Le second degré
I. Résolution d’une équation du second degré Activité p 12
Nous savons déjà résoudre certaines équations du second degré particulières :
𝑥² + 1 = 0 peut s’écrire 𝑥² = −1 et n’a donc pas de solution.
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3) = 0 est une équation du second degré écrite sous forme de produit : elle a deux solutions 4 et −3
𝑥² − 2𝑥 + 1 = 0 peut s’écrire (𝑥 − 1)2 = 0et a donc 1 pour seule solution.
A. Equation 𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎
Elle ressemble à 𝑥² − 2𝑥 + 1 = 0. Pour tout nombre réel 𝑥, on a
𝑥2− 2𝑥 + 2 = (𝑥2− 2𝑥 + 1) + 1 On observe que 𝑥² − 2𝑥 est le début du développement de (𝑥 − 1)²
𝑥2− 2𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)2+ 1
L’équation 𝑥2− 2𝑥 + 2 = 0 est donc équivalente à (𝑥 − 1)2+ 1 = 0 qui n’a pas de solution car un carré est positif.
L’équation 𝑥2− 2𝑥 + 2 = 0n’a donc pas de solution dans l’ensemble R des nombres réels.
B. Equation 𝟐𝒙² + 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟎
On commence par mettre en facteur le coefficient 2 de 𝑥². Pour tout nombre réel 𝑥, on a 2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 2 (𝑥2 + 2𝑥 −3
2) 2𝑥² + 4𝑥 − 3 = 2 [(𝑥 + 1)2 − 1 −3
2] On observe que 𝑥² + 2𝑥 est le début du développement de (𝑥 + 1)²
2𝑥² + 4𝑥 − 3 = 2 [(𝑥 + 1)2 −5
2] On observe que (𝑥 + 1)2−5
2 est de la forme A²-B avec A=𝑥 + 1 et 𝐵 =5
2
2𝑥² + 4𝑥 − 3 = 2 [(𝑥 + 1)2− (√5
2)
2
] 𝐴² − 𝐵2= (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵)
2𝑥² + 4𝑥 − 3 = 2 (𝑥 + 1 + √5
2) (𝑥 + 1 − √5
2)
On a factorisé 2𝑥2+ 4𝑥 − 3 sous la forme du produit de deux polynômes du premier degré.
L’équation 2𝑥2+ 4𝑥 − 3 = 0 équivaut à 𝑥 + 1 + √5
2 = 0 ou 𝑥 + 1 − √5
2= 0 L’équation 2𝑥2+ 4𝑥 − 3 = 0 a donc deux solutions dans R −1 − √5
2 ou −1 + √5
2
C. Equation 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 On procède comme dans l’exemple ci-dessus.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑎 [𝑥² +𝑏𝑎𝑥 +𝑎𝑐] 𝑓(𝑥) = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎)2− 𝑏2
4𝑎²+𝑐
𝑎] On considère 𝑥² +𝑏
𝑎𝑥 comme le début du développement de (𝑥 + 𝑏
2𝑎)²
𝑓(𝑥) = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎)2−𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎² ] On regroupe les termes constants.
(𝑥 + 𝑏
2𝑎)2 est un carré donc positif. Le signe de 𝑏2− 4𝑎𝑐 dépend des coefficients a, b, c de l’équation.
Selon le signe de 𝑏2− 4𝑎𝑐, l’expression de 𝑓(𝑥) sera de la forme 𝐴² − 𝐵² comme dans l’exemple 2 ou strictement positive comme dans l’exemple 1.
Définition
Le nombre ∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 est appelé discriminant de 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄.
On a donc pour tout nombre réel x, 𝑓(𝑥) = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎)2−
4𝑎²]
1er cas : ∆> 𝟎 𝑓(𝑥) = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎)2− (√
2𝑎)
2
] est de la forme 𝐴² − 𝐵²
𝑓(𝑥) = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎+√
2𝑎) (𝑥 + 𝑏
2𝑎−√
2𝑎)]
L’équation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 est équivalente à 𝑥 +𝑏+√
2𝑎 = 0 𝐨𝐮 𝑥 +𝑏−√
2𝑎 = 0 L’équation a deux solutions distinctes dans R
𝒙𝟏=−𝒃−√∆
𝟐𝒂 et 𝒙𝟐= −𝒃+√∆
𝟐𝒂
On a alors la factorisation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 2ème cas : ∆= 𝟎
𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + 𝑏
2𝑎)2
L’équation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 est équivalente à 𝑥 + 𝑏
2𝑎= 0 L’équation a une solution unique dans R
𝒙𝟏=𝒙𝟐 =−𝒃
𝟐𝒂 On a alors la factorisation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏
2𝑎)2
3ème cas : ∆< 𝟎
− ∆
4𝑎2 > 0 donc pour tout nombre réel 𝑥, (𝑥 + 𝑏
2𝑎)2− ∆
4𝑎2> 0 L’équation 𝑓(𝑥) = 0 n’a pas de solution dans R.
Définition
𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 est appelé trinôme (du second degré), car c’est une somme de trois termes.
Voir exercice résolu 1 p 13
Applications n°1 – 2 p 13 Exercices n°1 à 16 p 17 Exercices n°17 p 17 (algorithme)
Exercices n°18 à 25 p 17
D. Interprétation graphique
En seconde, on a vu que la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré définie sur R par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 est une parabole 𝑷
Cette courbe possède un axe de symétrie passant par le sommet 𝑺, qui correspond à un minimum si 𝑎 > 0 ou à un maximum si 𝑎 < 0.
Exercices n°35 p 19
II. Signe du trinôme 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)
Activité p 14 A. Signe de 𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟐
𝑥2− 2𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)2+ 1 > 0 d’après I.A.
Graphiquement, les points de la parabole d’équation 𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 + 2 ont tous une ordonnée positive ; ils sont donc situés au-dessus de l’axe des abscisses.
B. Signe de 𝟐𝒙² + 𝟒𝒙 − 𝟑 2𝑥² + 4𝑥 − 3 = 2 (𝑥 + 1 + √5
2) (𝑥 + 1 − √5
2) d’après I.B.
Tableau de signe de 2𝑥² + 4𝑥 − 3 suivant les valeurs de 𝑥 𝑥 −∞ −𝟏 − √𝟓
𝟐 −𝟏 + √𝟓
𝟐 +∞
Signe de 𝑥 + 1 + √5
2
− + +
Signe de 𝑥 + 1 − √5
2
− − +
Signe de 2𝑥² + 4𝑥 − 3 + − +
Graphiquement, les points de la parabole d’équation 𝑦 = 2𝑥² + 4𝑥 − 3 dont l’abscisse est inférieure à
−1 − √5
2 ou supérieure à −1 + √5
2 ont une ordonnée positive. Ils sont situés au-dessus de l’axe des abscisses.
Par contre, les points de la parabole dont l’abscisse est comprise entre −1 − √5
2 et −1 + √5
2 ont une ordonnée négative ; ils sont situés en-dessous de l’axe des abscisses.
C. Signe de 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏
2𝑎)2−𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎² ] d’après I.C.
1er cas : ∆< 𝟎
− ∆
4𝑎2 > 0 donc pour tout nombre réel 𝑥, (𝑥 + 𝑏
2𝑎)2− ∆
4𝑎2> 0.
Donc, pour tout réel x ; 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 est du signe du coefficient 𝑎.
2ème cas : ∆= 𝟎
𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏
2𝑎)2
Donc, pour tout réel x ; 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 est du signe du coefficient 𝑎, sauf pour 𝑥 =−𝑏
2𝑎 où il s’annule.
3ème cas : ∆> 𝟎
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) où 𝑥1 et 𝑥2 sont les solutions de l’équation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 On obtient le signe de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 grâce au tableau ci-dessous (on suppose 𝑥1 < 𝑥2).
𝑥 −∞ 𝑥1 𝑥2 +∞
𝑥 − 𝑥1 − + +
𝑥 − 𝑥2 − − +
𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) Signe de 𝒂 Signe de −𝒂 Signe de 𝒂 0
0
0 0
0
0
0 0
Propriété
Remarque
On peut retenir cette propriété, en disant que « 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 est toujours du signe de 𝑎, sauf entre les racines lorsque ∆> 0 »
Voir exercice résolu 2 p 15
Applications n°1 – 2 p 15 Exercices n°26 à 34 p 18
D. Inéquations du second degré
Une inéquation du second degré à une inconnue x est une inéquation qui peut s’écrire sous l’une des formes suivantes :
𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du trinôme 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐
