Les théories quantiques des champs ont connu des succès considé- rables dans la description des particules élémentaires et de leurs inter- actions et l'application de leurs méthodes fructueuses à la gravitation n'a jamais cessé d'être un objectif.
L'échelle de longueur naturelle à laquelle la gravitation quantique devient importante est la longueur de Planck, lp= 1,6x l ( T3 3c m , l'échelle d'énergie correspondante étant la masse de Planck, Mp= 1,2 x 101 9GeV. A cette échelle l'effet de la gravitation est comparable à celui des autres forces et c'est l'énergie naturelle pour son unification avec les autres inter- actions. A l'évidence cette énergie est hors de portée des accélérateurs actuels. Donc, pour le moins dans un avenir proche, les tests expérimen- taux d'une théorie unifiant la gravitation avec les autres interactions ne peuvent être qu'indirects. Lorsque nous tentons de quantifier la théorie classique de la gravitation, nous rencontrons des divergences (des infinis) à courte distance (haute énergie) que les méthodes habituelles de renor- malisation de la théorie quantique des champs ne permettent pas de maî- triser. Ces divergences ont une signification physique: la théorie n'est valable que jusqu'à une certaine énergie. Au-delà règne une physique nou- velle qui exige une description différente.
La gravitation quantique
Une telle situation n'est pas inédite. Les divergences à courte distance de la théorie originelle de Fermi des interactions faibles (dans laquelle quatre particules se rencontrent en un point de l'espace-temps) indi- quent qu'elle n'est valable que pour des énergies inférieures aux masses des particules porteuses, W etZ. L'introduction de ces particules dans la théorie de Glashow-Salam-Weinberg élimine ces divergences.
Nous pensons que l'introduction d'un formalisme représentant correc- tement la physique nouvelle à courte distance apporterait de même la solution aux divergences de la gravitation quantique. Bien que des
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Fig. 1: Les particules sont les différents modes vibratoires d'une corde qui peut être ouverte ou fermée.
années d'efforts aient été vouées à la découverte de ce formalisme, un seul candidat est apparu pour décrire la physique nouvelle à courte dis- tance: la supercorde.
La théorie des supercordes introduit des idées radicalement nouvelles, ainsi le graviton (le porteur de la force de gravitation) et toutes les autres particules élémentaires correspondent à des modes vibratoires d'une corde (figure 1). La longueur de Planck donne l'échelle de taille typique de la corde, ce qui signifie qu'aux échelles de longueur que sondent les expériences actuelles la corde apparaît ponctuelle.
Le passage d'une théorie des champs ordinaire pour objets ponctuels à une théorie pour objets unidimensionnels a des conséquences frap- pantes. Le spectre des vibrations de la corde compte une particule sans masse de spin 2: le graviton. A grande longueur d'onde ses interactions sont décrites par la théorie de la relativité généralisée d'Einstein, que l'on
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Supercordes, trous noirs et
théories de jauge
L'élaboration d'une théorie quantique des champs incluant la gravitation s'est dérobée à l'esprit des meilleurs penseurs de la physique. Yaron Ozûu CERN explique comment la théorie des supercordes modifie la géométrie classique et comment les secrets des trous noirs quantiques sont codés dans les théories quantiques des champs. Des avancées récentes remarquables montrent que les théories des
champs, telles que celle décrivant les quarks et les gluons, peuvent être connectées avec la
gravitation considérée dans un nombre de dimensions élevé.
Gravitation quantique
Fig. 2: L'espace des paramètres des cinq types cohérents de théories des cordes. Les bords sont formés de points où la corde correspondante est faiblement couplée. A l'intérieur le couplage est génériquement de l'ordre de l'unité. La théorie M à 11 dimensions est également incluse, à basse énergie elle correspond à une supergravitation à 11 dimensions, soit une théorie supersymétrique incluant la gravitation.
peut donc considérer comme un corollaire de la théorie des cordes ! La théorie quantique des cordes, en introduisant une région étendue de l'espace-temps, évite les divergences à courte distance et mène à une théo- rie finie de la gravitation quantique. Outre le graviton, le spectre des vibra- tions de la corde compte d'autres oscillateurs excités possédant les pro- priétés des autres particules de jauge, les porteurs des diverses forces. De ce fait, cette théorie est un candidat prometteur (et jusqu'à présent Je seul) pour l'unification de toutes les interactions des particules avec la gravitation.
En l'absence de données expérimentales directes auxquelles confron- ter la théorie des cordes, les chercheurs de ce domaine se guident essentiellement sur l'exigence d'une cohérence interne de la théorie. Il s'avère qu'elle impose des contraintes très sévères, ce qui une fois enco- re n'est pas pour surprendre les physiciens des particules. Pour éliminer les divergences à courte distance dans la théorie des interactions faibles de Fermi, les restrictions sévères imposées par les symétries internes et celles de l'espace-temps les ont guidés vers la solution.
Les théories des supercordes
L'exigence de cohérence impose à la théorie des cordes deux particulari- tés importantes. Tout d'abord, une théorie des supercordes n'est cohéren- te qu'en 9+1 dimensions d'espace-temps. Il y a là un conflit apparent avec le fait que le monde que nous observons possède 3+1 dimensions d'es- pace-temps. Ensuite, cinq types de théories des supercordes sont cohé- rents: IIA, IIB, I, E8x E8 hétérotique et S0(32) hétérotique. Celle de type I s'appuie sur des cordes ouvertes et fermées non orientées; les autres sont des théories des cordes fermées et orientées. Laquelle choisir?
Toutes les cinq sont supersymétriques, d'où le nom de supercordes.
D'après la supersymétrie, tout boson (particule de spin entier) possède un superpartenaire fermionique (spin demi-entier) et inversement. Une façon de considérer les théories des champs supersymétriques consiste à y voir des théories des champs dans un superespace - un espace possédant des dimensions quantiques fermioniques supplémentaires. De nombreux physiciens s'attendent à ce que la supersymétrie devienne une réalité à l'échelle du téraélectron-volt, de sorte que les nouveaux superpartenaires
pourraient être observés au collisionneur de protons LHC du CERN.
Les trois dimensions d'espace et celle de temps que nous observons sont approximativement plates et infinies, en outre elles sont en expan- sion. Juste après le big-bang elles étaient fortement courbées et petites.
Il est possible que tandis que ces quatre dimensions se dilataient, d'autres soient restées petites et fortement courbées.
D'après la théorie des supercordes nous vivons dans un espace-temps à 9+1 dimensions, six d'entrés elles petites et compactes, alors que le temps et trois des dimensions spatiales se sont dilatées et sont infinies.
Comment pouvons-nous percevoir ces six dimensions supplémen- taires? Tant que nos expériences ne pourront atteindre les énergies nécessaires pour sonder des distances suffisamment petites, le monde nous apparaîtra 3+1 dimensionnel et nous ne pourrons sonder les autres dimensions que par leurs effets sur la physique à 3+1 dimensions. Nous ne pouvons pas prévoir à quelle énergie apparaîtront les dimensions compactes cachées. Les données expérimentales actuelles ne permet- tent pas d'exclure la possibilité que les nouvelles dimensions ou que les cordes se manifestent au LHC.
En théorie des supercordes on utilise la méthode de Kaluza-Klein pour unifier la gravitation et les interactions de jauge à l'aide de dimen- sions supplémentaires. Dans les théories ainsi obtenues, le graviton compte davantage de dimensions et apparaît dans notre monde 3+1 dimensionnel comme un graviton, un photon ou un scalaire selon que son spin est aligné le long de dimensions infinies ou compactes.
Il existe de nombreuses compactifications cohérentes des six coordon- nées supplémentaires. La grande question est de savoir laquelle choisir.
La réponse se cache dans la dynamique de la théorie des supercordes.
En se limitant à un certain cadre (perturbatif), on peut tenter une étude qualitative de la phénoménologie 3+1 dimensionnelle que l'on obtient selon différentes compactifications. Il est encourageant de noter que cer- taines d'entre elles conduisant à des modèles 3+1 dimensionnels pré- sentant des aspects qualitatifs tels que groupes de jauge ou représenta- tions de la matière par des modèles plausibles de grande unification. Il est intéressant que les fermions de faible masse se groupent en famille dont le nombre est déterminé par la topologie de l'espace compact.
Les excitations de Kaluza-Klein
Les compactifications ne sont pas toutes distinctes. On peut illustrer cette notion en considérant une coordonnée spatiale qui soit un cercle de rayon R. Deux types d'excitations sont possibles. La première, fami- lière dans les théories des objets ponctuels, résulte de la quantification de l'impulsion sur la circonférence. On les appelle les excitations de Kaluza-Klein. Le deuxième type apparaît parce que la corde fermée s'en- roule autour du cercle, on les appelle les excitations d'enroulement.
Il s'agit là d'un aspect nouveau qui n'apparaît pas dans les théories ponctuelles. Quand on applique un cercle de rayon R sur un cercle de rayon inverse 1/R, l'échelle de la corde étant identifiée à l'unité, les deux types d'excitations s'échangent et la théorie reste invariante. Il n'est pas possible de distinguer la compactification sur un cercle de rayon R de la compactification sur un cercle de rayon 1/R. Cela signifie que les notions géométriques classiques ne sont plus pertinentes à courte distance et qu'il faut remplacer cette géométrie classique par une géométrie de corde.
En termes physiques, cela demande la modification du principe bien connu d'incertitude. La résolution spatiale, Ax, voit sa limite inférieure dictée non plus seulement par l'inverse de la dispersion en impulsion, Àp, mais également par la taille de la corde. L'application du rayon de com- pactification sur son inverse, c'est-à-dire l'échange des modes d'excita-
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tion de Kaluza-Klein et des modes d'enroulement, s'appelle la dualité T.
La "symétrie du miroir" est un autre exemple de la géométrie de corde.
Dans l'exemple précédent, les deux cercles avaient la même topologie et des tailles différentes. Par contre, la symétrie du miroir est un exemple en géométrie des cordes où deux espaces à six dimensions, appelés des variétés de Calabi-Yau, de topologies différentes ne sont pas distincts pour la corde-sonde.
Pour sélectionner la "meilleure" théorie, nous devons introduire la notion de dualité S. Considérons un système physique fortement couplé.
Il peut exister un autre système de variables pour lequel le système est faiblement couplé. La transformation du premier système de variables à l'autre s'appelle la dualité S. En pratique il est habituellement impossible de trouver le changement exact de variables qui permet de passer des degrés de liberté fortement couplés à ceux qui le sont faiblement.
Contrairement à la dualité T, la dualité S est non perturbative. Cela nous empêche de la prouver, mais nous pouvons accumuler suffisamment d'éléments concordants pour nous convaincre de son existence.
Une découverte importante a été que les cinq théories des cordes cohérentes sont toutes liées entre elles par des dualités telles que T et S.
On peut donc les réunir dans un cadre unique: ce sont des descriptions équivalentes du même système physique avec des variables différentes.
La figure 2 décrit l'espace des paramètres des théories des cordes, les bords sont formés de points où la corde correspondante est faiblement couplée. A l'intérieur le couplage est génériquement de l'ordre de l'unité.
Un élément de plus apparaît sur la figure 2, c'est la théorie M (membrane) à 11 dimensions qui correspond à basse énergie à une supergravitation à 11 dimensions, soit une théorie supersymétrique incluant la gravitation.
Contrairement à la théorie des cordes, la théorie M ne possède pas de constante de couplage. Elle se réduit sous diverses compactifications aux cinq théories des cordes. Considérons par exemple une théorie M compactifiée sur un cercle de rayon R. Elle est duale d'une théorie des cordes de type IIA dont le couplage de la corde est proportionnel à R. La limite en couplage fort d'une théorie des cordes de type IIA à 10 dimen- sions correspond à un R élevé et, étonnamment, une autre dimension apparaît, de sorte qu'elle est décrite par une théorie à 11 dimensions.
Les connaissances sur la théorie M sont insuffisantes. Sans constan- te de couplage, aucun développement perturbatif systématique n'est possible. La "théorie matricielle" constitue une tentative d'aborder la théorie M par une méthode non perturbative basée sur la mécanique quantique supersymétrique des matrices infinies.
Les cordes et les trous noirs quantiques
Les trous noirs classiques sont complètement noirs, c'est-à-dire qu'ils absorbent tout objet franchissant leur horizon des événements et n'émet- tent rien. Hawking a montré que les trous noirs quantiques émettent un
rayonnement. C'est ainsi qu'apparaît une énigme déjà ancienne. Nous pouvons partir d'un état quantique pur pour former un trou noir et finir dans un état mixte de rayonnement thermique. Cette situation est en contradiction avec les lois fondamentales de la mécanique quantique.
Les trous noirs sont également porteurs d'une entropie proportionnelle à la surface de leur horizon des événements. Pour comprendre ces aspects des trous noirs il faudrait une théorie quantique de la gravitation, ce que procure la théorie des cordes. L'entropie d'un trou noir est une mesure du nombre de ses états quantiques. Pour certains trous noirs ces états peuvent être identifiés aux D-branes - des excitations non perturbatives de la théorie des cordes sur lesquelles peuvent se terminer des cordes ouvertes. (Les D-branes fournissent des conditions aux limites de Diri-
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Fig. 3: Les D-branes sont des excitations non perturbatives de la théorie des cordes sur lesquelles peuvent se terminer des cordes ouvertes. Les cordes ouvertes possèdent des champs de jauge, de sorte que les D-branes définissent une théorie de jauge. Il existe une classe de trous noirs formés de D-branes dont les propriétés quantiques peuvent être décrites par une théorie de jauge. Les cordes fermées mènent à une théorie des champs de la gravitation.
chlet pour les cordes; figure 3).
Les cordes ouvertes possèdent des champs de jauge, de sorte que les D-branes définissent une théorie de jauge. Il existe une classe de trous noirs formés de D-branes dont les propriétés quantiques peuvent être décrites par une théorie de jauge. Il est possible dans le cas de ces trous noirs de compter les états quantiques microscopiques et de déduire l'équation de Bekenstein-Hawking liant l'entropie du trou noir à la sur- face de l'horizon des événements. Il est également possible de calculer l'intensité du rayonnement de Hawking résultant de la diffusion quan- tique et de lui donner une explication au niveau microscopique.
Holographie
Dans une théorie des champs quantique ordinaire décrivant un système physique dans un volume V, le nombre de degrés de liberté est propor- tionnel au volume.
Une théorie quantique de la gravitation doit, pense-t-on, posséder une propriété remarquable, appelée holographie, introduite par Gérard't Hooft et Léonard Susskind. Ici le nombre de degrés de liberté d'un sys- tème gravitationnel quantique dans un volume Vdevrait être proportion- nel à la surface limitant le volume. Cela signifie que la physique d'un sys- tème gravitationnel quantique en d+1 dimensions est codée de manière holographique en d dimensions. Tout comme dans un hologramme optique, ce codage de l'information est compliqué.
La théorie des cordes étant notre candidate pour décrire la gravitation quantique, elle devrait posséder cette propriété d'holographie. Cette situation a été réalisée récemment dans la théorie matricielle et pour des cordes dans certains espaces possédant une constante cosmologique négative, espaces connus sous le nom d'anti De Sitter. Les "holo- grammes" sont situés aux limites de ces espaces. Dans les deux cas l'ho- logramme qui code les propriétés de la gravitation quantique est une théorie de jauge. Il est remarquable que les secrets de l'évaporation des trous noirs quantiques soient cachés dans un tel hologramme: c'est le régime de couplage fort de la théorie quantique des champs.
D'un côté la théorie des D-branes est une théorie de jauge; de l'autre
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Gravitation quantique
Il existe cependant une autre possibilité intéressante. L'utilisation de dimensions supplémentaires peut changer la variation du couplage gra- vitationnel avec l'énergie. L'énergie d'unification du couplage gravitation- nel peut être abaissée si, comme dans la physique des D-branes de la figure 3, les champs de jauge existent dans des espaces-temps à 3+1 dimensions tandis que la gravitation se propage également dans les autres dimensions.
Cela peut modifier spectaculairement les échelles de la physique des cordes. L'échelle des cordes ne peut être inférieure à 1 téraélectron-volt car les excitations correspondantes n'ont pas été observées dans les accélérateurs. Il est possible cependant qu'elles soient de l'ordre du téraelectron-volt et que les excitations des cordes soient observées au LHC. L'échelle de compactification - la taille de la dimension compacte la plus grande - peut même être inférieure. Etonnamment elle pourrait être de l'ordre du millimètre.
Bien que cela semble contredit par les expériences en laboratoire, en fait il n'en est rien. Les champs de jauge ne se propagent pas dans les dimensions compactes, ils ne présentent donc pas d'excitations de Kalu- za-Klein. Les cordes fermées de la figure 3 possèdent des excitations de Kaluza-Klein, mais elles sont faiblement couplées et ne pourraient pas être observées. Les dimensions supérieures au millimètre sont exclues par des expériences mesurant les effets gravitationnels à courte distance.
Les dimensions supplémentaires peuvent servir à abaisser l'énergie d'unification complète, de sorte qu'elle pourrait déjà se produire autour des téraélectron-volts.
Yaron Oz, CERN.
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les D-branes sont des objets massifs qui courbent l'espace-temps dans lequel elles sont plongées. En considérant les D-branes de ces deux points de vue Juan Maldacena (Harvard) a émis la conjecture d'une dua- lité entre les théories de jauge et la théorie des cordes dans les espaces anti De Sitter.
L'équivalence entre la gravitation en cinq dimensions et une théorie de jauges en quatre dimensions présente un intérêt particulier. La cinquième dimension supplémentaire correspond à l'échelle d'énergie de la théorie des champs quantiques quadridimensionnels. Les théories possédant trois dimensions d'espace et une de temps deviennent des théories d'un espace-temps quadridimensionnel, nous pourrions de même être conduits à ajouter l'énergie pour arriver à cinq coordonnées naturelles.
Ed Witten a étendu la conjecture de cette dualité aux théories de jauge non supersymétriques telles que la chromodynamique quantique (CDQ) pure, c'est-à-dire la théorie des champs de gluons. Les espaces anti De Sitter sont maintenant remplacés par des trous noirs anti De Sitter.
Quand le fond gravitationnel est régulier, l'approximation de la supergra- vitation en théorie des cordes peut être utilisée, elle présente les pro- priétés requises de la CDQ telles que le confinement de couleur des quarks. L'étude quantitative de la CDQ exige des fonds gravitationnels singuliers et il semble que la clé de la solution de certaines questions anciennes, comme le calcul du spectre des hadrons, se cache dans la géométrie de la théorie des cordes.
Dans l'extension supersymétrique du modèle standard, l'unification des couplages de jauge fort et électrofaible semble se produire vers 101 6GeV.
Le couplage gravitationnel ne s'unifie pas aux autres à cette énergie, tra- ditionnellement on prévoit que cela se produit à l'échelle de Planck.
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