2/ A nouveau le CSI s’applique

LM 257 Examen II -- Corrigé 27-06-2012 Exercice n^o1

1/ Comme Xln²X est croissante sur[1,+∞), 1

Xln²X est décroissante et le CSI s’applique.

On a : ∀A≥2,

Z A

2

dt

tln²t = −1 lnt

A

2

= 1

ln 2 − 1 lnA. Donc

Z +∞

2

dt

tln²t converge et vaut 1

ln 2. Par le CSI, X 1

nln²n converge.

2/ A nouveau le CSI s’applique. Mais ici

∀A≥2,

Z A

2

dt

tlnt = ln(lnt)

A

2

= ln(lnA)−ln(ln 2).

Donc

Z +∞

2

dt

tlnt = +∞ et

+∞

X

2

1

nlnn = +∞.

Exercice n^o2

1/ Pourx ∈ R+,u_n(x) = ln

1 +x² n²

≤ x²

n². Par Riemann Xx²

n² converge. Comme X u_n(x) est une série à valeurs positives, on en déduit par comparaison que c’est une série convergente.

DoncX

un converge simplement sur R⁺. 2/ Pour x ∈ R+ et n≥1, u⁰_n(x) = 2x

x²+n². Donc u⁰_n(n) = 1

n. Comme X

u⁰_n(n) diverge il n’y a pas de série majorante convergente. Donc X

u⁰_n ne converge pas normalement sur R+. 3/ D’après 2/ il faut localiser, i.e. montrer que X

u⁰_n converge normalement sur [0, A] pour tout A >0.

Pour x ∈ [0, A], u⁰_n(x)

= 2x

x²+n² ≤ 2A

n². On pose donc m_n = 2A

n² pour n ≥ 1 et on a une série majorante convergente. Donc X

u⁰_n converge normalement sur [0, A] pour tout A > 0.

Par le théorème de dérivation,

+∞

X

1

u_n est dérivable sur [0, A]. CommeA est quelconque,

+∞

X

1

u_n

est dérivable surR+. Exercice n^o3

− En 0, sint

t^α ∼t^1−α. Il y a une singularité si α >1et Z

0

sint

t^α dt CV ssi α <2.

−En+∞, par comparaison avec Z +∞

dt

t^α et par Riemann,

Z +∞|sint|

t^α dtconverge absolument pourα >1. Montrons la convergence pour α ∈]0,1]. Par IPP on a, pour A >1

Z A

1

sint

t^α dt= −cost t^α

A

1

− Z A

1

αcost t^α+1 dt.

On a lim

A→+∞

−cost t^α

A

1

= cos 1. Comme |cosX| ≤ 1, par Riemann Z +∞

1

αcost

t^α+1 dt converge absolument. Finalement

2 Z +∞

1

sint

t^α dt est convergente et vaut cos 1− Z +∞

1

αcost t^α+1 dt.

Bilan : I_α converge pour α ∈ ] 0,2 [ et diverge en 0pour α≥2.

Exercice n^o4

1/ Pour 0≤ x ≤ a, 0 ≤xⁿ ≤ aⁿ. Comme |a| <1, X

aⁿ converge. Donc la série de fonctions Xu_n converge normalement sur [0, a].

2/ On a ln(1 − a) = − Z a

0

dt

1−t = − Z a

0

+∞

X

0

tⁿ

!

dt. D’après 1/ le Théorème de Fubini convergence normale s’applique i.e. on peut échangerX

et Z

. On obtient

ln(1−a) = −

+∞

X

0

Z a

0

tⁿ dt

=−

+∞

X

0

aⁿ⁺¹ n+ 1 =−

+∞

X

1

aⁿ n . 3/ Une IPP donne

Z 1

0

tⁿlnt dt= tⁿ⁺¹

n+ 1 ×lnt

1

0

− Z 1

0

tⁿ⁺¹ n+ 1 ×1

t dt=− Z 1

0

tⁿ

n+ 1 dt =− 1 (n+ 1)². 4/ Calculons le maximum de

v_n

sur]0,1[. On av⁰_n(x) = −xⁿ⁻¹lnx−xⁿ⁻¹

n . Doncv_n⁰(x)s’annule pourlnx=−1/n. On a alors

v_n(x) = xⁿ

n² < 1

n². On pose doncm_n= 1

n². Par RiemannX m_n converge et X

v_n converge normalement sur]0,1], donc sur [0,1].

5/ D’après 2/, pourt ∈]0,1[,(lnt) ln(1−t)

=−

+∞

X

1

tⁿlnt

n . On a donc Z 1

0

(lnt) ln(1−t)

dt =− Z 1

0

+∞

X

1

v_n(t)

! dt.

D’après 4/ le Théorème de Fubini convergence normale s’applique i.e. on peut échangerX et Z

. On obtient

Z 1

0

(lnt) ln(1−t)

dt =−

+∞

X

1

Z 1

0

v_n(t)dt

. Or, d’après 3/,

Z 1

0

v_n(t) dt= Z 1

0

tⁿlnt

n dt= −1

n(n+ 1)². D’où, Z 1

0

(lnt) ln(1−t) dt=

+∞

X

1

1 n(n+ 1)².