . 0k Si on _{pose :}

_{bk = ,}

1 ao ona:

Comme il _y a

correspondance bijective

entre les N unitaires tels _que

N(a) #

0 et les P unitaires tels _que

_{P(0) #}

_0,

on a :

. 1 Posons donc : avec :

(4)

On a alors : d’où : avec : et comme : on en déduit :

d’où

_{l’expression}

de

_{L(s, Xs)}

_quand

8 ~ q.

On a donc bien B = 1 si s q.

on en déduit _{que :}

ce

_qui

_prouve la relation

(1).

(ii)

Supposons

maintenant que s &#x3E; q; on a alors :

Si s est

... , ....

Remarque.

Le

_signe

de

_B;,k

_regroupe tous les

_signes

intervenant dans le calcul de

_{l’expression ci-dessus,}

même ceux ne

dépendant

_pas de la somme.

Il

_dépend

donc de

_i,

mais aussi de s et k et

_peut-être

calculé

_{explicitement.}

Cependant

comme il n’intervient _pas de

_{façon significative}

_par la

_suite,

nous nous _{contenterons par} commodité de le noter : :1:.

Pour établir la relation

_(5),

on utilise la relation

(48)

de

[D.H]

_page

_277,

D’où: O O

avec

En

_remplaçant

dans

_{l’expression}

de

d

, on retrouve bien la

relation

_(5).

On a donc :

On a bien : B E

_Q

Reste à montrer _que B est non nul :

donc :

et comme :

On en déduit _{que si} i

_{# 0,}

Comme B est la somme de

Bo

et de

Bi

de

degré

strictement

négatif,

B est bien non nul. 0

(i)

On a :

Comme: [

D’où, d’après

le théorème 1 :

-.-Ce _rapport est donc

_algébrique.

---(ii)

De

_plus

si

_{s/q -1}

est un entier m,

’lV.L "S /

(iii)

Enfin,

comme B E

_Q*,

la transcendance de

_L(s,Xs)

se déduit de

celle de

0

5. TRANSCENDANCE DE

Nous

_{allons, maintenant,}

aborder un

_exemple

où

_{L(r, X)/7rr}

n’est

_plus

algébrique

mais transcendant.

On _suppose

_toujours

_que M et _xs sont définis comme

_{précédemment :}

et

On a le :

’

Le calcul _pour aboutir à

₍₆₎

est assez

complexe

et sera détaillé au

paragraphe

suivant.

Rappelons

maintenant le :

Théorème

_(B.

de Mathan

_[dM]).

Soit a E R.

_{Supposons qu’il}

existe une

suite

_(Pn/Qn)

avec

(Pn,Qn)

E

Z2,PnQn f:.

0

_{satisfaisant :}

(i)

Il existe A E

_Z,

_{A 34}

_0,

tel _{que :}

(ii)

Il existe une constate réelle

Ci

telle _{que :}

(iii)

Il existe un

polynôme

irréductible à tel _que la suite

(8n)

_définie

par :

satisfait :

étant la valuation

_0-adiqueJ,

alors a est transcendant sur

_Q.

Le corollaire suivant est une

application

directe du critère de

transcen-dance énoncé ci-dessus :

Corollaire 2. Pour 1 s _q,

est transcend ant

_{sur Q.}

Remarque.

1.

_{Cornme X,}

ne

_dépend

_que de la classe de s modulo _{q -}

_1,

on

_peut

généraliser

ce résultat à tout s tel _{que :}

2. Le théorème

_2,

_p. 430 de

_{[dM 2]}

ne

_peut

s’appliquer

_pour montrer

que

L(l,

Xs)/Trt

est transcendant car la condition

(v)

de ce théorème

2 n’est pas satisfaite.

Preuve du corollaire 2.

On a vu _que

-Par suite est transcendant si et seulement si

_{l’est ;}

On pose donc :

avec :

En réduisant au même

_{dénominateur,}

on trouve :

avec :

et :

Examinons si

_Pn

et

_Q.~

satisfont les conditions

_(i)

_(ii)

et

_(iii)

du théorème de Mathan.

Condition

_{(i) :}

Si on _{pose :} A = M7 _on vérifie alors _{que :}

Condition

_{(ii) :}

On a :

De même

D’où:

D’autre part :

Maintenant,

Remarque.

Si s

_=1,

la relation ci-dessus n’est

_plus

vraie.

6. PREUVE DU THÉORÈME 2

Posons :

( 1

signifie

que le

produit

est restreint aux N

unitaires).

En

_prenant

les dérivées

_{logarithmiques}

_(formelles)

des deux

_membres,

on

obtient :

Calcul de

Pour effectuer ce

calcul,

on va

décomposer Ak

en

_{sous-produits}

_BL

où

Q reste constant. Posons donc : *

Pour

_exprimer

_Bl(X),

nous utiliserons les déterminants de Moore :

Ces déterminants

_(d’ordre

k

_{+ 1)}

et leurs

_propriétés

ont été étudiés _par Moore dans

_[M].

On a notamment :

Comme N

_peut

s’écrire :

on a

_d’après

_{(10) :}

En utilisant le

_polynômes

de Carlitz défini dans

_[C]

_{par :}

et en

_remarquant

d’autre

_part

_que,

_d’après

(10)

et

_{[C] :}

on a: o avec

_d’après

[C] :

On a donc : avec : et : ’

On

peut

désormais calculer

_{Ak(0)/Ak(0) ;}

_d’après

_{(9) :}

Comme on trouve _{que, si s q :}

En faisant une

décomposition

en éléments

_simples

de

_X)

et en

réduisant cette

_{décomposition}

au dénominateur commun

_X,

on

ob-tient :

Je remercie B. de Mathan pour les conseils

qu’il

m’a donnés lors des J.A.

de Bordeaux en 1993.

Tous les résultats relatifs au calcul de

~(s) (s

quelconque),

aux

détermi-nants de Moore et au

_polynôme

de Carlitz sont dans

_[D].

BIBLIOGRAPHIE

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[Y] J. _Yu, Transcendence and Special Zeta Values in Characteristic p. Annals of Mathematics

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Gilles DAMAMME

Département de _{Mathématiques} UMR 9994

Université de Caen

Bvd du Maréchal Juin F-14032 CAEN Cedex