Deviation inequalities for bifurcating Markov chains on Galton-Watson tree

Texte intégral

(1)Deviation inequalities for bifurcating Markov chains on Galton-Watson tree Siméon Valère Bitseki Penda. To cite this version: Siméon Valère Bitseki Penda. Deviation inequalities for bifurcating Markov chains on Galton-Watson tree. 2013. �hal-00789557�. HAL Id: hal-00789557 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00789557 Preprint submitted on 18 Feb 2013. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2)

(3)

(4) !" $#&%'()$

(5) *!"+($

(6) ,#-

(7) .0/1 2

(8) , 3 465 7982:<;>=2?(@-ACBD4 ?>EFAHGI?>J2K28 LNMPORQTSPU6VPQ9WYX Z\[ ]_^0`ba c Z\c ZR`ba d0e_a ^gf a fhZjikPdml a e_a ZRnYop^m]F[ ]_^g[6Zq]_l r fh^m]_stdml a uRZjcvnwkhsxnY^moIyha opk ]_zjd0e_a fh{ | d0]_}^0`Nz~Pdma fhnI^gf3dml e_^gf Xd0e_nw^gfew]_ZRZ 5IB ~hZRnwZY[ ]_^zRZRnwnwZRnd0]_ZYZq be_ZRfhnwa ^gfx^moyha opk ]_zjd0e_a fh{ | d0]_}^0` z~Pdma fhnDpD~ha z~\HdmnIa few]_^bc khzRZjc\yr2k r^gf\e_^Fc Zqe_ZRzqe>zRZRl l khl d0]dm{ga fh{o ]_^gszRZRl l l a fhZjdm{gZ09a fzjdmnwZe_~hZ a fPc Zq nwZqe9a n>dYyha fPd0]wrNdml e_^gf Xd0e_nw^gfN[ ]_^zRZRnwn 5>8 n>dm[h[hl a zjd0e_a ^gfgZc Zq]_a `Zc ZR`ba d0e_a ^gfNa fhZjikPdml a e_a ZRn op^m]te_~hZ3l ZjdmnCewn_ikPd0]_ZRntZRnCe_a std0e_^m]t^moFdmk e_^m]_ZR{m]_ZRnwnwa `Z [Pd0]dmsxZqe_Zq]_n^moFyha opk ]_zjd0e_a fh{dmk e_^m]_ZR{m]_ZRnwnwa `Z [ ]_^zRZRnwnwZRnNDa e_~(sxa nwnwa fh{chd0ed 5B ~hZRnwZ3[ ]_^zRZRnwnwZRntdml l ^jFa fzjdmnwZ3^mo2zRZRl lDc a `ba nwa ^gfIe_^vedm}Za fe_^ dmzRzR^gkhfeFe_~hZxzRZRl l nNc Zjd0e_~ 5B ~hZN]_ZRnwkhl e_nNd0]_Zx^gy edma fhZjckhfPc Zq]\dmf"khfha op^m]_s{gZR^gsxZqew]_a zxZq]_{g^bc a zRa er dmnwnwkhsx[ e_a ^gf3^mo>dmf ZRsNy6Zjchc Zjc | d0]_}^0`tz~Pdma f 5 g \Pjhbx g <j¡0¢6£C¤<¥¦¢Pm§PP¨¡g©ª¢P¤9m«¬t¢Pp£_P¤>®h¯ ¢6£P¤°-jb¡mmmbmm«gw¥TbPw¡C£Ch«(g¨bw¢6£CwP¤±¤>® j² 9¢P C£C_mm«-³m£\Pjg´g g <j¡0¢6£C¤<¥¢P ª£_P0w¥P0mmg¨P°-jb¡mmmFC£©µ mg¤<¥(T¢6£_¢h«¡mg <¢P ¢b¥P¤<¥6¶ · ¦¸¹ªºTºTºg >´»bj¡£x¡¢hmg ³N¡0¢6£CwP¤9b¼½Ngµ¢Pg¾Tºb¿tÀ6Áh«¾TºPÂÃ<º Äbj¡0P¤-T¢Pg¾TºPÂªÀTºT¼ Å ¶3Æ0ÇHÈHÉIÊ2ËYÌDÍ-ÈHÎÊ2Ç ÏNÐpÑCÒ9Ó0ÔbÕhÖjÐ×9Ø$ÙÕhÓjÚTÛbÜÔ0ÝIÕhÐ×>ÞßCÏÙáàxâvÛP×äãvÕhåÖ0ÛP×ªæ_çÕhÖ0Þ0ÛP×ß_ã3çèâ3ÖjÓ0ééÕhÓ0éÕh×êégëªÖ0é×>ÞjÐÛP×êÛhÑtÏÙáà Ö0Ûìã3çíÖjÓ0ééî>ÕhÖmÕª¶"ïÝ>éð$ñNéÓ0é Ð×ÖjÓ0Û<îªÒ>Ôéîáòðó éåô(ÕPÞÕh×>îáÙÕhÓ0ÞmÕhååéõ Åböh÷ Ð×ÛPÓ0î9éÓvÖ0ÛÖmÕhÚTé Ð×Ö0Û ÕPÔÔÛPÒ9×ÖÖjÝ>é î9ébÕhÖjÝ$ÛhÑÐ×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhåÞtÐ×ÖjÝ>é øÞ0Ô0Ý>éÓjÐÔ0Ý9ÐÕ(ÔÛPåÐ_ù Þ"ßCøt¶ ÔÛPåÐâÓ0éú9Ó0Û<îªÒ>ÔÖjÐÛP×ìôÛ<î9éå_¶\øt¶ ÔÛPåÐ ÐÞ ÕÓ0Û<î<æÞjÝIÕhúéîòIÕPÔÖ0éÓjÐÒ9ôûñxÝ9ÐÔ0ÝÓ0éú9Ó0Û<îªÒ>ÔéÞvòðîªÐÜ<ÐîªÐ×9ØÐ×áÖjÝ>é ôÐî9îªåé6üHÖjÝÒ>Þ ú9Ó0Û<îªÒ>ÔÐ×9ØÖñNÛ ÔéååÞb¶\ý×>é ñxÝ9ÐÔ0ÝÝIÕPÞÖjÝ>é ×>éñúÛPåé ÛhÑ2ÖjÝ>é ôÛPÖjÝ>éÓÕh×>îÖjÝIÕhÖxñNévÔbÕhååH×>éñþúÛPåé ú9Ó0ÛPØTé×ðÔéåå_ü>Õh×>î ÖjÝ>éÛPÖjÝ>éÓNñxÝ9ÐÔ0ÝÝIÕPÞÖjÝ>éÛPåîúÛPåéÛhÑHÖjÝ>étôÛPÖjÝ>éÓxÕh×>îÖjÝIÕhÖ\ñNé3ÔbÕhåå-ÛPåîúÛPåétú9Ó0ÛPØTé×ð(Ôéåå_¶ÿ×Ñ_ÕPÔÖbü ébÕPÔ0Ýî>ÕhÒ9Ø6ÝÖ0éÓ ÔéååYÝIÕPÞÖñNÛ(úÛPåéÞb¶tý×>é ñxÝ9ÐÔ0Ý$ÐÞt×>éñ ß×>éñ1úÛPåé âtÕh×>îÖjÝ>éÛPÖjÝ>éÓñxÝ9ÐÔ0ÝáÕhåÓ0ébÕPîªð égëªÐÞjÖ0éîþßCÛPåîúÛPåé âg¶ìïÝ>éÕhØTéÛhÑ3ÕÔéååNÐÞ"Ø6ÐÜTé×êòðÖjÝ>éÕhØTéÛhÑÐÖ0Þ"ÛPåîúÛPåé$ßÐ_¶ é(ÖjÝ>é(×Ò9ôòéÓÛhÑ ØTé×>éÓmÕhÖjÐÛP×>ÞÐ×ÖjÝ>évúIÕPÞjÖtÛhÑÖjÝ>é ÔéååDòégÑwÛPÓ0é ÖjÝ>é ÛPåîúÛPåévñÕPÞxú9Ó0Û<îªÒ>ÔéîIâg¶ ã3Ò9ðTÛP× åxõ Å h ÷ ú9Ó0ÛPúÛ6Þ0éîÖjÝ>é"ÑwÛPååÛbñxÐ×9ØåÐ×>ébÕhÓ ãvÕhÒ>Þ0ÞjÐÕh×ôÛ<î9éåFÖ0Ûî9éÞ0ÔÓjÐòé ÖjÝ>é éÜTÛPåÒ9ÖjÐÛP×ÛhÑ ÖjÝ>évØ6Ó0ÛbñxÖjÝìÓmÕhÖ0évÛhÑÖjÝ>évúÛPú9Ò9åÕhÖjÐÛP×$ÛhÑFÔéååÞtî9éÓjÐÜTéîÑCÓ0ÛPô Õh×Ð×9ÐÖjÐÕhåYÐ×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhå L(X1 ) = ν,. and. ∀n ≥ 1,.   X2n = α0 Xn + β0 + ε2n . X2n+1 = α1 Xn + β1 + ε2n+1 ,. ß Å ¶Å â. ñxÝ>éÓ0é Xn ÐÞÖjÝ>éxØ6Ó0ÛbñxÖjÝ(ÓmÕhÖ0étÛhÑÐ×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhå n ü n ÐÞÖjÝ>éxôÛPÖjÝ>éÓ\ÛhÑ 2n ßÖjÝ>éx×>éñ úÛPåéú9Ó0ÛPØTé×ðÔéååâ Õh×>î 2n + 1 ßÖjÝ>évÛPåîúÛPåé ú9Ó0ÛPØTé×ðÔéååâgü ν ÐÞÕ îªÐÞjÖjÓjÐò9Ò9ÖjÐÛP×ìú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖðÛP× R ü α0, α1 ∈ (−1, 1) Õh×>î (ε2n , ε2n+1 ), n ≥ 1 ÑwÛPÓjôÞtÕÞ0é Ò>é×>ÔévÛhÑYÐ_¶ Ð_¶ îò9ÐÜ6ÕhÓjÐÕhÖ0é ÓmÕh×>î9ÛPô Ü6ÕhÓjÐÕhò9åéÞñxÐÖjÝ β0 , β1 ∈ R åÕñ N2(0, Γ) ü>ñxÝ>éÓ0é ß Å ¶ö â 2 1 ρ Γ=σ , σ 2 > 0, ρ ∈ (−1, 1)..

(9) ZRy ]_kPd0]wr b 5. ρ 1. .

(10) . ! "#! $&%(')*,+-%/.,*,0)132. ïÝ>éú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ0éÞ (Xn) î9é 4>×>éîòð ß Å ¶ Å âvÕhÓ0éÖð<ú9ÐÔbÕhåNégë>Õhôú9åéÛhÑxÏÙáà1ñxÝ9ÐÔ0ÝäÕhÓ0éÔbÕhååéîáÖjÝ>5é 4>Ó0ÞjÖ ÛPÓ0î9éÓDò9ÐpÑCÒ9Ó0ÔbÕhÖjÐ×9Ø ÕhÒ9Ö0ÛPÓ0éØ6Ó0éÞ0ÞjÐÜTéú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ0éÞ\ßCÏ 76 ß Å âjâg¶2ïÝ>éÏ 76 ß Å âIú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ0éÞYÕhÓ0é\Õh×"ÕPî>Õhú9ÖmÕhÖjÐÛP× ÛhÑÕhÒ9Ö0ÛPÓ0éØ6Ó0éÞ0ÞjÐÜTé ú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ0éÞbüªñxÝ>é×ÖjÝ>é î>ÕhÖmÕ ÝIÕÜTéÕ ò9Ð×IÕhÓjðÖjÓ0éé ÞjÖjÓjÒ>ÔÖjÒ9Ó0é(ßCÞ0é9é 82ÐØ6Ò9Ó0é Å âg¶ïÝ>éð ñNéÓ0é74>Ó0ÞjÖÐ×ÖjÓ0Û<îªÒ>ÔéîòðàNÛbñÕh×$Õh×>; î : ÖmÕhÒ>îªÖ0éõ < ÷ ÑwÛPÓÔéåååÐ×>ébÕhØTévî>ÕhÖmÕñxÝ>éÓ0évébÕPÔ0ÝÐ×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhåHÐ× ÛP×>évØTé×>éÓmÕhÖjÐÛP×ìØ6ÐÜTéÞxÓjÐÞ0é Ö0ÛÖñNÛ(>Û =HÞjú9ÓjÐ×9ØÐ×ÖjÝ>év×>égëªÖxØTé×>éÓmÕhÖjÐÛP×D¶ ÿ×õ @Å ?P÷ ü ã3Ò9ðTÛP×Dü Ò>ÞjÐ×9Ø ÖjÝ>éáÖjÝ>éÛPÓjðþÛhÑÏÙáà3üØÕÜTéáåÕñtÞìÛhÑ åÕhÓjØTéá×Ò9ôòéÓ0Þ$Õh×>îèÔé×ÖjÓmÕhå åÐôÐÖ ÖjÝ>éÛPÓ0éô ÑwÛPÓ3ÖjÝ>éåébÕPÞjÖRæAÞ ÒIÕhÓ0éÞ éÞjÖjÐô(ÕhÖ0ÛPÓ θbr = (bαr , βbr , αbr , βbr ) ÛhÑ\ÖjÝ>é ? æîªÐôé×>ÞjÐÛP×IÕhåúIÕhÓmÕhôéÖ0éÓ ¶ B3éÝIÕPÞvÕhåÞ0Û(ò9Ò9ÐåÖ Þ0ÛPôé"ÞjÖmÕhÖj0ÐÞjÖjÐÔb0Õhå2Ö01éÞjÖ01Þ3ñxÝ9ÐÔ0ÝÕhååÛbñ'Ö0Û(Ö0éÞjÖ3ÐpÑÖjÝ>éôÛ<î9éå 7 θ = (α0 , β0 , α1 , β1 ) ÐÞÞjð<ôôéÖjÓjÐÔ(ÛPÓ×>ÛPÖbüFÕh×>îÐpÑxÖjÝ>é×>éñ úÛPåé(Õh×>îÖjÝ>é(ÛPåîúÛPåéúÛPú9Ò9åÕhÖjÐÛP×>Þ ÕhÓ0é(éÜTé×êîªÐÞjÖjÐ×>ÔÖ"Ð× ôébÕh×D¶ïÝ9ÐÞ"ÕhååÛbñNéîÝ9Ðô Ö0ÛÔÛP×>ÔåÒ>î9éÕÞjÖmÕhÖjÐÞjÖjÐÔbÕhå\éÜ<Ðî9é×>ÔéÐ×êÕhØ6Ð×9ØÐ×øt¶2àNÛPåÐ_D¶ CDéÖ Ò>Þ"ÕhåÞ0Û ôé×ÖjÐÛP×ìõ E ÷ ü6ñxÝ>éÓ0éxÏéÓ0ÔÒ F å_¶YÒ>ÞjÐ×9ØvÖjÝ>éô(ÕhÓjÖjÐ×9ØÕhåéÕhú9ú9Ó0ÛTÕPÔ0ÝØ6ÐÜTétÕPÞjð<ôú9Ö0ÛPÖjÐÔtÕh×IÕhåðªÞjÐÞFÛhÑIÖjÝ>é åébÕPÞjÖ AÞ ÒIÕhÓ0éÞ éÞjÖjÐô(ÕhÖ0ÛPÓ ÛhÑ\ÖjÝ>éÒ9×9Ú<×>Ûbñx×áúIÕhÓmÕhôéÖ0éÓ0Þ ÛhÑÕØTé×>éÓmÕhåÕPÞjð<ôôéÖjÓjÐÔ pÖjÝªæÛPÓ0î9éÓ Ï 76 ú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ0éÞb¶ B3ÛbñNéÜTéÓbüFÐ×ÖjÝ>éÏÙáà'ôÛ<î9éå\ú9Ó0éÞ0é×Ö0éîêòðêã3Ò9ðTÛP×DüFÔéååÞ ÕhÓ0éÕPÞ0ÞjÒ9ôéîÖ0Û×>éÜTéÓ îªÐéßwÕî9ébÕhÖjÝ ÔÛPÓjÓ0éÞjúÛP×>î9Þ Ö0Û×>ÛôÛPÓ0é(îªÐÜ<ÐÞjÐÛP×-âg¶ïYÛÖmÕhÚTéÐ×Ö0ÛìÕPÔÔÛPÒ9×Ö"ÔéååÞbù Þî9ébÕhÖjÝDü2ó éåô(ÕPÞ"Õh×>îÙÕhÓ0ÞmÕhååé õ Åböh÷ ü2Ð×>ÞjÖ0ébÕPîêÛhÑ3ÕÓ0éØ6Ò9åÕhÓ"ò9Ð×IÕhÓjðÖjÓ0éé6üÒ>Þ0éîêÕò9Ð×IÕhÓjðäã3ç*ÖjÓ0éé(Ö0ÛìåÕhòéåNÔéååÞb¶ìÿ×ÖjÝ>éÞ0 é Ò>éå_ü ñNévñxÐååYÐ×ÖjÓ0Û<îªÒ>Ôé ÖjÝ>évôÛ<î9éåDñxÝ9ÐÔ0ÝÕhååÛbñNéîìÖjÝ>éô Ö0ÛÞjÖjÒ>îªðÖjÝ>évòéÝIÕÜ<ÐÛPÓÛhÑFÖjÝ>évØ6Ó0ÛbñxÖjÝìÓmÕhÖ0é ÛhÑ ÔéååÞbü9ÖmÕhÚ<Ð×9ØÐ×Ö0ÛÕPÔÔÛPÒ9×ÖÖjÝ>éÐÓtúÛ6Þ0ÞjÐò9åévî9ébÕhÖjÝD¶ Å ¶ Å ¶H GJILKNMPO#I,QSR9DC éÖ T òéÕ(ò9Ð×IÕhÓjð$Ó0éØ6Ò9åÕhÓvÖjÓ0éé Ð×ñxÝ9ÐÔ0ÝébÕPÔ0ÝáÜTéÓjÖ0égëÐÞvÞ0éé×ÕPÞ ÕúÛ6ÞjÐÖjÐÜTé Ð×Ö0éØTéÓ3îªÐT=HéÓ0é×ÖxÑCÓ0ÛPV ô Uªü9Þ0éé 28 ÐØ6Ò9Ó0é Å W¶ 8>ÛPÓ r ∈ N üªåéÖ n o Gr = 2r , 2r + 1, · · · , 2r+1 − 1 ,. Tr =. r [. Gq ,. ñxÝ9ÐÔ0Ýî9é×>ÛPÖ0é Ó0éÞjúéÔÖjÐÜTéåð$ÖjÝ>é ræ_ÖjÝáÔÛPåÒ9ô×êÕh×>îÖjÝ>Xé 4>Ó0ÞjÖ (r + 1) ÔÛPåÒ9ô×>Þ ÛhÑÖjÝ>é"ÖjÓ0éé6¶ ïÝ>é×Dü ÖjÝ>é3ÔbÕhÓ0îªÐ×IÕhåÐÖð |Gr | ÛhÑ Gr ÐÞ 2r Õh×>î(ÖjÝIÕhÖxÛhÑ Tr ÐÞ |Tr | = 2r+1 − 1 ¶ ÔÛPåÒ9ô×ÛhÑ2Õ Ø6ÐÜTé×Ð×Ö0éØTéÓ ÐÞ ñxÐÖjÝ rn = ⌊log n⌋ üªñxÝ>éÓ0é ⌊x⌋ î9é×>ÛPÖ0éÞtÖjÝ>é Ð×Ö0éØTéÓúIÕhÓjÖÛhÑÖjÝ>évÓ0ébÕhåD×Ò9ôòéÓ x ¶ n Gr ïÝ>étØTé×>ébÕhåÛPØ6ðÛhÑHÖjÝ>étÔéå2åÞÐÞ\î9éÞ0ÔÓjÐòéîòð ÖjÝ9ÐÞÖjÓ0éé6¶Fÿ×ÖjÝ>étÞ0é Ò>éå>ñNétñxÐååIÖjÝÒ>ÞNÞ0éé T ÕPÞNÕ Ø6ÐÜTé× úÛPú9Ò9åÕhÖjÐÛP×D¶ïÝ>é×ÖjÝ>éÜTéÓjÖ0égë n üDÖjÝ>é(ÔÛPåÒ9ô× Gr Õh×>îÖjÝ>Yé 4>Ó0ÞjÖ (r + 1) ÔÛPåÒ9ô×>Þ Tr î9éÞjÐØ6×IÕhÖ0é Ó0éÞjúéÔÖjÐÜTéåðáÐ×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhå üDÖjÝ>é æ_ÖjÝØTé×>éÓmÕhÖjÐÛP× Õh×>îÖjÝ>5é 4>Ó0ÞjÖ ØTé×>éÓmÕhÖjÐÛP×>Þb¶ïÝ>éÐ×9ÐÖjÐÕhå Ð×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhå<ÐÞ2î9é×>ÛPÖ0éî 1 ¶2nïÝ>éôÛ<rî9éå<ú9Ó0ÛPúÛ6Þ0éî òðó éåô(ÕPÞÕh×>î"Ù(rÕhÓ0+ÞmÕh1)ååé3õ Åbö ÷ ÐÞ2î9é4>×>éî ÕPÞDÑwÛPååÛbñtÞb¶ ïÝ>évØ6Ó0ÛbñxÖjÝìÓmÕhÖ0évÛhÑFÔéåå n ÐÞ Xn. ç±ÐÖjÝú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖð p1,0, n Ø6ÐÜTéÞò9ÐÓjÖjÝÖ0Û"ÖñNÛÔéååÞ 2n Õh×>î 2n + 1 ñxÐÖjÝòÛPÖjÝîªÐÜ<Ðî9é6¶FïÝ>é • Ø6Ó0ÛbñxÖjÝ ÓmÕhÖ0éìÛhÑvÖjÝ>éî>ÕhÒ9Ø6ÝÖ0éÓ0Þ X2n Õh×>î X2n+1 ÕhÓ0éÖjÝ>é× åÐ×9ÚTéî Ö0ÛáÖjÝ>éôÛPÖjÝ>éÓbù Þ(ÛP×>é ÖjÝ9Ó0ÛPÒ9Ø6Ý$ÕhÒ9Ö0Ûhæ_Ó0éØ6Ó0éÞ0ÞjÐÜTé é ÒIÕhÖjÐÛP×>Þ"ß Å ¶ Å âg¶ ± ç ÐÖjÝú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖð ÛP×9åðìÖjÝ>é ×>éñ'úÛPåé îªÐÜ<Ðî9éÞb¶ÿÖ0Þ3Ø6Ó0ÛbñxÖjÝÓmÕhÖ0é X2n ÐÞ åÐ×9ÚTéîÖ0Û • ÐÖ0ÞxôÛPÖjÝ>éÓbù ÞÛP×>é Xpn0,ÖjÝ9Ó0ÛPÒ9Ø6ÝìÖjÝ>é Ó0éåÕhÖjÐÛP× 2n ß Å ¶ ZTâ X2n = α′0 Xn + β0′ + ε′2n , ñxÝ>éÓ0é α′ ∈ (−1, 1), β ′ ∈ R Õh×>î (ε′ , n ∈ T) ÐÞÕÞ0é Ò>é×>ÔéÛhÑÐ×>î9éúé×>î9é×Ö"Ôé×Ö0éÓ0éî ãvÕhÒ>Þ0ÞjÐÕh×0 ÓmÕh×>î9ÛPô Ü6ÕhÓjÐÕh0ò9åéÞxñxÐÖjÝÜ6ÕhÓj2nÐÕh×>Ôé σ2 > 0. ç±ÐÖjÝú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖð p1, ÛP×9åðÖjÝ>é3ÛPåîúÛPåé 2n +01 îªÐÜ<Ðî9éÞb¶FÿÖ0Þ\Ø6Ó0ÛbñxÖjÝÓmÕhÖ0é X2n+1 ÐÞNåÐ×9ÚTéî • Ö0Û ÐÖ0ÞxôÛPÖjÝ>éÓbù Þ3ÛP×>é Xn ÖjÝ9Ó0ÛPÒ9Ø6ÝÖjÝ>évÓ0éåÕhÖjÐÛP× ß Å ¶? â X2n+1 = α′ Xn + β ′ + ε′ , q=0. n. 1. 1. 2n+1.

(11) 1-*["-%(2\'3%^]-0_%`0)*&a-bc2)d%('3%`*&fe[]-g_$&%(e\b)g3h&2\'3%`0-ikjl2-gc+m]/"Nh/nc2)%`0-9]-0oi)2)d')]-03pTqr2\')@]-0_'cgc*,*ts. w. v y x. v y v ycz u. u. |. {. }. G0. G1. G2. Î ÌDPÉ /tïÝ>évò9Ð×IÕhÓjðÖjÓ0éé ~ . Grn. T. ñxÝ>éÓ0é α′ ∈ (−1, 1), β ′ ∈ R Õh×>î (ε′ , n ∈ T) ÐÞÕÞ0 é Ò>é×>ÔéÛhÑÐ×>î9éúé×>î9é×Ö Ôé×Ö0éÓ0éî ãvÕhÒ>Þ0ÞjÐÕh×1 ÓmÕh×>î9ÛPô Ü6ÕhÓjÐ1Õhò9åéÞxñxÐÖjÝÜ6Õh2n+1 ÓjÐÕh×>Ôé σ2 > 0. ± ç Ð j Ö ì Ý 9 ú 0 Ó P Û I ò h Õ 9 ò Ð å Ð Ö ð ñxÝ9ÐÔ0Ý$1ÐÞ×>ÛP×ªæ_×>éØÕhÖjÐÜTé6ü n Ø6ÐÜTéÞò9ÐÓjÖjÝìÖ0ÛÖñNÛÔéååÞ 1 − p1,0 − p1 − p0 , • ñxÝ9ÐÔ0Ý$î9Û ×>ÛPÖîªÐÜ<Ðî9é6¶ ïÝ>é Þ0 é Ò>é×>ÔéÞ ((ε2n , ε2n+1 ), n ∈ T), (ε′ , n ∈ T) Õh×>î (ε′ , n ∈ T) ÕhÓ0é Ð×>î9éúé×>î9é×Öb¶ • ïÝ>éú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ (Xn ) î9éÞ0ÔÓjÐòéîêÕhòÛbÜTé(ÐÞ"ÕÖð<ú9ÐÔbÕh2nåégë>Õhôú9åéÛhÑÏÙá2n+1 à'ÛP× ã3ç*ÖjÓ0éé6¶ÿ×±õ Å6Åg÷ ü2ÖjÝ9ÐÞ ú9Ó0Û<ÔéÞ0ÞHÐÞYÔbÕhååéîvò9ÐpÑCÒ9Ó0ÔbÕhÖjÐ×9Ø ÕhÒ9Ö0ÛPÓ0éØ6Ó0éÞ0ÞjÐÜTéú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ\ßCÏ 76 âIñxÐÖjÝ ôÐÞ0ÞjÐ×9Øî>ÕhÖmÕª¶2ÿÖHÐÞYÕh×égëªÖ0é×>ÞjÐÛP× ÛhÑ9ò9ÐpÑCÒ9Ó0ÔbÕhÖjÐ×9Ø ÕhÒ9Ö0ÛPÓ0éØ6Ó0éÞ0ÞjÐÜTéú9Ó0Û<ÔéÞ0ÞDñxÝ>é×ÖjÝ>éî>ÕhÖmÕxÝIÕÜTéNÕò9Ð×IÕhÓjð"ã3ç ÖjÓ0ééÞjÖjÓjÒ>ÔÖjÒ9Ó0é6üPÞ0éé4>Ø6Ò9Ó0é ö ÑwÛPÓtégë>Õhôú9åé ÛhÑ2ò9Ð×IÕhÓjðìã3ç ÖjÓ0éé6¶ÿ×>î9ééîHü>ÛP×>évÔbÕh×ìÕPÞ0ÞjÒ9ôévÖjÝIÕhÖxÖjÝ>évÔéååÞtñxÝ9ÐÔ0Ýìî9Û ×>ÛPÖtîªÐÜ<Ðî9é Õh×>îÖjÝ>Û6Þ0é ñxÝ9ÐÔ0Ý$î9Û×>ÛPÖtégëªÐÞjÖÕhÓ0évôÐÞ0ÞjÐ×9ØÛPÓî9ébÕPîH¶ ÿ×õ Åbö ÷ üó éåô(ÕPÞÕh×>î ÙÕhÓ0ÞmÕhååéÒ>ÞjÐ×9ØÖjÝ>éÐÓÓ0éÞjÒ9åÖ0ÞÑwÛPÓÏÙáà ÛP× ã3ç ÖjÓ0éé6üFØÕÜTéåÕñtÞÛhÑåÕhÓjØTé ×Ò9ôòéÓ0Þ Õh×>îÔé×ÖjÓmÕhåYåÐôÐÖtÖjÝ>éÛPÓ0éô ÑwÛPÓxÖjÝ>évô(Õ ëªÐôÒ9ô åÐÚTéåÐÝ>Û<Û<îéÞjÖjÐô(ÕhÖ0ÛPÓÛhÑÖjÝ>évúIÕhÓmÕhôéÖ0éÓ ß Å ¶ â θ = (α0 , β0 , α1 , β1 , α′0 , β0′ , α′1 , β1′ ). ÿ×ÖjÝ9ÐÞ"úIÕhúéÓbüñNéñxÐååNØ6ÐÜTéî9éÜ<ÐÕhÖjÐÛP×êÐ×> é ÒIÕhåÐÖjÐéÞ"ÑwÛPÓ"ÖjÝ>é(åébÕPÞjÖ ÞA ÒIÕhÓ0éÞ"éÞjÖjÐô(ÕhÖ0ÛPÓÛhÑtÖjÝ>é(úIÕ æ ÓmÕhôéÖ0éÓ θ, Ð×ìÔbÕPÞ0évÖjÝ>é ×>ÛPÐÞ0é Þ0é Ò>é×>ÔéÕh×>îÖjÝ>évÐ×9ÐÖjÐÕhå2ÞjÖmÕhÖ0é X1 ÖmÕhÚTévÖjÝ>éÐÓÜ6ÕhåÒ>éÞtÐ×$ÕÔÛPôúIÕPÔÖ Þ0éÖb ¶ 3ÛPÖ0éÖjÝIÕhÖÖjÝ9ÐÞÐôú9åÐéÞÖjÝIÕhÖÖjÝ>éÏ 76 ú9Ó0Û<ÔéÞ0ÞñxÐÖjÝ ôÐÞ0ÞjÐ×9Øî>ÕhÖmÕáî9éÞ0ÔÓjÐòéÞ(ÕhòÛbÜTéìÕhåÞ0Û ÖmÕhÚTéÖjÝ>éÐÓÜ6ÕhåÒ>éÞ Ð×ÔÛPôúIÕPÔÖ Þ0éÖb¶ïÝ>éÞ0é(î9éÜ<ÐÕhÖjÐÛP×Ð×> é ÒIÕhåÐÖjÐéÞ ÕhÓ0éÐôúÛPÓjÖmÕh×ÖÑwÛPÓ"ÕÓjÐØTÛPÓ0ÛPÒ>Þ.

(12) . ! "#! $&%(')*,+-%/.,*,0)132. ×>ÛP×ÕPÞjð<ôú9Ö0ÛPÖjÐÔ ÞjÖmÕhÖjÐÞjÖjÐÔbÕhåFÞjÖjÒ>îªðT¶vÿ×>î9ééîHüñxÝ>é×ÖjÝ>é ÞmÕhôú9åé Þj(Ð béÐÞ Ð×>ÞjÒ&(ÔÐé×ÖvÖ0ÛÕhú9ú9åðìåÐôÐÖ ÖjÝ>éÛPÓ0éôÞbü<ÖjÝ>éðÕhååÛbñ±ÑwÛPÓ\égë>Õhôú9åéÖ0ÛéÞjÖjÐô(ÕhÖ0étÖjÝ>é3éÓjÓ0ÛPÓ0Þ\Ð×(ÖjÝ>ééÞjÖjÐô(ÕhÖjÐÛP×ÛhÑDÒ9×9Ú<×>Ûbñx×úIÕhÓmÕhô æ éÖ0éÓ0Þb¶ 98 Ò9ÓjÖjÝ>éÓjôÛPÓ0é6üHÖjÝ>éÞ0é Ð×> é ÒIÕhåÐÖjÐéÞvÕhååÛbñ'Ö0ÛØTéÖvÕÓmÕhÖ0é"ÛhÑ\ÔÛP×ÜTéÓjØTé×>Ôé"Ð×$ÖjÝ>é åÕñtÞ ÛhÑåÕhÓjØTé ×Ò9ôòéÓ0Þbü-Õh×>îÖjÝ9ÐÞtúéÓjôÐÖbüªÑwÛPÓtégë>Õhôú9åé6ü9Ö0Ûò9Ò9Ðåî×>ÛP×ªæqÕPÞjð<ôú9Ö0ÛPÖjÐÔ ÔÛP×&4Iî9é×>Ôé Ð×Ö0éÓjÜ6ÕhåÞb¶ çé3ÕhÓ0ét×>Ûbñ±ØTÛPÐ×9Ø"Ö0Û Ø6ÐÜTé3ÕvÓjÐØTÛPÓ0ÛPÒ>Þî9é 4>×9ÐÖjÐÛP×ÛhÑYÏÙáà ÛP×ã3ç ÖjÓ0éé6¶çétÓ0égÑwéÓ\Ö0Û(õ Åböh÷ ÑwÛPÓ\ôÛPÓ0é î9éÖmÕhÐåÞb¶ ü>ñNé"ÕhÓ0é Ð×Ö0éÓ0éÞjÖ0éîìÐ×ìÖjÝ>éH ÒIÕh×ÖjÐÖð ßÐÖô(Õðòé Å ¶ ö ¶tI[W#^M)JRf>8 ÛPÓ Õh×ìÐ×>îªÐÜ<ÐîªÒIÕhå ÖjÝ>éñNéÐØ6ÝÖbüFÖjÝ>éØ6Ó0ÛbñxÖjÝäÓmÕhÖ0é6ü · · · â ñxÐÖjÝn Ü6∈ÕhåTÒ>éÞÐ×ÖjÝ>éôéÖjÓjÐÔÞjúIÕPÔé S é×>î9ÛbñNéîêXñxnÐÖjÝêÐÖ0ÞÏÛPÓ0éå æ 4Iéåî ¶ σ S I[W#^M)cR ß æ_ÖjÓmÕh×>ÞjÐÖjÐÛP×±ú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖðTü3Þ0ééêßRõ @Å ?6÷ âjâ ê R ¯¡0¢P ®q£Cj¢P¤9gC£CwP¤°-j´j¢´g C£C ¢P¤> T µ¢m°T°-¤<¥h P : S × TS 2 → [0, 1] g 9¡g©£©ª¢6£ vµ(j¢hg <j¢´g\P¢P A ∈ S 2 « • P (., A) ¢v°-j´j¢´g C£C(µ(j¢hg <0 P¤ (S 2, S 2) P¢P x ∈ S ¼ • P (x, .) üPñNéNî9é×>ÛPÖ0éNòð B(S p) ßÓ0éÞjúD¶ Bb(S p) ü C(S p) ü Cb(S p)âHÖjÝ>éÞ0éÖ2ÛhÑÕhåå S pæ_ôébÕPÞjÒ9ÓmÕhò9åévßÓ0éÞjúD¶ 8>ÛPÓ p≥1 æ_ôébÕPÞjÒ9ÓmÕhò9åéÕh×>îòÛPÒ9×>î9éîHü<ÔÛP×ÖjÐ×Ò>ÛPÒ>ÞbüªÔÛP×ÖjÐ×Ò>ÛPÒ>ÞÕh×>îòÛPÒ9×>î9éîIâô(Õhú9ú9Ð×9Ø f : S p → R #¶ 8>ÛPÓ Sp üªñxÝ>é×ÐÖtÐÞtî9é4>×>éîHü9ñNé î9é×>ÛPÖ0é òð P f ∈ B(S) ÖjÝ>é3ÑCÒ9×>ÔÖjÐÛP× f ∈ B(S 3 ) x 7→ P f (x) =. Z. f (x, y, z)P (x, dy, dz).. ßCÏNÐpÑCÒ9Ó0ÔbÕhÖjÐ×9ØìÙÕhÓjÚTÛbÜà\ÝIÕhÐ×>ÞbüDÞ0ééßRõ Å@?P÷ âjâRY £ (Xn, n ∈ T) ´0(¢v¢Pµ R S ® ¨h¢P >jj¢P¤-TPµ ¨h¢Pgw¢´gm³¤jáP¤ ¢³p£g0j(°-j´j¢´g C£C$_°9¢T¡m (Ω, F, (Fr , r ∈ N), P) ¼_Y £ ν ´0¢"°-j´j¢´g C£CìP¤ (S, S) ¢P¤- P ´0¢ T ®q£Cj¢P¤9gC£CwP¤°-j´j¢´g C£C¼¯¢P£©ª¢6£ (Xn , n ∈ T) ¢ ®j´g g <j¡0¢6£C¤<¥(¦¢Pm§PP¨¡g©ª¢P¤FC£©¤>C£Cw¢PDP£Cg_´g ª£CwP¤ ν ¢P¤- T ®q£Cj¢P¤9gC£CwP¤°-j´j¢´g C£C P (Fr ) ®µ(j¢hg <j¢´gNP¢P n ∈ T « • Xn Fr « • L(X1 ) = ν P P ¢ ¢P¤-tP¢P6¢Pµ (fn, n ∈ Gr ) ⊆ Bb(S 3) • r∈N I[W#^M)cR^. S2. n. E. ". Y. n∈Gr. #

(13) Y

(14) fn (Xn , X2n , X2n+1 )

(15) Fr = P fn (Xn ). n∈Gr. 3Ûbñ üYñNéÕPî9îêÕÔéôéÖ0éÓjðáúÛPÐ×ÖÖ0Û ü CDéÖ Õh×>î S¯ òéÖjÝ>é σ−4IéåîáØTé×>éÓmÕhÖ0éî òð S Õh×>î {∂}. ÿ× ÖjÝ>éú9Ó0éÜ<ÐÛPÒ>Þ(ò9ÐÛPSåÛPØ6∂.ÐÔbÕhåÑCÓmÕhS¯ô=éñNSÛPÓjÚ∪ü {∂}, Ô P Û ÓjÓ0éÞjúÛP×>î9Þ(Ö0ÛÖjÝ>éìÞjÖmÕhÖ0éÞjúIÕPÔéìÛhÑ ÖjÝ>é ÒIÕh×ÖjÐÖjÐéÞ Ó0éåÕhÖ0éîáÖ0ÛåÐÜ<Ð×9ØìÔéååÞbüYÕh×>î ∂ ÐÞvÖjÝ>éî9égÑ_ÕhÒ9SåÖvÜ6ÕhåÒ>é ÑwÛPÓ î9ébÕPîÔéååÞb¶YCDéÖ P ∗ òéÕ æ_ÖjÓmÕh×>ÞjÐÖjÐÛP×ú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖðî9é4>×>éîìÛP× S¯ × S¯ ÞjÒ>Ô0ÝÖjÝIÕhÖ T ß Å ¶ ETâ P ∗ (∂, {(∂, ∂)}) = 1. ÿ×ÖjÝ>é3ú9Ó0éÜ<ÐÛPÒ>Þxò9ÐÛPåÛPØ6ÐÔbÕhåÑCÓmÕhôéñNÛPÓjÚüYß Å ¶ ETâ\ôébÕh×>ÞÖjÝIÕhÖx×>Û î9ébÕPîÔéååHÔbÕh×Ø6ÐÜTé3ò9ÐÓjÖjÝÖ0ÛÕ"åÐÜ<Ð×9Ø Ôéåå_¶çé3î9é×>ÛPÖ0é3òð P ∗ Õh×>î P ∗ ÖjÝ>éÓ0éÞjÖjÓjÐÔÖjÐÛP×ÛhÑDÖjÝ>é>4 Ó0ÞjÖxÕh×>îÖjÝ>é3Þ0éÔÛP×>î(ô(ÕhÓjØ6Ð×IÕhåHÛhÑ P ∗ Ö0Û S ü 0 1 ÖjÝIÕhÖtÐÞ \ Õh×>î \ P0∗ = P ∗ ·, · S × S¯ P1∗ = P ∗ ·, S¯ × · S . I[W#^M)cR` ßCÏÙáà±ÛP×$ã3ç ÖjÓ0éé6ü>Þ0ééõ Åbö ÷ â R7Y £ ´0"¢ P ∗ ®w¦ P¤ (S,¯ S), ¯ n , n ∈ T) FC£© P ∗ ¢6£CgP¤<; ¥ R ÀT¼¾T ¼(¯"¡0¢P (Xn, n ∈ T∗), FC£X© T=∗ (X ¢ ¦ P¤ä¬¯ ∈ T : Xn 6= ∂}, £C00bY¼ D©9 P ∗ ®w¦ê¢Pw_°9¢6£Cw¢P "©ªPµ0¥g¤jP v p1,0 == P{n∗(x, S × S), p0 = P ∗ (x, S × {∂}),.

(16) 1-*["-%(2\'3%^]-0_%`0)*&a-bc2)d%('3%`*&fe[]-g_$&%(e\b)g3h&2\'3%`0-ikjl2-gc+m]/"Nh/nc2)%`0-9]-0oi)2)d')]-03pTqr2\')@]-0_'cgc*,*t . T¤-6£_°>g¤-P¤ x ∈ S. · _°9¢6£Cw¢P ©ªPµ0¥g¤jP P ∗ ®w¦ v¢Pw ¢P¤- × S) g b°>ggp®R1¡g=C£CwP¡0¢P∗2(x, {∂} 9 © g0 m = 2p1,0 + p1 + p0. m > 1, çéî9é×>ÛPÖ0é òð (Yn, n ∈ N) ÖjÝ>éÙÕhÓjÚTÛbÜÔ0ÝIÕhÐ×ÛP× S ñxÐÖjÝ Y0 = X1 Õh×>îÖjÓmÕh×>ÞjÐÖjÐÛP×ú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖð . Q=. . 1 ∗ m (P0. + P1∗ ).. ïÝ>é ×IÕhôé ÏÙáà ÛP×$ã3ç ÖjÓ0éévÔÛPôéÞÑCÓ0ÛPô ÖjÝ>é3Ñ_ÕPÔÖxÖjÝIÕhÖtÔÛP×>îªÐÖjÐÛP×êß Å ¶ Tâ Õh×>îÞjúIÕhÖjÐÕhåHÝ>•ÛPôÛPØTé×>éÐÖðÐôú9åðÖjÝIÕhÖ T∗ ÐÞÕ(ã3çÖjÓ0éé6¶ ååHÖjÝ9Ó0ÛPÒ9Ø6ÝìÖjÝ9ÐÞxñNÛPÓjÚü9ñNé ÞjÝIÕhååYÕPÞ0ÞjÒ9ôévÖjÝIÕhÖtÖjÝ>é P ∗ æÏÙáà ÐÞtÞjÒ9úéÓRæÔÓjÐÖjÐÔbÕhå_¶ •. DI,KN¡/¢>£FcR(¤mR. E. . ¥ª© ¨ ¥¬« ¦ § ¥ª¨ ¥ª ¥¬¦ ¥ © ¥¬®. ¦©. ®. ¦¨ ¥ª§ ¦ « ®A° ¥¬¯ ®@¥. G∗0. G∗1. G∗2. G∗3. G∗4. Î ÌDÉ ò9Ð×IÕhÓjð ã3ç ÖjÓ0ééÒ9ú Ö0ÛáÖjÝ>é ÖjÝ ØTé×>éÓmÕhÖjÐÛP×D¶ m¤±£©£C00m« ¤>® P¨bwP 9¢PtÀ¥P¨Pmì´g£©ê£_á£C\¤-P¨bwP 9¢P ©w¡g© ´j6£© P¨bwm«£©©ª¢m°T°>g¤ FC£© °-j´j¢´g C£C p1,0. m¤-P¨bwP 9¢P¹"¥P¨Pm"´g£©£_£C\¤-P¨bwP 9¢P 3©w¡g©P¤> P¤ £©9 ¤g °9P $P¨bwmm«v£© ©ª¢m°T°>g¤ä©w¡g©°-j´j¢´g C£C p0. m¤-P¨bwP 9¢PNÀh¹¥P¨Pm´g£© £_(£C\(¤-P¨bwP 9¢P v©w¡g©ìT¤-6£P¨bwm«\£© ©ª¢m°T°>g¤áFC£©°-j´j¢´g C£C 1 − p1,0 − ~. . P²±-. . ³. ?. ³. Y. S. ³. p0 − p 1 .. 3Ûbñ üªÑwÛPÓÕh×ðÞjÒ9ò>Þ0éÖ . J ⊂ T,. åéÖ J ∗ = J ∩ T∗ = {j ∈ J : Xj 6= ∂}. òéÖjÝ>é3ÞjÒ9ò>Þ0éÖÛhÑYåÐÜ<Ð×9Ø ÔéååÞtÕhôÛP×9Ø J, Õh×>î |J| òéÖjÝ>é3ÔbÕhÓ0îªÐ×IÕhåHÛhÑ J. ïÝ>é3ú9Ó0Û<ÔéÞ0Þ ÐÞÕã3çú9Ó0Û<ÔéÞ0ÞxñxÐÖjÝÖjÝ>évÓ0éú9Ó0Û<îªÒ>ÔÖjÐÛP×ìØTé×>éÓmÕhÖjÐ×9ØÑCÒ9×>ÔÖjÐÛP× ψ(z) = (1 − p0 − p1 − p1,0 ) + (p0 + p1 )z + p1,0 z 2 ,. (|G∗k |, k ∈ N) ,. Õh×>îþÖjÝ>éÕÜTéÓmÕhØTé×Ò9ôòéÓìÛhÑî>ÕhÒ9Ø6ÝÖ0éÓ0Þ$ÕhåÐÜTéÐÞ ÿÖÐÞÚ<×>Ûbñx×DüvÞ0ééé6¶ Ø1õ ÷ üÖjÝIÕhÖ m−k |G∗ | ÔÛP×ÜTéÓjØTéÞ Ð×ìú9Ó0ÛPòIÕhò9ÐåÐÖðìÖ0ÛÕ×>ÛP×ªæ_×>éØÕhÖjÐÜTé ÓmÕh×>î9ÛPm. ô Ü6ÕhÓjÐÕhò9åé W ¶tÙ$ÛPÓ0éÛbÜTéÓbü P(W > 0) = 1 Ð k Z. T=.