A reconstruction of Crelle's <i>Erleichterungstafel</i> (1836)

HAL Id: hal-00654423

https://hal.inria.fr/hal-00654423

Submitted on 21 Dec 2011

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Denis Roegel

To cite this version:

Denis Roegel. A reconstruction of Crelle’s Erleichterungstafel (1836). [Research Report] 2011.

�hal-00654423�

Crelle’s Erleichterungstafel

(1836)

Denis Roegel

21 November 2011

J. W. L. Glaisher [7, p. 19]

August Leopold Crelle (1780–1855) was a German mathematician and construction

engineer. He was self trained and was granted a doctorate in mathematics for a thesis

submitted in 1815. He was also the architect of the first railway line in Prussia in 1838.

He is now most famous for having founded the Journal für die reine und angewandte

Mathematik in 1826, but he also published several mathematical treatises and textbooks,

as well as works on railway engineering and railway economics. Among other things, he

also published several mathematical tables, which are the subject of interest here.

Figure 1: August Leopold Crelle (1780–1855) (source: Wikipedia)

Crelle also worked on factor tables and completed the fourth, fifth and sixth millions,

1

after Burckhardt’s initial work [1]. Crelle’s tables were however discovered to be too

inaccurate to publish. Crelle described methods for computing factor tables in 1853 [5].

1

Multiplication tables before Crelle

Multiplication tables have become so mundane that it is hard to imagine that they too

have a rich history.

2

The 10 × 10 tables have been extended early on. A table giving the

products up to 100 × 1000 is for instance cited in the 16th century [12]. In 1610, Herwart

von Hohenburg published his Tabulæ arithmeticæ προσθαφαιρεσεος universales [9] which

1

At this point, it is not clear if Crelle’s manuscript tables do still exist. These tables were deposited

in the Archives of the Academy of sciences in Berlin. We have contacted the Academy of sciences, but

their archives are closed until the beginning of 2012. It should therefore be investigated further whether

Crelle’s manuscript do still exist, and whether they were really as inaccurate as has been written.

2

For a good overview of the history of tables of multiplication, see Glaisher’s report [7] and Weiss’

article [12].

There have been many other tables, but many of the tables were only giving the

product of a one digit number by a larger number, for instance up to 10 × 1000, or up to

10 × 100000.

2

Crelle’s Rechentafeln (1820)

Crelle’s Rechentafeln [3] published in 1820 were a major step forward in the development

of extended multiplication tables. Apart from Herwart’s table, this was the first widely

distributed table giving products up to 1000 × 1000.

3

Crelle’s Erleichterungstafel (1836)

In 1836, Crelle published his Erleichterungstafel (“simplification table”) [4], which gave

the products of all numbers up to 10 millions by 2, 3, . . . , 9.

Each page covers a range of 100 values of the last five digits of the multiplicand. For

instance, if we wish to compute 7 × 1121055, we must open up the page corresponding

to the interval 21000–21099. There are 1000 such intervals from 00000 to 99999.

Each page is divided in two parts: the right one is used with the last five digits of the

multiplicand (here 21055) and the left part is used with the remaining digits (here 11).

First, we look for 55 in the two columns marked 1 in the right part. The intersection of

the 55 line and the corresponding column 7 which follows it gives the number 85. Going

upwards on that column, we find the three digits 473 written one above each other. It

follows that the last five digits of the result are 47385.

Then, we look for 11 in the two columns marked 1 in the left part of the table.

Similarly, we take the number at the intersection with the next column 7. This number

is 78, and represents the left part of the result. The entire product is 7847385.

Although the right part of the table always gives the correct result, the left part

actually depends on the right one, and there may be a need to add a carry. This happens

quite rarely, but, when it is necessary, an asterisk (*) has been added to the partial result

in the right part of the table.

For instance, if we wish to compute 9 × 2311119, we find 00071 in the right part, but

71 is preceded by an asterisk. This means that a carry must be added to the left part.

In the left part, we find 207, and the result is therefore 20800071 and not 20700071. The

asterisks mark when the three marginal digits (representing the hundreds) have overflown,

as becomes obvious by looking at page 112 of the table. In order to prevent forgetting

to add this carry, the top and bottom of the columns also concerned in the left part are

surrounded by «

+1

» and «

_∗

». These overflows only occur on pages 112, 143, 167, 223,

286, 334, 429, 445, 556, 572, 667, 715, 778, 834, 858, and 889.

Using this table, two numbers up to 10 millions can be multiplied by using only one

page of the table. For instance, in order to compute 9815734 × 7259483, it suffices to

consult the page for the interval 15700–15799, and to compute 9815734 × 3, 9815734 × 8,

4

Reconstruction

The table was first reconstructed using the one-page excerpt given by Stephan Weiss.

This excerpt was sufficient to reconstruct most of the table, but it did not illustrate the

asterisks marking carries. Our first reconstruction of the asterisks was therefore tentative.

Soon after the first version was made public, we obtained from Weiss excerpts of other

pages, in particular page 112, and this was used to display the asterisks correctly.

3

The following list covers the most important references

4

related to Crelle’s table. Not all

items of this list are mentioned in the text, and the sources which have not been seen are

marked so. We have added notes about the contents of the articles in certain cases.

[1] Johann Karl Burckhardt. Table des diviseurs pour tous les nombres des 1

er

, 2

e

et 3

e

million, etc. Paris: Vve Courcier, 1817.

[2] Moritz Cantor. Crelle, August Leopold. In Historische Kommission bei der

Bayerischen Akademie der Wissenschaften, editor, Allgemeine Deutsche Biographie,

volume 4, pages 589–590. Leipzig: Duncker & Humblot, 1876.

[3] August Leopold Crelle. Rechentafeln, welche alles Multipliciren und Dividiren mit

Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei grösseren Zahlen aber die Rechnung

erleichtern und sicherer machen. Berlin: Maurerschen Buchhandlung, 1820.

[2

volumes, reconstructed in [11]]

[4] August Leopold Crelle. Erleichterungs-Tafel für jeden, der zu rechnen hat :

enthaltend die 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und 9fachen aller Zahlen von 1 bis 10 Millionen.

Berlin, 1836.

[not seen]

[5] August Leopold Crelle. Wie eine Tafel der untheilbaren Factoren der Zahlen bis zu

beliebiger Höhe möglichst leicht und sicher aufzustellen sei. Journal für die reine

und angewandte Mathematik, 51(1):61–99, 1856.

[6] August Leopold Crelle. Dr. A. L. Crelle’s Rechentafeln, welche alles Multipliciren

und Dividiren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei grösseren Zahlen aber

die Rechnung erleichtern und sicherer machen. Berlin: Georg Reimer, 1914.

[edited

by Oskar Seeliger, not seen]

[7] James Whitbread Lee Glaisher. Report of the committee on mathematical tables.

London: Taylor and Francis, 1873.

[Also published as part of the “Report of the forty-third

meeting of the British Association for the advancement of science,” London: John Murray, 1874.

A review by R. Radau was published in the Bulletin des sciences mathématiques et

astronomiques

, volume 11, 1876, pp. 7–27]

[8] James Whitbread Lee Glaisher. Table, mathematical. In Hugh Chisholm, editor,

The Encyclopædia Britannica, 11th edition, volume 26, pages 325–336. Cambridge,

England: at the University Press, 1911.

4

_{Note on the titles of the works:}

Original titles come with many idiosyncrasies and features (line

splitting, size, fonts, etc.) which can often not be reproduced in a list of references. It has therefore

seemed pointless to capitalize works according to conventions which not only have no relation with the

original work, but also do not restore the title entirely. In the following list of references, most title

words (except in German) will therefore be left uncapitalized. The names of the authors have also been

homogenized and initials expanded, as much as possible.

The reader should keep in mind that this list is not meant as a facsimile of the original works. The

original style information could no doubt have been added as a note, but we have not done it here.

[10] Charles Hutton. A philosophical and mathematical dictionary. London, 1815.

[11] Denis Roegel. A reconstruction of Crelle’s Rechentafeln (1820). Technical report,

LORIA, 2011.

[This is a reconstruction of [3].]

[12] Stephan Weiss. Die Multipliziertafeln: ihre Ausgestaltung und Verwendung, 2003.

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 002 003 004 005 006 007 008 009 051 002 053 004 055 006 057 008 059 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 002 004 006 008 010 012 014 016 018 052 104 156 208 260 312 364 416 468 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 013 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 522 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 013 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 420 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 005 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 310 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 017 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 012 126 64 28 92 56 20 84 48 012 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 120 35 65 30 95 60 25 90 55 520 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 012 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 119 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 008 26 44 62 68 36 004 72 40 008 76 44 012 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 114 33 52 71 69 38 207 76 45 414 83 52 621 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 005 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 110 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 011 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 016 74 48 22 96 70 44 518 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 225 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 004 30 56 82 008 34 76 52 28 004 80 56 32 008 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 108 35 62 89 216 43 77 54 31 308 85 62 39 616 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 011 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 010 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 720 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 217 48 79 81 62 43 24 005 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 410 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 005 40 75 010 45 80 015 85 70 55 40 25 010 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 108 44 80 216 52 88 324 86 72 58 44 30 516 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 009 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 616 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 012 51 89 78 67 56 45 34 23 012 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 320 60 90 80 70 60 50 40 30 720 010 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 005 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 819 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 210 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 008 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 315 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 014 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 002 003 004 005 006 007 008 009 051 002 053 004 055 006 157 108 159 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 102 204 306 408 510 612 714 816 918 152 304 456 608 760 912 064 216 368 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 113 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 422 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 113 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 120 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 005 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 810 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 117 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 012 026 64 28 92 56 20 84 48 112 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 920 35 65 30 95 60 25 90 55 320 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 012 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 819 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 008 26 44 62 68 36 004 72 40 108 76 44 112 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 714 33 52 71 69 38 507 76 45 014 83 52 521 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 005 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 610 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 111 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 116 74 48 22 96 70 44 218 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 125 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 004 30 56 82 108 34 76 52 28 004 80 56 32 108 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 508 35 62 89 016 43 77 54 31 708 85 62 39 416 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 111 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 010 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 620 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 917 48 79 81 62 43 24 005 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 910 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 005 40 75 010 45 80 115 85 70 55 40 25 110 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 408 44 80 816 52 88 224 86 72 58 44 30 116 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 109 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 316 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 112 51 89 78 67 56 45 34 23 112 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 120 60 90 80 70 60 50 40 30 520 110 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 005 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 719 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 710 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 108 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 015 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 114 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 002 003 004 105 106 107 108 109 051 002 053 104 155 106 157 208 259 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 202 404 606 808 010 212 414 616 818 252 504 756 008 260 512 764 016 268 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 213 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 322 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 113 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 820 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 105 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 310 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 117 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 112 926 64 28 92 56 20 84 48 212 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 720 35 65 30 95 60 25 90 55 120 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 112 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 519 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 108 26 44 62 68 36 004 72 40 108 76 44 212 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 314 33 52 71 69 38 807 76 45 614 83 52 421 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 105 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 110 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 111 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 216 74 48 22 96 70 44 918 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 025 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 004 30 56 82 108 34 76 52 28 104 80 56 32 208 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 908 35 62 89 816 43 77 54 31 108 85 62 39 216 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 211 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 110 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 520 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 617 48 79 81 62 43 24 105 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 410 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 005 40 75 110 45 80 215 85 70 55 40 25 110 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 708 44 80 416 52 88 124 86 72 58 44 30 716 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 209 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 016 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 112 51 89 78 67 56 45 34 23 212 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 920 60 90 80 70 60 50 40 30 320 210 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 105 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 619 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 210 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 108 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 715 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 214 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 002 003 104 105 106 207 208 209 051 002 153 104 155 206 257 208 359 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 302 604 906 208 510 812 114 416 718 352 704 056 408 760 112 464 816 168 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 313 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 222 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 213 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 520 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 105 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 810 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 217 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 212 826 64 28 92 56 20 84 48 212 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 520 35 65 30 95 60 25 90 55 920 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 212 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 219 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 108 26 44 62 68 36 104 72 40 208 76 44 312 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 914 33 52 71 69 38 107 76 45 214 83 52 321 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 105 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 610 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 211 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 216 74 48 22 96 70 44 618 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 925 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 104 30 56 82 208 34 76 52 28 104 80 56 32 308 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 308 35 62 89 616 43 77 54 31 508 85 62 39 016 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 311 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 210 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 420 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 317 48 79 81 62 43 24 105 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 910 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 105 40 75 210 45 80 315 85 70 55 40 25 210 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 008 44 80 016 52 88 024 86 72 58 44 30 316 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 209 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 716 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 212 51 89 78 67 56 45 34 23 312 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 720 60 90 80 70 60 50 40 30 120 310 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 105 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 519 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 710 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 208 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 415 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 314 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 002 103 104 205 206 207 308 309 051 002 153 104 255 206 357 308 459 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 402 804 206 608 010 412 814 216 618 452 904 356 808 260 712 164 616 068 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 413 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 122 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 313 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 220 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 205 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 310 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 317 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 312 726 64 28 92 56 20 84 48 312 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 320 35 65 30 95 60 25 90 55 720 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 212 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 919 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 208 26 44 62 68 36 104 72 40 208 76 44 412 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 514 33 52 71 69 38 407 76 45 814 83 52 221 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 205 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 110 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 311 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 316 74 48 22 96 70 44 318 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 825 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 104 30 56 82 308 34 76 52 28 104 80 56 32 308 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 708 35 62 89 416 43 77 54 31 908 85 62 39 816 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 411 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 310 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 320 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 017 48 79 81 62 43 24 205 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 410 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 105 40 75 210 45 80 315 85 70 55 40 25 210 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 308 44 80 616 52 88 924 86 72 58 44 30 916 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 309 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 416 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 312 51 89 78 67 56 45 34 23 312 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 520 60 90 80 70 60 50 40 30 920 410 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 205 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 419 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 210 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 308 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 115 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 414 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 102 103 204 205 306 307 408 409 051 102 153 204 255 306 357 408 459 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 502 004 506 008 510 012 514 016 518 552 104 656 208 760 312 864 416 968 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 513 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 022 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 313 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 920 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 205 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 810 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 417 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 412 626 64 28 92 56 20 84 48 412 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 120 35 65 30 95 60 25 90 55 520 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 312 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 619 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 308 26 44 62 68 36 104 72 40 308 76 44 512 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 114 33 52 71 69 38 707 76 45 414 83 52 121 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 205 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 610 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 411 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 416 74 48 22 96 70 44 018 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 725 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 204 30 56 82 408 34 76 52 28 204 80 56 32 408 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 108 35 62 89 216 43 77 54 31 308 85 62 39 616 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 511 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 310 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 220 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 717 48 79 81 62 43 24 205 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 910 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 105 40 75 310 45 80 415 85 70 55 40 25 310 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 608 44 80 216 52 88 824 86 72 58 44 30 516 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 409 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 116 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 412 51 89 78 67 56 45 34 23 412 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 320 60 90 80 70 60 50 40 30 720 510 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 205 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 319 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 710 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 308 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 815 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 414 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 102 103 204 305 306 407 408 509 051 102 153 204 355 306 457 508 559 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 602 204 806 408 010 612 214 816 418 652 304 956 608 260 912 564 216 868 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 513 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 922 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 413 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 620 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 305 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 310 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 517 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 412 526 64 28 92 56 20 84 48 512 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 920 35 65 30 95 60 25 90 55 320 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 412 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 319 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 308 26 44 62 68 36 204 72 40 408 76 44 612 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 714 33 52 71 69 38 007 76 45 014 83 52 021 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 305 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 110 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 411 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 516 74 48 22 96 70 44 718 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 625 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 204 30 56 82 508 34 76 52 28 204 80 56 32 508 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 508 35 62 89 016 43 77 54 31 708 85 62 39 416 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 611 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 410 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 120 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 417 48 79 81 62 43 24 305 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 410 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 105 40 75 310 45 80 515 85 70 55 40 25 410 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 908 44 80 816 52 88 724 86 72 58 44 30 116 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 409 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 816 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 512 51 89 78 67 56 45 34 23 512 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 120 60 90 80 70 60 50 40 30 520 610 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 305 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 219 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 210 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 408 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 515 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 514 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 102 203 204 305 406 407 508 609 051 102 253 304 355 406 557 608 659 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 702 404 106 808 510 212 914 616 318 752 504 256 008 760 512 264 016 768 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 613 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 822 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 513 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 320 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 305 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 810 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 617 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 512 426 64 28 92 56 20 84 48 612 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 720 35 65 30 95 60 25 90 55 120 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 512 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 019 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 408 26 44 62 68 36 204 72 40 408 76 44 612 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 314 33 52 71 69 38 307 76 45 614 83 52 921 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 305 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 610 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 511 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 616 74 48 22 96 70 44 418 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 525 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 204 30 56 82 508 34 76 52 28 304 80 56 32 608 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 908 35 62 89 816 43 77 54 31 108 85 62 39 216 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 711 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 510 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 020 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 117 48 79 81 62 43 24 305 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 910 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 205 40 75 410 45 80 615 85 70 55 40 25 410 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 208 44 80 416 52 88 624 86 72 58 44 30 716 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 509 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 516 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 512 51 89 78 67 56 45 34 23 612 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 920 60 90 80 70 60 50 40 30 320 710 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 305 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 119 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 710 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 508 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 215 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 614 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 102 203 304 405 406 507 608 709 051 102 253 304 455 506 557 608 759 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 802 604 406 208 010 812 614 416 218 852 704 556 408 260 112 964 816 668 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 713 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 722 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 613 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 020 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 405 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 310 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 717 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 612 326 64 28 92 56 20 84 48 612 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 520 35 65 30 95 60 25 90 55 920 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 512 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 719 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 408 26 44 62 68 36 204 72 40 508 76 44 712 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 914 33 52 71 69 38 607 76 45 214 83 52 821 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 405 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 110 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 611 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 716 74 48 22 96 70 44 118 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 425 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 304 30 56 82 608 34 76 52 28 304 80 56 32 708 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 308 35 62 89 616 43 77 54 31 508 85 62 39 016 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 711 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 510 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 920 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 817 48 79 81 62 43 24 405 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 410 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 205 40 75 510 45 80 715 85 70 55 40 25 510 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 508 44 80 016 52 88 524 86 72 58 44 30 316 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 609 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 216 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 612 51 89 78 67 56 45 34 23 712 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 720 60 90 80 70 60 50 40 30 120 810 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 405 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 019 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 210 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 508 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 915 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 714 96 92 88 84 80 76 72 68 64

Crelle’s

Erleichterungstafel

(1836)

(recon

stru

ction

,

D.

Ro

egel,

2011)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 000 000 000 000 000 000 000 000 000 050 000 050 000 050 000 050 000 050 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 102 153 204 255 306 357 408 459 001 102 203 304 405 506 607 708 809 051 102 253 304 455 506 657 708 859 2 4 6 8 10 12 14 16 18 52 104 156 208 260 312 364 416 468 902 804 706 608 510 412 314 216 118 952 904 856 808 760 712 664 616 568 3 6 9 12 15 18 21 24 27 53 106 159 212 265 318 371 424 477 03 06 09 12 15 18 21 24 27 53 06 59 12 65 18 71 24 77 4 8 12 16 20 24 28 32 36 54 108 162 216 270 324 378 432 486 04 08 12 16 20 24 28 32 36 54 08 62 16 70 24 78 32 86 5 10 15 20 25 30 35 40 45 55 110 165 220 275 330 385 440 495 05 10 15 20 25 30 35 40 45 55 10 65 20 75 30 85 40 95 6 12 18 24 30 36 42 48 54 56 112 168 224 280 336 392 448 504 06 12 18 24 30 36 42 48 54 56 12 68 24 80 36 92 48 004 7 14 21 28 35 42 49 56 63 57 114 171 228 285 342 399 456 513 07 14 21 28 35 42 49 56 63 57 14 71 28 85 42 99 56 813 8 16 24 32 40 48 56 64 72 58 116 174 232 290 348 406 464 522 08 16 24 32 40 48 56 64 72 58 16 74 32 90 48 006 64 622 9 18 27 36 45 54 63 72 81 59 118 177 236 295 354 413 472 531 09 18 27 36 45 54 63 72 81 59 18 77 36 95 54 613 72 31 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 120 180 240 300 360 420 480 540 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 20 80 40 000 60 720 80 40 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 122 183 244 305 366 427 488 549 11 22 33 44 55 66 77 88 99 61 22 83 44 405 66 27 88 49 12 24 36 48 60 72 84 96 108 62 124 186 248 310 372 434 496 558 12 24 36 48 60 72 84 96 008 62 24 86 48 810 72 34 96 58 13 26 39 52 65 78 91 104 117 63 126 189 252 315 378 441 504 567 13 26 39 52 65 78 91 004 817 63 26 89 52 15 78 41 004 67 14 28 42 56 70 84 98 112 126 64 128 192 256 320 384 448 512 576 14 28 42 56 70 84 98 712 226 64 28 92 56 20 84 48 712 76 15 30 45 60 75 90 105 120 135 65 130 195 260 325 390 455 520 585 15 30 45 60 75 90 005 320 35 65 30 95 60 25 90 55 720 85 16 32 48 64 80 96 112 128 144 66 132 198 264 330 396 462 528 594 16 32 48 64 80 96 612 28 44 66 32 98 64 30 96 62 28 94 17 34 51 68 85 102 119 136 153 67 134 201 268 335 402 469 536 603 17 34 51 68 85 002 419 36 53 67 34 001 68 35 002 69 36 003 18 36 54 72 90 108 126 144 162 68 136 204 272 340 408 476 544 612 18 36 54 72 90 508 26 44 62 68 36 204 72 40 508 76 44 812 19 38 57 76 95 114 133 152 171 69 138 207 276 345 414 483 552 621 19 38 57 76 95 514 33 52 71 69 38 907 76 45 814 83 52 721 20 40 60 80 100 120 140 160 180 70 140 210 280 350 420 490 560 630 20 40 60 80 000 20 40 60 80 70 40 10 80 50 20 90 60 30 21 42 63 84 105 126 147 168 189 71 142 213 284 355 426 497 568 639 21 42 63 84 405 26 47 68 89 71 42 13 84 55 26 97 68 39 22 44 66 88 110 132 154 176 198 72 144 216 288 360 432 504 576 648 22 44 66 88 610 32 54 76 98 72 44 16 88 60 32 004 76 48 23 46 69 92 115 138 161 184 207 73 146 219 292 365 438 511 584 657 23 46 69 92 15 38 61 84 007 73 46 19 92 65 38 611 84 57 24 48 72 96 120 144 168 192 216 74 148 222 296 370 444 518 592 666 24 48 72 96 20 44 68 92 816 74 48 22 96 70 44 818 92 66 25 50 75 100 125 150 175 200 225 75 150 225 300 375 450 525 600 675 25 50 75 000 25 50 75 000 325 75 50 25 000 75 50 25 000 75 26 52 78 104 130 156 182 208 234 76 152 228 304 380 456 532 608 684 26 52 78 304 30 56 82 708 34 76 52 28 304 80 56 32 708 84 27 54 81 108 135 162 189 216 243 77 154 231 308 385 462 539 616 693 27 54 81 708 35 62 89 416 43 77 54 31 908 85 62 39 816 93 28 56 84 112 140 168 196 224 252 78 156 234 312 390 468 546 624 702 28 56 84 12 40 68 96 24 52 78 56 34 12 90 68 46 24 002 29 58 87 116 145 174 203 232 261 79 158 237 316 395 474 553 632 711 29 58 87 16 45 74 003 32 61 79 58 37 16 95 74 53 32 811 30 60 90 120 150 180 210 240 270 80 160 240 320 400 480 560 640 720 30 60 90 20 50 80 610 40 70 80 60 40 20 000 80 60 40 820 31 62 93 124 155 186 217 248 279 81 162 243 324 405 486 567 648 729 31 62 93 24 55 86 517 48 79 81 62 43 24 405 86 67 48 29 32 64 96 128 160 192 224 256 288 82 164 246 328 410 492 574 656 738 32 64 96 28 60 92 24 56 88 82 64 46 28 910 92 74 56 38 33 66 99 132 165 198 231 264 297 83 166 249 332 415 498 581 664 747 33 66 99 32 65 98 31 64 97 83 66 49 32 15 98 81 64 47 34 68 102 136 170 204 238 272 306 84 168 252 336 420 504 588 672 756 34 68 002 36 70 004 38 72 006 84 68 52 36 20 004 88 72 56 35 70 105 140 175 210 245 280 315 85 170 255 340 425 510 595 680 765 35 70 205 40 75 510 45 80 815 85 70 55 40 25 510 95 80 65 36 72 108 144 180 216 252 288 324 86 172 258 344 430 516 602 688 774 36 72 808 44 80 616 52 88 424 86 72 58 44 30 916 002 88 74 37 74 111 148 185 222 259 296 333 87 174 261 348 435 522 609 696 783 37 74 11 48 85 22 59 96 33 87 74 61 48 35 22 609 96 83 38 76 114 152 190 228 266 304 342 88 176 264 352 440 528 616 704 792 38 76 14 52 90 28 66 004 42 88 76 64 52 40 28 916 004 92 39 78 117 156 195 234 273 312 351 89 178 267 356 445 534 623 712 801 39 78 17 56 95 34 73 712 51 89 78 67 56 45 34 23 712 001 40 80 120 160 200 240 280 320 360 90 180 270 360 450 540 630 720 810 40 80 20 60 000 40 80 520 60 90 80 70 60 50 40 30 920 810 41 82 123 164 205 246 287 328 369 91 182 273 364 455 546 637 728 819 41 82 23 64 405 46 87 28 69 91 82 73 64 55 46 37 28 919 42 84 126 168 210 252 294 336 378 92 184 276 368 460 552 644 736 828 42 84 26 68 710 52 94 36 78 92 84 76 68 60 52 44 36 28 43 86 129 172 215 258 301 344 387 93 186 279 372 465 558 651 744 837 43 86 29 72 15 58 001 44 87 93 86 79 72 65 58 51 44 37 44 88 132 176 220 264 308 352 396 94 188 282 376 470 564 658 752 846 44 88 32 76 20 64 608 52 96 94 88 82 76 70 64 58 52 46 45 90 135 180 225 270 315 360 405 95 190 285 380 475 570 665 760 855 45 90 35 80 25 70 615 60 005 95 90 85 80 75 70 65 60 55 46 92 138 184 230 276 322 368 414 96 192 288 384 480 576 672 768 864 46 92 38 84 30 76 22 68 814 96 92 88 84 80 76 72 68 64